二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
二次函数的推理计算与证明综合问题（真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。
在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等 ）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．(可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)．3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12cx x a ⋅=【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；①若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；①当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；①若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；①直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；①若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2-m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a的取值范围．217．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；①若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2①若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；①当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；①当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；①若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+ bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n<1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；①若y1=y2=0，求x1的值（用含a的式子表示）；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．11/ 11。
2023年中考数学压轴题专题23 二次函数推理计算与证明综合问题【含答案】
专题23二次函数推理计算与证明综合问题【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P （2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x ﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．一．解答题（共20题）1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q （x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．（1）当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．①求抛物线解析式；②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为y p，当y p取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G 上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．15．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．16．（2022•开福区校级一模）已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．17．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与直线x＝2相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；（3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．18．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．19．（2022•亭湖区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣2（a为常数且a≠0）与y 轴交于点A．（1）点A的坐标为；对称轴为（用含a的代数式表示）；（2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为；（3）若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M（包含点A、B），若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．20．（2022•义安区模拟）已知抛物线的图象经过坐标原点O．（1）求抛物线解析式．（2）若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx+b恒过点（0，1），设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．②求证：无论k为何值，k1k2为定值．【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，∴，∵m＝n，∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；∴t＝2，∵c＝2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．（2）∵m＜n＜c，∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，解得﹣4a＜b＜﹣3a，∴3a＜﹣b＜4a，∴＜﹣＜，即＜t＜2．当t＝时，x0＝2；当t＝2时，x0＝3．∴x0的取值范围2＜x0＜3．【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y 的最大值即可；（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m＝或m＝（舍去）．综上所述，m＝﹣2或．【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P （2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x ﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac ＝0，两个方程联立即可求a、c的值；②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），∴2x+1＝x，解得x＝﹣1，∴和谐点为（﹣1，﹣1）；（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，∴＝a+15+c，∴c＝﹣a﹣，∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c＝﹣；②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．一．解答题（共20题）1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．【分析】（1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴和顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值；（2）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．若抛物线的顶点在x轴上，则a2﹣a﹣2＝0，∴a＝2或﹣1．（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，则Q（4，y2）关于直线x＝1对称点的坐标为（﹣2，y2），∴当a＞0时，若y1＜y2，m的取值范围为：﹣2＜m＜4；当a＜0时，若y1＜y2，m的取值范围为：m＜﹣2或m＞4．2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．【分析】（1）先化抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+1，依此可求抛物线的对称轴；（2）利用二次函数性质即可求得答案；（3）利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为x＝1；（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，∴1﹣x1＞1﹣x2，∴A离对称轴越远，若a＞0，开口向上，则y1＞y2，若a＜0，开口向下，则y1＜y2，（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，存在y1＝y2，则t+1＜1且t+2＞1，∴t＜0且t＞1，∴存在1﹣x1＝x2﹣1，即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，∴﹣1＜t＜0．3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）；（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．【分析】（1）由对称轴方程，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x＝0，求得y，答案可得；（2）利用当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝﹣＝2．令x＝0，则y＝2．∴抛物线y＝ax2﹣4ax+2与y轴的交点为（0，2）．故答案为：x＝2；（0，2）．