2020-2021上海金山区教师进修学院附属中学高中必修三数学上期末模拟试卷含答案
2021-2022学年上海市金山区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞2}，B={x|x ＜3}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）函数y=log 2（x-1）的定义域是___ ．3.（填空题，4分）若复数z 满足iz= √3 -i （i 为虚数单位），则|z|=___ ．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x 3的系数为 ___ .（结果用数值表示）5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式 |1sinαsinα1| 的值为 ___ ． 6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ．8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x+ 1y=1，则4x+y 的最小值为 ___ ．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示）10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ．11.（填空题，5分）若数列{a n }满足a n +a n+1+a n+2+…+a n+k =0（n∈N *，k∈N *），则称数列{a n }为“k 阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n }的通项公式为b n =2cosωn ，记T n =b 1b 2…b n ，1≤n≤2021，n∈N *，则当n=___ 时，T n 取得最小值．12.（填空题，5分）已知点O （0，0）、A 0（2，3）和B 0（5，6），记线段A 0B 0的中点为P 1，取线段A 0P 1和P 1B 0中的一条，记其端点为A 1、B 1，使之满足（|OA 1|-5）（|OB 1|-5）＜0，记线段A 1B 1的中点为P 2，取线段A 1P 2和P 2B 1中的一条，记其端点为A 2、B 2，使之满足（|OA 2|-5）（|OB 2|-5）＜0，依次下去，得到点P 1、P 2、…，P n 、…，则 n→∞|A 0P n |=___ ．13.（单选题，5分）已知a 、b∈R ，则“ ba ＞1”是“b ＞a”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √31616.（单选题，5分）已知向量a与b⃗的夹角为120°，且a• b⃗ =-2，向量c满足c=λ a +（1-λ）b⃗（0＜λ＜1），且a• c = b⃗• c，记向量c在向量a与b⃗方向上的投影分别为x、y．现有两个结论：① 若λ= 13，则| a |=2| b⃗ |；② x2+y2+xy的最大值为34．则正确的判断是（）A. ① 成立，② 成立B. ① 成立，② 不成立C. ① 不成立，② 成立D. ① 不成立，② 不成立17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=3x．（1）设y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，若f-1（x1x2）=1，求f-1（x 13）+f -1（x 23）的值；（2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2 ，迎宾区的入口设置在点A 处，出口在点B 处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B 到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B 到达出口（P 为△ABC 内一点）．（1）若△PBC 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟） （2）园区计划将△PBC 区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3 ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点． （1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率； （2）当△AOB 的面积为 32时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n}的各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”．例如，数列a1、a2、a3满足a1＞a3＞a2，则其“序数列”{p n}为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”．（1）若数列3-2x、5x+6、x2的“序数列”为2、3、1，求实数x的取值范围；）•（2）若项数均为2021的数列{x n}、{y n}互为“保序数列”，其通项公式分别为x n=（n+ 12）n，y n=-n2+tn（t为常数），求实数t的取值范围；（23（3）设a n=q n-1+p，其中p、q是实常数，且q＞-1，记数列{a n}的前n项和为S n，若当正整数k≥3时，数列{a n}的前k项与数列{S n}的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p、q满足的条件．2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|2＜x＜3}【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，4分）函数y=log2（x-1）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由函数的解析式知，令真数x-1＞0即可解出函数的定义域．【解答】：解：∵y=log2（x-1），∴x-1＞0，x＞1函数y=log2（x-1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3.（填空题，4分）若复数z满足iz= √3 -i（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可【解答】：解：∵ iz=√3−i，∴-z= √3 i+1，∴z=-1- √3 i，∴|z|= √1+3 =2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x3的系数为 ___ .（结果用数值表示）【正确答案】：[1]160【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】：解：由于（x+2）6的二项展开式的通项公式为 T r+1= C6r•2r•x6-r，令6-r=3，求得 r=3，∴展开式中x3的系数是：23• C63 =160．故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式|1sinαsinα1|的值为 ___ ．【正确答案】：[1] 19【解析】：利用行列式的定义，结合同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】：解：cosα= 13，|1sinαsinα1| =1-sin2α=cos2α= 19．故答案为：19．【点评】：本题考查行列式的定义，同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．【正确答案】：[1]200【解析】：利用分层抽样的性质直接求解．【解答】：解：现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本， 则样本中中年人的人数为： 400× 10002000 =200． 故答案为：200．【点评】：本题考查样本中中年人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ． 【正确答案】：[1]（3，6）【解析】：设出点的坐标，求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】：解：由题意设P （s ，2s ），s ＞0， 双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线x±2y=0， 点P到双曲线 x 24 -y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，5s √5•3s √5=27 ，解得s=3，所以P （3，6）． 故答案为：（3，6）．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题． 8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1，则4x+y 的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]25【解析】：4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4x y +17，然后利用基本不等式可解决此题．【解答】：解：∵x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1， ∴4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4xy +17≥2 √4yx •4xy+17=25， 当且仅当 {4y x =4xy4x+1y =1即x=y=5时等号成立，∴4x+y 的最小值为25．故答案为：25．