(完整版)相似三角形基础训练

《相似形》基础测试、选择题：1．已知 5y －4x ＝0，那么（ x ＋y ）︰（ x － y ）的值等于⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）11（A ）（B ）－ 9（C ）9（D ）－992．已知线段 d 是线段 a 、 b 、c 的第四比例项，其中 a ＝2 cm ，b ＝4 cm ，c ＝5 cm ，则 d 等于⋯⋯（ ）58（A ）1 cm （B ）10 cm （C ）cm （D ） cm ．25是⋯⋯⋯⋯⋯（ ）A )△ ABE ∽△ DGE C )△ BCF ∽△ EAF(B )△ CGB ∽△ DGE D )△ ACD ∽△ GCF9．如图， D 是△ABC 的边 AB 上一点，在条件（ 1） C 距离相等的点 D 有两个，（4）∠ B ＝∠ ACB 中， （A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） ∠ ACD ＝∠ B ，（2）AC 2＝AD ·AB ，（3）AB 边上与点 一定使△ ABC ∽△ ACD 的个数是⋯⋯⋯⋯⋯（ ）8．如图，在△ ABC 中，D 为 AC 边上一点， ∠DBC ＝∠ A ，3．如图， DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是DB EC4．如图， 在 Rt △ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则图中的相似三角形共有A ） 1对B ） 2 对 3对 D ）4对5．已知：（）如图，1对 ADE ＝∠ ACD ＝∠ ABC ， B )2 对 ( C )3 对 图中相似三角形共有 （ D ） 4 对 6．下列判断中，正确的是A ）各有一个角是B ）邻边之比都为C ）各有一个角是D ）邻边之比都为67°的两个等腰三角形相似 2︰1 的两个等腰三角形相似 45°的两个等腰三角形相似 2︰3 的两个等腰三角形相似 7．如图， □ABCD 中，E 是 AD延长线上一点， BE 交 AC 于点 F ，交 DC 于点 G ，则下列结论中错误的 A ）AD AE4二）填空题：（每题2分，共20 分）x 3y z13．如果x︰y︰z＝1︰3︰5，那么＝___________．x 3y z14．已知数3、6，再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，（只需填写一个数）．15．如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，DE＝2，则AB＝__________EF 16．如图，已知DE∥BC，且BF∥EF＝4︰3，则AC︰AE＝17．如图，在△ ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD 交CB延长线于点E，则△ BAE相似于AF AC AFCF AC CF答案】10．如图，在Rt△ ABC 中，∠C＝90°4 （B）9︰ 2A)9︰，CD⊥AB于D，且AD︰BD＝9︰4，则AC︰BC的值为（C）3︰4 （D）3︰211．如图，点则六边形（A）1l 3A1、A2，B1、B2，C1、A1A2B1B2C1C2 的周长为C2 分别是△ ABC 的边BC、CA、AB 的三等分点，且ABC 的周长为）l，B)3l C)2l12．如图，将△ ABC 的高AD 四等分，则S1︰S2︰S3︰S4等于⋯⋯2︰3︰ 4 （B ）S3、S4，（A）1把三角形的面积分成四部分）2︰3︰4︰5 （C）1︰3︰5︰7 （D ）3︰5︰7︰9过每一个分点作底边的平行线，S1、S2、S2＝（2）2，1S1S2S3 ＝(3) 21提示】S1S1点评】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方（即对应边上的高的比的平方）答案】C．S1这个数是(C A D D)2A E D C 2．ADDE⊥AC，则CD︰AD ＝表示出EC 和CD 的长，或为 a ，用a2本题要求运用直角三角形的判定定理．19．如图∠ CAB＝∠ BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝【提示】由△ ABC∽△ CBD，得BC2＝BD · AB．【答案】 2 6 ．【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理与性质．20．如图，在△ ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm，AD 是∠ BAC的外角平分线，DE∥AB交AC 的延长线于点E，那么CE ＝___________________________ cm ．【提示】∠ EAD ＝∠ FAD ＝∠ ADE ，∴ ED ＝AE＝AC ＋CE．再利用△ ABC∽△ EDC．【答案】48．【点评】本题要求灵活运用相似三角形的判定定理和性质．21．如图，在△ ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△ MON ∽△ AOC 面积的比是 ______________________________ ．【提示】利用三角形中位线定理．【答案】1︰4．【点评】本题要求运用相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的中位线定理．22．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△ BGC与四边形CGFD 的面积之比是_________ ．11提示】△ BGC∽△ FGA ，推出FG＝BG，得连结FC ．S△BCF ＝S正方形，再列出AF FG AG 1S△CDF与S正方形的关系式．或由△ BGC∽△ FGA 得，所以BC GB GC 211S△AFG＝S△BCG＝S△AGB，又42S△BCG＝4S△AFG．1S△ACD ＝S△ACB，从而得出4【答案】4︰5．【点评】本题要求运用相似三角形的基本定理与性质．三）计算题（每题 6 分，共24分）23．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF 的长．提示】先求出FC．答案】∵ DE∥BC，DF∥ AC，∴ 四边形DECF 是平行四边形．