非孤立奇点判断方法例题
非孤立奇点判断方法例题
非孤立奇点判断方法例题（原创实用版6篇）目录（篇1）1.引言：介绍非孤立奇点的概念和判断方法2.判断方法一：利用奇点的定义进行判断3.判断方法二：利用函数的极限进行判断4.判断方法三：利用函数的连续性进行判断5.结论：总结非孤立奇点的判断方法正文（篇1）一、引言在数学领域，奇点是指函数在某一点处的性质发生突变的点，如函数在这一点的极限不存在或无穷大等。
奇点可以分为孤立奇点和非孤立奇点。
孤立奇点是指函数在奇点处的性质与周围点不同，非孤立奇点则相反。
本文将介绍非孤立奇点的概念以及几种常见的判断方法。
二、判断方法一：利用奇点的定义进行判断利用奇点的定义进行判断是最直接的方法。
首先找到函数的奇点，然后判断这些奇点是否为非孤立奇点。
具体操作是观察函数在奇点附近的极限是否存在或无穷大。
若存在或无穷大，则该奇点为非孤立奇点；若不存在，则为孤立奇点。
三、判断方法二：利用函数的极限进行判断函数的极限是判断非孤立奇点的另一种有效方法。
对于一个非孤立奇点，函数在奇点附近的左右极限必须至少有一个存在或有穷大。
具体操作是计算函数在奇点附近的左右极限，若至少有一个存在或有穷大，则该奇点为非孤立奇点；若左右极限都不存在，则为孤立奇点。
四、判断方法三：利用函数的连续性进行判断函数的连续性也可以用来判断非孤立奇点。
如果函数在奇点处连续，则该奇点为非孤立奇点。
具体操作是判断函数在奇点处的左右极限是否存在且相等。
若存在且相等，则函数在奇点处连续，该奇点为非孤立奇点；若不存在或不相等，则为孤立奇点。
五、结论本文介绍了非孤立奇点的概念以及三种常见的判断方法：利用奇点的定义进行判断、利用函数的极限进行判断和利用函数的连续性进行判断。
目录（篇2）1.引言：非孤立奇点的概念和重要性2.非孤立奇点的判断方法2.1 奇点分类法2.2 函数展开法2.3 极限法3.例题解析3.1 例题一：利用奇点分类法判断非孤立奇点3.2 例题二：利用函数展开法判断非孤立奇点3.3 例题三：利用极限法判断非孤立奇点4.结论：非孤立奇点判断方法的应用和意义正文（篇2）一、引言非孤立奇点是数学领域中的一个重要概念，尤其在微分方程、函数论等学科中具有广泛的应用。
(完整)复变函数经典例题
第一章例题例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？（1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；(2）倾角的直线;（3）双曲线.解设，则因此（1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周.（2）在平面上对应的图形为：射线。
（3）因，故，在平面上对应的图形为：直线。
例1。
2 设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0。
证因在点连续，则,只要,就有特别，取，则由上面的不等式得因此,在邻域内就恒不为0。
例1。
3设试证在原点无极限，从而在原点不连续.证令变点,则从而（沿正实轴)而沿第一象限的平分角线,时，。
故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。
第二章例题例2.1 在平面上处处不可微证易知该函数在平面上处处连续.但当时，极限不存在。
因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时,其极限为－1.故处处不可微。
例 2.2 函数在满足定理2。
1的条件，但在不可微。
证因。
故但在时无极限，这是因让沿射线随而趋于零,即知上式趋于一个与有关的值。
例2。
3 讨论的解析性解因, 故要使条件成立，必有,故只在可微,从而，处处不解析.例2。
4讨论的可微性和解析性解因，故要使条件成立,必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。
例2.5讨论的可微性和解析性,并求。
解因, 而在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。
且。
例2。
6 设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且,试求之值。
解设，则由代入得解得：,从而。
例2。
7 设则且的主值为.例2。
8 考查下列二函数有哪些支点（a)(b)解(a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时，的辐角得到增量，的辐角没有改变, 即从而故的终值较初值增加了一个因子,发生了变化，可见0是的支点。
同理1 也是其支点。
任何异于0，1的有限点都不可能是支点。
因若设是含但不含0，1的简单闭曲线，则故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。
习题06奇点,留数
ζk
∞
ζ k +1
t −( k +1) ，即 ∞ 点为本性奇点。 f (1/ t ) = 2∑ k = 0 ( k + 1)( 2 k + 1) !
