圆锥曲线提升专题训练
湖南高考数学圆锥曲线专项提升练习题及答案
湖南2019-2019高考数学圆锥曲线专项提升练习题及答案2019多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，以下是圆锥曲线专项提升练习题及答案，希望对考生有帮助。
1.双曲线的方程为=1(a0，b0)，焦距为4，一个顶点是抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的离心率e=()A.2B. 1C.3D.52.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A. (0，1)B.(1，5)C. (1，3)D.(0，2)3.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点。
若=0，则||+||+||=()A.9B.6C.4D.34.已知抛物线y2=2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-25.已知A，B，P是双曲线=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB=，则该双曲线的离心率为()A.1B.2C. -1D.-26.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A.4B.3C.4D.87.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p=( )。
8.(2019湖南，文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x=-1的距离相等。
若机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是( )。
9.已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为-，求此双曲线的方程。
10.(2019安徽，文21)设F1，F2分别是椭圆E:=1(a0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|。
c第二章++圆锥曲线提高训练(含答案)
（数学选修1-1）第二章圆锥曲线提高训练姓名：___________ 学号：____________ 班次：____________ 成绩：__________ 一、选择题1．若抛物线x y=2上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）A．1(,4B．1(,8C．1(4D．1(82．椭圆1244922=+y x 上一点P与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．243．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线xy 22=的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M的坐标为（ ）A ．()0,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1D ．()2,24．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y xD ．1222=-y x5．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（ ）A ．（315,315-） B ．（315,0）C ．（0,315-） D ．（1,315--） 6．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线mx y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m等于（ ）A ．23 B ．2C ．25 D ．3二、填空题1．椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ，点P为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P横坐标的取值范围是 。
2．双曲线221-=的一条渐近线与直tx y线210离心x y++=垂直，则这双曲线的率为___。
交于A、3．若直线2y kx=-与抛物线28y x=的中点的横坐B两点，若线段AB标是2，则AB=______。
4．若直线1y kx=-与双曲线224x y-=始终有公共点，则k取值范围是。
高二数学圆锥曲线提高训练
（数学选修1-1）第二章 圆锥曲线[提高训练C 组]及答案一、选择题1．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离；则点P 的坐标为（ ）A ．1(,4 B ．1(,8 C ．1(4 D ．1(8 2．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直； 则△21F PF 的面积为（ ） A ．20 B ．22 C ．28 D ．243．若点A 的坐标为(3,2)；F 是抛物线x y 22=的焦点；点M 在 抛物线上移动时；使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,24．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 5．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点；那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）6．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称；且2121-=⋅x x ；则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．25D ．3二、填空题1．椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ；点P 为其上的动点；当∠1F P 2F 为钝角时；点P 横坐标的取值范围是 。
2．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直；则这双曲线的离心率为___。
3．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点；若线段AB 的中点的横坐标是2；则AB =______。
4．若直线1y kx =-与双曲线224x y -=始终有公共点；则k 取值范围是 。
圆锥曲线专题训练试卷(1)教师
圆锥曲线专题训练试卷（1）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）( )【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆方程知2100,10a a =∴=，236,6b b =∴=，那么22236,6c a b c =-=∴=，可得椭圆离心率为 考点：椭圆的标准方程与几何意义.2．下列曲线中焦点坐标为)0,1(-的是（ ）A ．y ＝－4x 2C 【答案】A【解析】a 2b 2故c2＝a2＋b2＝1，一个焦点为（－1，0），符合题意；抛物线y ＝－4x 2中，焦点为（0，，不符合题意；0）0，±1），不符合题意.故选A【知识点】圆锥曲线的性质3．方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则θ的取值范围ABC D 【答案】D 【解析】试题分析：方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则必须满足的条件为：sin 20,cos 0θθ>>，且sin 2cos θθ≠解不等式：sin 20cos 0θθ>⎧⎨>⎩，解得：)(26k ππ+Z k ∈，故正确选项D ．考点：①椭圆的简单性质；②三角函数不等式．4．点P 在双曲线上，21,F F 为焦点，且21PF PF ⊥，-（ ）B. 102C. 【答案】D【解析】由双曲线定义得：12||||2,PF PF a -=12||3,||PF a PF a ∴==222121212,||||||PF PF PF PF F F ⊥∴+=。