（2）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝2，∴顶点在1≤x≤5范围内，∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，∴当a＜0时，抛物线开口向下，x＝5时y有最小值﹣6，∴25a﹣20a+2＝﹣6，解得a＝﹣，∴抛物线为y＝﹣x2+x+2当x＝2时，y＝﹣×22+×2+2＝，∴此时y的最大值为．当a＞0，抛物线开口向上，x＝2时y有最小值﹣6，∴4a﹣8a+2＝﹣6，解得a＝2，∴抛物线为y＝2x2﹣8x+2，当x＝5时，y＝2×25﹣8×5+2＝12，∴此时y的最大值12．综上，y的最大值为12．4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．【分析】（1）直接将点（1，2）代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；（2）利用题意，﹣＝＝＝﹣1求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）利用顶点公式求得x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，由a＜0且a≠﹣1即可判断x＜0，y＞0，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限．【解答】解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．【分析】（1）根据对称轴公式x＝﹣，即可求出b的值，由抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3即可求得c的值；（2）①由（1）可得抛物线C1的解析式，从而可得抛物线C1的顶点P的坐标，由抛物线C2经过抛物线C1的顶点可得n＝﹣m﹣3，从而可得抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，根据对称轴公式x＝﹣，即可求出顶点Q的坐标，再将点Q的横坐标代入抛物线C1的解析式中，即可证明；②先分别求出点P和点Q的横坐标，由①可得n＝﹣11，设点E横坐标为x，由点E在抛物线C1上可表示出纵坐标，由题可知点F与点E横坐标相同，代入抛物线C2的解析式中可得点F纵坐标，即可求解．【解答】（1）解：∵抛物线C1：y＝x2+bx+c对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3，∴x＝﹣＝1，c＝﹣3，∴b＝﹣2；（2）①证明：∵抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，∴顶点P的坐标为：（1，﹣4），∵抛物线C2经过抛物线C1的顶点，∴﹣4＝﹣12+m+n，∴n＝﹣m﹣3，∴抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，∴对称轴为：直线x＝﹣＝，将x＝代入y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，得：y＝﹣m﹣3，∴点Q坐标为：（，﹣m﹣3），将x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，得：y＝﹣m﹣3，∴点Q也在抛物线C1上；②解：由①知n＝﹣m﹣3，∵m＝8，∴n＝﹣11，∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+8x﹣11，对称轴为：直线x＝＝4，设点E横坐标为x，∵点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，∴点E坐标为（x，x2﹣2x﹣3），1＜x＜4，∵过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，∴点F横坐标为x，∴点F坐标为（x，﹣x2+8x﹣11），∴EF＝﹣x2+8x﹣11﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3＝﹣2x2+10x﹣8＝﹣2（x2﹣5x+4）＝﹣2（x2﹣5x+）+＝﹣2（x﹣）2+，∴当x＝时，EF取得最大值，最大值为，∴EF长度的最大值为．6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q （x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据二次函数的性质判断即可；（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，由MN≤5，则（x1﹣x2）2≤25，所以（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5），∴，解得，∴抛物线为y＝x2+4x，∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4）；（2）∵抛物线为y＝x2+4x的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，∵点P（2，c）关于对称轴的对称点为（﹣6，c），∵x0＞﹣6，∴当﹣6＜x0＜2时，则c＞y0；当x0≥2时，则c≤y0；（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，∵直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），∴x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，∵MN≤5，∴（x1﹣x2）2≤25，∴（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得m≤，∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），∴函数的最小值为﹣4，∴﹣4＜m≤．7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．【分析】（1）证明y1＝y2时，方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；（2）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得b，由b的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值；（3）把点A（x1，a）、点D（x1+2，c）代入y2＝x（2x+m）+n，根据a＞c得x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1＝﹣，代入求解即可．【解答】（1）证明：当y1＝y2时，得2x+m+n＝x（2x+m）+n，化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，∴方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，∴y1，y2的图象必有交点；（2）解：当y1＝y2时，2x+m+n＝x（2x+m）+n，化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，（2x+m）（x﹣1）＝0，∵m＞0，x1＜x2，∴x1＝﹣，x2＝1，∴b＝2+m+n，当y＝2+m+n时，y2＝x（2x+m）+n＝2+m+n，化简为：2x2+mx﹣m﹣2＝0，2x2﹣2+mx﹣m＝0，2（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝0，（2x+m+2）（x﹣1）＝0，解得，x＝1（等于x2），或x＝，∴x3＝，∴x3﹣x1＝﹣（﹣）＝﹣1；（3）解：∵点D（x1+2，c）在y2的图象上，∴c＝（x1+2）[2（x1+2）+m]+n＝2（x1+2）2+m（x1+2）+n．∵点A（x1，a）在y2的图象上，∴a＝x1（2x1+m）+n．∵a＞c，∴a﹣c＞0，∴x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1＝﹣，∴4×（﹣）+4+m＜0，﹣2m+4+m＜0，﹣m+4＜0，m＞4，∴m的取值范围为m＞4．8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）由二次函数的对称性及AB＝4可得点A，B坐标，进而求解．（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'坐标，由抛物线开口向下可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2﹣1＝（x﹣2m）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2m，﹣1）．（2）∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB＝4，对称轴为直线x＝2m，∴抛物线经过（2m+2，n），（2m﹣2，n），将（2m+2，n）代入y＝（x﹣2m）2﹣1得n＝22﹣1＝3．（3）点P（2m+1，y1）关于抛物线对称轴的对称点P'坐标为（2m﹣1，y1），∵抛物线开口向上，∴当2m﹣t＞2m+1或2m﹣t＜2m﹣1时，且y1＜y2，解得t＜﹣1或t＞1．9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．（1）当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．①求抛物线解析式；②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．【分析】（1）①由交点横坐标及直线解析式可得交点坐标，然后通过待定系数法求解．②由抛物线开口方向及交点横坐标求解．（2）由y＝y1﹣y2，M＝N可得m，n为方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系进行证明．【解答】解：（1）①将x＝﹣1和x＝2分别代入y2＝x+1得y2＝0，y2＝3，∴抛物线经过（﹣1，0），（2，3），∴，解得，∴y1＝﹣x2+2x+3．②∵抛物线y1＝﹣x2+2x+3开口向下，抛物线与直线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），∴﹣1＜x＜2时，y1＞y2．（2）∵y＝y1﹣y2＝ax2+bx+3﹣（x+1）＝ax2+（b﹣1）x+2，∴x＝m时，M＝am2+（b﹣1）m+2，x＝n时，N＝an2+（b﹣1）n+2，∴m，n为方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得m+n＝﹣＝1，∴b﹣1＝﹣a，∴a+b＝1．