天津市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案
天津市第一中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分 钟。
第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页。
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一．选择题1.以下说法正确的有几个（ ）① 四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A ． 0 个B ．1 个C ． 2 个D ． 3 个2.在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 a cos 2c - b ) cos A ，则角 A 的大小为（）π π π π A ．B ．C ．D ．6 4 323.在 ∆ABC 中，若 AB ⋅ AC = 2 且 ∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ． 3D ． 34.设 α、β、γ 为平面，为 m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ）A ．若 α ⊥ β ,α ⋂ β = l , m ⊥ l ，则 m ⊥ βB ．若 α ⋂ γ = m ,α ⊥ γ , β ⊥ γ ，则 m ⊥ βC ．若 α ⊥ γ , β ⊥ γ , m ⊥ α ，则 m ⊥ βD ．若 n ⊥ α , n ⊥ β , m ⊥ α ，则 m ⊥ βB．C．D．52 3 4 151 1 1 1 1 1A．13B．23C．43D．26．点G 为∆ABC 的重心，AB = 2, BC =1, ∠ABC = 60 ，则AG ⋅CG =（）A．-59B．-98C．59D．197.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD 的中心，关于直线A1O 下列说法正确的（）A．A1O / / D1C B．A1O / / 平面B1CD1C．A1O ⊥BC D．A1O ⊥平面AB1D18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等, 则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A．39.平行六面体ABCD -A B C D 的底面ABCD 是菱形，且∠C CB =∠C CD =∠BCD = 60 ，CD = 2, C C =3，则二面角C-BD -C 的平面角的余弦值为（）1 2 1A．12B．13C．3D．310．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使AM = 1 AB , AN = 1AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，3 2则 λ的值为（ ） μA ． 83B ． 38C ． 16D ． 6二．填空题11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a b |=，则 | 2a - b |= ．12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于．13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为．14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD =π， AB = AD = 2 ，若 M 、N 3分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．Nα 1 αα17. 设 f (α) =m ⋅n ,其中向量m os , ), n =(2 sin , cos2 4 2 4 2-1) .（1）若 f (α) =-1 ,求cos( π-α) 的值；3 2（2）在△ABC 中,角A, B, C 的对边分别是a, b, c ,若a cos B +b cos A + 2c ⋅cos C = 0 ,求函数 f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD , E 为AB 中点.（1）求证：AN / / 平面MEC ；（2）求证：AC ⊥BN .19．如图 1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 AD = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .（1）求证：OH / / 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O、E 分别是AD、AB 的中点，AB = 6, AP =5，∠BAD = 60 . （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值。
天津市第一中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学试卷参考答案一． 1.B 2. B 3. C 4. D 5． B 6． A7. B 8. C 9. D 10． D二．11． 2 12. 2 14. 6015.516.23三．17.（1） f (α) = sin(α+π) -12 6 2∴ cos(π-α) =-13 2 2（2）C =2π3f ( A) = sin(A+π) -12 6 2A+π∈(π,π)2 6 6 3f ( A) ∈(0,-1)2（1）证明：连接BN （如图），使得BN ⋂CM =H 易证EH / / ANAN ⊄平面MEC EH ⊂平面MEC AN / / 平面MEC（2）证明： ABCD 是菱形AC ⊥BD平面ADNM ⊥平面ABCD平面ADNM ⋂平面ABCD =ADADNM 是矩形ND ⊥ADND ⊂平面ADNM∴ND ⊥平面ABCDAC ⊥NDBD ⋂ND =DBD, ND ⊂平面NDB∴AC ⊥平面NDB∴AC ⊥BN19．(1)证明：取BC 中点Q ,连接OQ （如图）易证OQ // 平面DECHQ / / 平面DECOQ, HQ ⊂平面OHQOQ ⋂HQ =Q∴平面DEC / / 平面OHQOH ⊂平面OHQ∴OH / / 平面DEC（2）证明：连接OD,OMDA =DE, O 为AE 中点∴DO ⊥AEDO2 +OM 2 =DM 2∴DO ⊥OMAE,OM ⊂平面ABCEAE ⋂OM =O∴OD ⊥平面ABCEOD ⊂平面ADE ⊥∴平面ADE ⊥平面ABCE19．(1)证明：取 BC 中点 Q ,连接 OQ （如图）（1）证明： ABCD 是菱形AC ⊥ BD ， OE / / BD∴OE ⊥ ACPO ⊥ 底面 ABCDPO ⊥ ACOE , OP ⊂ 平面 POEOE ⋂ OP = O∴ AC ⊥ 平面 POEAC ⊂ 平面 PAC∴ 平面 PAC ⊥ 平面 POE（2）过点 B 作 BM ⊥ OE 于 M ， 易证 PO ⊥ BMOE , OP ⊂ 平面 POEOE ⋂ OP = O∴ BM ⊥ 平面 POE∴ PM 是 PB 在平面 POE 上的射影∠BPM 即为所求在 Rt ∆PMB 中， BM =3 =sin ∠BPM =BM =PB 86（3）分别取 AB , PB 中点 H ,T易证 DH / / BF ,TH / / PA∴∠DHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角在 ∆DHT 中， DH = 3 = 5 , DT =2 2∴cos ∠DHT =3 3 10∴tan ∠DHT =219 9。
天津市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
天津市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题）1.已知全集为R，集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|≥0}，则A∩B元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”的否定是（）A. ∈,B. ∈,C. ∈,D. ∀ ∈,3.下列关系中正确的是（）A. B.C. D.4.函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，则a的取值范围是（）A. B.C. D.5.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为（）A. B. 或C. D. 或6.使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件是（）A. ∈B. ∈C. ∈D. ∈7.已知函数(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）A. B. 2 C. 3 D. 88.定义a⊗b=，则函数f（x）=x⊗（2-x）的值域是（）A. B. C. R D.9.若函数y=f（x）是奇函数，且函数F（x）=af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，则函数y=F（x）在（-∞，0）上有（）A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最小值10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数f（x）=，则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是（）A. B. C. 0, D.二、填空题（本大题共6小题）11.计算+（3）=______．12.已知函数f（x）=ax5-bx3+cx-3，f（-3）=7，则f（3）的值为______ ．13.设f（x）为奇函数，且在（-∞，0）上递减，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为______．14.设f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数在（0，1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）＜0，则a的取值范围为______．15.若函数在R上为增函数，则a取值范围为______．16.已知函数的定义域为R,对任意实数满足：，且，当时,＞0.给出以下结论:①;②;③为上的减函数;④为奇函数;⑤为偶函数.其中正确结论的序号是________.三、解答题（本大题共4小题）17.已知集合A={x|≤2x-1≤16}，B={x|≥1}．（1）求集合A∩B；（2）若C={x|m+1≤x≤2m-1}．C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．18.已知定义在区间（-1，1）上的函数f（x）=为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性；（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．19.设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3．（1）若f（1）=3，且a＞0，b＞0，求的最小值；（2）若f（1）=2，且f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，求实数a的取值范围．20.已知定义域为R的单调递减的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-2x（Ⅰ）求f（-1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】考查列举法、描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.可以求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B元素个数．【解答】解：∵A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＜-1，或x≥2}，∴A∩B={2，3}，∴A∩B元素的个数为2．故选B．2.【答案】C【解析】解：∵命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”为全称命题，∴命题的否定为：x∈R，x2-2x+1＜0，故选：C．因为命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”为全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改为“”，“≥“改为“＜”即可．本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．3.【答案】D【解析】解：根据指数函数y=为减函数，∴＜，根据y=在（0，+∞）为增函数，∴＞，∴＜＜．故选：D．根据指数函数和幂函数的单调性即可判断．本题考查了指数函数的幂函数的单调性性，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：当a＞0时，要想函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，需要对称，即a≥-1，∴a＞0．当a＜0时，要想函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，需要对称轴-，即a．∴＜．当a=0时，f（x）=2x-1，在在[1，2]上是増函数；综上a．故选：B．一元二次函数问题要考虑二次项系数对开口方向的影响，结合对称轴与区间的位置判断即可．本题考查了数学结合和分类讨论的思想．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与系数关系，训练了借助于“三个二次”的关系求解一元二次不等式的方法，是基础题．根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，且有，，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集．【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a＜0，所以，，由a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax，得：ax2-（2a-b）x+a-b+c＞0，设ax2-（2a-b）x+a-b+c=0的两根为x3，x4，则①，②，联立①②得：x3=0，x4=3，因为a＜0，所以ax2-（2a-b）x+a-b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，所以不等式a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．故选：A．6.【答案】B【解析】解：当x≥0时，不等式（x+1）（|x|-1）＞0⇔（x+1）（x-1）＞0⇔x＞1；当x＜0时，不等式（x+1）（|x|-1）＞0⇔（x+1）（-x-1）＞0⇔（x+1）2＜0，∴解集为∅；∴不等式（x+1）（|x|-1）＞0的解题为（1，+∞）；使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件应是不等式解集的真子集，（2，+∞）⫋（1，+∞），故选：B．解不等式（x+1）（|x|-1）＞0，得不等式的解集；使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件是不等式解集的真子集即可．本题考查了不等式的解法，充分条件与必要条件的应用，属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，凑“积为定值”是关键，属于中档题．将＞，转化为y=（x+1+）-5，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：∵x＞-1，∴x+1＞0，∴=（x+1）+-5≥2-5=1，当且仅当x=2时取等号．∴a=2，b=1，∴a+b=3．故选：C．8.【答案】B【解析】解：函数f（x）=x⊗（2-x）=，则函数f（x）=x⊗（2-x）的值域为（-∞，1]．故选：B．由a⊗b=，化简函数f（x）=x⊗（2-x），从而求值域．本题考查了分段函数的化简，从而求分段函数的值域．9.【答案】C【解析】解：∵y=f（x）和y=x都是奇函数，∴af（x）+bx也为奇函数，又∵F（x）=af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，∴af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，∴af（x）+bx在（-∞，0）上有最小值-6，∴F（x）=af（x）+bx+2在（-∞，0）上有最小值-4，故选：C．由已知中f（x）和x都是奇函数，结合函数奇偶性的性质，可得F（x）-2=af（x）+bx 也为奇函数，进而根据F（x）=af（x）+bx+2，在（0，+∞）上有最大值8，我们可得af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，由奇函数的性质可得af（x）+bx在（-∞，0）上有最小值-6，进而得到F（x）=af（x）+bx+2在（-∞，0）上有最小值-4．