即2222594,()22c c a a c a a +==⇒=故选D5．已知0a b >>，12,e e 12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定【答案】B 【解析】试题分析：12lg lg e e +)lg(21e e =01lg =<，所以选C.考点：圆锥曲线的性质及对数的运算.6A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（ ） A 、049=--y x B 、059=-+y xC 、022=-+y xD 、022=+-y x 【答案】B 【解析】A ，B 两点，设),(),,(2211y x B y x A则1）（2），由（1）（2）联立并相减得：点p 是AB 的中点所以1,12121=+=+y y x x ，所以，，则直线AB 的方程整理得059=+-y x . 考点：点差法求直线方程.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）7．(2014·武汉模拟)圆(x-a)2+y 2=1与双曲线x 2-y 2=1的渐近线相切,则a 的值是________. 【答案】±√2【解析】双曲线x 2-y 2=1的渐近线为y=±x,不妨取y=x,若直线y=x 与圆相切,则有圆心(a,0)到直线x-y=0的距离d=√2=1,即|a|=√2,所以a=±√2.8表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ． 【答案】（1,2） 【解析】试题分析：因为方程表示焦点在y 轴上的椭圆，所以013>->-m m ，解得21<<m考点：椭圆的性质9．一动点到y 轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为 . 【答案】)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或【解析】设动点为(,),P x y ||2;x =+平方得244||y x x =+ 当0x ≥时，8;y x =当0x <时，0.y =所以动点的轨迹方程为)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或10．12F F 、是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF •的最大值是 【答案】1 【解析】试题分析：设),(y x P ，，22-≤-x ，12PF PF •=又42≤x ，所以，即12PF PF ⋅的最大值是1。
圆锥曲线基础提高练习(含答案)
1.抛物线的焦点到准线的距离是 .2.过双曲线C ：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，若（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 2 . 3.过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则________________ 4.以知F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。
5．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 6．设12,F F 是双曲线116922=-yx的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F P F ∠=，求△12F P F 的面积。
7．在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。
8．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15， 求抛物线的方程。
9.已知双曲线，右准线方程为。
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆上，求m 的值.10.已知双曲线，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.24y x =22221x y ab-=(0,0)a b >>222x y a +=120AOB ∠=22(0)y px p =>45 p =221412xy-=(1,4),A P PF PA +2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>3x =0x y m -+=225x y +=2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>3x =C l 22:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B A O B ∠1【答案】2【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2 2解: ,【答案】：2 3解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。
圆锥曲线与方程(能力提升练及答案详解)
第3章 圆锥曲线与方程（B 卷·能力提升练）第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．（2022·河南·新蔡县高二阶段练习）已知椭圆2214x y m+=的焦距为23m 的值不可能为（ ） A ．1 B ．7 C ．1- D 7【答案】D【分析】根据椭圆的焦距，分4m >，4m <求解.【详解】由题知，3c =.若4m >，则2a m =，24b =，所以7m =，即7m =±；若4m <，则24a =，1b m ==，即1m =±.故选：D2．（2022·江苏·高二）已知曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离比点P 到直线3x =-的距离小1，M ，N 是曲线C 上不同的两点，若10MF NF +=，则线段MN 的中点Q 到y 轴的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【分析】根据抛物线的定义求出曲线C 的方程，再根据抛物线的性质计算可得；【详解】解：依题意曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离和点P 到直线2x =-的距离相等， 由抛物线的定义可知：曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28y x =．分别设点M 、N 、Q 到准线2x =-的距离分别为1d ，2d ，d ， 则12522MF NFd d d ++===，所以中点Q 到y 轴的距离为3，故选：A ． 3．（2022·江苏·高二）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C的右支上，12PF PF ⊥，线段1PF 与双曲线C 的左支相交于点Q ，若2132PF QF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A 3B ．2C 5D ．2【答案】C【分析】根据双曲线的定义及勾股定理计算可得；【详解】解：设()230PF x x =>，12QF x =，双曲线的焦距为2c ，由双曲线的定义可知21222QF QF a x a =+=+，2PQ a x =+，在2Rt PQF 中有22222QF PQ PF =+，可得()()2222229a x a x x +=++，解得23x a =，所以22PF a =，14PF a =，在12Rt PF F △中2221212F F PF PF =+，可得2224416c a a =+， 解得5c a =，所以离心率5e =；故选：C4．（2022·江苏南通·高二期末）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角θ满足4tan 23θ=，则该抛物面天线的焦径比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．2【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用题设条件得到得A 点坐标，代入抛物线方程化简即可求解 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为22y px =（0p >）在Rt AMF 中2d AM =，4tan 3AFM ∠=则3tan 8AM FM d AFM ==∠ 所以2258AF AM MF d =+=则528A A p AF x f x d =+=+=所以58A x d f =-，所以5,82d d A f ⎛⎫-⎪⎝⎭ 将5,82d d A f ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入抛物线方程中得 25524288d d d p f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒2216100f fd d -+=()()280f d f d ⇒--= 所以2f d =或8f d =即12f d =或18f d =（舍） 当18f d =时，388d d MF OF f =>== 故选：B 5．