10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．【分析】（1）由Δ＝b2﹣4ac＞0证明．（2）将点A坐标代入解析式求解．（3）分类讨论，通过数形结合求解．【解答】解：（1）令x2﹣（m+2）x+m＝0，则Δ＝（m+2）2﹣4m＝m2+4＞0，∴方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个不相等实数根，∴二次函数的图象与x轴总有两个交点．（2）将（2m+1，7）代入y＝x2﹣（m+2）x+m得7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，解得m＝2或m＝﹣2，当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，当m＝﹣2时，y＝x2﹣2．（3）①当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，令x2﹣4x+2＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0），如图，当直线y＝x+t经过（2+，0）时，2++t＝0，解得t＝﹣2﹣，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，令x2﹣4x+2＝x+t，整理得x2﹣5x+2﹣t＝0，则Δ＝52﹣4（2﹣t）＝17+4t＝0，解得t＝﹣，∴﹣＜t＜﹣2﹣满足题意．②同理，当m＝﹣2时，y＝x2﹣2，将x＝0代入y＝x2﹣2得y＝﹣2，∴抛物线经过（0，﹣2），将（0，﹣2）代入y＝x+t得t＝﹣2，令x2﹣2＝x+t，由Δ＝1﹣4（﹣2﹣t）＝0可得t＝﹣，∴﹣＜t＜﹣2满足题意．综上所述，﹣＜t＜﹣2﹣或﹣＜t＜﹣2．11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为y p，当y p取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将（﹣1，﹣2）代入解析式求解．（2）将x＝﹣2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得y p取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．（3）分别将点A，B坐标代入解析式求解．【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2，解得m＝﹣1，∴y＝x2+2x﹣1．（2）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得y P＝m2+4m+2＝（m+2）2﹣2，∴m＝﹣2时，y p取最小值，∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴x＜﹣2时，y随x增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2．（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2），∴抛物线随m值的变化而左右平移，将（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2，解得m＝2或m＝﹣2，将（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2，解得m＝0或m＝4，∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点．∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4．12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．【分析】（1）将（2，1）代入函数解析式求解．（2）由当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得抛物线对称轴为y轴，从而可得a的值，然后将x＝2代入解析式判断．（3）由b≤﹣2时，m≤n恒成立，可得抛物线开口向下，求出点E关于对称轴对称的点坐标，列不等式求解．【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝a（x﹣1）（x﹣）得1＝a（2﹣），解得a＝2，∴y＝2（x﹣1）（x﹣）．（2）∵y＝a（x﹣1）（x﹣），∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（，0），∴抛物线对称轴为直线x＝，∵x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴抛物线对称轴为值x＝0，即1+＝0，解得a＝﹣3，∴y＝﹣3（x﹣1）（x+1），将x＝2代入y＝﹣3（x﹣1）（x+1）得y＝﹣9，∴点（2，﹣9）在抛物线上．（3）∵抛物线对称轴为直线x＝，∴点E（0，n）关于对称轴对称的点E'（1+，n），∵当b≤﹣2时，m≤n恒成立，∴抛物线开口向下，即a＜0，且﹣2≤1+，解得a≤﹣1．13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．【分析】（Ⅰ）将点A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；（Ⅱ）（i）设P（t，0），分两种情况讨论：当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，通过证明△PND≌△AOP（AAS），可得D（t+2，﹣t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，从而求出D的坐标；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t﹣2，t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，即可求解；（ii）分两种情况讨论：当D点在x轴下方时，当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，P（2，0）；当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，可证明△GAF≌△APO（AAS），从而得到GF＝2，则E点与G点重合，OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，求出P（﹣，0）．【解答】解：（Ⅰ）将点A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），得﹣12a＝﹣2，∴a＝，∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点为（，﹣）；（Ⅱ）（i）令a（x+3）（x﹣4）＝0，解得x＝4或x＝﹣3，∴B（4，0），设P（t，0），如图1，当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，∵∠APD＝90°，∴∠OPA+∠NPD＝90°，∠OPA+∠OAP＝90°，∴∠NPD＝∠OAP，∴△PND≌△AOP（AAS），∴OP＝ND，AO＝PN，∴D（t+2，﹣t），∴（t+5）（t﹣2）＝﹣t，解得t＝1或t＝﹣10，∴D（3，﹣1）或（﹣8，10）；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t﹣2，t），∴t＝（t﹣2+3）（t﹣2﹣4），解得t＝，∴D（，）或（，）；综上所述：D点坐标为（3，﹣1）或（﹣8，10）或（，）或（，）；（ii）如图2，当D点在x轴下方时，∵PE平分∠APD，∴∠APE＝∠EPD，∵∠APD＝90°，∴∠APE＝45°，当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，∴P（2，0）；如图3，当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，∵∠PAF+∠FAG＝90°，∠FAG+∠FGA＝90°，∴∠PAF＝∠FGA，∵PE平分∠APD，∠APD＝90°，∴∠APE＝∠EPD＝45°＝∠AGP，∵AP＝AG，∴△GAF≌△APO（AAS），∴AF＝OP，FG＝OA，∵OA＝2，∴GF＝2，∵E（2，﹣），∴E点与G点重合，∴OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，∴P（﹣，0）；综上所述：P点坐标为（2，0）或（﹣，0）．14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G 上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即可求解；（2）①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式求解即可；②按第一种情况：当点A是最高点，可得m＞1或m＜﹣，第二种情况：当点B是最高点，得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答；（3）分情况讨论：①当m＜﹣1时，②当﹣1≤m≤1时时，③当1＜m＜2时，④当2＜m＜3时，⑤当m＝3，⑥当3≤m＜4时，⑦当m＝4时，⑧当m＞4时，分别画出图形求解即可．【解答】解：（1）把（0，﹣1）和（2，7）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）①当x＝﹣1﹣2m时，y＝（﹣1﹣2m+1）2﹣2＝4m2﹣2，∴B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，则AC＝BC，又∵点C在抛物线对称轴x＝﹣1上，∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，∴A（2m﹣1，4m2﹣2），∵点A的横坐标为m，∴2m﹣1＝m，解得：m＝1，∴A（1，2），B（﹣3，2），∵由（1）得，C（﹣1，﹣2），＝[1﹣（﹣3）]×[2﹣（﹣2）]＝8；∴S△ABC②∵A（m，（m+1）2﹣2），B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣时，则h＝（m+1）2﹣2﹣（﹣2）＝（m+1）2；当点B是最高点，即0≤m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣（﹣2）＝4m2，综上，h与m之间的函数关系式为：h＝（m+1）2（m＞1或m＜﹣）或h＝4m2（0≤m＜1）；（3）①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：。