∴ FC ＝DE＝ 5 cm ．∵ DF ∥ AC，BF ＝BDFC DABF5BF＝10（cm）．点评】本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理．提示】作EG∥ BC 交AD 于G．AE 1AE1答案】作EG∥ BC 交AD 于G，则即＝1，得EB 3AB411EG＝BD＝CD ，S 四边形CGFD ＝5S△AFG，24．如图，已知△ABC 中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD 与CE 相交于F，求EF AF＋FC FD 的值．42∴EF＝EG＝1．FC CD 21 作DH ∥BC 交CE 于H，则DH＝BE＝AE．3AF＝AE＝1，FD DHEFAF 13＋＝＋1＝FC FD22【点评】本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理．25．如图，点C、D在线段AB上，△ PCD 是等边三角形．（1）当AC、CD、DB 满足怎样的关系时，△ ACP∽△ PDB ？（2）当△ ACP∽△ PDB时，求∠ APB的度数．提示】（1）考虑AC 、PD、PC、DB 之间比例关系．（2）利用相似三角形的性质“对应角相等” ．答案】∵ ∠ ACP＝∠ PDB ＝120°，AC PC AC CD当AC＝PC，即AC＝CD，也就是CD2＝AC·DB 时，△ ACP ∽△ PDB ．PD DB CD DB∴ ∠A＝∠ DPB ．∠APB＝∠ APC＋∠ CPD ＋∠DPB＝∠ APC＋∠ A＋∠ CPD＝∠ PCD ＋∠ CPD＝120 °．点评】本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用．26．如图，矩形PQMN 内接于△ ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ ABC 的面积．即可求出提示】利用相似三角形的性质，列出关于S△ABC．答案】∵ 矩形 PQMN ，∴ PN ∥QM ，PN ＝ QM ．∵ AD ⊥BC ， ∴ AE ⊥PN ．∵ △APN ∽△ ABC ， ∴ PN ＝ AE ．BC AD设 ED ＝x ，又 矩形周长为 24，则PN ＝ 12－ x ， AD ＝16＋x ．1 ∴ AD ＝AE ＋ED ＝20．∴ S △ABC ＝ BC ·AD ＝100．2【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比． 四）证明题： （每题 6分，共 24 分）27．已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP ＝3PC ，Q 是 CD 的中点．求证：△ ADQ ∽△QCP ．AD DG 提示】先证 ＝ ．QC PC 答案】在正方形 ABCD 中，AD∵ Q 是 CD 的中点，∴AD＝2．QCBPBC∵＝ 3，∴＝4．PCPCDQ 又 BC ＝2DQ ，∴ ＝2． PC在△ ADQ 和△QCP 中， AD ＝ DQ ，∠ C ＝∠ D ＝90°， QC PC∴ △ADQ ∽△ QCP ． 点评】本题要求运用相似三角形的判定定理．提示】先证 PB ＝PC ，再证△ EPC ∽△ CPF ． 答案】连结 PC ．12 x 10．即 x 2＋4x －32＝ 0．解得 16 xx ＝4．28．已知：如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，AD 是中线， 交 CF 于 F ．求证： BP 2＝PE · PF ．P 是 AD 上一点，过 C 作 CF ∥ AB ，延长 BP 交 AC 于E ，∵ AB＝AC，AD 是中线，∴ AD 是△ABC 的对称轴．∴ PC＝PB，∠ PCE＝∠ ABP．∵ CF∥AB，∴ ∠PFC ＝∠ ABP．∴ ∠PCE＝∠ PFC．又∠ CPE ＝∠ EPC，∴ △EPG∽△ CPF ．PC＝PE．即PC2＝PE·PF．∴ BP2＝PE·PF ．PF PC点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．29．如图，BD、CE 为△ABC 的高，求证∠ AED ＝∠ ACB．提示】先证△ ABD ∽△ ACE ，再证△ ADE∽△ ABC ．答案】∵ ∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ A＝∠A，又∠A＝∠ A，∴ △ ADE ∽△ ABC．点评】本题要求运用相似三角形的判定与性质．30．已知：如图，在△ ABC中，∠ C＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC ，连结AE 交BC 于F，作FG ∥ BE 交AB 于G．求证：FG ＝FC ．五）解答题（8 分）31．（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD 中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC 于E，连结DE 交OC 于点F，作FG⊥BC 于G．求证：点G 是线段BC的一个三等分点．△ABD ∽△ ACE．AD ＝ABAE AC∠AED＝∠ ACB．提示】证明FG＝FC．EB ED答案】∵FG∥BE，∴FG＝AF．∵FC∥ED ，EB AEFG FC＝．又EB＝ED，∴FG＝FC．FC ＝AFED AEEB ED证明：在矩形ABCD 中，OE⊥BC，DC⊥BC，（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．FG 1 GC 2提示】先证FG∥ DC ，再证＝1或＝．AB 3 EC 3 答案】（1）补全证明过程，方法一：∵ FG⊥BC，DC⊥BC，∴ FG ∥DC ．∴FG＝EF＝1．DC ED 3 ∵ AB＝DC，∴FG＝1．AB 3 又FG ∥AB，∴CG＝FG＝1．BC AB 3 方法二：∵ FG⊥BC，DC⊥BC，∴ FG ∥DC ．∴EG＝EF＝1．EC ED 3∴GC＝2．EC 3 ∵ E 是BC 的中点，∴GC＝GC＝2＝1．BC 2EC 6 3 ∴ 点G 是BC 的一个三等分点．（2）如图，中点I．OE∥DC ．∵OE1EF＝OE＝1＝，∴DC2FD DC2EF＝1ED 3。