【点评】：本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示） 【正确答案】：[1] 120【解析】：根据题意，分步计算“6个人进行全排列”和“后排每人都比前排任意一位同学高”的排法，由古典概型公式计算可得答案．【解答】：解：根据题意，将6个人进行全排列，共有A 66=720排法，若后排每人都比前排任意一位同学高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有A 33A 33=36种排法，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率P= 36720 = 120 ； 故答案为： 120．【点评】：本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的性质以及应用，属于基础题． 10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10，由向量的和为零向量，可得x 1+x 2+.....x 10=20，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，可得向量的模的和的值．【解答】：解：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10， 由抛物线的方程y 2=8x 可得准线方程x=-2，因为 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，所以（x 1+x 2+.....x 10-10×2，y 1+y 2+.....+y 10）=（0，0）， 所以x 1+x 2+.....x 10-10×2=0，即x 1+x 2+.....x 10=20，由抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离可得：| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=（x 1+2）+.....（x 10+2）=x 1+x 2+.....x 10+10×2=20+20=40， 故答案为：40．【点评】：本题考查抛物线的性质的应用及向量的运算性质的应用，属于基础题．11.（填空题，5分）若数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2+…+a n+k=0（n∈N*，k∈N*），则称数列{a n}为“k阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n}的通项公式为b n=2cosωn，记T n=b1b2…b n，1≤n≤2021，n∈N*，则当n=___ 时，T n取得最小值．【正确答案】：[1]2020【解析】：由b n+b n+1+b n+2=0可求出{b n}周期，对cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0变形可求得cosω= −12，从而求得cos2ω，cos3ω，得到{b n}的前三项，分析T n的正负情况，可得n=3k+1（k∈N）时T n为负值，对此时的T n的求表达式可得-2k，k最大时T n有最小值．【解答】：解：由已知得b n+b n+1+b n+2=0（n∈N*），故b n+1+b n+2+b n+3=0（n∈N*），故b n=b n+3（n∈N*），{b n}的周期为3，设b n=2c n，其中c n=cosωn，故{c n}的周期为3，由题意有cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0，由和差化积公式有2cos（ωn+ω(n+2)2）cos（w(n+2)−ωn2）+cosω（n+1）=0，故2cos[ω（n+1）]cosω+cos[ω（n+1）]=0，因此（2cosω+1）cos[ω（n+1）]=0，若ω（n+1）= π2+kπ（k∈Z），不存在这样的ω对任意n恒成立，故舍，则cosω= −12，c1=cosω= −12，c2=cos2ω=2cos2ω-1= −12，由三倍角公式有c3=cos3ω=4cos3ω-3cosω=1，故T n=b1b2…b n=2n c1c2…c n，当n=3k+1（k∈N）时T n＜0，当n=3k+2（k∈N）时T n＞0，当n=3k+3（k∈N）时T n＞0，当n=3k+1（k∈N）时，T n=2n（c1c2c3）k c1=2n（14）k（- 12）=-2k，3k+1≤2021，故k≤673，此时T n最小，此时n=2020，故答案为：2020．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.（填空题，5分）已知点O（0，0）、A0（2，3）和B0（5，6），记线段A0B0的中点为P1，取线段A0P1和P1B0中的一条，记其端点为A1、B1，使之满足（|OA1|-5）（|OB1|-5）＜0，记线段A1B1的中点为P2，取线段A1P2和P2B1中的一条，记其端点为A2、B2，使之满足（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，依次下去，得到点P1、P2、…，P n、…，则n→∞|A0P n|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），可得P（3，4），根据已知条件可得A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，再由P1，P2，…P n，…是中点，可得出P1，P2，…P n，…的极限即为P（3，4），即可求解．【解答】：解：由（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，可知|OA2|和|OB2|一个大于5一个小于5，设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），由√x2+y2 =5且y−3x−2=y−6x−5，可得x=3，y=4，所以线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（3，4），若（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，则A1，B1应在点P（3，4）的两侧，所以第一次应取A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，因为P1，P2，…P n，…是中点，所以P1，P2，…P n…的极限为P（3，4），所以n→∞|A0P n|=|A0P|= √2，故答案为：√2．【点评】：本题考查数列极限，考查学生的运算能力，属于难题．13.（单选题，5分）已知a、b∈R，则“ ba＞1”是“b＞a”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：D【解析】：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，然后分别对a＞0，a＜0讨论得出b与a的关系，进而可以求解．【解答】：解：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，当a＞0时，b-a＞0，即b＞a；当a＜0时，b-a＜0，即b＜a，所以ba＞1与b＞a没有关系，故选：D．【点评】：本题考查了四个条件的关系的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x【正确答案】：A【解析】：由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】：解：由于f（x）=|cos2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递增，故A满足条件；由于f（x）=|sin2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除B；由于f（x）=sin4x的周期为2π4 = π2，在区间[ π4，π2]上，4x∈[π，2π]，f（x）没有单调性，故排除C；由于f（x）=cos2x的周期为2π2=π，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除D，故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √316【正确答案】：C【解析】：连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，利用线面垂直的判定定理和性质证明三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由体积公式求解即可．【解答】：解：如图，连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，则RR1 || AC1，PP1 || AC1，QQ1 || AC1，且RR1= 12 AC1，PP1= 12AC1，QQ1= 12AC1，连接AC，可得AC⊥PQ，因为CC1⊥平面ABCD，又PQ⊂平面ABCD，则CC1⊥PQ，又CC1∩AC=C，AC，CC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥平面C1CA，又AC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥AC1，同理可得，AC1⊥PR，又PQ∩PR=P，则AC1⊥平面PQR，所以RR1⊥平面PQR，PP1⊥平面PQR，QQ1⊥平面PQR，则三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由正方体的棱长为1，可得PQ=QR=PR= √22，RR1= √32，故V PQR−P1Q1R1 = √32×12×(√22)2×√32=316．故选：C．【点评】：本题考查了空间中线线、线面位置关系的判断，线面垂直的判定定理和性质的应用，棱柱的体积公式的理解与应用，属于中档题．