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）-2=af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵f（x）==，f（-x）=，∴f（x）为奇函数，化f（x）==，∵e x+1＞1，∴0＜＜1，则＜＜．∴当f（x）∈（，0）时，[f（x）]=-1，[f（-x）]=0；当f（x）∈（0，）时，[f（x）]=0，[f（-x）]=-1；当f（x）=0时，[f（x）]=[f（-x）]=0．∴函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是{-1，0}．故选：D．利用定义说明函数f（x）为奇函数，再把函数解析式变形，得到f（x）的范围，然后分类求解得答案．本题考查函数值域的求法，考查函数奇偶性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．11.【答案】9【解析】解：原式=++5=++5=9．故答案为：9．利用指数运算性质即可得出．本题考查了指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】-13【解析】解：设g（x）=ax5-bx3+cx，则g（x）是奇函数，∴g（3）=-g（-3），∵f（-3）=g（-3）-3=7，①f（3）=g（3）-3，②①+②得，f（3）=-13，故答案为：-13根据解析式构造奇函数g（x）=ax5-bx3+cx，再由奇函数的关系进行整体代入求值．本题考查了利用函数奇偶性求函数的值，需要结合结合题意构造奇函数，再由奇函数的关系式进行求解，考查了分析和解决问题能力．13.【答案】（-∞，-2）（2，+∞）【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（-∞，0）上递减，∴f（x）在（0，+∞）上递减，由f（-2）=0，得f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）＜0⇔ 或，解得x＜-2或x＞2，∴xf（x）＜0的解集为：（-∞，-2）（2，+∞）故答案为：（-∞，-2）（2，+∞）易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．14.【答案】，，【解析】解：∵f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数∴f（-x）=f（x）=f（|x|）∵在（0，1）上增函数∴ ＜＜＜＜＜解得a∈，，故答案为：，，由f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，则有f（-x）=f（x）=f（|x|），再由函数是（0，1）上增函数，利用单调性定义求解．本题主要通过奇偶性来转化区间，利用单调性来求解参数的范围问题，特别是偶函数时，转化为f（|x|），可避免讨论，同时在应用单调性时，一定要注意区间的限制．15.【答案】[1，2]【解析】解：f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；∴根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a满足：＞；解得1≤a≤2；∴a的取值范围为[1，2]．故答案为：[1，2]．由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到＞，从而解该不等式组即可得出a的取值考查增函数的定义，一次函数及二次函数、分段函数的单调性，二次函数的对称轴．16.【答案】①②④【解析】【分析】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的性质的综合应用，属中档题．由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．【解答】解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=，故①正确；取x=，y=代入可得f（0）=f（）+f（）+，即=0+f（）+，解得f（）=-1，再令x=y=代入可得f（-1）=f（-）+f（）+=-2+=，故②正确；令y=-x代入可得=f（0）=f（x）+f（-x）+，即f（x）++f（-x）+=0，故f（x）+为奇函数，④正确；取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），故③f（x）为R上减函数，错误；⑤错误，因为f（x）+1=f（x）++，由③可知g（x）=f（x）+为奇函数，故g（-x）+-g（x）-=-2g（x）不恒为0，故函数f（x）+1不是偶函数.故答案为：①②④17.【答案】解：（1）集合A={x|≤2x-1≤16}={x|-2≤x-1≤4}={x|-1≤x≤5}，B={x|≥1}={x|-1≥0}={x|≤0}={x|-3＜x≤5}；则集合A∩B={x|-1≤x≤5}；（2）集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，当C=∅时，m+1＞2m-1，解得m＜2，此时满足C⊆（A∩B）；当C≠∅时，由，解得2≤m≤3，此时满足C⊆（A∩B）；综上知，实数m的取值范围是m≤3．【解析】（1）化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B；（2）根据题意讨论C=∅和C≠∅时，分别求出m的取值范围，再求并集即可．本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=为定义在区间（-1，1）上的奇函数，则f（0）=a=0，即a=0，此时f（x）=为奇函数，符合题意；故a=0；（2）f（x）=在（-1，1）上为增函数，证明：设-1＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=-=，又由-1＜x1＜x2＜1，则（x1-x2）＜0，1-x1x2＞0，则有f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在（-1，1）上为增函数；（3）根据题意，由（1）（2）的结论，f（x）为奇函数且在（-1，1）上为增函数，则f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）⇒f（t-1）＜f（-t）⇒＜＜＜＜＜，解可得：0＜t＜，即t不等式的解集为（0，）．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，由函数的单调性以及奇偶性分析可得f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）⇒f（t-1）＜f（-t）⇒＜＜＜＜＜，解可得t的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的定义域，属于基础题．19.【答案】解：（1）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=3，则f（1）=a+b-2+3=3，得a+b=2，∴=（）（a+b）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当=时上式取等号，又a+b=2，∴当且仅当a=，b=时，的最小值是．（2）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=2，则f（1）=a+b-2+3=2，得a+b=1，由f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，则a（x2-x）＞x-1在（-1，1）上恒成立，∴ax＜1在（-1，1）上恒成立，①当x=0时，ax＜1恒成立，②当0＜x＜1时，a＜在（0，1）上恒成立，∴a≤（）min，∴a≤1；③当-1＜x＜0时，a＞在（-1，0）上恒成立，∴a≥（）max，∴a≥-1；综上，实数a的取值范围[-1，1]．【解析】（1）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=3，得a+b=2，把化为（）（a+b），利用基本不等式得出最小值；（2）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=2，则f（1）=a+b-2+3=2，得a+b=1，把b用a替换掉，由f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，转换为ax＜1在（-1，1）上恒成立，然后分情况讨论，求出实数a的取值范围．本题利用函数值、基本不等式求代数式的最值，利用参变分离解决恒成立问题，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）是奇函数，令x=-1，可得f（-1）=-f（1）=-（-2）=，∴f（-1）=；（Ⅱ）定义域为R的单调递减的奇函数f（x），则f（0）=0，当x＞0时，f（x）=-2x，当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=，∵f（x）是奇函数，∴-f（x）=，即f（x）=，∴f（x）的解析式为：f（x）=，＞，．＜．（Ⅲ）不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，即f（t2-2t）＜-f（2t2-k），由f（x）是定义域为R的单调递减的奇函数，∴t2-2t＞k-2t2，即3t2-2t＞k，可得3（t-）2-＞k对任意的t∈R成立．∴k＜．故得实数k的取值范围是（-∞，-）．【解析】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用．（Ⅰ）令x=-1，即可求解f（-1）的值；（Ⅱ）定义域为R的单调递减的奇函数f（x），则f（0）=0，当x＞0时，f（x）=-2x，即可求解x＜0的解析式，可得f（x）的解析式；（Ⅲ）利用单调性和奇偶性脱去“f”，转化为求解二次不等式恒成立求解实数k的取值范围．第11页，共11页。
2019-2020学年天津市河西区高一下学期期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共9小题）.f f _ _________________ . 如、，,、， 一 一-、1.如果？？ ？那两个单位向量，则 ？力？受定（）A.相等B.平行C.方向相同D.长度相等2,若复数z= （x 2-1） + （x-1） i 为纯虚数，则实数 x 的值为（ ）3.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50,将数据分组整理后，列表如表:从表中可以得出正确的结论为（ ）A.表中m 的数值为8B.估计观看比赛不低于 4场的学生约为360人C.估计观看比赛不低于4场的学生约为720人5 .若a, b 贝，i 为虚数单位，且（a+i ） i=b+i,则（）A. a=1, b= 1B. a=- 1, b= 1C. a = 1, b= _1 D. a=-1, b=一 6 .小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图 2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A. 一 1B. 0C. 1D. T 或 1 观看场数0123456 观看人数占调查人数的8%百分比10%20%26% m% 12%6%72%D.估计观看比赛场数的众数为24.甲、乙两个元件构成一并联电路，设示电路故障的事件为（）A.EUFB.EA??E= "甲元件故障”，F= "乙元件故障“，则表C. ??u??D. En F7 .设A 、B 是两个概率大于 0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）A.事件 A? B,则 P （A ） v P （B ） 8 .若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立 C.若A 和B 相互独立，则 A 和B 一定不互斥 D. P (A) +P (B) < 1的形状为（的值为（11 .某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向,名学生.12 .将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 x,第二次出现的点数为 y.则事件“x+yw3”的概率为.?? c 一13 .在三角形ABC 中，角A, B, C 所对应的长分别为 a, b, c,若a= 2, B= 6? c = 2v??贝 U b =.14 .已知 游 石髭夹角为2??勺两个单位向量，??=谆-痴? ??= k?!?+流 若?? ??=0, 一 一 3则实数k 的值为.15 .如图，在平面四边形 ABCD 中，AB ± BC , ADXCD, / BAD = 120。
天津市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
A. < <B. < <C. < <D. < < 天津一中 2019－2020高一年级 数学学科期中质量调查试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 120 分 钟。
第Ⅰ卷为第 1 页，第Ⅱ卷为第 2 至 3 页。
考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上 的无效。
第Ⅰ卷一．选择题：（每小题 3 分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的．A ．1B ．2C ．3D ．42． 命题“ ∀x ∈ R , x 2 - 2 x + 1 ≥ 0 ”的否定是（ ）A. ∃ x ∈ R , x 2- 2x + 1 ≤ 0 B. ∃x ∈ R , x 2- 2 x + 1 ≥ 0C.2D. ∀x ∈ R , x 2 - 2 x + 1 < 0∃x ∈ R , x - 2 x + 1 < 03.下列关系中正确的是（ ） 221 ⎛ 1 ⎫ 3⎛ 1 ⎫ 3⎛ 1 ⎫3⎪ ⎪ ⎪⎝ 2 ⎭ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 2 ⎭122 ⎛ 1 ⎫3⎛ 1 ⎫ 3⎛ 1 ⎫ 3⎪ ⎪ ⎪⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 5 ⎭2 1 2⎛ 1 ⎫ 3⎛ 1 ⎫3⎛ 1 ⎫ 3⎪ ⎪ ⎪⎝ 5 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭2 2 1⎛ 1 ⎫ 3⎛ 1 ⎫ 3⎛ 1 ⎫3⎪ ⎪ ⎪⎝ 5 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭4．函数 f ( x ) = ax 2 + 2x -1, 在 [1, 2] 上是増函数，则 a 的取值范围是( )A ． [- 1 , 0]2B ． [- 1, ∞)2C ． [- 1, 0) (0, +∞)2D ． (0, +∞)x 5. 若不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解集为 {x | -1 < x < 2}, 那么不等式 a ( x 2 + 1) + b ( x - 1) + c > 2ax的解集为（ ）A. {x | -2 < x < 1}B. { x | x < -2 或 x > 1}C. {x | 0 < x < 3}D. {x | x < 0 或 x > 3}6.使不等式 ( x + 1)(| x | -1) > 0 成立的充分不必要条件是（ ）A. x ∈ (1,+∞)B. x ∈ (2,+∞)C. x ∈ (-∞,-1) (1,+∞)D. x ∈ (-∞,-1)7．已知函数 y = x - 4 + 9 x +1( x > -1) ，当 x = a 时， y 取得最小值 b ，则 a + b 等于（）A. -3B ．2C ．3D ．88.若定义运算 a Θb = ⎧b , a ≥ b⎨ ⎩a , a < b，则函数 f ( x ) = x Θ(2 - x ) 的值域为（ ）A. (0,1]B ． (-∞,1]C ． (0,1)D ．[1, +∞)9．若函数 y = f (x ) 是奇函数，且函数 F ( x ) = af ( x ) + bx + 2 在（0，+∞，)上有最大值 8，则函数 y = F ( x ) 在(－∞，，0)上有 ( )A. 最小值－8B. 最大值－8C. 最小值－6D. 最小值－410.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛 顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x ∈ R ，用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，则 y = [x ] 称为高斯函数，例如： [-3.5] = -4 ， [2.1] = 2 ，已知函数f ( x ) = e - 1 ，则函数 y = ⎡⎣ f ( x )⎤⎦ + ⎡⎣ f ( - x )⎤⎦ 的值域是（ ） 1 + e x2A. {0,1}B. {1}C. {-1, 0,1}D. {-1, 0}第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11．计算 6 1 + ⎛ 3 4 ⎝ 1 3 ⎫ 3 ⎪ 8⎭+ 3125 = ．12.已知函数， ，则 的值为13.若 f ( x ) 为奇函数，且在 (-∞, 0) 上是减函数，又 f (-2) = 0 ，则 x ⋅ f ( x ) < 0 的解集为。
