《平面》教学设计(优质课)
平面的概念教案小学
平面的概念教案小学教学目标：1. 理解平面的概念，能够识别和描述日常生活中的平面图形。
2. 培养学生的空间观念，提高观察和思维能力。
3. 培养学生的合作意识和创新能力。
教学重点：1. 掌握平面的基本概念和特征。
2. 能够识别和描述常见的平面图形。
教学难点：1. 理解平面的抽象概念。
2. 能够将实际物体与平面图形进行对应。
教学准备：1. 平面图形的教具和实物模型。
2. 彩色笔和画纸。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察教室里的物体，如桌子、黑板等，让他们注意到这些物体都是立体的。
2. 提问：我们今天要学习一种特殊的图形，它没有厚度，只有长度和宽度，你们知道是什么吗？二、探究平面的概念（10分钟）1. 解释平面的概念：平面是一个没有厚度的二维图形，它只有长度和宽度。
2. 展示平面图形的教具和实物模型，如长方形、正方形、三角形等。
3. 让学生触摸和观察这些教具和模型，让他们感受到平面的特征。
三、平面图形的识别和描述（10分钟）1. 让学生分组，每组选择一个平面图形进行观察和研究。
2. 要求学生用语言描述所观察到的平面图形的特征，如边数、角数、对称性等。
3. 每组汇报他们的观察和描述结果，其他组进行评价和补充。
四、平面图形的绘制（10分钟）1. 发给学生画纸和彩色笔，要求他们根据所观察到的平面图形进行绘制。
2. 学生在绘制过程中，教师进行指导和鼓励，帮助他们正确表达平面图形的特征。
五、总结和展示（5分钟）1. 让学生展示他们绘制的平面图形，并简要介绍所观察到的特征。
2. 教师对学生的作品进行评价和鼓励，强调平面图形的特征和应用。
教学反思：通过本节课的学习，学生能够理解平面的概念，并能够识别和描述常见的平面图形。
在教学过程中，我通过展示教具和实物模型，让学生触摸和观察，帮助他们感受到平面的特征。
同时，通过分组观察和描述，学生能够进一步理解和表达平面图形的特征。
在绘制过程中，学生能够将所观察到的平面图形转化为纸上的表达，加深对平面图形概念的理解。
平面直角坐标系优质课教学设计及点评
《平面直角坐标系》教学设计人教版七年级下册第七章一．内容和内容解析1.内容人教版七年级下册第七章第 1 节《平面直角坐标系》2.内容解析学习的知识类型分为事实性知识、方法性知识和价值性知识。
所谓事实性知识，是说有一类知识是由事实所构成的知识系统。
“平面直角坐标系”和“有序数对”这两个概念属于事实性知识，为什么这样定义这两个概念，在教学中无须过多地讨论探究。
只需要立足于实际问题，在一定程度上让学生类比教学情境，通过解决实际问题理解引入平面直角坐标系的必要性，并在数轴的基础上进一步掌握平面直角坐标系的概念，理解平面直角坐标系中的点与有序实数对的一一对应关系。
本节课中主要用到数形结合思想，是学生综合运用观察、归纳、总结等数学能力探究新知的集中体现，是提升数学活动经验，培养数学思想方法的综合课。
3.教学重点平面直角坐标系的概念以及在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
4.教学难点平面直角坐标系概念的生成。
二．目标和目标解析依据课程标准要求，结合对教学内容的分析融合三维目标于一体，本课时的学习目标确定为：1.学习目标1．学生通过对身边具体实例的分析讨论，自发的得出可以用有序数对表示物体的位置这一基本事实，发展学生的分析问题和解决问题的能力，让学生体验数学源于生活，服务于生活；2．学生在老师的引导下说出平面直角坐标系的有关概念，并且可以说出它的由来；发展学生探究的意识，激发学生学习数学的兴趣；3．学生独立绘制直角坐标系；并且在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标，掌握数形结合，类比，归纳的思想方法，获得解决问题的成功体验。
2.目标解析1. 设计具有目标导向的情境问题，在探究中使学生自发的得出可以用有序数对表示物体的位置；并且培养学生热爱家乡的情操。
2.学生经历由实际问题逐步抽象为数学问题的过程，阅读材料并在已有知识的基础上，通过小组合作，利用数轴探究表示平面上点的方法，体会从一维空间到二维空间的过渡，构建数学模型，渗透数据分析、数学抽象、数学建模的核心素养；3.可以独立绘制平面直角坐标系，是直观想象素养的体现；在学习中的具体要求平面直角坐标系是建立平面上的点与有序数对之间联系的重要工具，通过借助平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标，并能根据坐标描出点的位置，让学生加深对概念理解的同时，归纳平面直角坐标系上的点与有序数对之间的一一对应关系，进一步发展直观想象的核心素养；4.在展示环节中鼓励学生勇于展示，善于展示，让学生体验成功，激发学生的探究精神。
优质课一等奖：《平面直角坐标系》教学设计
平面直角坐标系》教学设计七年级数学大阜村中学徐兵一、教学目标知识与技能：1．理解平面直角坐标系的有关概念，并能正确画出平面直角坐标系；2．能在给定的直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。
过程与方法：经历画坐标系、描点、看图等过程，让学生感受“数形结合”的数学思想。
情感态度与价值观：利用游戏、观察、实践、归纳等方法，积淀学生的数学文化涵养，培养热爱数学，勇于探索的精神。