二次函数综合题--二次函数与线段有关的问题(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与线段有关的问题（专题训练）1.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．2.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234P P P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P 右侧）．3.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （－1，0）和点B （0，3），顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP ＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．5.如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值：x…1-0123…y …03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8.已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；②当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE+BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与 AOG 相似，求点D 的坐标．10.如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，二次函数y ＝ax 2+bx+x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．14，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC 恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m=12时，求点P的坐标；②求m的最大值．15.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．16.已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．17.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连结PB，求35PC+PB的最小值．。
备战中考数学复习《二次函数》专项综合练习附答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．3．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB ，∴MA =MB ，由三角形的三边关系，|MA ﹣MC |＜BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA ﹣MC |最大，为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y =kx +b （k ≠0），则03k b b +=⎧⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =﹣3x +3．∵抛物线y =x 2﹣4x +3的对称轴为直线x =2，∴当x =2时，y =﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M （2，﹣3），使|MA ﹣MC |最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD 的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M 的位置是解题的关键．4．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【点睛】 本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知， 方程的两根为：2572m m x （）-±-=- 即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．7．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P1（3+5，152-），P2（352，1+52），P3（5+52，1+52），P4（55-，152-）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E （3，3），易得OE 的解析式为：y=x ，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，∴G （m ，m ），∴PG=m-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-3，∴S 四边形AOPE =S △AOE +S △POE ， =12×3×3+12PG•AE ， =92+12×3×（-m 2+5m-3）， =-32m 2+152m ， =32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：5+555- ∴P 5+51+555-152）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：3+535；P3+5152-35，1+5综上所述，点P的坐标是：（52，1+52）或（552-，1523+515-35，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.9．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +； （2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4）， 如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO =PEOC，即4t=523t-，解得15129±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，52=526，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为4915129±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -， 解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1， 当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54）， 此时，DM+MN 的值最小为22D H NH '+=2246+=213．点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。
中考数学 二次函数 综合题含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3=联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3=联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）． 【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．2．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；y ＝﹣x +1；（2）当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为102 【解析】 【分析】（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论． 【详解】（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278． ∵﹣32＜0， ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，154）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），∴AC＝，AN ， ∴C△ANM ＝AM +MN +AN ＝AC +AN ＝．∴在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为+【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣32x2﹣32x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．3．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。
中考数学 二次函数综合试题含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x2+32x+2；（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，-2）．设直线BD的解析式为y=kx-2．∵将（4，0）代入得：4k-2=0，∴k=12．∴直线BD的解析式为y=12x-2．