（2022·湖南·高二期末）已知12F F ，分别是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点()0A b ，，点B 在椭圆C 上，112AF F B =，D E ，分别是22AF BF ，的中点，且2DEF △的周长为4，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22143x y += B ．223148x y += C ．223144x y += D ．22312y x += 【答案】B【分析】因为112AF F B =，所以1A F B ，，三点共线，且112AF F B =，根据椭圆的定义求得2a =， 设()00,B x y ，根据112AF F B =，求得322cb B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，代入椭圆的方程，求得b 的值，即可求解. 【详解】因为112AF F B =，所以1A F B ，，三点共线，且112AF F B =， 因为D E ，分别为2AF 和2BF 的中点，所以()2222428a AB AF BF DE DF EF =++=++=，所以2a =， 设()00,B x y ，()1,0F c -，()0,A b ，由112AF F B =，可得()()002c b x c y --=+，，， 求得032c x =-，02b y =-，所以322c b B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，因为点B 在椭圆C 上，所以2911164c +=，求得243c =，283b =，所以椭圆C 的方程为223148x y +=. 故选：B.6．（2022·广东·高二月考）已知双曲线22125144y x -=，过双曲线的上焦点1F 作圆22:25O x y +=的一条切线，切点为M ，交双曲线的下支于点N ，T 为1NF 的中点，则MOT △的外接圆的周长为（ ） A ．377πB ．5πC ．6πD ．367π【答案】A【分析】设F '是双曲线的右焦点，连接NF '，MOT △的外接圆的半径为r ，利用中位线和双曲线的定义求出||27MT r =-，再解方程22425(27)r r =+-即得解.【详解】解：设F '是双曲线的右焦点，连接NF '，MOT △的外接圆的半径为r ， ,T O 分别是1NF 和1F F '的中点，∴12TO NF ='，设||2TO r =，所以4NF r '= 由双曲线定义得110F N NF '-=，所以1104F N r =+，所以152FT r =+. 又221||13512MF =-=,所以||27MT r =-.在直角MOT △中，2237425(27),14r r r =+-∴=MOT ∴的外接圆的半径为3714，即周长为37372147ππ⨯⨯=．故选：A ．7．（2022·河北石家庄·高二期末）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．17 D ．17-【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-，所以||||||4PA PF PA PF '-=+-， 如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时，此时||PA PF '+取得最小值， 又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=， 所以||||PA PF -的最小值为1．故选：A ．8．（2022·北京·高二期中）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为上221916x y-=，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44,33k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．当m n ⊥时，1232PF PF ⋅=C ．当n 过点()7,5Q 时，光由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13D ．若()1,0T ，直线PT 与C 相切，则212PF = 【答案】C【分析】求出双曲线渐近线方程，可判断A 选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B 选项；利用双曲线的定义可判断C 选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D 选项. 【详解】在双曲线221916x y -=中，3a =，4b =，则5c =，易知点()15,0F -、()25,0F ，设1PF u =，2PF v =，对于A 选项，因为双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±，当点P 在第一象限内运动时，随着0x 的增大，射线n 慢慢接近于直线43y x =，此时403k <<，同理可知当点P 在第四象限内运动时，403k -<<，当点P 为双曲线的右顶点时，0k =，综上所述，k 的取值范围是44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，当m n ⊥时，26u v a -==，()2222236210u v u v uv uv +=-+=+=，所以，1232PF PF uv ⋅==，B 对；对于C 选项，()22175513FQ =++=，故n 过点()7,5Q 时，光由2F 到P 再到Q 所经过的路程为211267PF PQ PF a PQ FQ +=-+=-=，C 错； 对于D 选项，若()1,0T ，由角平分线定理可得1211226342PF T PF TS PF FT S PF F T====△△， 即22632PF PF +=，解得212PF =，D 对.故选：C. 二、多选题（每小题5分，共20分）9．（2022·江苏连云港·高二期末）设 m 为实数，方程22112x y m m+=--，下列说法正确的是（ ） A ．若此方程表示圆，则圆的半径是2B ．若此方程表示双曲线，则 m 的取值范围是 1,2C ．若此方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是 ()2,+∞D ．若此方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 1,2 【答案】AC【分析】根据选项中，方程所表示的曲线列不等式求参数或其范围，即可判断正误. 【详解】A ：方程为圆时，12m m -=-可得32m =，则2212x y +=，即半径是 22，正确；B ：方程为双曲线时，(1)(2)0m m --<可得1m <或2m >，错误；C ：方程为焦点在 x 轴上的双曲线，1020m m ->⎧⎨-<⎩可得2m >，正确；D ：方程为焦点在 y 轴上的椭圆，210m m ->->可得312m <<，错误.故选：AC.10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，5,04A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若PAF △为等腰三角形，则直线AP 的斜率可能为（ ）A 42B ．25C 5D ．22【答案】AB【分析】由抛物线的定义求得94AF =，设()2,2P t t ，得到2222(51,44)PF t PA t t =-=++，分PF AF =、PF PA =和AF PA =，三种情况讨论，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，因为5(,0)4A -，由抛物线的定义，可得94AF =，设()2,2P t t ，可得222251,44PF t PA t t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，当PF AF =时，可得254t =，所以5(,5)4P ±，则255AP k =±，所以B 正确；当PF PA =时，此时方程无解；当AF PA =时，可得212t =，所以1(,2)2P ±，则427PA k =±，所以A 正确.故选：AB 11．（2022·江苏无锡·高二期末）已知点P 在双曲线C ：221169x y -=上，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．12π3F PF ∠=【答案】BC【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P 的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【详解】设点(),P P P x y ．