16.（单选题，5分）已知向量 a 与 b ⃗ 的夹角为120°，且 a • b ⃗ =-2，向量 c 满足 c =λ a +（1-λ） b ⃗ （0＜λ＜1），且 a • c = b ⃗ • c ，记向量 c 在向量 a 与 b⃗ 方向上的投影分别为x 、y ．现有两个结论： ① 若λ= 13 ，则| a |=2| b ⃗ |； ② x 2+y 2+xy 的最大值为 34．则正确的判断是（ ） A. ① 成立， ② 成立 B. ① 成立， ② 不成立 C. ① 不成立， ② 成立 D. ① 不成立， ② 不成立 【正确答案】：C【解析】： ① 根据 a ⋅b ⃗ =−2 及 a 与 b ⃗ 的夹角为120°求出 |a |⋅|b ⃗ |=4 ，假设 |a |=2|b ⃗ | 成立，求出 |b ⃗ |=√2 与 |a |=2√2 ，代入后发现等式不成立，故 ① 错误；② 利用向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，再结合 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 可得：OC⊥AB ，利用投影公式求出 x 2+y 2+xy =34|c |2 ，只需求出| c |最大值，利用面积公式和基本不等式求出| c |最大值为1，进而求出x 2+y 2+xy 最大值．【解答】：解：由 a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b ⃗ |cos120°=−2 ，解得 |a |⋅|b ⃗ |=4 ， 当 λ=13 时， c =13a +23b⃗ ， 由 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 得， a ⋅(13a +23b ⃗ )=b ⃗ ⋅(13a +23b⃗ ) ， 即 13a 2+23a ⋅b ⃗ =13a ⋅b ⃗ +23b ⃗ 2 ， 由 a ⋅b ⃗ =−2 得 13|a |2=23+23|b ⃗ |2 ， 因为 |a |⋅|b⃗ |=4 ， 假设 |a |=2|b ⃗ | ，则可求出 |b ⃗ |=√2，|a |=2√2 ，代入 13|a |2=23+23|b⃗ |2 中，等号不成立，故 ① 错误； 设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ， 因为 c =λa +(1−λ)b⃗ (0＜λ＜1) ， 由向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，如图，设〈a，c〉=α，则〈b⃗，c〉=120°−α，因为a⋅c=b⃗⋅c，所以|a|⋅|c|cosα=|b⃗|⋅|c|cos(120°−α)，即|a|⋅cosα=|b⃗|⋅cos(120°−α)，所以x2+y2+xy=|c|2cos2α+|c|2cos2(120°−α)+|c|2cosαcos(120°−α)=34|c|2，S△ABO=12|a|⋅|b⃗|sin120°=√34×4=√3，而要想保证|c|最大，只需|AB|最小，由余弦定理可得：|AB|2=|a |2+|b⃗|2−2|a||b⃗|cos120°=|a |2+|b⃗|2+4≥2|a||b⃗|+4= 12，当且仅当|a|=|b⃗|时等号成立，所以|AB|最小值为2√3，所以|c|最大值为2S△ABO|AB|=1，故x2+y2+xy=34|c|2的最大值为34，② 正确；故选：C．【点评】：本题考查平面向量基本定理，数量积的综合应用，属于综合题．17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，求出SA=4，由此能求出圆锥的表面积．（2）以O 为原点，OQ 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SO 与PQ 所成角的大小．【解答】：解：（1）∵圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ， 得SA=4，∴圆锥的表面积S=π×22+ 12 ×4π×4=12π．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意可得SO=2 √3 ，则S （0，0，2 √3 ），O （0，0，0），A （0，2，0），Q （2，0，0），P （0，1， √3 ）， SO ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-2 √3 ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-1，- √3 ）， 设异面直线PQ 与SO 所成角的大小为θ， 则cosθ= |SO ⃗⃗⃗⃗⃗ •PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ||SO ⃗⃗⃗⃗⃗||PQ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√6 = √64 ， ∴异面直线SO 与PQ 所成角的大小为arccos √64．【点评】：本题考查圆锥的表面积、异面直线所成角的大小的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=3x ．（1）设y=f -1（x ）是y=f （x ）的反函数，若f -1（x 1x 2）=1，求f -1（x 13）+f -1（x 23）的值； （2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）求得f-1（x）=log3x，再由对数的运算性质可得所求值；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数，由g（0）=0，解方程可得m，检验可得结论；再由单调性的定义证明g（x）的单调性，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤．【解答】：解：（1）由f（x）=3x，y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，可得f-1（x）=log3x，f-1（x1x2）=log3（x1x2）=1，即有x1x2=3，所以f-1（x13）+f-1（x23）=log3x13+log3x23=3（log3x1+log3x2）=3log3（x1x2）=3；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数．由g（x）=1+ m1+3x 为R上的奇函数，可得g（0）=1+ 12m=0，解得m=-2，即有g（x）=1+ −21+3x ，g（-x）+g（x）=1+ −21+3−x+1+ −21+3x=2-2• 1+3x1+3x=0，所以存在m=-2，使得g（x）为奇函数；证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，g（x1）-g（x2）=- 21+3x1 + 21+3x2=2• 3x1−3x2(1+3x1)(1+3x2)，由x1＜x2，可得0＜3x1＜3x2，即3x1-3x2＜0，所以g（x1）-g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的反函数的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）．（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可，进而计算即可得出结果；（2）在三角形PBC中由∠PCB的度数表示出∠PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积，再利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可．【解答】：解：（1）由题设，∠PCA= π4，PC=100 √2米，PB=100 √2米，在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC•PC•cos π4，所以PA=100 √5米．游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为t1= 300+20050=10分钟，游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为t1= 100√5+100√250=2（√5+√2）分钟，所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快10-2（√5+√2）≈3分钟．（2）∵∠BPC= 2π3，设∠PCB=θ则θ∈(0，π3)，在△PBC中∠PBC= π3−θ，由正弦定理得200sin2π3=PBsinθ=PCsin(π3−θ)，得PB= 400√33sinθ，PC= 400√33sin(π3−θ)．所以△PBC面积S= 12•PB•PC•sin2π3= 40000√33•sinθ•sin(π3−θ) = 20000√33•sin(2θ+π6)−10000√33，当 θ=π6∈(0，π3) 时，△PBC 面积的最大值为10000√33平方米．【点评】：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点． （1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率； （2）当△AOB 的面积为 32 时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）先得到直线PQ 的方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解之即可求得Q 点坐标，进而可得OQ 斜率； （2）直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，结合韦达定理求得|x 1-x 2|，再由S △AOB = 12|OP||x 1-x 2|= 32，即可求解； （3）直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，结合韦达定理表示得到y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ，再根据 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到λ= 1−y 1y2−1，μ= y 2−y 13−y 2 = y 2−3+3−y 13−y 2 =-1+ 3−y 13−y 2，即可求解．