天津市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题Word版含答案
天津一中 2018-2019-2 高二年级数学学科模块质量调查试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。
第 I 卷第 1 页，第 II 卷第 2 页。
考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一．选择题第 I 卷1．某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有A．420 人B．480 人C．840 人D．960 人2．函数f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的极值点的个数为A．0 B．1 C．2 D．无数个3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x，y 进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y 关于x 的回归方程为yˆ= 0.7x +a ，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为A．B．4 2C．D．0 44．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这 100 名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）， [120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是A．频率分布直方图中a 的值为 0.040B．样本数据低于 130 分的频率为 0.3C．总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分D．总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，110）的频数相等5．若A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率是1 3 3 7 A．B．C．D．5 10 5 10⎩6．函数 f ( x ) =sin x ln( x + 2)的图象可能是A. B.C. D.7．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 赛，A ，B 两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK ，比赛四局．除第三局胜者得 2 分 外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分．假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为2，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为 316 52 A ．B ．2781 ⎧ 20 7C ．D ．27 90 , 0 < x ≤ 1 8．函数 f ( x ) = | l n x |, g ( x ) = | x 2 4 | 2, x ，若关于 x 的方程 f (x ) + m = g (x ) 恰有 1⎨ - - > 三个丌相等的实数解，则 m 的取值范围是 A ． [0, ln 2] B ． (-2 - ln 2, 0] C ． (-2 - ln 2, 0)D ． [0, 2 + ln 2)二．填空题第 II 卷9．从区间（﹣2，3）内任选一个数 m ，则方程 mx 2+y 2＝1 表示的是双曲线的概率 为．10．一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个，m +n ＝10（m ≥n ），从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 DX ＝2.1，从这批排球中随机一 次取两个，则至少有一个次品的概率 p ＝11．已知直线 y = 2x -1不曲线 y = ln(x + a ) 相切，则 a 的值为12．某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据 落在[18，22]中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为 ．13．函数 f （x ）＝e x ﹣3x +2 的单调增区间为 ．14．已知函数 f （x ）＝ax +lnx ，若 f （x ）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，实数 a 的取值范围为．三．解答题15．已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有 2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同学参加演出． （1）求选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数；（2）记 X 为选出的 4 名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．16．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概1 率均为 3 1 1 1，乙车间 3 台机器每天发生概率分别为 ， ， 6 6 2．若一天内同一车间的机器都丌发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故 障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元． （1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依 据，你认为哪个车间停产比较合理．17．已知函数 f ( x ) = ax + 1 x+ ln x 在点（1，f （1））处的切线方程是 y ＝bx +5．（1）求实数 a ，b 的值；1（2）求函数 f （x ）在 [ , e ] 上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）．e18．已知函数 f (x ) = xe kx (k ≠ 0) ．（1）求曲线 y = f (x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （2）讨论 f （x ）的单调性；（3）设 g (x ) = x 2 - 2bx + 4 ，当 k = 1 时，对任意的 x ∈ R ，存在 x ∈[1, 2] ，使得12f (x 1 ) ≥g (x 2 ) ，求实数 b 的取值范围x 2 y 219．已知椭圆 C ： + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点分别 F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），过 F 2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，满足 | AF 2 |= ．6（I ）求椭圆 C 的离心率．（II ）M ，N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆 C 的顶点）， 直线 MP ，NP 分别不 x 轴相较于 R ，Q 两点，O 为坐标原点，若|OR |•|OQ |＝8，求椭圆C 的方程．一．选择题（共9 小题）1．C2．A3．B4．C参考答案【分析】由频率分布直方图得的性质求出a＝0.030；样本数据低于130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7；[80，120）的频率为0.4，[120，130）的频率为0.3．由此求出总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+≈123.3 分；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等．【解答】解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.030，故A 错误；样本数据低于 130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7，故B 错误；[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3．∴总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+≈123.3 分，故C 正确；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等，故D 错误．故选：C．5．D【分析】五名同学站成一排照相，共有n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+＝84 种，由此能求出A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率．【解答】解：五名同学站成一排照相，共有n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+ ＝84 种，∴A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为p＝．故选：D．【解析】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为可排除B，D 答案当时，，则可排除C 答案故选：A．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D 答案；分析时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C 答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．7．C【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3 种；A 全胜，A 三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率．【解答】解：比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3 种；A 全胜，A 三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，∴比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为：P ＝（）4++＝．故选：C．8．B二．填空题（共5 小题）9．【分析】根据题意，求出方程mx2+y2＝1 表示双曲线的条件即可．【解答】解：当m∈（﹣2，0）时，方程mx2+y2＝1 表示的是双曲线，所以所求的概率为P＝＝．故答案为：．810．11．15 1ln 2 2【分析】根据题意知a≤2，再由中位数的定义求得结果．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为0.25，则频数为 16×0.25＝4，∴a≤2；∴这组数据的中位数为×（26+28）＝27．故答案为：27．13．（ln3, +∞）【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0 求解指数丌等式得答案．【解答】解：由f（x）＝e x﹣3x+2，得f′（x）＝e x﹣3，由f′（x）＝e x﹣3>0，得x>ln3．∴函数f（x）＝e x﹣3x+2 的单调减区间为（ln3, + ∞）．故答案为：（ln3, +∞）．14．（﹣∞，﹣]【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，根据f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，得到关于a 的丌等式，解出即可．【解答】解：f′（x）＝a+，①a≥0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而x→+∞时，f（x）→+∞，丌合题意；②a＜0 时，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故f（x）max＝f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）≤1，解得：a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]．三．解答题（共5 小题）15．解：（1）由题意知，所有的选派方法共有＝60 种，其中有 3 名女生的选派方法共有＝4 种，所以选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数为60﹣4＝56 种．…（3 分）（2）X 的可能取值为0，1，2，3．……………………………………………………（5 分）P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，（8 分）∴的分布列为：X0123P∴E（X）＝＝．…………………………………（10 分）16．解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为ξ，则ξ的可能取值为 0，1，2，3；且P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝C21××（1﹣）×（1﹣）2+（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝C21××（1﹣）×+（）2×（1﹣）＝，P（ξ＝3）＝××＝，ξ0123PX，则η～B（3，），P（η＝k）＝••，（k＝0，1，2，3），∴EX＝2P（η＝0）+1×P（η＝1）+0×P（η＝2）﹣3×P（η＝3）＝2×+1×+0﹣3×＝；由（1）得EY＝2P（ξ＝0）+1×P（ξ＝1）+0×P（ξ＝2）﹣3×P（ξ＝3）＝2×+1×+0﹣3×＝；∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．17．【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b 的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．。
(新课标人教版)天津市和平区2019-2020学年高一下期中考试数学试题-附答案(已审阅)