二、教学重点、难点1．教学重点：使学生能正确画出平面直角坐标系，并能在给定的直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
2．教学难点：理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系。
三、教学方法探究式教学法。
从学生的生活经验和已有的认知水平出发，提出问题，让学生通过合作交流，解决问题，掌握新知。
四、教学准备多媒体课件。
五、教学设计（一）创设情境引入新课引例：我们的教室共有32 个座位，自前向后分为7 排，自左向右分为 5 列，每位同学对应了一个位置，我们来个“点将”的游戏，你们是“将”，由我来点。
同时说明游戏规则：（1）老师报出学生姓名，学生起立并说出座位号;（2）老师说出座位号，对应的同学起立。
再提问你是如何确定自己的座位？（二）讲解概念合作探究1、结合图形讲解平面直角坐标系的有关概念（1）在这个图中，我们使用了两条数轴。
请同学们观察一下，这两条数轴有何关系呢？根据学生回答，教师投影显示平面直角坐标系的概念。
（电脑突出显示坐标轴与原点）说明：通常横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向，两坐标轴的单位长度一般相同。
（2）为了便于研究，我们把 2 条坐标轴将平面分成的4个区域成为象限，按逆时针方向依次记作第一、二、三、四象限。
（教师课件演示）提醒：坐标轴不属于任何象限。
2、动手操作，师生互动（1）让学生画一个平面直角坐标系，单位长度为 1 厘米，教师巡视指导）（2）在直角坐标系中，由一对有序实数（a,b）可以确定一个点P的位置。
山东省优质课比赛一等奖---《平面几何》教学设计
山东省优质课比赛一等奖---《平面几何》教学设计该教学设计是本人在教授平面几何时的实践课程，获得了山东省优质课比赛的一等奖。
设计主要包括以下几个方面：课程背景本课程是高中数学课程中的一部分，学生已经研究过基础的平面几何知识。
课程内容本次课程将深入研究圆的相关知识，包括切线、切点、割线、割点等。
教学目标通过本次课程，学生将能够：- 理解圆的相关定义并能正确应用；- 掌握切线与切点、割线与割点的概念及应用；- 培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，同时也具有团队协作精神。
教学重点- 教学重点为切线与切点的应用；- 强化概念的逻辑关系，培养学生抓住关键点，进行问题分析解决的能力。
教学难点- 教学难点为割线与割点的应用，学生需要对此有至少基础的几何感性认识。
教学方法运用“导入-讲授-组织-实践-反馈”五个环节的教学法：- 导入：与学生交流有关圆的基础知识，建立一个良好的研究氛围；- 讲授：通过课件、板书、PPT等方式，讲授圆的相关定义及切割线的定义和性质；- 组织：将学生组织起来进行课堂小组讨论，并将结果汇报给其他组；- 实践：让学生结合题课进行巩固练；- 反馈：通过教师的及时反馈，让学生及时纠正错误，并根据反馈内容进行后续的复和巩固。
教学评估经过本次课堂教学，学生将进行个人总结并提交作业，教师将根据学生的作业质量以及小组讨论的表现进行综合评估，并给出合理的分数。
通过本次教学，学生们不仅仅在知识的理解方面有了提高，更在团队协作和个人解决能力方面得到了锻炼。
这次获得省优质课比赛的一等奖，让我在平面几何的教学上更有信心，同时也更好体会到教育的价值。
平面图形数学教案
平面图形数学教案标题：平面图形数学教案一、课程目标：1. 学生能够掌握并理解基本的平面图形，如圆形、三角形、正方形和矩形等。
2. 通过观察和实践，学生能够了解这些图形的特点和性质。
3. 培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 平面图形的基本定义2. 常见的平面图形：圆形、三角形、正方形和矩形3. 各种平面图形的特点和性质4. 如何使用简单的工具（如直尺和圆规）来绘制平面图形三、教学方法：1. 讲解法：教师首先讲解平面图形的基本概念和常见的平面图形。
2. 实践法：然后，让学生用直尺和圆规亲自绘制各种平面图形，以增强他们的空间想象能力和动手能力。
3. 讨论法：最后，组织学生讨论各种平面图形的特点和性质，以培养他们的逻辑思维能力和团队合作能力。
四、教学步骤：1. 引入主题：首先，教师可以通过提问或故事引入平面图形的主题，激发学生的学习兴趣。
2. 教授新知识：接着，教师开始讲解平面图形的基本定义和常见的平面图形。
在讲解过程中，教师可以使用实物或图片帮助学生理解。
3. 实践活动：然后，教师指导学生使用直尺和圆规绘制平面图形。
在这个过程中，教师应该鼓励学生独立思考和尝试，而不是仅仅模仿老师的示例。
4. 分组讨论：最后，教师组织学生分组讨论各种平面图形的特点和性质。
每个小组都需要准备一个报告，并在全班面前分享他们的发现。
五、教学评估：1. 观察学生在实践活动中的表现，看他们是否能够正确地使用直尺和圆规，以及他们对平面图形的理解程度。
2. 通过学生的分组讨论和报告，评估他们的逻辑思维能力和团队合作能力。
3. 在课程结束时，进行一次小测验，检查学生对平面图形的知识掌握情况。
六、教学反思：1. 根据学生的表现和反馈，反思自己的教学方法是否有效，是否需要改进。