因为双曲线22:1169x y C -=，所以1695c =+=．又12112102022PF F P P S c y y =⨯=⨯⨯=△，所以4P y =，故A 错误．将4P y =代入221169x y -=得2241169P x -=，得203P x =．由双曲线的对称性，不妨取点P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，得22220135433PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．由双曲线的定义得1213372833PF PF a =+=+=，所以12371350333PF PF +=+=，故B 正确． 在12PF F △中，12371321033PF c PF =>=>=，且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅， 则21PF F ∠为钝角，所以12PF F △为钝角三角形，故C 正确． 由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，所以12π3F PF ∠≠，故D 错误．故选：BC ．12．（2022·河北·高二期中）如图，已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是E 上异于顶点的一动点，圆I （圆心为I ）与12PF F △的三边1PF ，12F F ，2PF 分别切于点A ，B ，C ，延长PI 交x 轴于点D ，作1DH PF ⊥交1PF 于点H ，则（ ）．A ．12PF PF +为定值B ．12PF PF ⋅为定值C ．PA 为定值D ．PH 为定值 【答案】ACD【分析】根据椭圆的定义即可判断A ；根据余弦定理可得1PF 2PF 21221cos b F PF =+∠，进而判断B ；根据切线长定理和椭圆的定义可得22PA PC c a ++=，进而判断C ； 根据三角形面积公式和相似三角形的性质可得()()2a c a c b PHaa+-==，进而判断D.【详解】A ：根据椭圆的定义，得122PF PF a +=，则A 正确； B ：设122F F c =，12F PF θ∠=，1PF m =，2PF n =， 由余弦定理，得222122cos F F m n mn θ=+-，即()()()22221cos c m n mn θ=+-+，解得221cos b mn θ=+，由于P 在E 上运动，所以θ的值也随之变化，从而mn 不是定值，则B 错误； C ：根据切线长定理和椭圆的定义，得122PA AF PC CF a +++=，且12122AF CF BF BF c +=+=，则22PA PC c a ++=，所以PA PC a c ==-为定值，则C 正确； D ：连接IA ，则1IA PF ⊥，由()()1212121122IA PF PF F F DH PF PF ++=+，解得IA a DH a c =+； 由PA IA a PH DH a c ==+，得()()2a c a c b PH a a+-==为定值，则D 正确．故选ACD ．三、填空题（每小题5分，共20分）13．（2022·江苏江苏·二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）的左､右焦点分别是()()121122,,,,,F F P x y Q x y 是双曲线右支上的两点，11223x y x y +=+=.记12,PQF PQF 的周长分别为12C C ，，若128C C -=，则双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为___________. 【答案】22【分析】根据题意，结合双曲线的定义爹【详解】解：根据双曲线的定义，()()12112248C C PQ PF QF PQ PF QF a -=++-++==. 所以2a =，故双曲线右顶点()2,0，因为11223x y x y +=+=，所以P 在3x y +=上，Q 在3x y +=上，即直线PQ 方程为：30x y +-=， 所以双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为12.22d ==故答案为：22 14．（2021·江苏·高二月考）已知F 为双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，又360,5A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当APF 的周长最小时，则点P 的坐标为________．【答案】1124,77⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线的定义可得'22PF PF a -==，有'2PA PF PA PF +=++，当P 在左支上运动到A ，P ，'F 共线时，'PA PF +取得最小值'AF ，此时APF 周长取得最小值，直线'AF 的方程与双曲线方程联立，可求得点P 的坐标.【详解】解：设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线2218y C x -=：得1a =，22b =，3c =， 即有()3,0F ，()'3,0F -，所以()22361521393005255AF ⎛⎫=-+-==⎪⎝⎭是定值， 由双曲线的定义可得'22PF PF a -==，得'2PA PF PA PF +=++，而PFA 周长为PA PF AF ++，所以当P 在左支上运动到A ，P ，'F 共线时，'PA PF +取得最小值'AF ，则有APF 周长取得最小值，直线'AF 的方程为13635x y +=-，即125360x y -+=，与双曲线方程联立，2212536018x y y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得点P 的坐标为1124,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为1124,77⎛⎫- ⎪⎝⎭：．15．（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）已知抛物线2:8C y x =的焦点为,F P 为C 上一点，若(2,0)A -，当PAPF最大时点P 的坐标为________． 【答案】()2,4【分析】根据抛物线的定义，得出PA PF 的最大值转化为11cos cos PA PN APN PAF==∠∠的最大值，即得到cos APN ∠必须取得最小值，此时AP 与抛物线相切，设出切线方程，代入抛物线方程，消去x ，即0∆=，求出k ，进而求出点P 的坐标. 【详解】如图所示，不妨设P 在第一象限，过P 作PN 与准线垂直，垂足为N ，则11cos cos PA PA PF PN APN PAF ===∠∠， 当PAPF取得最大值时，则cos APN ∠必须取得最小值，此时AP 与抛物线相切. 设切线方程为()2y k x =+，联立()y k x y x ⎧=+⎨=⎩228，消去x 可得，28160ky y -+=，264640k ∆=-=，即21k =，解得1k =±（负舍），所以28160y y -+=，解得4y =， 将4y =代入直线2y x =+中，得2x =.所以当PAPF最大时点P 的坐标为()2,4故答案为：()2,4. 16．（2022·湖南湖南·51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，A 1，A 2分别为左､右顶点，B 1，B 2分别为上､下顶点，F 1，F 2分别为左､右焦点，P 为椭圆上一点，现给出以下四个条件：①2112212A F F A F F ⋅=；②11290F B A ∠=；③1PF x ⊥轴，且21PO A B ∥；④四边形的1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F .其中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的条件是______和______.【答案】 ②##④【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，根据椭圆的基本性质求出离心率判断①；根据勾股定理以及离心率公式判断②；根据21PO A B k k =结合斜率公式以及离心率公式判断③；由四边形1221A B A B 的一个内角11260∠=B A B 即三角形121A B B 是等边三角形，得到3ab ，结合离心率公式判断④.