天津市和平区2019-2020学年度第二学期高一年级期中质量调查数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是A.若0a b <<，则 ac bc <B. 若,a b c d >>，则 ac bd >C.若a b >，则1a b < D.若22,0a bc c c>≠，则a b > 2.在数列{}n a 中，111,3n n a a a +=-=-，则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 11 3.若13,24a b <<<<，则ab的范围是 A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B. 3,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 13,42⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,4 4.在ABC中，已知,24c A a π===，则角C =A.3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512π5.已知数列{}n a 为等比数列，有51374a a a -=，{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b += A. 4 B. 8 C. 16 D. 0或86.在ABC 中，已知sin 2cos sin A B C =，则ABC 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A.13 B. 18 C. 19 D.3108.已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-，则此数列奇数项和前n 项和是A. ()21213n -B. ()11213n +-C. ()21223n -D. ()11223n +-第Ⅱ卷（非选择题 共76分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.在数列{}n a 中，223n a n =-，则125是这个数列的第 项.10.在ABC 中，三边,,a b c 成等比数列，222,,a b c 成等差数列，则三边,,a b c 的关系为 . 11.对于任意实数x ，不等式23204mx mx +-<恒成立，则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中，已知11a =，前5项和535,S =则8a 的值是 . 13.在ABC 中，若120,5,7,A AB BC ===，则ABC 的面积S = .14.已知数列{}n a 满足，11232,2nn n a a a +=+⋅=，则数列{}n a 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}|x 1x b x <>或. （1）求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.16.(本小题满分8分)已知等比数列{}n a 中，11a =，公比为q ，且()1.n n n b a a n N *+=-∈ （1）判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. （2）求数列{}n b 的通项公式.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前项和22 4.n n S +=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足，73154,b a b a ==，求数列{}n b 的前项和.n T18.(本小题满分12分)若等比数列{}n a 的前n 项和1.2n n n S a =- （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和.n T19.(本小题满分10分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45,cos .5b c A == （1）求sin C 的值； （2）若ABC 的面积为3sin sin ,2ABCS B C =求a 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*+++≠-=∈ （1）求证：12;n n n S a -=（2）设1nn n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T。
精品解析：天津市河西区2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共9小题）.1.如果a r ，b r 是两个单位向量，则a r 与b r 一定（ ）A. 相等B. 平行C. 方向相同D. 长度相等 【答案】D【解析】【分析】根据a r ，b r是两个单位向量；可得到其模长相等，方向不定，即可判断答案． 【详解】因为a r ，b r 是两个单位向量；所以其模长相等，方向不定；故选：D ．【点睛】本题主要考查平面向量的概念和关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。
2.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ） A. 1B. 0C. 1-D. 1-或1【答案】C【解析】 解：因为22(1)(1)10x-10x=-1z x x i x =-+-∴-=≠且故有选C 3.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：从表中可以得出正确的结论为（ ）A. 表中m 的数值为8B. 估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C. 估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D. 估计观看比赛场数的众数为2【答案】B【解析】【分析】由频率分布表的性质，求出m ＝12,否定A;先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4场的学生约为360人；出现频率最高的为3．即可作出选择.【详解】由频率分布表的性质，得：m ＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A 错误；∵观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000×36%＝360人，故B 正确，C 错误； 出现频率最高的为3．故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查频率分布表以及利用频率分布表估计人数与众数，考查基本分析判断能力，属基础题. 4.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E =“甲元件故障”，F =“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为( )A. E F ⋃B. E F IC. E F ⋂D. E F ⋃ 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，根据并事件的定义，即可得出答案.【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，E =“甲元件故障”，F =“乙元件故障”， 根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事件为：E F ⋃.故选：A.【点睛】本题考查对并事件的理解，属于基础题.5.若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则A. 1,1a b ==B. 1,1a b =-=C. 1,1a b ==-D. 1,1a b =-=-【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为()a i i b i +=+，即1ai b i -+=+，因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-，故选C .【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.6. 小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支分布如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A. 30%B. 10%C. 3%D. 不能确定 【答案】C【解析】鸡蛋开支占食品开支3010%30401008050=++++，小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30%10%3%⨯=7.设A 、B 是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）A. 事件A ⊆B ，则P （A ）＜P （B ）B. 若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立C. 若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D. P （A ）+P （B ）≤1【答案】C【解析】【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．【详解】若事件B 包含事件A ，则P （A ）≤P （B ），故A 错误；若事件A 、B 互斥，则P （AB ）＝0，若事件A 、B 相互独立，则P （AB ）＝P （A ）P （B ）＞0，故B 错误，C 正确；若事件A ，B 相互独立，且P （A ）12>，P （B ）12>，则P （A ）+P （B ）＞1，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查概率的性质，属于基础题.8.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=， 所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.已知向量a r ，b r 是两个不共线的向量，且向量m a -r 3b r 与a +r （2﹣m ）b r 共线，则实数m 的值为（ ）A. ﹣1或3B. C. ﹣1或4 D. 3或4 【答案】A【解析】【分析】由向量共线可得存在实数k 使得m a -r 3b =r k [a +r （2﹣m ）b r ]，整理，利用平面向量基本定理列关于k ，m 的方程组，解出即可. 【详解】解：∵向量m a -r 3b r 与a +r （2﹣m ）b r 共线，∴存在实数k 使得：m a -r 3b =r k [a +r （2﹣m ）b r ]，化为：（m ﹣k ）a +r [﹣3﹣k （2﹣m ）]0b =r r， ∵向量a r ，b r 是两个不共线的向量，∴()0320m k k m -=⎧⎨---=⎩，解得m ＝3或﹣1. 故选：A.【点睛】本题考查向量共线定理的应用以及平面向量基本定理的应用，是基础题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10.i 是虚数单位，复数67i 12i+=+___________. 【答案】4–i【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则得：()()()()67126720541212125i i i i i i i i +-+-===-++-. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++. 故答案为60.12.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．则事件“x +y ≤3”的概率为_____． 【答案】112【解析】【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法求出事件“x +y ≤3”包含的基本事件（x ，y ）有3个，由此能求出事件“x +y ≤3”的概率．【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次， 记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．基本事件总数n ＝6×6＝36， 事件“x +y ≤3”包含的基本事件（x ，y ）有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，则事件“x +y ≤3”的概率为p 313612==． 故答案为：112． 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.13.在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a=2，B=6π，，则b= 【答案】：2【解析】【详解】因为已知两边及其夹角，所以直接用余弦定理2223 2cos412222342b ac ac B=+-=+-⨯⨯⨯=得b=2.14.已知1eu v，2eu u v是夹角为23π的两个单位向量，av＝1eu v－22eu u v，bv＝k1eu v＋2eu u v，若av·bv＝0，则实数k的值为________．【答案】54【解析】解：因为12e eu r u u r与为两个夹角为23π的单位向量，12=2a e e-u r u u rr，12=kb e e+u r u u rr所以·0a b=r r即为221212121252(12)?20254e e ke e ke e k e e kk-⋅+=++-=-=∴=u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r（）（）15.如图，在平面四边形ABCD中，AB BC⊥，AD CD⊥，120BAD︒∠=，AB=AD1=.若点E为DC上的动点，则AE BE⋅u u u r u u u r的最小值为______.【答案】2116【解析】【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t=-uu u r，33,2BE t⎛=-⎝⎭uur，利用向量的数量积公式即可得出2332AE BE t⋅=-+uu u r uur，结合3]t∈，得出AE BE⋅u u u r u u u r的最小值.【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA u u u r 为x 轴正方向，DC u u u r 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 333,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3- 所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，解得3y =3)C ，设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，则(1,)AE t =-uu u r ，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭uur ， 所以23333122AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭uu u r uur 又因为3]t ∈，所以当3t =时，AE BE ⋅u u u r u u u r 取得最小值为2116． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．16.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【答案】（1）n 1＝7，f 1＝0.28； n 2＝2， f 2＝0.08；（2）见解析（3）0.5904【解析】【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．【详解】（1）（40，45]的频数n 1＝7，频率f 1＝0.28；（45，50]的频数n 2＝2，频率f 2＝0.08；（2）绘制频率分布直方图如图所示：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A ，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A ，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为51255=， Q ()0441(1)5P A C =-=0.4096，∴()()10.5904P A P A =-=， ∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率0.5904．【点睛】本题考查频率分布表、频率分布直方图、求事件的概率，属于中档题.17.在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【答案】（1）1325．（2）625 【解析】【分析】（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，求出()p A ，()p B ，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+，由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为()()()P AB P A P B =，由此能求出结果.【详解】（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P （A ）123205==，P （B ）82205==， ∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P （A B AB +）＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）32155⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭（135-）213525⨯=． （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝（135-）（125-）625= 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18.在△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，b=c ＝2，解这个三角形．【答案】a =1，A ＝15°，C ＝135°或1a =，A ＝105°，C ＝45°． 【解析】【分析】根据正弦定理求得C ，进而得到A ，根据余弦定理求得a 即可．【详解】解：由正弦定理可得sin C c b =sin B 12== 因为b ＜c ，则C ＝135°或45°，所以A ＝15°或105°；根据余弦定理可得cos B 2222a c b ac +-=2424a a+-=，解得a =1或 a =1，15A =︒时，1a ，105A =︒时，1a =．故该三角形a =1，A ＝15°，C ＝135°或a =1，A ＝105°，C ＝45°． 【点睛】本题考查解三角形，确定选用公式的顺序是解题关键．本题根据已知条件先用正弦定理求出C ，从而得A 角，然后由余弦定理求出a ．19.