2. 思考如何更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
七、课后作业：1. 绘制一幅包含多种平面图形的画。
2. 写一篇关于你最喜欢的平面图形的文章，描述它的特点和性质。
平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)
平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)叫做二面角的平面角，记作∠POQ。
二面角的大小等于其平面角的大小，即二面角的大小为∠POQ.二、两个平面互相垂直的判定1．判定定理两个平面互相垂直的充分必要条件是它们的法线互相垂直.2．应用举例1）判定两个平面垂直的方法：求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直即可.2）应用：在空间直角坐标系中，判定两个平面是否垂直，可以通过求出两个平面的法向量，然后判断法向量是否垂直来确定.3．注意事项1）两个平面垂直不一定相交；2）两个平面相交不一定垂直.三、教学反思本节课主要介绍了平面与平面垂直的判定，以及二面角的概念和求法.在教学过程中，我采用了实物观察、类比归纳、语言表达等多种教学方法，让学生通过实例感知概念的形成过程，通过类比已学知识，归纳出二面角的度量方法及两个平面垂直的判定定理.同时，也通过实验等方式激发学生的研究兴趣和探索意识，培养学生的观察、分析、解决问题能力.在教学中，我还注意到了两个平面垂直不一定相交，两个平面相交不一定垂直的注意事项，让学生在实际问题中更好地应用所学知识.P-AB-Q，若棱记作l，则二面角大小等于棱l的大小。
记作α-l-β或P-AB-Q。
若改变点O的位置，l-Q，则二面角的大小不变。
二面角的平面角定义为在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
该平面角的大小与O点位置无关，范围为[0.180°]，平面角为直角的二面角叫做直二面角。
平面与平面垂直的定义是，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。
一般地，两个互相垂直的平面通常画成一个平面过另一个平面的垂线。
平面α与β垂直，记作α⊥β。
两个平面互相垂直的判定定理是，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
例如，在图中，平面PAC⊥平面PBC，因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，且AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC。
优秀数学教学设计(优质3篇)
优秀数学教学设计（优质3篇）1.优秀数学教学设计第1篇一、教学内容分析:本节教材选自人教a版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。
本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。
二、学生学习情况分析：任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。
培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
五、教学重点与难点重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
六、教学过程设计(一)知识准备、新课引入提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面?有哪几种位置关系?并完成下表：(多媒体幻灯片演示) a??提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗?谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。
初中物理《平面镜成像》优质课教案、教学设计
初中物理《平面镜成像》优质课教案、教学设计平面镜成像》教学设计课标分析：本节课的课标要求是通过实验，探究平面镜成像时像与物的关系。
因此，本节课的教学目标为：能够说出平面镜成像的特点，知道平面镜成的是虚像，并通过探究物、像和镜面三者之间的关系，提高实验和思维能力，领略平面镜成像中的简洁对称之美。
一、教材分析：本节课是在研究了光的直线传播与光的反射的基础上，研究认识平面镜成像特点、原理和应用。
本节课的地位和作用非常重要，因为它是前两节课知识的应用。
另外，平面镜与生活联系紧密，本节课学生将首次较完整的研究“像”这个概念，为后面一章研究凸透镜成像奠定了基础。
因此，《平面镜成像》是这一章的重点内容之一，在整个几何光学中也有着十分重要的地位。
本节教材主要安排了一个《平面镜成像》的探究实验，这是培养学生重视实验和归纳，提高研究能力的好素材。
为今后做光学实验作了必要的准备。
二、研究目标：根据义务教育阶段以提高全体学生科学素质的总体目标与新课程标准的要求结合本节教材内容及学生已有的认识基础，加上自己对本节课的理解，确定本节的三维研究目标如下：知识与技能：1.知道平面镜成像的特点。
2.了解球面镜的作用。
3.理解平面镜在实际中的应用。
