离散数学及其应用图论部分课后习题答案

作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。

（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。

（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。

14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。

解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。

15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。

解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。

解答：（1）三条边一共提供6度；所以点度序列可能是①3，3，0，0，0，0；②3，2，1，0，0，0；③3，1，1，1，0，0；④2，2，2，0，0，0；⑤2，2，1，1，0，0；⑥2，1，1，1，1，0；⑦1，1，1，1，1，1； 由于是简单图，①②两种情形不可能 图形如下：（2）三条边一共提供6度，所以点度序列可能为 ①3，3，0；②3，2，1；③2，2，2 由于是简单图，①②两种情形不可能21、在图9.20中，下述顶点序列是否构成通路？哪些是简单通路？哪些是初级通路？哪些是回路？哪些是简单回路？哪些是初级回路？（1）,,,,,a b c d b e ；（2）,,,,,a b e d b a ；（3）,,,,a d c e b ；（4）,,,,;d b a c e（5）,,,,,,,a b c d e b d c ；（6）,,,,,,a d b e c b d ；（7）,,,,c d a b c ；（8）,,,,a b c e b 解答：（1）构成通路，且为初级通路，因为点不重复（2）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边(,)a b （3）构成了初级通路，因为点不重复； （4）不构成通路，因为边(,)a c 不存在；（5）构成通路，但是不为简单通路和初级通路，因为有重复的边(,)d c （6）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边(,)d b （7）构成了初级通路；（8）简单通路，但是不为初级通路，有重复边。

23、用Dijkstra 标号法求图9.22中各图从顶点1v 到其余各点的最短路径和距离。

步骤 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 1 *1(,0)v 1(,6)v*1(,3)v 1(,)v ∞ 1(,)v ∞1(,)v ∞ 1(,)v ∞1(,)v ∞2 1(,6)v *3(,5)v 3(,8)v1(,)v ∞ 3(,11)v 1(,)v ∞ 3 *1(,6)v4(,6)v1(,)v ∞3(,11)v 4(,11)v 4 *4(,6)v 2(,12)v3(,11)v 4(,11)v 5 2(,12)v *5(,7)v 4(,11)v6 2(,12)v *7(,10)v7*2(,12)v1v 到2v 最短路为12v v →，路长为6； 1v 到3v 最短路为13v v →，路长为3； 1v 到4v 最短路为134v v v →→，路长为5；1v 到5v 最短路为1345v v v v →→→，路长为6； 1v 到6v 最短路为126v v v →→，路长为12；1v 到7v 最短路为13457v v v v v →→→→，路长为7； 1v 到8v 最短路为134578v v v v v v →→→→→，路长为10；（2）略。

25、图9.23中各图有几个连通分支？给出它们所有的连通分支。

解答：（a ）有两个连通分支：aec 和bdf ； （b ）有三个连通分支：abd 、c 和ef ； （c ）连通图，只有一个连通分支； （d ）两个连通分支：afbgd 和ech 。

38、写出图9.27的关联矩阵。

解答：1100000010111000000100010000111101100110-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦40、写出图9.29中各图的邻接矩阵。

解答：(a)1200001010010010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (b)0000110100000011010001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦41、设有向图,D V E =<>，其中1234{,,,}V v v v v =，其邻接矩阵为210001000010011A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求出D 中各顶点的入度和出度。

解答：出度：1234:3;:1;:1;:2;v v v v入度：1234:0;:2;:3;:2;v v v v43、有向图D 如图9.29（a ）所示（1）D 中1v 道4v 长度为1，2，3，4的通路各有几条？ （2）D 中1v 道1v 长度为1，2，3，4的通路各有几条？（3）D 中长度为4的通路有多少条？其中长为4的回路有多少条？ （4）D 中长度小于或者等于4的通路有多少条？其中多少条为回路？ （5）写出D 的可达矩阵。

解答：12000010********M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则21220100112101001M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，33222121022211210M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 45642222144322221M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1）D 中1v 道4v 长度为1，2，3，4的通路各有0，0，2，2条； （2）D 中1v 道1v 长度为1，2，3，4的通路各有1，1，3，5条； （3）D 中长度为4的通路有44条；其中长为4的回路有11条. （4）D 中长度小于或者等于4的通路有88条；其中22条为回路。