【解答】：解：（1）因为直线PQ 的倾斜角为 π4 ，且P （0，1）， 所以直线PQ 方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解得Q （2，3），则直线OQ 的斜率为 32 ；（2）已知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=- 8k 3+4k 2 ，x 1x 2=- 83+4k 2， 则|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√96+192k 23+4k 2 = 32，解得k²= 14 ，即k=± 12，所以直线PQ 方程为y= 12 x+1或y=- 12 x+1，由 {y =12x +1y =3 得Q （4，3）；由 {y =−12x +1y =3 得Q （-4，3）； （3）已知直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，得（4+3m²）（y-1）²+8（y-1）-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ， 所以y 1-1+y 2-1=（y 1-1）（y 2-1），因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ= 1−y 1y 2−1 ，μ= y 2−y 13−y 2= y 2−3+3−y 13−y 2=-1+ 3−y 13−y2， 则λ-μ= 1−y 1y 2−1 +1- 3−y 13−y 2= 2[(1−y 1)2+(1−y 1)]2+2(1−y 1)(1−y 1)(y 2−1)(3−y 2) +1=1．【点评】：本考查直线与椭圆的综合，考查直线斜率求解，椭圆中定值问题，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n }的各项均不相等，将{a n }的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n }，称{p n }为{a n }的“序数列”．例如，数列a 1、a 2、a 3满足a 1＞a 3＞a 2，则其“序数列”{p n }为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”． （1）若数列3-2x 、5x+6、x 2的“序数列”为2、3、1，求实数x 的取值范围；（2）若项数均为2021的数列{x n }、{y n }互为“保序数列”，其通项公式分别为x n =（n+ 12 ）•（ 23）n ，y n =-n 2+tn （t 为常数），求实数t 的取值范围；（3）设a n =q n-1+p ，其中p 、q 是实常数，且q ＞-1，记数列{a n }的前n 项和为S n ，若当正整数k≥3时，数列{a n }的前k 项与数列{S n }的前k 项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p 、q 满足的条件．【正确答案】：【解析】：（1）由题意得出不等式即可求出；（2）作差判断{x n}增减，得出序数列即可求解；（3）讨论q=±1或q=0，q＞1，0＜q＜1，-1＜q＜0，根据数列的单调性结合题意可得．【解答】：解：（1）由题意得a2＞a3＞a1，即{5x+6＞x2x2＞3−2x，解得1＜x＜6，即x的取值范围是{x|1＜x＜6}；（2）x n+1−x n=(n+32)(23)n+1−(n+12)(23)n=3−2n6(23)n，当n=1时，x2-x1＞0，即x2＞x1，当n≥2时，x n+1-x n＜0，即x n+1＜x n，故x2＞x1，x2＞x3＞x4＞⋯＞x2021，又x1=1，x3=2827，x4=89，因此{x n}的序数列为2，3，1，4，5，⋯，2021．又因{x n}、{y n}互为“保序数列“，故y2＞y3＞y1＞y4＞y5＞⋯＞y2021，只需满足2＜t2＜52，解得：4＜t＜5．即t的取值范围是{t|4＜t＜5}；（3）① 当q=±1或q=0时，数列{a n}中有相等的项，不满足题意．② 当q＞1时，数列{a n}单调递增，故{S n}也应单调递增，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＞0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递增，故p+q ＞0．③ 当0＜q＜1时，数列{a n}单调递减，故{S n}也应单调递减，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＜0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递减，故p+q＜0．④ 当-1＜q＜0时，数列{a2n-1}单调递减，且a2n-1＞p；{a2n}单调递增，且a2n＜p，于是S2n+1−S2n−1=a2n+a2n+1=q2n−1+q2n+2p＜0对n∈N*且n≤k−12恒成立，即2p＜（-q）2n-1（1+q），从而2p≤0．另一方面，S2n+2−S2n=a2n+1+a2n+2=q2n+q2n+1+2p＞0对n∈N*且n≤k−22恒成立，即2p＞-q2n（1+q），从而2p≥0．综上，2p=0，即p=0．此时S2n−1=1−q2n−11−q =11−q−q2n−11−q＞11−q，S2n=1−q2n1−q=11−q−q2n1−q＜11−q，满足题意．综上，当q＞1时，p、q满足的条件是p+q＞0；当0＜q＜1时，p、q满足的条件是p+q＜0；当-1＜q＜0时，p、q满足的条件是p=0．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列的单调性等知识，属于中等题．。
2021届上海市金山区高三上学期期末数学试题
2021年上海市金山区高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．31lim 23n n n →∞-+=________． 2．已知全集U =R ，集合M ={x |x 2–4x –5<0}，N ={x |x ≥1}，则M ∩(U N ) =________． 3．若复数z 满足34i 12i z +=-(i 为虚数单位)，则z =________． 4．若直线l 1：6x +my –1=0与直线l 2：2x －y +1=0平行，则m =________．5．若线性方程组的增广矩阵为122332c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则c 1–c 2=_________． 6．方程46280x x -⨯+=的解是 ___________.7．函数y =secx ⋅sinx 的最小正周期T =_______．8．二项式621()x x-展开式中3x 系数的值是________． 9．以椭圆2212516x y +=的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是_____. 10．在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为__________．(结果用数值表示)11．方程cos2x+sinx=1在(0,)π上的解集是_______________．12．行列式a bc d (a 、b 、c 、d ∈{–1,1,2})所有可能的值中，最小值为_______．13．已知点P 、Q 分别为函数2()1f x x =+(x ≥0)和()g x =P和Q 两点距离的最小值为____________． 14．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→ ，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ．二、单选题15．“直线l 1、l 2互相垂直”是“直线l 1、l 2的斜率之积等于–1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件16．若m 、n 是任意实数，且m >n ，则（ ）A ．m 2>n 2B ．1n m < C ．lg (m –n )>0 D ．11()()22m n < 17．已知a ,b 是单位向量，0a b ⋅=，且向量c 满足c a b --=1，则|c |的取值范围是（ ）A ．1,21]-+B ．[21,2]-C ．1]D ．[22-+18．如图，AB 为定圆O 的直径，点P 为半圆AB 上的动点．过点P 作AB 的垂线，垂足为Q ，过Q 作OP 的垂线，垂足为M ．记弧AP 的长为x ，线段QM 的长为y ，则函数y =f (x )的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题19．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c . 已知3,cos 32a A B A π===+. （1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.20．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠=︒，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60︒，设1AA a =.