当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，∴-2x+8=-21x2+32x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），①当A1、C1在抛物线上时，∴()2213yx x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩， ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】【分析】 （1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF 2EH EF ==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4），∵B （3，0），∴直线BC ：4 y 43x =-+ ∵DA ＝DB ， △DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ，连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小，∵AC 为定值，∴此时△DAC 的周长，当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ，∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF 2EH EF==， ∵AB ＝4，∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4）∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4，∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形，①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7，∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，△NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125，∴PH＝BH＝125，BP＝245，∴OP＝BP﹣OB＝249355-=，∴P3（﹣95，0）；③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，∴△NOB∽△PKB，∴PB BKBN OB=∴PB＝83，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣83＝13P4（13，0）综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键3．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92， ∴C （2，92），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t ，∴P （2+t ，92﹣t ）， 把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=92﹣t ， 整理得t 2﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴线段CD 的长为2； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52）， ∵抛物线平移，使其顶点C （2，92）移到原点O 的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位， 而P 点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ， ∴E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ）， 当m ＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M 点坐标为（0，72）； 当m ＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M 点坐标为（0，﹣72）； 综上所述，M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.4．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
九年级数学中考复习二次函数压轴题代数推理题中考真题含答案解析
代数推理题11.B(2019·温州改编)已知抛物线y＝－x2＋2x＋6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．把点B向上2平移m(m＞0)个单位得点B1，若点B1向左平移n(n＞0)个单位，将与该抛物线上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数上的点B3重合．求m，n的值．2.B（2019·如皋）已知二次函数y＝－x2＋bx－c的图象与x轴的交点坐标为（m－2，0）和（2m＋1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y＝1时，自变量x有唯一的值，求二次函数的解析式．3.B（2018·南通）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－5k(k为常数)向右平移12个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值3，求k的值．2-3)和B(3，0)．4.B（2019·海淀一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(0，（1）若抛物线在A，B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；（2）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点M(-1+m，n)，N(4-m，n)？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值；若不能，请说明理由．5.B（2019·南通）已知在同一直角坐标系中，若该二次函数＝x2－4x＋3a＋2（a为常数）的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，求a的取值范围．6.B如图，平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═关于点O对称，一次函数y2=k(x＞0)的图象上，点A′与点Ax1x+n的图象经过点A′．过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，2以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．7.B（2020·顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=1x2+nx-m与y轴交于点A，将点A向左m平移3个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求抛物线的对称轴；（2）已知点P(-1，-m)，Q(-3，1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．8.C（2019·通州区期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点.（1）求证：am＋b＝0；（2）若该二次函数的最大值为-1，当x＝1时，y≥3a，求a的取值范围.4。
重难题型六 二次函数综合题——三阶 综合提升练+++课件+2025年中考数学人教版一轮复习(广西)
S2＝12 PN•|xA－xB|＝－12 t2＋2，∴S＝S1＋S2＝4t＋8， 当t＝2时，S的最大值为16.
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2．(2024•湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，P(x1， y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
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∵DE⊥OB，∴DE∥AC，∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
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(1)解：∵二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)， ∴5＝－4＋c，∴c＝9，∴y＝－x2＋9.
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(2)证明：易得B(3，0)， 设直线AB的解析式为y＝kx＋b， ∴ －2k＋b＝5，∴ k＝－1，
3k＋b＝0， b＝3， ∴直线AB的解析式为y＝－x＋3， 设P(x1，－x12＋9)， 则Q[x1＋3，－(x1＋3)2＋9]，D(x1，－x1＋3)，
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(“一阶
重难题型六 二次函数综合题 ——三阶 综合提升练
方法技巧突破练”、“二阶 考向多维设问练”见本 书P65)
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类型一：二次函数中的线段问题 (2024T25，2018－2017T26)
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1．(2017•北部湾第26题10分)如图，已知抛物线y＝ax2－2 3ax－9a与坐标 轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交 BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N. (1)直接写出a的值，点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