已知OP =u u u r （2，1），OA =u u u r （1，7），OB =u u u r （5，1），设C 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点） （1）求使CA CB ⋅u u u r u u u r 取到最小值时的OC u u u r；（2）根据（1）中求出的点C ，求cos ∠ACB ．【答案】（1）()42，；（2）cos ∠ACB =． 【解析】【分析】（1）根据题意设点12C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，从而将CA CB ⋅u u u r u u u r 数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；（2）根据（1）中的点C ，可以求得CA u u u r ，CB u u u r的坐标，利用向量的数量积即可求得cos ∠ACB 的值． 【详解】（1）∵()21OP =u u u r ，，则直线OP 的方程为y 12x =， ∵C 是直线OP 上的一点，则设点12C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11175122CA OA OC x x CB OB OC x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，， ∴CA CB ⋅=u u u r u u u r （1﹣x ）（5﹣x ）+（712x -）（112x -） 2510124x x =-+ 25(4)84x =--， ∴当x ＝4时，CA CB ⋅u u u r u u u r 取到最小值，此时C （4，2），∴()42OC =u u u r ，； （2）由（1）可知，C （4，2），∴()()3511CA CB =-=-u u u r u u u r ，，，， ∴17||CA CB cos ACB CA CB ⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u u ru u u r ， 故cos ∠ACB =． 【点睛】本题考查向量数量积坐标表示、向量夹角坐标表示、二次函数最值，考查基本分析求角能力，属基础题.20.设z 1是虚数，z 2＝z 111z +是实数，且﹣1≤z 2≤1． （1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；（2）若ω1111z z -=+，求证ω为纯虚数； （3）求z 2﹣ω2的最小值．【答案】（1）|z 1|＝1，取值范围为[12-，12]．（2）见解析（3）1 【解析】【分析】 （1）设z 1代数形式代入z 2，根据z 2是实数，求得|z 1|，再根据﹣1≤z 2≤1，求得z 1的实部的取值范围； （2）根据复数除法法则化简ω，再根据纯虚数概念判断证明；（3）先化简z 2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值．【详解】（1）设z 1＝a +bi ，（a ，b ∈R ，且b ≠0），则z 2＝z 111z +=（a +bi ）1a bi +=+（a +bi ）()()a bi a bi a bi -+=+-（a +bi ）22a bi a b -+=+（a 22a a b ++）+（b 22b a b -+）i ， 因为z 2是实数，所以b 22b a b -=+0，即b （22221a b a b +-+）＝0， 因为b ≠0，所以a 2+b 2＝1，即|z 1|＝1，且z 2＝2a ，由﹣1≤z 2≤1，得﹣1≤2a ≤1，解得12-≤a 12≤， 即z 1的实部的取值范围为[12-，12]． （2）证明：∵a 2+b 2＝1， ω221221111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a ------====-++++++， 因为12-≤a 12≤，b ≠0， 所以ω1111z z -=+为纯虚数． （3）z 2﹣ω2＝（a 22a a b ++）+（b 22b a b -+）i ﹣（1bi a -+）2， ＝2a +（b ﹣b ）i 22(1)b a ++ ＝2a 221(1)a a -++＝2a 11a a -++ ()()2111a a a a ++-=+2211a a a ++=+ ＝1221a a ++ ＝122(1)421a a a +--++ ＝1()22(1)4121a a a +-++++＝1+2（a +1）﹣421a ++ ＝2（a +1）21a +-+3，a +1∈[12，32]， 当2（a +1）21a =+时，即a ＝0时，z 2﹣ω2取最小值1． 【点睛】本题考查复数概念、复数的模、纯虚数概念、复数运算以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.。
天津市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
天津市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.已知全集为R，集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|≥0}，则A∩B元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,3.下列关系中正确的是（）A. B.C. D.4.函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，则a的取值范围是（）A. B.C. D.5.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为（）A. B. 或C. D. 或6.使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件是（）A. B.C. D.7.已知函数(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）A. B. 2 C. 3 D. 88.定义a⊗b=，则函数f（x）=x⊗（2-x）的值域是（）A. B. C. R D.9.若函数y=f（x）是奇函数，且函数F（x）=af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，则函数y=F（x）在（-∞，0）上有（）A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最小值10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数f（x）=，则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是（）A. B. C. 0, D.二、填空题（本大题共6小题）11.计算+（3）=______．12.已知函数f（x）=ax5-bx3+cx-3，f（-3）=7，则f（3）的值为______ ．13.设f（x）为奇函数，且在（-∞，0）上递减，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为______．14.设f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数在（0，1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）＜0，则a的取值范围为______．15.若函数在R上为增函数，则a取值范围为______．16.已知函数的定义域为R,对任意实数满足：，且，当时,＞0.给出以下结论:①;②;③为上的减函数;④为奇函数;⑤为偶函数.其中正确结论的序号是________.三、解答题（本大题共4小题）17.已知集合A={x|≤2x-1≤16}，B={x|≥1}．（1）求集合A∩B；（2）若C={x|m+1≤x≤2m-1}．C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．18.已知定义在区间（-1，1）上的函数f（x）=为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性；（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．19.设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3．（1）若f（1）=3，且a＞0，b＞0，求的最小值；（2）若f（1）=2，且f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，求实数a的取值范围．20.已知定义域为R的单调递减的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-2x（Ⅰ）求f（-1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】考查列举法、描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.可以求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B元素个数．【解答】解：∵A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＜-1，或x≥2}，∴A∩B={2，3}，∴A∩B元素的个数为2．故选B．2.【答案】C【解析】解：∵命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”为全称命题，∴命题的否定为：∃x∈R，x2-2x+1＜0，故选：C．因为命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”为全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改为“∃”，“≥“改为“＜”即可．本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．3.【答案】D【解析】解：根据指数函数y=为减函数，∴＜，根据y=在（0，+∞）为增函数，∴＞，∴＜＜．故选：D．根据指数函数和幂函数的单调性即可判断．本题考查了指数函数的幂函数的单调性性，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：当a＞0时，要想函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，需要对称，即a≥-1，∴a＞0．当a＜0时，要想函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，需要对称轴-，即a．∴．当a=0时，f（x）=2x-1，在在[1，2]上是増函数；综上a．故选：B．一元二次函数问题要考虑二次项系数对开口方向的影响，结合对称轴与区间的位置判断即可．4本题考查了数学结合和分类讨论的思想．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与系数关系，训练了借助于“三个二次”的关系求解一元二次不等式的方法，是基础题．根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，且有，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集．【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a＜0，所以，由a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax，得：ax2-（2a-b）x+a-b+c＞0，设ax2-（2a-b）x+a-b+c=0的两根为x3，x4，则①，②，联立①②得：x3=0，x4=3，因为a＜0，所以ax2-（2a-b）x+a-b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，所以不等式a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．故选：A．6.【答案】B【解析】解：当x≥0时，不等式（x+1）（|x|-1）＞0⇔（x+1）（x-1）＞0⇔x＞1；当x＜0时，不等式（x+1）（|x|-1）＞0⇔（x+1）（-x-1）＞0⇔（x+1）2＜0，∴解集为∅；∴不等式（x+1）（|x|-1）＞0的解题为（1，+∞）；使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件应是不等式解集的真子集，（2，+∞）⫋（1，+∞），故选：B．解不等式（x+1）（|x|-1）＞0，得不等式的解集；使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件是不等式解集的真子集即可．本题考查了不等式的解法，充分条件与必要条件的应用，属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，凑“积为定值”是关键，属于中档题．将，转化为y=（x+1+）-5，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：∵x＞-1，∴x+1＞0，∴=（x+1）+-5≥2-5=1，当且仅当x=2时取等号．∴a=2，b=1，∴a+b=3．故选：C．8.【答案】B【解析】解：函数f（x）=x⊗（2-x）=，则函数f（x）=x⊗（2-x）的值域为（-∞，1]．故选：B．由a⊗b=，化简函数f（x）=x⊗（2-x），从而求值域．本题考查了分段函数的化简，从而求分段函数的值域．9.【答案】C【解析】解：∵y=f（x）和y=x都是奇函数，∴af（x）+bx也为奇函数，又∵F（x）=af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，∴af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，∴af（x）+bx在（-∞，0）上有最小值-6，∴F（x）=af（x）+bx+2在（-∞，0）上有最小值-4，故选：C．由已知中f（x）和x都是奇函数，结合函数奇偶性的性质，可得F（x）-2=af（x）+bx 也为奇函数，进而根据F（x）=af（x）+bx+2，在（0，+∞）上有最大值8，我们可得af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，由奇函数的性质可得af（x）+bx在（-∞，0）上有最小值-6，进而得到F（x）=af（x）+bx+2在（-∞，0）上有最小值-4．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）-2=af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵f（x）==，f（-x）=，∴f（x）为奇函数，化f（x）==，∵e x+1＞1，∴0＜＜1，则＜＜．∴当f（x）∈（，0）时，[f（x）]=-1，[f（-x）]=0；当f（x）∈（0，）时，[f（x）]=0，[f（-x）]=-1；当f（x）=0时，[f（x）]=[f（-x）]=0．∴函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是{-1，0}．故选：D．利用定义说明函数f（x）为奇函数，再把函数解析式变形，得到f（x）的范围，然后分类求解得答案．本题考查函数值域的求法，考查函数奇偶性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．11.【答案】9【解析】解：原式=++5=++5=9．故答案为：9．利用指数运算性质即可得出．本题考查了指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】-13【解析】解：设g（x）=ax5-bx3+cx，则g（x）是奇函数，∴g（3）=-g（-3），∵f（-3）=g（-3）-3=7，①f（3）=g（3）-3，②6①+②得，f（3）=-13，故答案为：-13根据解析式构造奇函数g（x）=ax5-bx3+cx，再由奇函数的关系进行整体代入求值．本题考查了利用函数奇偶性求函数的值，需要结合结合题意构造奇函数，再由奇函数的关系式进行求解，考查了分析和解决问题能力．13.【答案】（-∞，-2）∪（2，+∞）【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（-∞，0）上递减，∴f（x）在（0，+∞）上递减，由f（-2）=0，得f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）＜0⇔或，解得x＜-2或x＞2，∴xf（x）＜0的解集为：（-∞，-2）∪（2，+∞）故答案为：（-∞，-2）∪（2，+∞）易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．14.【答案】【解析】解：∵f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数∴f（-x）=f（x）=f（|x|）∵在（0，1）上增函数∴解得a∈故答案为：由f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，则有f（-x）=f（x）=f（|x|），再由函数是（0，1）上增函数，利用单调性定义求解．本题主要通过奇偶性来转化区间，利用单调性来求解参数的范围问题，特别是偶函数时，转化为f（|x|），可避免讨论，同时在应用单调性时，一定要注意区间的限制．