（1）求a 的值；（2）求三棱锥11B A BC -的体积.21．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12412x y C +=，设00(,)R x y 是椭圆C 上任一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，切点分别为,P Q ．（1）若直线,OP OQ 互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标；（2）若直线,OP OQ 的斜率都存在，并记为12,k k ，求证：12210k k +=．22．已知函数()()10m f x x x x=+-≠ （1）当2m =时，求证()f x 在(),0-∞上是单调递减函数；（2）若对任意的x ∈R ，不等式()20x f >恒成立，求实数m 的取值范围； （3）讨论函数()f x 的零点个数.23．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S 1>1，且2632n n n S a a =++(n ∈N *)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列{}n b 满足,2,n n n a a n b n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ； (3)设1,n n nb C b +=*(n 为正整数)，问是否存在正整数N ，使得当任意正整数n >N 时恒有C n >2015成立？若存在，请求出正整数N 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．32； 【解析】【分析】直接利用极限公式计算得到答案.【详解】13313lim lim 32322n n n n n n→∞→∞--==++ 故答案为：32 【点睛】本题考查了数列极限的计算，属于简单题.2．{x | –1< x <1}；【分析】 先计算得到{}15M x x =-<<，{}1U C N x x =<，再计算U MC N 得到答案. 【详解】 根据题意得到：{}1U C N x x =<，{}{}2|?45015M x x x x x =-<=-<< 则{}11U M C N x x ⋂=-<< 故答案为：{}11x x -<<【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生的计算能力.3【分析】化简得到12z i =-+，故12z i =--，再计算z 得到答案.【详解】 ()()()()34i 1234i 5101212i 12i 125i i z i i +++-+====-+--+，12z i =--，故z =【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 4．–3；【分析】直接利用直线平行公式得到答案.【详解】直线l 1：6x +my –1=0与直线l 2：2x －y +1=0平行，则()6123m m ⨯-=∴=-故答案为：3-【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，属于简单题.5．–1；【分析】根据题意得到122317c =⨯+⨯=，223128c =⨯+⨯=，计算得到答案.【详解】线性方程组的增广矩阵为122332c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩ 则122317c =⨯+⨯=，223128c =⨯+⨯= ，故121c c -=-故答案为：1-【点睛】本题考查了增广矩阵，意在考查学生的计算能力.6．1x =或2x =【分析】令2x t =，代入即为一个一元二次等式解出2t =或4t =,再由2x t =，即可解出对应x 的值.【详解】令2x t = ，则原等式等价于2680(2)(4)0t t t t -+=⇒--=解得2t = 或4t = 当2t =时1x =当4t =时2x =故填1x =或2x =【点睛】本题考查指数与一元二次等式复合而成的等式的解法，复合等式的解法：换元，解出新元的取值，再根据换的元解出答案，属于基础题。
2020-2021学年上海市金山区高一(上)期末数学试卷(附详解)
2020-2021学年上海市金山区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知a ，b ，c ∈R ，则“a <b ”是“ac 2<bc 2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 若函数y =f(x)的定义域为R ，则y =f(x)为偶函数的一个充要条件是( )A. 对任意x ∈R ，都有f(x)=0成立B. 函数y =f(x)的图像关于原点成中心对称C. 存在某个x 0∈R ，使得f(−x 0)−f(x 0)=0D. 对任意给定的x ∈R ，都有f(−x)−f(x)=03. 已知，则下列不等式恒成立的是( )A. ab ≤(a+b)24B.a+b 2≥√abC. |a +b|+|a −b|≤2|a|D. |a +b|−|a −b|≥2|b|4. 已知集合A 、B 都是非空集合，且满足A ∩B =⌀，A ∪B =[−5,5]，则函数f(x)={1−|2x−1−1|,x ∈A 2x −x 2,x ∈B的最大值与最小值的情况是( ) A. 有最大值，但不一定有最小值 B. 有最小值，但不一定有最大值 C. 既有最大值，又有最小值D. 不一定有最大值，也不一定有最小值二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={1,2}，集合B ={m,2}，若A ∪B ={1,2,3}，则m =______．6. 函数y =lg(x −2)的定义域为______．7. 不等式|2x −1|<3的解集为______．8. 已知x >0，化简(x 3−√2)3+√2=______．9. 若一个幂函数的图像过点(2 , √23)，则此幂函数的表达式为______． 10. 函数y =2x +1的值域为______．11. 已知a >−2，且函数y =3x +b ，x ∈[−2,a]是奇函数，则a +b =______． 12. 已知函数y =f(x)在区间[1,6]上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：x123456y−3.25−7.92 4.16−19.8设函数y=f(x)在区间[1,6]上零点的个数为n，则n的最小值为______．13.已知函数f(x)=log a x(0<a<1)在[2,4]上的最大值比最小值大2，则a的值为______．14.对于任意不等于1的正数a，函数f(x)=log a(2x+3)+4的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是______．的图像如图所示，则a，b，c的大小关系15.已知常数a，b，c∈R，函数f(x)=bx+cx2−a用“<”可以表示为______．16.已知a>b>1且a2−6a−2m+1=0，b2−6b−2m+1=0，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）<1}，集合B={x|x≥a}．17.已知全集U=R，集合A={x|2x+3x−1(1)求A；(2)若A⊂B，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=x+4．x+1(1)求y=f(x)在(−1,+∞)上的最小值，并求此时x的值；(2)设g(x)=f(x)−x−2，由定义证明：函数y=g(x)在区间(−∞,−1)上是严格减函数．19.为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜．某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%．(1)以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第x年该企业投入的研发资金数y(万元)与x的函数关系式以及函数的定义域；(2)该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？(log1.12≈7.3)20.已知函数f(x)=ax2−2ax−2(a≠0)．(1)当a=−1时，求函数y=f(x)在R上的最大值，并写出取最大值时相应自变量的值；(2)写出函数y=f(x)的单调增区间(不需要证明)；(3)设函数y=f(x)的图像与x轴交于不同的两点A、B，与y轴交于点C，是否存在实数a，使得△ABC的面积为√6？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．21.若两个函数y=f(x)和y=g(x)对任意x∈[a,b]都有|f(x)−g(x)|>2，则称函数y=f(x)和y=g(x)在上[a,b]是疏远的．(1)已知命题“函数f(x)=x2+2x−1和g(x)=x−2在[0,1]上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；(2)若函数f(x)=x2+2x−1和g(x)=x−2在[a,a+1]上是疏远的，求实数a的取值范围；(c x−c−x)与G(x)=c x在[1,2]上是疏远的，求(3)已知常数c>1，若函数F(x)=12实数c的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分、必要条件的判断，解题的关键是利用不等式的基本性质，是一个基础题．当c=0时，a<b⇏ac2<bc2；当ac2<bc2⇒a<b，结合充分、必要条件的定义判断即可．【解答】解：当c=0时，a<b⇏ac2<bc2；当ac2<bc2时，说明c≠0，有c2>0，得ac2<bc2⇒a<b．故“a<b”是“ac2<bc2”的必要非充分条件，故选：B．2.【答案】D【解析】解：若函数为偶函数，则对∀x∈R，f(−x)=f(x)都成立，即对∀x∈R，f(−x)−f(x)=0都成立，故选：D．