【详解】由条件得到2(2)()()c a c a c =--，即2c a c =-或2c c a =-（舍)， 解得：15132c a -=≠，所以①不正确； 若11290F B A ∠=，则由射影定理可得：1122=⋅OB F O OA ， 即2b ca =，所以220c ac a +-=，即2e e 10+-=，e (0,1)∈，解得51e 2-=；所以②正确；若1PF x ⊥轴，如图可得2(,)bP c a-±，又21//PO A B ，则斜率相等，所以2b c a b a =--，即b c =，或2b a bc -=--，显然不符合，所以222e 2===+c c a c c ，所以③不正确； 因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线21A B 的距离等于c ，因为直线21A B 的方程为：1x ya b +=，即0bx ay ab +-=，所以原点到直线的距离22ab d a b =+，由题意知：22abc a b =+，又222b a c =-，整理得：222222()(2)a a c c a c -=-，42e 3e 10-+=，2e (0,1)∈， 解得235e 2-=，所以35525151e 242--+-===，所以④正确，故答案为：②，④． 四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．（2022·江苏·高二）①()1,M t 为抛物线 C 上的点，且32MF ；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，______，若直线2y x =-与抛物线C 相交于A 、B 两点，求弦长AB ． 【答案】210．【分析】若选①：根据焦半径公式MF 322M p x =+=即可求出p ，从而求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理和弦长公式即可求AB ；若选②：根据抛物线定义可知抛物线焦点到准线的距离为p ，由此可求抛物线方程，从而采用和选①时相同的方法可求AB ． 【详解】若选①：()1,M t 在抛物线2:2C y px =上，且32MF， 31222M p p MF x ∴=+=+=，则p ＝1； 若选②：∵焦点到准线的距离是1，∴p ＝1；故抛物线C 的方程为22y x =．联立222y x y x=-⎧⎨=⎩，可得2640x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=，124x x =，()221212122242644210AB x x x x x x ∴=⋅-=⋅+-=⋅-⨯=．18．（2022·江苏·南京市高三开学考试）已知双曲线22142x y -=， (1)过点()11M ，的直线交双曲线于 A B ，两点，若M 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)是否存在直线l ，使得112⎛⎫⎪⎝⎭， 为l 被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】(1)210x y -+= (2)不存在，理由见解析【分析】（1）设()1122(,,A x y B x y ),，利用点差法求得直线AB 的斜率，根据直线的点斜式方程结合验证，即可求得答案；（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.（1）设()1122(,,A x y B x y ), ，则221122222424x y x y ⎧-=⎨-=⎩ ，两式相减得()()()()1212121220x x x x y y y y +--+-= ，所以()121212122y y x x x x y y -+=-+ ，又因为M 为弦AB 的中点,故121222x x y y +=+=， ，所以121212y y x x -=-，所以直线AB 的方程为()1112y x -=-，即210x y -+=，由方程组22210142x y x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩得2290x x --=，其400∆=> ，说明所求直线存在，故直线AB 的方程为210x y -+=.（2）假设存在直线l ，使得112⎛⎫⎪⎝⎭， 为l 被该双曲线所截弦的中点，设该直线与双曲线交于C,D 两点，设()3344(,,C x D y x y ), ，则223322442424x y x y ⎧-=⎨-=⎩ ，两式相减得()()()()3434343420x x x x y y y y +--+-= ，所以()343434342y y x x x x y y -+=-+ ，又因为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，为弦CD 的中点,故343421x x y y +=+=， ，所以34341y y x x -=-，所以直线CD的方程为112y x -=-，即2210x y --=，由方程组222210142x y x y --=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ,得22490x x -+= ，根据560'∆=-< ，说明所求直线不存在,故假设不成立，即不存在直线l ，使得112⎛⎫⎪⎝⎭， 为l 被该双曲线所截弦的中点.19．（2022·江苏南京·模拟预测）已知圆F ：()2221x y -+=，动圆P 与圆F 内切，且与定直线3x =-相切，设动点P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)若直线l 过点F ，且与E 交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，满足MA AF λ=，MF FB μ=（0λ>，0μ>），试探究λ与μ的关系． 【答案】(1)28y x = (2)λμ=【分析】(1)根据直线与圆的位置关系可得3R x =+，根据圆与圆的位置关系可得()2221R x y =-++，列出方程，解之即可；(2)设直线l 的方程为()2y k x =-、()11,A x y 、()22,B x y ，法一：由平面共线向量的坐标表示和定点分比公式可得()241k λλ=+、()241k μμ=+，列出方程，解之即可；法二：联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示，化简计算可得112x x λ=-、222x μ=-，证明0λμ-=即可. (1)设(),P x y ，圆P 的半径为R ，由题可知，点P 在直线3x =-右侧， 因为圆P 与定直线3x =-相切，所以3R x =+． 又圆P 与圆F 内切，所以()22121R PF x y =+=-++，所以()22321x x y +=-++，化简得28y x =，即E 的方程为28y x =．(2)解法一：由（1）得()2,0F ，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 则()0,2M k -，因为MA AF λ=，由定点分比公式可知121x λλ=+，121ky λ-=+ 因为点A 在E 上，所以2118y x =，即()2241611k λλλ=++，所以()241k λλ=+． 同理，由MF FB μ=，可得222,11x k y F μμμμ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， 所以221x μμ=+，2201k y μμ-+=+，即()221x μμ+=，22ky μ=， 因为点B 在E 上，所以2228y x =，即()221614k μμμ+=，所以()241k μμ=+．由()()4141λλμμ+=+，得()()10λμλμ-++=， 因为0λ>，0μ>，所以10λμ++≠，即0λμ-=．解法二：设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()0,2M k -．由()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得()22224840,k x k x k -++=，由韦达定理可知212248k x x k ++=，124x x =． 因为MA AF λ=，即()()1122,22,x y k x y λ+=--，所以112x x λ=-． 由MF FB μ=，可得()()222,22,k x y μ=-，所以222x μ=-． 所以()()()()()()211112121212222420222222x x x x x x x x x x x x λμ-+---=-===------，即λμ=． 20．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别1A ，2A ，上顶点为B ，12A A B △的面积为3，C 的短轴长为2.(1)求C 的方程；(2)斜率不为0的直线l 交C 于P ，Q 两点（异于点1A ），D 为PQ 的中点，且1A D PD =，证明：直线l 恒过定点.