15.【答案】[1，2]【解析】解：f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；∴根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a满足：；解得1≤a≤2；∴a的取值范围为[1，2]．故答案为：[1，2]．由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到，从而解该不等式组即可得出a的取值考查增函数的定义，一次函数及二次函数、分段函数的单调性，二次函数的对称轴．16.【答案】①②④【解析】【分析】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的性质的综合应用，属中档题．由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．【解答】解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=，故①正确；取x=，y=代入可得f（0）=f（）+f（）+，即=0+f（）+，解得f（）=-1，再令x=y=代入可得f（-1）=f（-）+f（）+=-2+=，故②正确；令y=-x代入可得=f（0）=f（x）+f（-x）+，即f（x）++f（-x）+=0，故f（x）+为奇函数，④正确；取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），故③f（x）为R上减函数，错误；⑤错误，因为f（x）+1=f（x）++，由③可知g（x）=f（x）+为奇函数，故g（-x）+-g （x）-=-2g（x）不恒为0，故函数f（x）+1不是偶函数.故答案为：①②④17.【答案】解：（1）集合A={x|≤2x-1≤16}={x|-2≤x-1≤4}={x|-1≤x≤5}，B={x|≥1}={x|-1≥0}={x|≤0}={x|-3＜x≤5}；则集合A∩B={x|-1≤x≤5}；（2）集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，当C=∅时，m+1＞2m-1，解得m＜2，此时满足C⊆（A∩B）；当C≠∅时，由，解得2≤m≤3，此时满足C⊆（A∩B）；综上知，实数m的取值范围是m≤3．【解析】（1）化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B；（2）根据题意讨论C=∅和C≠∅时，分别求出m的取值范围，再求并集即可．本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=为定义在区间（-1，1）上的奇函数，则f（0）=a=0，即a=0，此时f（x）=为奇函数，符合题意；故a=0；（2）f（x）=在（-1，1）上为增函数，证明：设-1＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=-=，又由-1＜x1＜x2＜1，则（x1-x2）＜0，1-x1x2＞0，则有f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在（-1，1）上为增函数；（3）根据题意，由（1）（2）的结论，f（x）为奇函数且在（-1，1）上为增函数，则f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）⇒f（t-1）＜f（-t）⇒，解可得：0＜t＜，即t不等式的解集为（0，）．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，由函数的单调性以及奇偶性分析可得f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）⇒f（t-1）＜f（-t）⇒，解可得t的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的定义域，属于基础题．19.【答案】解：（1）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=3，则f（1）=a+b-2+3=3，得a+b=2，∴=（）（a+b）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当=时上式取等号，又a+b=2，8∴当且仅当a=，b=时，的最小值是．（2）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=2，则f（1）=a+b-2+3=2，得a+b=1，由f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，则a（x2-x）＞x-1在（-1，1）上恒成立，∴ax＜1在（-1，1）上恒成立，①当x=0时，ax＜1恒成立，②当0＜x＜1时，a＜在（0，1）上恒成立，∴a≤（）min，∴a≤1；③当-1＜x＜0时，a＞在（-1，0）上恒成立，∴a≥（）max，∴a≥-1；综上，实数a的取值范围[-1，1]．【解析】（1）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=3，得a+b=2，把化为（）（a+b），利用基本不等式得出最小值；（2）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=2，则f（1）=a+b-2+3=2，得a+b=1，把b用a替换掉，由f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，转换为ax＜1在（-1，1）上恒成立，然后分情况讨论，求出实数a的取值范围．本题利用函数值、基本不等式求代数式的最值，利用参变分离解决恒成立问题，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）是奇函数，令x=-1，可得f（-1）=-f（1）=-（-2）=，∴f（-1）=；（Ⅱ）定义域为R的单调递减的奇函数f（x），则f（0）=0，当x＞0时，f（x）=-2x，当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=，∵f（x）是奇函数，∴-f（x）=，即f（x）=，∴f（x）的解析式为：f（x）=．（Ⅲ）不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，即f（t2-2t）＜-f（2t2-k），由f（x）是定义域为R的单调递减的奇函数，∴t2-2t＞k-2t2，即3t2-2t＞k，可得3（t-）2-＞k对任意的t∈R成立．∴k．故得实数k的取值范围是（-∞，-）．【解析】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用．（Ⅰ）令x=-1，即可求解f（-1）的值；（Ⅱ）定义域为R的单调递减的奇函数f（x），则f（0）=0，当x＞0时，f（x）=-2x，即可求解x＜0的解析式，可得f（x）的解析式；（Ⅲ）利用单调性和奇偶性脱去“f”，转化为求解二次不等式恒成立求解实数k的取值范围．。
天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题1.若复数1z 对应复平面内的点()2,3，且121z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A. 513-B.513C.113D.1132.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β3.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则=a b +( ) A. 5B. 25C. 10D. 104.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）A. 1，3，4B. 2，3，3C. 2，2，4D. 1，1，65.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt ABC 中，70.5ABC ∠=︒，在Rt DBC 中，45DBC ∠=︒，且 2.3CD =米，求像体AD 的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943︒≈，cos70.50.334︒≈，tan70.5 2.824︒≈）A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米6.如图，O 是△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，D 是边BC 上一点，且BD =3DC ，则（ ）A 15OD a b 1212=-+ B. 15OD a b 1212=-C. 15OD a b 1212=--D. 15OD a b 1212=+7.在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c b a b c c-分别为角,,A B C 的对应边),则ΔABC 的形状为 A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形8.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）A 掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =O的体积等于( )A.3π B.43π C.23π D.6π 10.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（ ）A. 23-B. 43-C. 15275-D. 7336-二、填空题11.i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________. 12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件AB （B 表示事件B 的对立事件）发生的概率为______.13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．14.在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____.16.在ABC 中，60BAC ∠=︒，2AC →=，2BD DC →→=，AD →=，则AB →=______；设()AE AC AB R λλ→→→=-∈，且4AD AE →→⋅=，则λ的值为______.三、解答题17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c (cos cos )0C a B b A c ++=． （1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．18.某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其所属年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率.19.如图，四棱锥S ABCD-的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，1SD=.（1）求证BC SC⊥；（2）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.20.如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.答案与解析一、选择题1.若复数1z 对应复平面内的点()2,3，且121z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A. 513-B.513C.113D.113【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求出2511313z i =-，即得复数2z 的虚部. 【详解】由题意12+3z i =，由121z z i ⋅=+得21(1)(23)3512+3(2+3)(2)1313i i i z i i i i ++-===--， ∴复数2z 的虚部为113， 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂．【详解】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 3.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则=a b +( ) A. 5 B. 25C. 10D. 10【答案】C 【解析】 试题分析:向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，2402x x ∴-=⇒=，1(4)202y y ⨯--=⇒=-，从而(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，因此223(1)10a b +=+-=，故选C ．考点：1.向量的模；2.向量的平行与垂直．4.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）A. 1，3，4B. 2，3，3C. 2，2，4D. 1，1，6【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可得第2，3，4组中频数之比，结合分层抽样的特点可得人数. 【详解】由图可知第2，3，4组的频率之比为0.15:0.15:0.3，所以频数之比为1:1:2，现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，所以第2，3，4组抽取的人数依次为2，2,4. 故选：C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的解读及分层抽样方法，通过频率分布直方图可得出频率是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.5.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt ABC 中，70.5ABC ∠=︒，在Rt DBC 中，45DBC ∠=︒，且 2.3CD =米，求像体AD 的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943︒≈，cos70.50.334︒≈，tan70.5 2.824︒≈）A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米【答案】B 【解析】 【分析】在Rt BCD 和Rt ABC 中，利用正切值可求得AC ，进而求得AD . 【详解】在Rt BCD 中， 2.3tan CDBC DBC==∠（米），在Rt ABC 中，tan 2.3 2.824 6.5AC BC ABC =∠≈⨯≈（米），6.5 2.3 4.2AD AC CD ∴=-=-=（米）.故选：B .【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.6.如图，O 是△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，D 是边BC 上一点，且BD =3DC ，则（ ）A 15OD a b 1212=-+ B. 15OD a b 1212=- C. 15OD a b 1212=--D. 15OD a b 1212=+【答案】A 【解析】 【分析】由O 为△ABC 的重心，则点E 为BC 的中点，且()122AO OE AE AB AC ，==+，又由BD =3DC ，得：D 是BC 的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则1115341212OD OE ED AE a b =+=+=-+，故得解【详解】如图，延长AO 交BC 于E ，由已知O 为△ABC 的重心， 则点E 为BC 的中点，且()122AO OE AE AB AC ，==+ 由BD =3DC ，得：D 是BC 的四等分点， 则()()1111134324OD OE ED AE BC AB AC AC AB =+=+=⨯++- 151212a b =-+， 故选A ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征，属中档题． 7.在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c ba b c c-分别为角,,A B C 对应边),则ΔABC 的形状为A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】B 【解析】由题可得21sin22A cosA -==1222c b b c c -=-，所以bcosA c=.由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C 为直角. 本题选择B 选项.8.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）A 掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生” 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件的定义直接判断各选项，即可得到结果．