根据函数奇偶性的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】A【解析】解：对于A：由于a2+b2≥2ab，故a2+2ab+b2≥2ab+2ab，整理得ab≤(a+b)2，a，b∈R，当a=b时等号成立，故A正确；4≥√ab不成立，故B错误；对于B：当a<0，b<0时，a+b2对于C ：|a +b|+|a −b|≥|a +b +a −b|=2|a|，当a 和b 异号时，等号成立，故C 错误；对于D ：|a +b|−|a −b|≤|a +b −a +b|=2|b|，当(a +b)(a −b)≥0时，等号成立，故D 错误． 故选：A ．直接利用基本不等式的性质和绝对值不等式的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：基本不等式的性质，绝对值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：y =1−|2x−1−1|={2x−1,−5≤x ≤12−2x−1,1<x ≤5，可得当x =1时，y =1−|2x−1−1|取得最大值1，当x =5时，y =1−|2x−1−1|取得最小值−14．y =2x −x 2在[−5,1]上单调递增，在(1,5]上单调递减，可得当x =1时，y =2x −x 2在[−5,5]上取得最大值1，当x =−5时取得最小值−35． ∴f(x)={1−|2x−1−1|,x ∈A2x −x 2,x ∈B 有最大值为1．∴f(x)有最大值，但不一定有最小值．如f(x)={1−|2x−1−1|,x ∈(−5,5]2x −x 2,x ∈{−5}，有最大值1，有最小值−35；f(x)={1−|2x−1−1|,x ∈{−5}2x −x 2,x ∈(−5,5]，有最大值为1，无最小值．故选：A ．分别求得两段函数在[−5,5]上的值域，结合A ∩B =⌀，A ∪B =[−5,5]，写出分段函数解析式得结论．本题考查函数的最值及其几何意义，考查分段函数的应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．5.【答案】3【解析】解：∵集合A ={1,2}，集合B ={m,2}，A ∪B ={1,2,3}， ∴m =3． 故答案为：3．利用并集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】(2,+∞)【解析】解：由x−2>0，得x>2．∴函数y=lg(x−2)的定义域为(2,+∞)．故答案为：(2,+∞)．由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．7.【答案】{x|−1<x<2}【解析】【分析】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．将2x−1看成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利用不等式基本性质求解即可．【解答】解：∵|2x−1|<3⇔−3<2x−1<3⇔−1<x<2，∴不等式|2x−1|<3的解集为{x|−1<x<2}．故答案为：{x|−1<x<2}．8.【答案】x7【解析】解：(x3−√2)3+√2=x(3−√2)(3+√2)=x9−2=x7．故答案为：x7．根据已知条件，结合幂的运算法则，即可求解．本题主要考查幂的运算法则，属于基础题．9.【答案】f(x)=x13【解析】解：设f(x)=xα，3，则f(2)=2α=√2，f(x)=x13．所以α=13故答案为：f(x)=x13．先设出已知函数解析式，代入已知点的坐标即可求解．本题主要考查了幂函数解析式的求解，属于基础题．10.【答案】(1,+∞)【解析】解：∵2x>0，∴2x+1>1，即函数y=2x+1的值域为(1,+∞)．故答案为：(1,+∞)．由2x>0，得2x+1>1，则答案可求．本题考查指数函数的值域的求法，是基础题．11.【答案】2【解析】解：函数y=f(x)=3x+b，x∈[−2,a](a>−2)是奇函数，所以−2+a=0，即a=2，又f(−x)=−f(x)，所以−3x+b=−3x−b，所以2b=0，所以b=0，所以a+b=2．故答案为：2．由奇函数的定义域关于原点对称，可得−2+a=0，再由f(−x)=−f(x)，可得b的值，然后求出a+b的值．本题考查函数奇偶性的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.【答案】3【解析】解：∵函数y=f(x)在区间[1,6]上的图像是一段连续的曲线，∴由图表中的信息知：f(2)⋅f(3)<0，f(4)⋅f(5)<0，f(5)⋅f(6)<0，∴y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点，∵y=f(x)在区间[1,6]上零点的个数为n，则n min=3，故答案为：3．函数y=f(x)在区间[1,6]上的图像是一段连续的曲线，且f(2)⋅f(3)<0，f(4)⋅f(5)< 0，f(5)⋅f(6)<0，从而可得答案．本题考查函数零点存在定理及其应用，考查观察能力与分析问题的能力，属于中档题．13.【答案】√22【解析】解：∵0<a<1时，∴函数f(x)为减函数，则log a2−log a4=1，即log a12=2，解得√22，所以实数a的值为√22．故答案为：√22．由0<a<1可得f(x)为减函数，求得最值代入条件可得解．本题考查对数函数的图象及性质，对数的运算，属于基础题．14.【答案】(−1,4)【解析】解：令2x+3=1，得x=−1，y=4，故函数y=4+log a(2x+3)的图象必经过定点P的坐标(−1,4)，故答案为：(−1,4)．令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点P的坐标．本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．15.【答案】b<c<a【解析】解：根据题意，函数f(x)=bx+cx2−a，必有x2−a≠0，而函数的图象有两个间断点，则有a>0，即函数的定义域为{x|x≠±√a}函数图象经过原点(0,0)，则有f(0)=c =0， 在区间(0,√a)上，f(x)=bxx 2−a >0， x 2−a <0，则有bx <0，必有b <0， 故b <c <a ； 故答案为：b <c <a ．根据题意，由函数的图象分析其定义域，可得a >0，由f(0)=0可得c =0，区间(0,√a)上，f(x)=bxx 2−a >0，可得b <0，综合可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域分析，属于基础题．16.【答案】(−4,−2)【解析】解：由题意可知，a ，b 是函数f(x)=x 2−6x −2m +1 两个大于1的不同零点， 所以{f(1)>0f(3)<0，即{−4−2m >0−8−2m <0，解得−4<m <−2，故m 的取值范围为(−4,−2)．由题意可知，a ，b 是函数f(x)=x 2−6x −2m +1 两个大于1的不同零点，列出不等式，即可求解．本题主考查二次函数的性质，考查转化能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由2x+3x−1<1，可得2x+3x−1−1<0，即x+4x−1<0，解得−4<x <1，所以集合A ={x|2x+3x−1<1}={x|−4<x <1}．(2)集合B ={x|x ≥a}，若A ⊂B ， 则a ≤−4，即实数a 的取值范围是(−∞,−4]．【解析】(1)解分式不等式即可求解集合A ； (2)由A ⊂B ，即可求解a 的取值范围．本题主要考查集合的包含关系的应用，考查分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】(1)解：因为x>−1，所以x+1>0，所以f(x)=x+4x+1=x+1+4x+1−1≥2√(x+1)⋅4x+1−1=3，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时等号成立，所以y=f(x)在(−1,+∞)上的最小值为3，此时x=1．(2)证明：g(x)=x+4x+1−x−2=4x+1−2，任取x1<x2<−1，g(x1)−g(x2)=4x1+1−4x2+1=4(x2−x1)(x1+1)(x2+1)，由x1<x2<−1，可得x1+1<0，x2+1<0，x2−x1>0，所以g(x1)−g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，所以函数y=g(x)在区间(−∞,−1)上是严格减函数．【解析】(1)利用基本不等式求得最小值，并求得此时x的值；(2)利用函数单调性的定义即可证明．本题主要考查函数最值的求法，函数单调性的证明，基本不等式的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题设，第1年研发资金为：300×(1+10x)=330万元；第2年研发资金为：300×(1+10%)2=363万元；∴第x年研发资金：y=300×(1+l0%)x且定义域为[1,10]；(2)由(1)知：y=300⋅(1+10%)x>600，即(1.1)x>2，∴x>log1.12=lg2lg1.1≈7.3>7，故从第8年即2028年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元．【解析】(1)由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；(2)由(1)得y=300⋅(1+10%)x>600，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可．