【答案】(1)2219x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；（2）由题意设直线l 的方程为x my t =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程，结合1A D PD QD ==可得110A P AQ ⋅=，再代入韦达定理化简求解即可（1）由题意得221232b a b =⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，解得3a =，1b =，故C 的方程为2219x y +=.（2）证明：由题意设直线l 的方程为x my t =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2219x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2229290m y mty t +++-=， 所以()()222244990m t m t ∆=-+->，即229t m <+12229mt y y m +=-+，212299t y y m -=+，因为1A D PD QD ==，所以11A P AQ ⊥，所以110A P AQ ⋅=， 即()()1212330x x y y +++=，则()()1212330my t my t y y +++++=，整理得()()2212121(3)(3)0m y y m t y y t ++++++=，所以()22222921(3)(3)990t mt m m t t m m -⎛⎫+++-++ ⎪++⎝=⎭， 即()()()()()()222231933302m m t t t m t t +--+++++=整理得()()35120t t ++=，解得125t =-或3t =-， 当3t =-时，直线l 的方程为3x my =-，恒过点()3,0-，舍去； 当125t =-时，直线l 的方程为125x my =-，恒过点12,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意，即直线l 恒过定点12,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．（2022·江苏南通·模拟预测）已知F 16，0），F 26，0）为双曲线C 的焦点，点P （2，－1）在C 上．(1)求C 的方程；(2)点A ，B 在C 上，直线P A ，PB 与y 轴分别相交于M ，N 两点，点Q 在直线AB 上，若OM ＋=0ON ，PQ AB ⋅＝0，证明：存在定点T ，使得|QT |为定值． 【答案】(1)22133y x -= (2)证明见解析 【分析】（1）待定系数法列方程组求得a b 、的值，即可得到双曲线C 的方程；（2）设出直线AB 的方程并与双曲线C 的方程联立，利用设而不求的方法得到M 、N 的坐标，利用题给条件OM ＋=0ON 求得直线AB 的过定点，再由PQ AB ⋅＝0可得使|QT |为定值的定点T .（1）设双曲线C 的方程为22221x y a b-=，()0,0a b >>由题意知22226341136c a a b b a b ⎧=⎪⎧=⎪⎪-=⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎪⎩，解之得，∴双曲线C 的方程为22133y x -=（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，A （1x 、1y ），B （2x ，2y ），P （2，－1）()2222212303y kx mk x kmx m x y =+⎧----=⎨-=⎩，整理得， 则210k -≠，0∆>，21212222=311km m x x x x k k --+--=， ∴直线P A 方程为()111212y y x x +=---， 令0x =，则11120,2x y M x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，同理N （0，22222x y x +-）， 由0OM ON +=，可得21221222022x y x y x x +++=-- ∴()()11221222022x kx m x kx m x x +++++=--()()()()1221212221220k x m x k x m x ⎡⎤⎡⎤++-+++-=⎣⎦⎣⎦∴()()()12124224280k m x x k x x m +-+-++= ∴()()22223422428011km m k m k m k k ---+⋅-++=--∴()()()()22212213410k m km k m m k -+⋅++++-=∴22222422263440k m km km km k m m mk -++++++-=∴()224630m k m k ++++=，()()3210m m k +++=当210m k ++=时，21m k =--，此时直线AB 方程为()21y k x =--恒过定点P （2，－1），显然不可能 ∴3m =-，直线AB 方程为3y kx =-恒过定点E （0，－3） ∵0PQ AB ⋅=，∴PQ AB ⊥，取PE 中点T ，∴T （1，－2） ∴122QT PE ==为定值，∴存在T （1，－2）使|QT |为定值2． 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．（2022·安徽·高二期中）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 直线 :1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE 的面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)2214x y += (2)332【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程； （2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++， 计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值． （1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -， 因为F 为OA 的中点， 所以||2OA =， 即2a =.因为椭圆C 经过点 31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以 222232112b ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=， 解得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得 ()224230,0t y ty +--=∆>恒成立，则12122223,44t y y y y t t +==-++， 则()222222121222223413||1414444t t t ED t y y y y t t t t +⋅+⎛⎫⎛⎫=+⋅+-=+⋅-⨯-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又因为点B 到直线l 的距离231d t =+，所以22222211413363||22441t t t S ED d t t t+⋅++=⨯⨯=⋅⋅=+++令233m t =+， 则2226366141t m t m m m+==+++，因为1y m m =+，3m ≥时，2110y m'=->，1y m m =+在[3,)m ∈+∞上单调递增， 所以当3m =时，min1433m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，故max 332S =.即S 的最大值为 332. 【点睛】本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。
【高中数学】《圆锥曲线》能力提升训练单教师版