二次函数综合题--二次函数与直角三角形有关的问题(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C （0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()())222222323182m m m m m m-+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M ⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2.（2021·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连结BC 、BE 、CE ．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE 的形状，并说明理由；（3）如图2，以C 为半径作⊙C ，在⊙C 上是否存在点P ，使得BP ＋12EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12-x 2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，2【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E （2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a （x-2）2+8，∵与y 轴交于点C （0，6），∴把点C （0，6）代入得：a=12-，∴该抛物线的表达式为y=12-x 2+2x+6；（2）△BCE 是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，∴当y=0时，12-（x-2）2+8=0，解得：x 1=-2，x 2=6，∴A （-2，0），B （6，0），∴BC 2=62+62=72，CE 2=（8-6）2+22=8，BE 2=（6-2）2+82=80，∴BE 2=BC 2+CE 2，∴∠BCE=90°，∴△BCE 是直角三角形；（3）如图，在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．连接CP ，∵CP 为半径，∴12CF CP CP CE ==，又∵∠FCP=∠PCE ，∴△FCP ∽△PCE ，∴12CF FP CP PE ==，FP=12EP ，∴BF=BP+12EP ，由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即BP+12EP 为最小值．∵CF=14CE ，E （2，8），∴F （12，132），∴2【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．3.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【分析】（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ；（3）QMN 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =∠=︒，；②当90QN MN QNM =∠=︒，；③当90QM QN MQN =∠=︒，．【详解】解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c=++得04a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩又∵顶点D 的坐标为()1,4-∴12ba-=-∴解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）∵()3,0B 和()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x =-∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B，则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，则直线1CP 的解析式为23y x =-，结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，解得：10x =（舍），24x =，故()14,5P ．②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，∵直线1CP 的解析式为23y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ∴OCE FCG∠=∠又∵OC=CG ，90COE G ∠=∠=︒∴OEC △≌()GFC ASA ，∴32FG OE ==，33,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由()0,3C -可得直线CF 的解析式为132y x =-，结合抛物线223y x x =--可知212332x x x --=-，解得10x =（舍），252x =，故257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）∵()3,0B ，()0,3C -∴直线BC 的解析式为3BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m----=-∵()1,0A -，()0,3C -∴直线BC 的解析式为33AC y x =--∵QMN 为等腰直角三角形∴①当90QM MN QMN =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为33m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴4=33m mQM m ⎛⎫--=⎪⎝⎭∴24=33mm m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90QN MN QNM =∠=︒，则Q 点的坐标为222233m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴222=33m m m mQM m -+-=∴22=33m mm m +-解得：10m =（舍去），25m =，32m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；③当90QM QN MQN =∠=︒，时，如图所示则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222m m m m m m m -+--=----∴Q 点的坐标为22111136622m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666m m m m m--=∴22511+=3662m m m m ⋅-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．4.（2021·湖北中考真题）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF 的面积；（3）若()3,P t 是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求PQ 的最小值（用含t 的代数式表示）．【答案】（1）263y x x =-+-；（2）4；（3）6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【分析】（1）与y 轴相交于点()0,3C -，得到3b =-，再根据抛物线对称轴，求得1a =-，代入即可．（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，可知E 、F 两点关于对称轴对称，DEF 是等腰直角三角形得到45FED ∠=︒，设(,)(0)E m n n >，根据等腰直角三角形的性质求得E 点坐标，从而求得DEF 的面积．（3）(,)(6)Q p q q ≤，根据距离公式求得222(21)6PQ q t q t =-+++，注意到q 的范围，利用二次函数的性质，对t 进行分类讨论，从而求得PQ 的最小值．【详解】解：（1）由抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -得到3b =-抛物线的对称轴为3x =，即232b a--=，解得1a =-∴抛物线的方程为263y x x =-+-（2）过点E 作EM AB ⊥交AB 于点M ，过点F 作FN AB ⊥，交AB 于点N ，如下图：∵DEF 是等腰直角三角形∴DE DF =，45FED ∠=︒又∵EF x ∥轴∴45EDM ∠=︒∴EMD 为等腰直角三角形∴EM DM=设(,)(0)E m n n >，则(,0)M m ，3,DM m EM n=-=∴3n m=-又∵263n m m =-+-∴2363m m m -=-+-2760m m -+=解得1m =或6m =当1m =时，2n =，符合题意，2,4DM EM MN ===142DEF S MN EM =⨯=△当6m =时，30n =-<，不符合题意综上所述：4DEF S = ．（3）设(,)(6)Q p q q ≤，Q 在抛物线上，则263q p p =-+-222222(3)()692PQ p q t p p q tq t =-+-=-++-+将263q p p =-+-代入上式，得222(21)6PQ q t q t =-+++当112t >时，2162t +>，∴6q =时，2PQ 最小，即PQ 最小22223612661236(6)PQ t t t t t =--++=-+=-PQ =6(6)6116(6)2t t t t t -≥⎧⎪-=⎨-<<⎪⎩当112t ≤时，2162t +≤，∴212t q +=时，2PQ 最小，即PQ 最小22344t PQ -=，2PQ =综上所述6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公5.（2020•泸州）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B 的直线交y 轴于点D ，交线段AC 于点E ，若BD ＝5DE ．①求直线BD 的解析式；②已知点Q 在该抛物线的对称轴l 上，且纵坐标为1，点P 是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l 右侧，点R 是直线BD 上的动点，若△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；②先确定出点Q的坐标，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），得出PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH＝GQ=−12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（−12x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，∴a=−12，∴抛物线的解析式为y=−12（x+2）（x﹣4）=−12x2+x+4；（2）①如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+b'，将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得−2k+b'=0b'=4，∴k=2b'=4，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，过点E作EF⊥x轴于F，∴OD∥EF，∴△BOD∽△BFE，∴OB BF=BD BE，∵B（4，0），∴OB＝4，∵BD＝5DE，∴BD BE=BD BD+DE=5DE5DE+BE=56，∴BF=BE BD×OB=65×4=245，∴OF＝BF﹣OB=245−4=45，将x=−45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（−45）+4=125，∴E（−45，125），设直线BD的解析式为y＝mx+n，∴4m+n=0−45m+n=125，∴m=−12n=2，∴直线BD的解析式为y=−12x+2；②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点Q（1，1），如图2，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，∴PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+4﹣1=−12x2+x+3，∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，∴∠GPQ+∠PQG＝90°，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，∴∠PQG+∠RQH＝90°，∴∠GPQ ＝∠HQR ，∴△PQG ≌△QRH （AAS ），∴RH ＝GQ =−12x 2+x+3，QH ＝PG ＝x ﹣1，∴R （−12x 2+x+4，2﹣x ），由①知，直线BD 的解析式为y =−12x+2，∴x ＝2或x ＝4（舍），当x ＝2时，y =−12x 2+x+4=−12×4+2+4＝4，∴P （2，4）．