f ( z ) = 2∫ e
0
z
(
ζ
− e−
ζ
)d
ζ = 2 e z + e − z − 2 ，即除 ∞ 点外无其他奇点。
(
)
ez ez （1） ， z0 = 1 ； （2） ， z0 = 1 ； 121．求下列函数在指定点 z0 的留数： 2 z −1 ( z − 1)
( z − 2nπ i ) ( z − e z + 1)
z ( e z − 1)
z → 2 nπ i
z → 2 nπ i
= lim
z → 2 nπ i
所以 2nπ i （ n = ±1, ±2,
）是一阶奇点。由于 2nπ i → ∞ ，所以在 ∞ 点的任一邻域内有无
穷个奇点，即 ∞ 是非孤立奇点。 （6） f ( z ) = z −1 −
−1 −1 z = ( z − 2nπ ) ⎡ 1 − cos ( z − 2nπ ) ⎤ + 2nπ ⎡ 1 − cos ( z − 2nπ ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 − cos z
1 −1 ⎡ 2 4⎤ = 2 ( z − 2nπ ) ⎢1 + ( z − 2nπ ) + O ( z − 2nπ ) ⎥ ⎣ 12 ⎦ 1 −2 ⎡ 2 4⎤ +4nπ ( z − 2nπ ) ⎢1 + ( z − 2nπ ) + O ( z − 2nπ ) ⎥ ⎣ 12 ⎦
ez
（1） res f (1) = lim ( z − 1) f ( z ) = e 。
孤立奇点和非孤立奇点的判断方法
孤立奇点和非孤立奇点的判断方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：孤立奇点和非孤立奇点是数学分析领域中的重要概念，它们在研究函数的性质和图像的特征时起着至关重要的作用。
对于数学学习者来说，了解孤立奇点和非孤立奇点的判断方法，对于深入理解复变函数、微分方程等数学领域都具有重要意义。
下面将详细介绍关于孤立奇点和非孤立奇点的判断方法。
我们先来介绍孤立奇点的判断方法。
孤立奇点是函数在某点附近出现的奇异行为。
在复变函数中，孤立奇点通常指代的是在某点附近函数不再是解析的点。
判断一个点是否为孤立奇点，可以通过以下方法来进行：1. 极限判别法：计算函数在该点附近的极限，如果极限不存在或为无穷大，则该点为孤立奇点。
2. 泰勒级数展开：对函数进行泰勒级数展开，如果展开后的级数包含了负幂次项（即有无穷多个非零项），则该点为孤立奇点。
3. 周围点的解析性：观察该点周围的函数是否在该点附近解析，如果不解析，则该点为孤立奇点。
接下来，让我们来介绍非孤立奇点的判断方法。
非孤立奇点是指函数在某点的附近呈现出的非奇异行为。
一般来说，当一个点不是孤立奇点时，它可能是可去奇点、极点或本质奇点。
判断一个点是否为非孤立奇点，可以通过以下方法来进行：1. 极限判别法：计算函数在该点附近的极限，如果极限存在并有限，则该点为非孤立奇点。
2. 函数的特殊性质：观察函数在该点附近的特殊性质，例如可积、有界等。
3. 应用奇异性定理：对于复变函数，可以根据奇异性定理来判断非孤立奇点的性质，这需要结合数学分析的相关知识来进行判断。
判断一个点是孤立奇点还是非孤立奇点需要综合运用极限判别法、泰勒级数展开、函数的特殊性质等方法。
在实际应用中，还需要根据具体函数的特点来选择合适的方法进行判断。
对于复变函数、微分方程等领域的研究者来说，掌握孤立奇点和非孤立奇点的判断方法是至关重要的。
通过深入了解和熟练运用这些方法，可以更好地理解函数的性质，为相关领域的研究工作提供重要的理论支持。
奇点与留数
1 − (1 −
z2 z2 z4 z6 z4 z6 + − + · · ·) − + − ··· 1 z2 z4 2 4! 6! 2 4! 6! = = − + − ···， z2 z2 2 24 6!