本题考查指数函数的实际应用问题，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a=−1时，f(x)=−x2+2x−2=−(x−1)2−1，开口向下，对称轴方程为x=1，当x=1时，f(x)max=f(1)=−1；(2)当a>0时，y=f(x)的单调递增区间为[1,+∞)；当a<0时，y=f(x)的单调递增区间为(−∞,1]；(3)设A(x1,0)，B(x2,0)，令f(x)=ax2−2ax−2=0，则x1，x2是方程ax2−2ax−2=0的两个根，由韦达定理得x1+x2=2，x1⋅x2=−2a，∴|AB|=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1⋅x2=√4+8a；令x=0得C(0,−2)，∴S△ABC=12|AB||OC|=12×2√4+8a=√6，解得a=4，此时Δ=64+32=96>0符合题意，∴∃a=4，使得△ABC的面积为√6．【解析】(1)当a=−1时，f(x)=−(x−1)2−1，利用二次函数的性质可得f(x)max=−1，此时x=1；(2)分a>0与a<0两类讨论，可得函数y=f(x)的单调增区间；(3)设A(x1,0)，B(x2,0)，令x=0得C(0,−2)，依题意，得S△ABC=12|AB||OC|=1 2×2√4+8a=√6，解之即可．本题考查二次函数图像与性质的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可知，命题“函数f(x)=x2+2x−1和g(x)=x−2在[0,1]上是疏远的”，则|x2+2x−1−x+2|>2在[0,1]上恒成立，即证|x2+x+1|min>2在[0,1]上恒成立，令ℎ(x)=x2+x+1=(x+12)2+34>0，故|x2+x+1|=x2+x+1，又函数ℎ(x)的对称轴为x=−12，故函数ℎ(x)在[0,1]上递增，所以ℎ(x)min=ℎ(0)=1，即|x2+x+1|≥1，并不恒大于2，故为假命题，反例为当x=0时，|f(x)−g(x)|=l<2；(2)由(1)知，|x2+x+1|>2在[a,a+1]上恒成立，即x2+x−1>0在[a,a+1]上恒成立，令x2+x−1=0，则x=−1±√52，所以a +1<−1−√52或a >−1+√52，解得a <−3−√52或a >−1+√52；(3)根据题意|F(x)−G(x)|>2在[1,2]上恒成立，即|12(c x −c −x )−c x |=|12(−c x −c −x )|=|12(c x +c −x )|>2，又c x >0，c −x >0，所以|12(c x +c −x )|=12(c x +c −x )，故c x +c −x >4， 令H(x)=c x +c −x ， 取1≤x 1<x 2≤2，则H(x 1)−H(x 2)=c x 1+c −x 1−c x 2−c −x 2=(c x 1−c x 2)(1−1c x 1⋅c x 2)，因为c >1，1≤x 1<x 2≤2，则c x 1−c x 2<0,c x 1⋅c x 2>1，则1−1c x 1⋅c x 2>0， 所以H(x 1)−H(x 2)<0，所以函数H(x)=c x +c −x 在[1,2]上递增，故H(x)min =H(1)=c +1c >4，解得c >2+√3或c <2−√3， 所以c >2+√3．【解析】(1)由命题“函数f(x)=x 2+2x −1和g(x)=x −2在[0,1]上是疏远的”，则|x 2+x +1|min >2在[0,1]上恒成立，令ℎ(x)=x 2+x +1=(x +12)2+34>0，判断ℎ(x)min 是否符合题意即可得出结论；(2)由(1)知，|x 2+x +1|>2在[a,a +1]上恒成立，即x 2+x −1>0在[a,a +1]上恒成立，根据一元二次不等式恒成立即可得解；(3)根据题意|F(x)−G(x)|>2在[1,2]上恒成立，即|12(c x +c −x )|>2，即c x +c −x >4，令H(x)=c x +c −x ，判断函数H(x)=c x +c −x 在[1,2]上的单调性，求得最小值，解不等式H(x)min >4即可得解．本题考查函数的新定义及利用定义法证明函数的单调性，考查学生的综合能力，属于难题．。
上海市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)沪教版
金山区2020学年第一学期期末考试高三数学试卷（一模）(满分：150分，完卷时间：120分钟) （答题请写在答题纸上）一、填空题(本大题共有14小题，满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________．【答案】23x + 【解析】由f (x )=3x –2得23y x +=，即12()3x f x -+=。
2．若全集U =R ，集合A ={x | –2≤x ≤2}，B ={x | 0<x <1}，则A ∩U B = ． 【答案】{x |–2≤x ≤0或1≤x ≤2} 【解析】因为B ={x | 0<x <1}，所以{10}U B x x x =≥≤或ð，所以{210}U A B x x x =-≤≤≤≤I 或-2ð. 3．函数)32sin(π+=x y 的最小正周期是_________．【答案】π【解析】因为2ω=，所以周期222T πππω===. 4．计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= ． 【答案】2【解析】22222222lim()lim()21111n n n n n n n n→∞→∞--==++++.5．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x _______． 【答案】–2【解析】因为b a ⊥，所以420x +=，解得2x =-。
6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ． 【答案】21【解析】由(1+2i)(1+a i)得12(2)a a i -++，因为12(2)a a i -++是纯虚数，所以120,20a a -=+≠，解得12a =。
7．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 【答案】–160【解析】展开式的通项公式为6621662()(2)k kk k k kk T C xC xx--+=-=-，由620k -=得3k =，所以常数项为3346(2)160T C =-=-。
【沪科版】高中数学必修三期末模拟试卷附答案(3)
一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A ．964 B ．449C ．225D ．27 3．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为( ) A 33B ．2πC ．4πD ．334π4．连续掷两次骰子，先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，那么点P 在圆2217x y +=内部的概率是（ ）A ．13B ．25C ．29D ．495．已知函数1()(1)g x x x =+，程序框图如图所示，若输出的结果1011S =，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是（ ）A ． 10?n ≤B ．10?n >C ． 11?n ≤D ． 11?n >6．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164817．若正整数N 除以正整数m 后的余数为r ，则记为(,)Mod N m r =，例如(10,4)2Mod =.如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i =（ ）A ．8B ．18C ．23D ．388．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为5，则输入的实数a 的范围是( )A ．[)6,24B ．[)24,120C ．(),6-∞D ．()5,249．某中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1,2，…，300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1,2，…，300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7,37,67,97,127,157,187,217,247,277； ②5,9,100,107,121,180,195,221,265,299； ③11,41,71,101,131,161,191,221,251,281； ④31,61,91,121,151,181,211,241,271,299． 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ．②④都不能为分层抽样 B ．①③都可能为分层抽样 C ．①④都可能为系统抽样D ．②③都不能为系统抽样10．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为8，但墨水污损了后面两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即5，7，8，，那么这组数据的方差2s 可能的最大值是（ ）A ．185B ．18C ．36D ．611．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，⋯，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间[]200,480的人数为 A ．7B ．9C ．10D ．1212．某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为 A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题13．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.14．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.15．