6.（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，抛物线24y ax bx =+-经过A （－3，6），B （5，－4）两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB 平分CAO ∠；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）215466y x x =--；（2）详见解析；（3）存在，点M 的坐标为（52，－9）或（52，11）．【解析】【分析】（1）将A （-3，0），B （5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值；（2）先求得AC 的长，然后取D （2，0），则AD=AC ，连接BD ，接下来，证明BC=BD ，然后依据SSS 可证明△ABC ≌△ABD ，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD ；（3）作抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ，作点A 作AM′⊥AB ，作BM ⊥AB ，分别交抛物线的对称轴与M′、M ，依据点A 和点B 的坐标可得到tan ∠BAE=12，从而可得到tan ∠M′AE=2或tan ∠MBF=2FM 和M′E 的长，故此可得到点M′和点M 的坐标．【详解】解:（1）将A （-3，0），B （5，-4）两点的坐标分别代入，得9340,25544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得1,65,6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为y ＝215466y x x =--．（2）证明：∵AO=3，OC=4，∴．取D （2，0），则AD=AC=5．由两点间的距离公式可知=5．∵C （0，-4），B （5，-4），∴BC=5．∴BD=BC ．在△ABC 和△ABD 中，AD=AC ，AB=AB ，BD=BC ，∴△ABC ≌△ABD ，∴∠CAB=∠BAD ，∴AB 平分∠CAO ；（3x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为x=52，则AE=112．∵A （-3，0），B （5，-4），∴tan ∠EAB=12．∵∠M′AB=90°．∴tan ∠M′AE=2．∴M′E=2AE=11，∴M′（52，11）．同理：tan ∠MBF=2．又∵BF=52，∴FM=5，∴M （52，-9）．∴点M 的坐标为（52，11）或（52，-9）．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M′E 的长是解题的关键7.（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以,,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【解析】【分析】（1）根据直线6y x =-求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =231236m m -++，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线6y x =-过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点C ，代入，03666b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：56b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：256y x x =-++；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，256m m -++），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=256m m -++-m+6=2412m m -++，∴S △BMD =S △MNB +S △MND =()2141262m m ⨯-++⨯=231236m m -++=-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点N 的纵坐标相等，即Q （0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME，∴△MEQ∽△QFN，∴ME EQQF FN=，即21242nn-=+，解得：n=4+或4-，∴点Q（0，4+）或（0，4-），综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.。
二次函数多结论压轴小题精选30道(必考点分类集训)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册
二次函数多结论压轴小题精选30道1．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）①abc ＞0；②b 2＞4ac ；③a ﹣b +c ＜0；④2a ﹣b ＞0；⑤a +c ＜1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc ＜0，②a +b +c ＝2，③a ＞12④0＜b ＜1中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．（2024•凤凰县模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确结论个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．（2024•汝阳县一模）图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④|a+c|＜|b|．其中正确的个数有（ ）A．1B．2C．3D．45．（2024•斗门区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x 的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（ ）A．5B．4C．3D．27．（2024•旺苍县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个8．（2023秋•龙港区期中）函数y＝ax2+bx+c与y＝kx的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＝0；③x＝﹣2时，函数y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c有最大值；④关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝﹣3，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．49．（2023•石城县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax21+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤10．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个11．（2024•高青县校级一模）小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个12．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x ＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2024•桃江县一模）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（2，﹣a ）（如图所示），则下列说法：①abc ＜0；②（a +b ）2≥c ；③关于x 的方程ax 2+bx ＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a ≤0．则正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．（2023秋•中山市校级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a +b ＝0；②3a +c ＞0；③m 为任意实数，则a +b ＞am 2+bm ；④若A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2＝2，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④15．（2023秋•西城区校级月考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①a ＜0；②9a +3b +c ＞0；③c ＞0；④﹣3＜―b 2a＜0其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．（2023•东港区校级三模）函数y ＝x 2+bx +c 与y ＝x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b +c ＝0；③2b +c +3＝0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0其中正确的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．