【详解】对于选项A ，事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项B ，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”， 则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项C ，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”， 则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概念和对相互独立事件的判断，本题属于基础题.9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =球O 的体积等于( )A.3π B.43π C.2π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平面垂直的判定与性质得出SBC ，SAC 为直角三角形，可得SC 的中点O 为球心，又可求得2SC =，求出球的半径，即可得解．【详解】解：SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，SA BC ∴⊥，AB BC ⊥， BC ∴⊥面SAB ， BS ⊂面SAB ， SB BC ∴⊥，Rt SBC ∴，Rt SAC 中AC 的中点O ， OS OA OB OC ∴===，SC ∴为球O 的直径，又可求得2SC =，∴球O 的半径1R =，体积34433V R ππ==， 故选B ．【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，平面，立体问题的转化，巧运用直角三角形的性质．10.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（ ）A. 23-B. 43-C. 15275-D. 7336-【答案】D 【解析】根据23AE BD ⋅=-，根据线性运算进行变换可求得3DAB π∠=；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为结果. 【详解】由题意知：23BE BC =，设DAB θ∠= ()()22233AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC AD BC AB ∴⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ 8824cos 4cos 333θθ=-+-=- 1cos 2θ∴= 3πθ⇒= 以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：()3,0A ∴-，2313E ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()0,F t 则()3,AF t =，23133EF t ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2112233AF EF t t t t ⎛⎫∴⋅=-++=+- ⎪⎝⎭当16t =-时，()min 11732361836AF EF ⋅=--=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.二、填空题11.i 是虚数单位，则51i i-+的值为__________. 13【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件AB （B 表示事件B 的对立事件）发生的概率为______. 【答案】23【解析】 【分析】 根据对立事件的概率公式以及互斥事件的概率的加法公式可得结果.【详解】依题意可知，事件A 与事件B 为互斥事件，且()2163P A ==，()4263P B ==， 所以()P A B ()()P A P B =+()()1P A P B =+-1221333=+-=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率的加法公式，属于基础题.13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．【答案】2π12π+ 【解析】【分析】利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比. 【详解】设正方形的边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2r a π=，2a r π=， 所以圆柱的全面积为22224a S a ππ=⨯+全，故全面积与侧面积之比为222221242a a a ππππ⨯++=，填2π12π+. 【点睛】圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.14.在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.【答案】53-【解析】【分析】 用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值.【详解】O 为BC 的中点，()12AO AB AC ∴=+， 3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=， ()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____. 【答案】6π 【解析】【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .【详解】sin C B = 根据正弦定理：sin sin b c B C= ∴可得c =根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-由已知可得：22a b -=故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos 2A =. 由0A π<< ∴6A π= 故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.在ABC 中，60BAC ∠=︒，2AC →=，2BD DC →→=，3AD →=，则AB →=______；设()AE AC AB R λλ→→→=-∈，且4AD AE →→⋅=，则λ的值为______.【答案】 (1). 3 (2).2711【解析】【分析】由2BD DC →→=可得1233AD AB AC →→→=+，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可； 把1233AD AB AC →→→=+和AE AC AB λ→→→=-代入4AD AE →→⋅=，化简整理后，代入已知数据，解关于λ的方程即可得解．【详解】解：2BD DC →→=，B ∴、D 、C 三点共线， ∴1233AD AB AC →→→=+， 两边平方得：2221412||||||2||||cos609933AD AB AC AB AC →→→→→=++⨯⨯︒， ∴2371441||42||99992AB AB →→=+⨯+⨯⨯⨯， 解得：37AB →=-或（舍去）．4AD AE →→=，12()()433AB AC AC AB λ→→→→∴+-=， 化简整理，得221224333AB AC AB AC λλ→→→→--++=， ∴1229432cos604333λλ--⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=，解得2711λ=． 故答案为：3，2711． 【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力．三、解答题17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c (cos cos )0C a B b A c ++=．（1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．【答案】（1）34C π=； （2）（ⅰ）c =（ii ）sin(2)B C -=． 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小.（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ；（ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.【详解】解：（1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-， 0C π<<， ∴34C π=（2）（ⅰ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422(10c a b ab C =+-=+-⨯=，∴c =（ⅱ）由sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos B =4sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=，43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B C B C B C -=-=⨯-=【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.18.某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其所属年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M 的样本点，并求事件M 发生的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；25. 【解析】【分析】（1）根据样本空间的概念写出即可；（2）利用列举法写出样本点，然后根据古典概型的概率公式求出概率即可得.【详解】（1）这个试验的样本空间为： {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A X A Y A Z B C B X B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z .（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为；{},A Y ，{},A Z ，{},B X ，{},B Z ，{},C X ，{},C Y 共6种，因此事件M 发生的概率()62155P M ==. 【点睛】本题考查了样本空间的概念，考查了用列举法求古典概型的概率，属于基础题.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，1SD =.（1）求证BC SC ⊥；（2）求平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45︒；（3）90︒.【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，再证线线垂直.（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角的平面角为SCD ∠，根据题意可求角度.（3）利用中位线将异面直线平移，则DMP ∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角，根据勾股定理，即可求解.【详解】（1）∵底面ABCD 是正方形， ∴BC CD ⊥，∵SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴SD BC ⊥，又DCSD D =， ∴BC ⊥平面SDC ，∵SC ⊂平面SDC ，∴BC SC ⊥.（2）由（1）知BC SC ⊥，又CD BC ⊥，∴SCD ∠为所求二面角的平面角，在Rt DSC ∆中，∵1SD DC ==，∴45SCD ∠=︒.（3）取AB 中点P ，连结,MP DP ，在ABS ，由中位线定理得//MP SB ， DMP ∴∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角， ∵132MP SB ==2151242DM DP ==+=， 所以DMP ∆中，有222DP MP DM =+，90DMP ∴∠=︒.【点睛】本题考查（1）垂直关系的转化证明（2）二面角的求法（3）异面直线所成角，考查逻辑推理能力，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.20.如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角O−EF−C 的正弦值；（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ3（Ⅲ）721. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（Ⅲ）利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值. 试题解析：依题意，OF ABCD 平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（Ⅰ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110{0n AD n AF ⋅=⋅=，即20{20x x y z =-+=. 不妨设1z =，可得()102,1n =,，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=， 又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（Ⅱ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220{0n EF n CF ⋅=⋅=，即0{20x y x y z +=-++=. 不妨设1x =，可得()21,1,1n =-. 因此有2226cos ,OA n OA n OA n ⋅==-⋅，于是23sin ,3OA n =， 所以，二面角O EF C --的正弦值为3. （Ⅲ）解：由23AH HF =，得25AH AF = 因为，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅==-⋅.所以，直线BH和平面CEF. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题。
2019-2020学年天津一中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津一中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知面α⊥β，α∩β=l，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l斜交，则()A. a和b不垂直但可能平行B. a和b可能垂直也可能平行C. a和b不平行但可能垂直D. a和b既不垂直也不平行2.已知直线ax+by+c=0(a,b，c都是正数)与圆x2+y2=2相切，则以a，b，c为三边长的三角形()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不存在3.若直线l经过点A(5,2)、B(3,4)，则直线l倾斜角为()A. π6B. π3C. 5π6D. 3π44.直线y=kx−2k+1恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为()A. (x−2)2+(y−1)2=5B. (x−2)2+(y−1)2=25C. (x+2)2+(y−1)2=25D. (x+2)2+(y+1)2=55.直线和圆的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心6.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为()A. 3：2B. 3：1C. 2：3D. 4：37.已知球O的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是π2，π2,π3，则OB与平面ABC所成的角是()A. arcsin√217B. arcsin2√77C. arccos√77D. arccos√2178.过点P(2,−1)作圆(x−1)2+y2=25的弦AB，则弦长AB的最短时AB所在的直线方程方程是()A. x−y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−1=0D. 2x−y−5=09.动点P到点A(6,0)的距离是到点B(2,0)的距离的√2倍，则动点P的轨迹方程为()A. (x+2)2+y2=32B. x2+y2=16C. (x−1)2+y2=16D. x2+(−1)2=1610. 直线3x +4y −3=0与圆(x −2)2+(y −3)2=1的位置关系是( )A. 相离B. 相交C. 相切D. 无法判定．二、单空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 12、在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为_______12. 