过程与方法：1.经历用实验探究平面镜成像特点的过程，重点培养设计实验和观察得出结论的能力。
2.研究用“等效代替”的方法确定虚像的位置，比较像与物的大小。
情感态度与价值观：1.探究“平面镜成像特点”中领略物理现象的美妙与和谐，获得发现成功的喜悦。
体会科学方法的神奇。
2.平面镜和球面镜在生活中的应用很普遍，可以解决生活中的许多实际问题，从而激发研究物理知识的兴趣。
三、重点和难点：本节课的重点是探究平面镜成像的特点过程，感受探究的各个环节。
学生对平面镜成像怀着浓厚的兴趣，探究平面镜成像特点的实验非常巧妙，让学生经历”探究平面镜成像特点”的过程，能更好的培养学生的探究能力，是学生领悟其中的道理，增强学生对科学实验的兴趣。
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平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，培养学生感性认识你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.加深学生对平面概念的理解.探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.（2）平面的表示法1：平面α，平面β.法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成点的集合. 点A在平面α内，记作：Aα∈. 点B在平面外，记作：Bα∉. 生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.师：大家画一下.学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一的平面α，使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”的公理1（板书）师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P ∉l；如果直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα⊂，否则就说直线l在平面α外，记作lα⊄.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线.师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：lP P lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.生1：三点可确定一个平面 师：不需要附加条件吗？ 生2：还需要三点不共线 师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点. 生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.典例分析例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 解：在（1）中，l αβ=，a A α=，aB β=.在（2）中，l αβ=，a α⊂，b β⊂，a l P =，b l P =.随堂练习 1．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）共点的三条直线可以确定几个平面？3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错学生独立完成 答案： 1．D2．（1）不共面的四点可确定4个平面.（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.3．（1）×（2）√（3）√（4）√4．（1）A α∈，B α∉. （2）M α∉，M α∈. （3）a α⊂，a β⊂.巩固所学知识备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α．∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α． 设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给αb adcG F EA a b cdα H K图1图2条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线.分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1CA 1C ⊂平面A 1C 又O ∈A1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O⇒O ∈平面BC 1D⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上.AC ∩BD = M ⇒M ∈平面BC 1D 且M ∈平面A 1C平面BC 1D ∩平面A 1C = C 1M⇒O ∈C 1M ，即O 、C 1、M 三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.⇒O ∈平面A 1CMO B 1C 1D 1A 1D CBA。