117．（2023•双台子区校级一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，给出四个结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b +c ＞0；③对于任意实数m ，有am 2+bm +c ＜a ﹣b +c ；④c a ＞―3，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④18．（2023•遂溪县模拟）如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，对称轴是直线l ，则以下说法：①a ﹣b +c ＝0；②4a +b ＝0；③ab c＞0；④16a +5b +2c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419．（2023秋•义乌市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ）A．①②③B．②③④C．①④D．②③20．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜―b a ；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个21．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大⑥一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a﹣b 成立．上述结论，正确的是（ ）A．①②⑤B．②③④C．②③⑥D．③④⑤22．（2023•广东模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＜0；②2a ﹣b +c ≤0；③3b ﹣2c ＜0；④对任意实数m ，都有2am 2+2bm ﹣b ≥0．其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④23．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①abc ＜0；②3a +b ＞―13c ；③2c ＜3b ；④（k +1）（ak +a +b ）≤a +b ，其中正确的是（ ）A ．①③④B ．C ．①④D ．②③④24．（2024•黄石模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点（x 1，0），（2，0），其中﹣1＜x 1＜0．下列四个结论：①abc ＜0；②a ﹣b +c ＞0；③2b ﹣c ＜0；④不等式ax 2+bx +c ＞―c 2x +c 的解集为0＜x ＜2．其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④25．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝mx +n 与抛物线y 2=ax 2+bx ―3相交于点A ，B ．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x ＜2时，y 1＞y 2；②x ＝﹣3是方程ax 2+bx ﹣3＝0的一个解；③若（﹣4，t 1），（1，t 2）是抛物线上的两点，则t 1＞t 2；④对于抛物线y 2=ax 2+bx ―3，当﹣3＜x ＜2时，y 2的取值范围是0＜y 2＜5．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个26．（2024•东港区校级一模）如图，抛物线 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）①不等式ax 2+c ＜﹣bx 的解集为x ＜﹣1或x ＞3；②9a 2﹣b 2＜0；③一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两个根分别为x 1=13，x 2＝﹣1；④6≤3n ﹣2≤10．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二．填空题（共4小题）27．（2024•射洪市一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示（1＜x ＝h ＜2，0＜x A ＜1）．下列结论：①abc ＜0；②2a +b ＞0；③若OC ＝2OA ，则2b ﹣ac ＝4；④3a ﹣c ＜0．其中正确的有 ．（只填写序号）28．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b ＞0；②b ＜a +c ；③c ＜4b ；④a +b ＜k 2a +kb （k 为常数，且k ≠1）．其中正确的结论序号是 ．29．（2023秋•青山区期末）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（2，c ），且满足a ﹣b +c ＝0．下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝1；②b 与c 同号；③若a +2b +4c ＞0，则不等式ax 2+bx +c ＜﹣2ax ﹣a ﹣b 的解集﹣2＜x ＜2；④抛物线上的两个点M （m ﹣1，y 1），N （m +2，y 2），当c ＜0，且y 1＞y 2时，m ＜12．其中一定正确的是 .（填写序号）30．（2023秋•城厢区校级月考）如图，是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），点A 和点B 均在直线y 2＝mx +n （m ≠0）上．①2a +b ＝0；②abc ＞0；③抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣4，0）；④方程ax 2+bx +c ＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a ﹣b +c ＜4m +n ；⑥不等式mx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为1＜x ＜4．其中正确的是 ．。
初三数学 二次函数较高难度综合题(含详细答案)
绝密★启用前2015-2016学年度二次函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图像如图所示，其对称轴为x =1，有如下结论：① c ＜1 ②2a +b =0 ③2b ＜4a c ④若方程02=++c bx ax 的两个根为1x ，2x ，则1x +2x =2.则结论正确的是【 】A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2．如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．x ＜－1或x ＞53．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）.4．在同一平面直角坐标系内，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是（ ）5．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（0，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④6．若函数y=mx ²+（m+2）12m+1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ）A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－27．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图，有下列5个结论：①abc ＞0；②b＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m （am ＋b ）（m ≠1的实数）其中正确的结论个数有（ ）-1O x =1y xA 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8．已知抛物线2(41)21y x m x m =-++-与x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点（0，12-）的下方，那么m 的取值范围是（ ）A ．1164m << B ．16m < C ．14m > D ．全体实数9．在同一坐标系中，函数2y ax b =+与2y bx ax =+的图象，只可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k 和函数y=﹣kx 2+4x+4（k 是常数，且k ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下，则a 的值为（ ）A ．1 D 12．抛物线222y x x =-＋-经过平移得到2y x =-，平移方法是（ ）A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位13．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，其对称轴为直线x =−1，给出下列结果：（1）b 2>4ac ；（2）abc ＞0；（3）2a +b =0；（4）a +b +c >0；（5）a −b +c <0．则正确的结论是（ ）A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（4）（5）二、填空题（题型注释）14．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a >）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b+c 的值为 ．15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②248b ac a ->-；③4a+c ＜0；④2a －b+l ﹤0．其中正确的结论是（填写序号） ．16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a-b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是______．A ．②③B ．①②C ．③④D ．①④17． 抛物线a bx ax y 32-+=经过A （1-，0）、C （0，3-）两点，与x 轴交于另一点B 。