经过点，且与直线垂直的直线方程为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)的右焦点，且于直线{x =4−2ty =3−t (t 为参数)平行的直线方程为______ ．14. 已知四棱锥P −ABCD 的五个顶点在同一球面上.若该球的半径为4，ABCD 是边长为2的正方形，且∠PAB =90°，则当PA 最长时，四棱锥P −ABCD 的体积为______ ． 15. 直线y =x +2与圆x 2−2x +y 2−4y +1=0的位置关系是______ ．16. 已知AB 为圆O ：(x −1)2+y 2=1的直径，点P 为直线x −y +1=0上任意一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 17. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，平面PAB⊥底面ABCD，∠PAB=90°.求证：(1)PB//平面AEC；(2)平面PAC⊥平面ABCD．19. 如图，△CDE中∠CDE=90°，平面CDE外一条线段AB满足AB//DE，AB=12DE，AB⊥AC，F是CD的中点．(Ⅰ)求证：AF//平面BCE；(Ⅱ)若AC=AD，证明：AF⊥平面CDE．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，且它的左焦点F1与右顶点A的距离|AF1|=6．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过点T(−3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=−163于R，S两点，求证：直线RT与直线ST的斜率之积为定值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵面α⊥β，α∩β=l，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l斜交，∴当a，b有公共点时，a与b相交，当a，b没有公共点时，a与b异面，∴a和b不可能平行；∵面α⊥β，α∩β=l，直线a⊂α，直线b⊂β，∴当a⊥b时，a，b中至少有一条与交线l垂直，这与已知条件a，b与l斜交相矛盾，∴由反证法知a，b不垂直．故选：D．由已知条件，结合空间中直线与直线的位置关系，用排除法能推导出a和b不可能平行，用反证法能推导出a，b不垂直．本题考查空间两条直线的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．2.答案：D解析：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，得到圆心到直线的距离√a2+b2=√2，即c2= 2a2+2b2是解题的关键，属于中档题．由题意可得，圆心到直线的距离√a2+b2=√2，即c2=2a2+2b2，故可得结论．解：∵直线ax+by+c=0(a,b，c都是正数)与圆x2+y2=2相切，∴圆心到直线的距离√a2+b2=√2，即c2=2a2+2b2，∴cosC=a2+b2−c22ab =−a2+b22ab≤−1，故以a，b，c为三边长的三角形不存在，故选D．3.答案：D解析：解：设直线l倾斜角为θ，θ∈[0,π)．则tanθ=k AB=4−23−5=−1，∴θ=3π4．故选：D ．设直线l 倾斜角为θ，θ∈[0,π).可得tanθ=k AB ，即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：直线y =kx −2k +1恒过定点C(2,1)，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为：(x −2)2+(y −1)2=25． 故选：B ．求出直线系经过的定点，得到圆的圆心，然后求解圆的方程． 本题考查直线系的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．5.答案：A解析：试题分析：圆O 的圆心坐标为，根据点到直线的距离公式得圆心到已知直线的距离为：，所以直线与圆的位置关系为相离． 考点：直线与圆的位置关系．6.答案：A解析：本题给出圆柱的侧面积与一个球的表面积相等，求它们的体积比．着重考查了圆柱侧面积和体积公式、球的表面积和体积公式，为拔高题．根据题意，设圆柱的底面半径为r ，利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式，算出球的半径R =r ，再利用圆柱与球的体积公式加以计算，可得所求体积之比． 解：设圆柱的底面半径为r ，轴截面正方形边长a ，则a =2r ． 可得圆柱的侧面积S 1=2πra =4πr 2． 再设与圆柱侧面积相等的球半径为R ， 则球的表面积S 2=4πR 2=4πr 2，解得R =r ， 因此圆柱的体积为V 1=πr 2×a =2πr 3， 球的体积为V 2=43πR 3=43πr 3，因此圆柱的体积与球的体积之比为V 1V 2=32．故选：A ．解析：解：由题意，∵球O的表面积为4π，∴球的半径为1，∵A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是π2，π2,π3，∴∠AOB=π2，∠AOC=π2，∠BOC=π3，∴AO⊥面BOC∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=√2，BC=1．∴V A−OBC=13×√34×1=√312设h为O到平面ABC的距离，则∵S△ABC=12×1×√2−14=√74∴V A−OBC=V O−ABC=13×√74ℎ=√312∴ℎ=√21 7∴OA与平面ABC所成角的正弦值为√217∴OB与平面ABC所成的角是arcsin√217故选：A．由题意，球的半径为1，根据A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是π2，π2,π3，可得∠AOB=π2，∠AOC=π2，∠BOC=π2,π3，从而可求AB=AC=√2，BC=1，可求V A−OBC=13×√34×1=√312，利用等体积法求出O到平面ABC的距离，即可求得结论．本题考查线面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是利用等体积求出点到面的距离，属于中档题．8.答案：A解析：解：圆心坐标D(1,0)，要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥AB时，满足条件，此时DP的斜率k=0+11−2=−1，则弦AB的斜率k=1，则此时对应的方程为y+1=x−2，即x−y−3=0，根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆的位置关系确定最短弦满足的条件是解决本题的关键．9.答案：A解析：解：设P(x,y)，则由题意可得：√(x−6)2+y2=√2√(x−2)2+y2，化简整理得(x+2)2+y2=32．故选：A．设P为(x,y)，依据题中条件动点P到点A(6,0)的距离是到点B(2,0)的距离的√2倍，列出关于x，y的方程式，化简即可得点P的轨迹方程．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．10.答案：A解析：解：由圆的方程(x−2)2+(y−3)2=1得到：圆心坐标为(2,3)，半径r=1，=3>r，所以圆心到直线3x+4y−3=0的距离d=|6+12−3|5则直线与圆的位置关系为相离．故选：A．由圆的方程求出圆心坐标和圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，发现d与r的关系，然后判断直线与圆的位置关系．此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式．其中直线与圆的位置关系的判定方法为：当0≤d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．11.答案：60°解析：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D//B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B，故∠BA 1D =60°． 故答案为：60°．12.答案： ．解析：∵所求直线与直线垂直，∴设直线方程为x −2y +C =0，将点代入，得2+2×3+C =0，解得C =−8． ∴直线方程为x −2y −8=0． 故答案为．13.答案：x −2y −1=0解析：解：∵(x2)2+(√3)2=cos 2θ+sin 2θ=1， ∴该椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1，其右焦点为F(1,0)；又直线{x =4−2t y =3−t (t 为参数)的普通方程为：x−4−2=y−3−1，整理得：x −2y +2=0， ∴其斜率k =12，∴过右焦点F(1,0)且与直线x −2y +2=0平行的直线方程为：y −0=12(x −1)， 整理得：x −2y −1=0， 故答案为：x −2y −1=0．将椭圆的参数方程{x =2cosθy =√3sinθ与直线{x =4−2ty =3−t (t 为参数)的参数方程化为普通方程，依题意即可求得答案．本题考查椭圆与直线的参数方程，考查椭圆的简单性质与直线方程的点斜式应用，属于中档题．14.答案：8√143解析：解：如图，因为∠PAB =90°，故P 点在与BA 垂直的圆面O 1内运动，易知，当P 、O 1、A 三点共线时PA 达到最长此时， 可将四棱锥补形为长方体A 1B 1C 1P −ABCD ，其体对角线为2R =8，底面边长为2的正方形，可得高PD =2√14，故四棱锥体积V =13×4×2√14=8√143． 故答案为：8√143． 画出图形，利用已知条件判断P 的位置，通过补形法，通过外接球的半径，推出PD ，然后求解三棱锥的体积即可．本题考查四棱锥体积的求法，考查空间中点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力及空间想象能力，属于中档题．15.答案：相交解析：解：由x 2−2x +y 2−4y +1=0得到：(x −1)2+(y −2)2=4． 则该圆的圆心为(1,2)，半径为2，直线x −y +2=0与圆：(x −1)2+(y −2)2=4的圆心的距离为：d =√2=√22<2，所以直线y =x +2与圆x 2−2x +y 2−4y +1=0的位置关系是相交． 故答案是：相交．求出圆的圆心与直线的距离与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系．本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆心到直线的距离与半径比较是解题的关键．16.答案：1解析：解：由AB 为圆O ：(x −1)2+y 2=1的直径， 可设A(1+cosθ,sinθ)，B(1−cosθ,−sinθ)．∵点P 为直线x −y +1=0上任意一点，可设P(x,x +1)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+cosθ−x,sinθ−x −1)⋅(1−cosθ−x,−sinθ−x −1)=(1−x)2−cos 2θ+(1+x)2−sin 2θ=2x 2+1≥1．∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为1，此时P(0,1)． 故答案为：1．由AB为圆O：(x−1)2+y2=1的直径，可设A(1+cosθ,sinθ)，B(1−cosθ,−sinθ).点P为直线x−y+1=0上任意一点，可设P(x,x+1).利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．本题考查了圆的标准方程、数量积运算性质、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．18.答案：证明：(1)连BD，交AC于点O，连OE．因为底面ABCD是平行四边形，所以O为BD的中点．因为E为棱PD的中点，所以OE//PB，又因为OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB//平面AEC．(2)因为平面PAB⊥底面ABCD，∠PAB=90°，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD，因为PA⊂平面PAC，。
2019-2020学年天津一中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年天津一中高一（上）期中数学试卷1. 2. 3.选择题（本大题共10小题，共30.0分）名。
},B={—2,—L0,3,4},则AC\B={)B・已知集合A=[xA.{0}B. {0,3}C. {-1,0,3}D.(0,3,4)设x为实数，命题p：Px£R, x2>0,则命题p的否定是()A.~p：Vx6R. x2 <0C.~p：Vx6/?•%2 <0下列不等式成立的是()B~pz我o€R,xg<0D.3x06R f X q<01(2)<■-S1-5z(xVIs©A>•-8>*-81574XIVB.C.(方<(泸v(方D.(泸4.已知函Sl/(x)=2x2-ax-l,在[一1,2]上单调，则实数u的取值范用是().A.[-4,8]B.(-00,-4]C. [8,+8]D. (-CO,-4]U[8,+8)5.已知关于x的不等式ax2-x+h>0的解集是(-1,一§，则:的值是()A.2B.\C. -1D. I6.若“三|<0”是"|x—a| V2”的充分而不必要条件，则实数〃的取值范国是()A.(1,3]B,[1,3] C. (-1,3] D.[-1,3]7.己知?+： =2(a>0,b>0).则汕的最小值是()A.4B.5C.6D.78.定义a®则函数/\x）=x®（2—x）的值域是（）A.（-00,1）B. （-00,1]C.RD.（1,+8）9.函数f（x）=m+*+5（aM均为正数），若/Xx）在（0,+8）上有最大值8,则/"（X）在（一8,0）上（）A.有最大值—8B.有最小值一8C.有最小值2D.有最大值210.函数f（x）=W（x>0）的值域是（）A.（一8,3）B. （3,+8）C,（2,3） D. （0,3）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）1L海+(}一：+(-4.3)°-(2V3)2 =12.已知函¥i.f(x)=ax s+bx3+cx-l,若尸(-3)=S,则/(3)=.13.函数尸(Q为(一8,+8)上的奇函数.则/(0)=.14.己知函=ax2+(b-3)%+3.x E[a2-2t a\是偶函数・则a+fe=15.已知函数，(对=£二:若f(x)在/?上为增函数，则实数“的取值范围是_______.16.f(x)是定义在R上的奇函数，且单调递减，若/(2-a)+/(4-a)<0.则“的取值范围为三、解答题(本大题共4小题，共46.0分)17.己知集=(x|x2-2x-3<0}.B=(x|x2-2mx+m2 -4<0,x€R.m€R).(1)若，nB=[0,3],求实数力的值；⑵若a^c r b.求实数川的取值范困.18.己知奇函数，侦)=圭三的定义域为犬，fW=\.(1)求实数“、b的值：(2)ilE明函数，(x)在区间(-1,1)上为增函数：(3)判断并证明/⑴的奇偶性.19.如图，已知直线y=kx+6-k与曲线9=2+玄第一象限和第三象限分别交于点A和点分别由点A、B向'轴作垂线，垂足分别为M、N,记四边形AMBN的而枳为S.(1)求出点A、8的坐标及实数/:的取值范围：(2)当&取何值时，S取得最小值，并求出S的最小值.20.已知函Sly=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x.(1)求函数的解析式：(2)若对任意实数0恒成立，求实数，的取值范围.答案与解析1.答案：B解析：【分析】本题考查分式不等式的求解，集合的交集运算，属于基础题.先解不等式求出集合再求交集.【解答】解：由分式不等式岩<0,解得A={x\-l<x<3},所以MB={0,3},故选晨2.答案：D解析；解：全称命题的否定是特称命题，命题p：VxGR.x2>0,则命题p的否定是：Bro&R.好V0.故选：D,通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可.本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查.3.答案：B解析：解：由指数函数的单调性可得（质>（坑由蒂函数的性质可得甘A.・.（朴（成>夺.故选：B.直接由指数函数与幕函数的单调性比较三个数的大小得答案.本题考查指数函数与密函数的单调性，是基础题.4.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.结合二次函数的图象与性质以及/Xx)在区间[-1,2]上单调，叮得"的取值范国.【解答】解：•••函V(x)=2x2-ax-1的图象是开口朝上，且以直线x=：为对称轴的抛物线，且/•(%)在区间[-1,2]t单调，或,2，解得；a E(-oo,-4]U[8.4-cn),故选O.5.答案：A解析：【分析】本枝主要考查一元二次不等式的解法，根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出心b即可.【解答】解：因为关于x的不等式ax2-x+b>。