显然这个展开式的主要部分是 0，因此 0 是
1 − cos z 的可去奇点。 z2 ∞ (−1)n z 2n+1 z3 z5 z7 （2）由公式 sin z = =z− + − + · · · 可得 (2n + 1)! 3! 5! 7! n= 0 sin z 2 = (−1)n (z 2 )2n+1 z6 z 10 z 14 = z2 − + − + ··· (2n + 1)! 3! 5! 7! n= 0
−1 n = −∞ ∞ n = −∞ z→ a
cn (z − a)n 。如果展开式的负幂项部分（劳朗级数的负幂项部分被称为劳朗级
cn (z − a)n 的所有项都是零，则 a 是可去奇点；如果展开式的主要部分只有有限个非零项，
则 a 是极点；如果展开式的主要部分有无穷个非零项，则 a 是本性奇点。 如果使用极限法判定奇点类型，那么以下几个结论是有用的： • 如 果 数 列 {bn } ( n = 1, 2, 3, · · · ) 和 {cn } ( n = 1, 2, 3, · · · ) 的 极 限 都 是 a ， 但 么 lim f (z ) 既不存在也不为无穷（这里 a 可以是无穷）。
∞
，于是
ln (1 + z ) 的可去奇点。 z
（5）由公式 sin z =
(−1)n z 2n+1 可得 (2n + 1)! n= 0 (1 + z )5
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2，2!3!（4）设f(z)=故z→0所以z=0为
f(z)的可去奇点。
11
而zk=2kπi，(k=±1,±2 )，为ez-1的一级极点，同时为z的解析点，故limzk=∞zk=2kπik=±1,±2, 为f(z)的一级极点但k→∞，所以∞为极点zk的极限点，为非孤立
奇点。
ez
∞
n
(k=0,1, n-1)为原式一级极点。
n
zn+1ln(1+z)∞nz
ln(1+z)=∑(-1)=∑(-1)
n+1zn+1无负幂项，故z=00<|z|<1n=0n=0（11）a．，，
为其可去奇点。
ln(1+z)1
=lim=1
z→0z→0z1+zb．，故z=0为可去奇点。
lim
e
1
1-z
（12）由
（1）zz+1.（2）z2. （3）z3-z2-z+1.
1
2
z11
sin2z
（4）sinz. （5）1+z1+e. （6）1-z.-
（7）e
z-
1z
11zsin+2
1-z
zz （9）e. .（8）
2n
ln(z+1)ez
z（10）1+zn.（11）.（12）ez-1
f(z)=
z3z2+1是有理函数，故奇点只是极点，满足z3z2+1=0，故z=0，
是f(z)的本性奇点。
?1?
?
1∞n?z?11sin=∑(-1)sin+2
2n+1!，所以，zz有无穷多z的负幂项，知z=0为其本性zn=0
数学物理方法姚端正CH3 作业解答
= ∑ ak z k ， 其中， ak =
k =0
∞
f ( k ) (0) k!
① ②
f '( z) =
α α ln(1+ z ) α e = f ( z) 1+ z 1+ z
⇒
f ' (0) = α
同时由①式有： (1 + z ) f ' ( z ) = αf ( z ) 将②式两边再对 z 求导： (1 + z ) f ' ' ( z ) + f ' ( z ) = αf ' ( z )
∞ 1 ∞ 1 1 1 1 1 1 = = ⋅( = )= ∑ ∑ k k +1 z ( z + 1) − 1 z + 1 1 − 1 z + 1 k = 0 ( z + 1) k = 0 ( z + 1) z +1
其中，
1 1 1 1 1 ∞ ( z + 1)k ∞ ( z + 1) k = = ⋅ = ⋅∑ = ∑ k +1 1 − z 2 − ( z + 1) 2 1 − z + 1 2 k = 0 2 k k =0 2 2 f ( z) =
k →∞
lim |
k + ak |= 1 ( k + 1) + a k +1
若 | a |> 1 ，则
lim |
罗比塔法则 k + ak k ( k − 1) a k − 2 1 + ka k −1 罗比塔法则 1 = = | lim | | lim | |= k +1 k k −1 → ∞ → ∞ k k ( k + 1) + a 1 + (k + 1)a ( k + 1) ka |a|
复变函数 第五章 留数
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
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非孤立奇点判断方法例题
例题：判断函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的奇点。
解析：首先，我们需要找到函数$f(x)$的定义域。
由于分母$x^2-1$不能为零，所以$x$不能等于1或-1。
因此，函数$f(x)$的定义域为$x\in(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$。
接下来，我们需要判断函数$f(x)$在定义域内是否存在奇点。
奇点的定义是函数在该点处不连续或者函数在该点处的极限不存在。
首先，我们来判断函数$f(x)$在$x=-1$处是否存在奇点。
我们可以计算函数在$x=-1$处的极限：
$$\lim_{x\to -1} \frac{1}{x^2-1}$$
由于$x^2-1=(-1)^2-1=0$，所以极限不存在。
因此，函数$f(x)$在$x=-1$处存在奇点。
接下来，我们来判断函数$f(x)$在$x=1$处是否存在奇点。
我们可以计算函数在$x=1$处的极限：
$$\lim_{x\to 1} \frac{1}{x^2-1}$$
由于$x^2-1=1^2-1=0$，所以极限不存在。
因此，函数$f(x)$在$x=1$处存在奇点。
综上所述，函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$存在两个奇点，分别为$x=-1$和$x=1$。