高三数学《圆锥曲线》能力拓展—训练单设计人：吴燕瑜 审核人：陈银璋班级： 姓名： 组名:1．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围； (2)若＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.2.如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上某定点M ，若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意得|OB |＝83，根据对称性知∠BOy ＝30°. 设点B (x ，y )，则x ＝83×sin 30°＝43， y ＝83×cos 30°＝12，又B (43，12)在抛物线上， 所以()432＝2p ×12，解得p ＝2， 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)设点P (x 0，y 0)(x 0≠0)，因为y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，故直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1，所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设满足条件的定点M 存在，坐标为M (0，y 1)，所以MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，又MP ·MQ ＝0，所以x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，又y 0＝14x 20(x 0≠0)，联立解得y 1＝1， 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．3.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一坐标是()2，－2的交点． (1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE ·OF 的取值范围． 解：(1)抛物线C 2的准线方程是y ＝－2，所以p2＝2，p ＝4，所以抛物线C 2的方程是：x 2＝8y ，椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，所以c ＝2，2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，所以a ＝22，b ＝2， 即椭圆C 1的方程是y 28＋x 24＝1.(2)设点P (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)， 抛物线方程可以化为：y ＝18x 2，所以y ′＝14x ，所以AP 的方程为：y －y 1＝14x 1(x －x 1)，所以－2－y 1＝14x 1t －2y 1，即y 1＝14tx 1＋2，同理BP 的方程为：y 2＝14tx 2＋2，所以直线AB 的方程为：y ＝14tx ＋2，将直线AB 的方程代入椭圆C 1的方程得到：(t 2＋32)x 2＋16tx －64＝0，则Δ＝256t 2＋256(t 2＋32)>0， 且x 3＋x 4＝－16t t 2＋32，x 3x 4＝－64t 2＋32，所以OE ·OF ＝x 3x 4＋y 3y 4 ＝⎝⎛⎭⎫1＋t 216 x 3x 4＋t 2(x 3＋x 4)＋4＝－8t 2＋64t 2＋32＝320t 2＋32－8.因为0<320t 2＋32≤10，所以OE ·OF 的取值范围是(－8,2]．4．过椭圆141622=+y x 内一点)1,1(M 的弦AB （1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）求过点M 的弦的中点的轨迹方程。
重庆名校圆锥曲线基础及提高专题训练
重庆名校圆锥曲线基础及提高专题训练一、选择题1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2，2] C.[－1，1]D.[－4，4]2.已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.53.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 34.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A.[3，＋∞)B.(3，＋∞)C.(1，3]D.(1，3) 5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105 D.8105二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________. 7.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________.8.若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 三、解答题9.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使 得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.10.如图，设椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1).(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，62B.(2，＋∞)C.(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞12.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－2B.x ＝2C.x ＝1D.x ＝－113.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________.14.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标； (3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.重庆名校圆锥曲线基础及提高专题训练一、选择题1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2，2] C.[－1，1]D.[－4，4]解析 Q (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1. 答案 C2.已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B. 答案 B3.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 3解析 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.答案 B4.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A.[3，＋∞)B.(3，＋∞)C.(1，3]D.(1，3)解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±b a x ＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2，∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca≥3. 答案 A5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 答案 C二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________. 解析 由条件知双曲线的焦点为(4，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋b 2＝16，ba ＝3，解得a ＝2，b ＝23，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.答案x 24－y 212＝17.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案38.若双曲线x 2－y2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b 2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e＞1，∴1＜e ≤2. 答案 (1，2] 三、解答题9.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b ). 又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎨⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λPA →·PB→＝－3为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3， 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA→·PB →为定值－3.10.