（5）写出D 的可达矩阵为1111111111111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

P181:习题十1、 图10.14中的哪些图是树？解答：（a ）是树；（b ）不是树，因为不连通。

3、无向树T 有8片树叶，2个3度分支点，其余分支点都是4度顶点，问T 有几个4度分支点？请画出3棵非同构的这种无向树。

解答：设有x 个4度分支点，则T 共有8210x x ++=+个顶点。

那么有9x +条边。

由握手定理有2(9)82341821442x x x x x +=+⨯+⇒+=+⇒= 所以有2个4度分支点。

4、无向树T 有(2,3,...,)i n i k =个i 度分支点，其余顶点都为树叶，问T 有几片树叶？ 解答：设有x 片树叶，共有2k i i x n =+∑个顶点，那么有21kii x n=+-∑条边，而共有2kii x in =+∑度，由握手定理可知222(1)kkii i i x inx n ==+=-+∑∑所以有22(2)kii x i n ==+-∑。

15、已知n 阶m 条边的无向图G 是(2)k k ≥棵树组成的森林。

证明：m n k =-。

证明：方法一：对变量k 进行归纳当1k =是，因为是一棵树，显然成立；假设n 阶m 条边的无向图G 是1k -棵树组成的森林，有(1)m n k =--；那么对于n 阶m 条边的无向图G 是k 棵树组成的森林，在任意两棵树中分别找一点进行连一条边，那么得到的图则为n 阶m+1条边的无向图G 是1k -棵树组成的森林， 那么1(1)m n k +=--，所以m n k =-。

方法二：设k 棵树中，分别有i n 个顶点和i m 条边，1,2,...,i k =，则有1k i i m m ==∑，1ki i n n ==∑，1i i m n =-，即可得证。

19、求图10.17中两个带权图的最小生成树。

解答：P204:习题十一1、判断图11.22中哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？对欧拉图给出一条欧拉回路。

对半欧拉图给出一条欧拉通路。

对不是的，说明不是欧拉图或半欧拉图的理由。

解答：（a）为欧拉图，全为偶度顶点；（b）为半欧拉图，1，2两个顶点点度为3，其它为偶数。

2、判断图11.23中哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？对欧拉图给出一条欧拉回路。

对半欧拉图给出一条欧拉通路。

对不是的，说明不是欧拉图或半欧拉图的理由。

解答：（a）为半欧拉图，a,c两点的出度和入度都相等；b点的入度比出度大1；c点的入度比出度小1.（b）为欧拉图，每个顶点的入度和出度都相等。

3、判断命题的真假。

K是欧拉图。

（1）完全图nn n 阶有向完全图是欧拉图。

（2）(2)K是欧拉图。

（3）当r,s为正偶数时，完全二部分图,r s解答：（1）为假，因为当n为偶数时，每个点的点度都为奇数。

（2）真；有向完全图的出度和入度必然相等。

K中，一部分点的点度全为r,另外一部分点的点度全为s。

（3）真，完全二部分图,r s10.说明图11.25中各图不是哈密顿图，也不半哈密顿图的理由。

解答：（a）删掉画圈的3个顶点，还剩下5个连通分支；（b）删掉画圈的4个顶点，还剩下6个连通分支。

由定理11.2和11.3可知不是哈密顿图，也不半哈密顿图。

11、设G 是无向连通图，证明：若G 中有桥或者割点，则G 不是哈密顿图。

证明：① 若G 中有者割点v ，取{}V v =，则()2||p G V V -≥>，由书中定理11.2可知，G 不是哈密顿图。

② 若G 中有者割边12(,)e v v =，如果1v 和2v 的点度都为1，则该图只有一条边，显然不为哈密顿图；③ 如果1v 和2v 的点度至少有一个大于1，不妨设1v 的点度大于1，取1{}V v =，则()2||p G V V -≥>，由书中定理11.2可知，G 不是哈密顿图。