如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0.故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，22.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，62B.(2，＋∞)C.(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞解析 不妨联立y ＝b a x 与y 2＝x 的方程，消去y 得b 2a 2x 2＝x ，由x 0＞1知b 2a 2＜1，即c 2－a 2a 2＜1，故e 2＜2，又e ＞1，所以1＜e ＜2，故选C. 答案 C12.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－2B.x ＝2C.x ＝1D.x ＝－1解析 因为e ＝c a＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p 2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选D. 答案 D13.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________.解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案 614.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.解 (1)由题意，得⎩⎨⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1， 即C ：x 24＋y 2＝1. (2)由题意得直线l 1，l 2的斜率存在且不为0.∵A (－2，0)，设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1my －2， 由⎩⎨⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4.同理，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m 24m 2＋1，－4m 4m 2＋1. ①m ≠±1时，k MN ＝5m 4（m 2－1）， l MN ：y ＝5m 4（m 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65.此时过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. ②m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. ∴l MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.(3)由(2)知S △AMN ＝12×45|y M －y N | ＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4 ＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＋9＝84⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＋9⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m . 令t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号， ∴S △AMN ≤1625，且当m ＝±1时取等号. ∴(S △AMN )max ＝1625.。
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圆锥曲线专题训练2018.1
数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：
①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；
②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；
③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等） ④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；
⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；
考点一、求范围（最值）问题
例1-1.（2014新课标全国卷Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233
，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
例1-2.已知直线1y x =-+与椭圆相交于A B 、两点. （1，焦距为2，求线段AB 的长；
（2）与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），求椭圆长轴长的最大值.
练习1.【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】
在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：
相切于点M.
（1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；
（3）若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值.
考点二、存在性问题 例2-1.如图，过椭圆L 的左顶点(3,0)A -和下顶点B 且斜率均为k 的两直线12,l l 分别交椭圆于,C D ，又1l 交y 轴于M ，2l 交x 轴于N ，
且CD 与MN 相交于点P .当3k =时，ABM ∆是直角三角形.
（1）求椭圆L 的标准方程；（2）①证明：存在实数λ，使得AM OP λ=uuu r uu u r ；
②求|OP |的最小值.
例2-2.【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】已知椭圆：M 22
221x y a b +=（0a b >>），点1F (1,0)-、C (2,0)-分别是椭圆M 的左焦点、
左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点．
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2
）若A ，求△AOB 的面积；
（3）是否存在直线l ，使得点B 在以线段1
FC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
练习2.【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)】 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =．
（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：222
112OA OB OM ++为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．
第18
考点三、过定点或定值问题
例3-1.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅
（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；
（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.
（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.
练习3.【江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试（5月）】（本小题满分15分）
已知椭圆C ：22221x y a b +=(0,0)a b >>
，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，点B 为下顶点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P (x 0, y 0)是椭圆C 上第一象限的点． ① 若M 为线段BF 1
上一点，且满足PO OM = ，求直线OP 的斜率；
② 设点O 到直线PF 1、PF 2的距离分别为d 1、d 2，求证：0012
y y d d +为定值，并求出该定值．
．。