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223⨯⨯ 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．16．运行如图所示的程序，输出结果为___________.17．运行右图所示程序框图，若输入值xÎ[-2，2]，则输出值y的取值范围是_____．x=，则输出y的值为__________．18．执行如图所示的程序框图，若输入419．如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数+=______.的中位数为a，乙加工零件个数的平均数为b，则a b20．某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为__________．三、解答题21．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）22．某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率.23．已知直线1:240l x y +-=，阅读如图所示的程序框图，若输入的x 的值为61+，输出的()f x 的值恰为直线2l 在x 轴上的截距，且12l l ⊥.（1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）若直线3l 过直线1l 与2l 的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程.24．下面给出一个用循环语句编写的程序: k =1 sum =0 WHILE k <10 sum =sum +k ∧2 k =k +1 WEND PRINT sumEND(1)指出程序所用的是何种循环语句,并指出该程序的算法功能; (2)请用另一种循环语句的形式把该程序写出来.25．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.26．如表为某中学近5年被卓越大学联盟录取的学生人数．记2015年的年份序号为1，2016年的年份序号为2，…，2019年的年份序号为5．（1）求y 关于x 的线性回归方程，并估计2020年该中学被卓越大学联盟录取的学生人数．（2）若在2015年和2019年被卓越大学联盟录取的学生中分层抽样7人，再从这7人中任选2人，求这2人恰好来自同一年份的概率．参考数据：521ii x=∑＝55，51i ii x y =∑＝2920．参考公式：b ＝1221ni ii nii x ynx y xnx==--∑∑，a y bx =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴112224BCI S ∆=⨯⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【分析】求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】 解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒，在ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=，224()749DEF ABCSS∴==． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．A解析：A 【分析】设圆的半径为R，且由题意可得是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代入几何概率的计算公式可求． 【详解】解：设圆的半径为R构成试验的全部区域的面积：2S R π=记“向圆O 内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A ， 则构成A22) 由几何概率的计算公式可得， ()224P A R π==故选：A ． 【点睛】本题主要考查了与面积有关的几何概型概率的计算公式的简单运用，关键是明确满足条件的区域面积，属于基础试题．4．C解析：C 【分析】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，用列举法求得其中满足2217x y +<的点(,)P m n 有8个，由此求得点P 在圆2217x y +=内部的概率.【详解】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，点P 在圆2217x y +=内部，即点(,)P m n 满足2217x y +<，故满足此条件的点(,)P m n 有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，故点P 在圆2217x y +=内部的概率是82369=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键.5．A解析：A 【分析】按照程序框图执行几次，找出此框图的算法功能，再根据已知条件1011S =进一步判断框内【详解】按照程序框图依次执行：110,1,01122S n S ===+=-⨯ 1111112,11+12232233n S ==-+=--=-⨯以此类推，可得111S n =-+ . 若1011S =，可得10n =，若要输出1011S =，则判断框内应填10n ≤？. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据程序框图的输出结果判断程序框图中的选择条件，考查逻辑推理能力.6．C解析：C 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.7．C解析：C 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被3除余2， ②被5除余3， ③被7除余2， 故输出的i 为23，【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．A解析：A【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，n的值，由题意判断退出循环的条件即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得n＝1，x＝1不满足条件x＞a，执行循环体，x＝1，n＝2不满足条件x＞a，执行循环体，x＝2，n＝3不满足条件x＞a，执行循环体，x＝6，n＝4不满足条件x＞a，执行循环体，x＝24，n＝5此时，由题意应该满足条件x＞a，退出循环，输出n的值为5．可得：6≤a＜24．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．9．B解析：B【分析】根据系统抽样和分层抽样的定义分别进行判断即可.【详解】若采用简单随机抽样，根据简单随机抽样的特点，1~300之间任意一个号码都有可能出现；若采用分层抽样，则1~120号为一年级，121~210为二年级，211~300为三年级.且根据分层抽样的概念，需要在1~120之间抽取4个，121~210与211~300之间各抽取3个；若采用系统抽样，根据系统抽样的概念，需要在1~30，31~60，61~90，91~ 120，121~150，151~180，181~210，211~240，241~270，271~300之间各抽一个.①项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，并且满足系统抽样的条件，所以①项为系统抽样或分层抽样；②项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，可能为分层抽样；③项，1~120之间有 4个，121~210之间有 3个，211~300之间有 3个，并且满足系统抽样的条件，所以③项为系统抽样或分层抽样；④项，第一个数据大于30，所以④项不可能为系统抽样，并且④项不满足分层抽样的条件.综上所述，B 选项正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查系统抽样和分层抽样，掌握系统抽样和分层抽样的定义是解题的关键，属于基础题.（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.10．C解析：C 【分析】设出最后两个数，然后根据已知条件列方程，求得方程2s 的表达式，根据表达式的结构求得2s 的最大值. 【详解】设这组数据的最后2个分别是10x +，y 则5781085x y +++++=⨯， 得10x y +=，故10y x =-. ∴()222211910(2)(2)21855s x x x ⎡⎤=+++++-=+⎣⎦， 显然当9x =时，2s 最大，最大为36. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，考查方程的思想，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以301=-n a n 为通项公式的等差数列，令*200301480,≤-≤∈n n N ，解不等式可得结果． 【详解】每组人数=9603230÷=人，即抽到号码数的间隔为30，因为第一组抽到的号码为29，根据系统抽样的定义，抽到的号码数可组成一个等差数列，且*2930(1)301,=+-=-∈n n n n N a ，令200301480≤-≤n ，得2014813030≤≤n ，可得n 的取值可以从7取到16，共10个，故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键．12．C解析：C 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为421105020=， 则在高三年级抽取的人数是14001625⨯=人， 故选C. 【点睛】该题所考查的是有关分层抽样的问题，在解题的过程中，需要明确无论采用哪种抽样方法，都必须保证每个个体被抽到的概率是相等的，所以注意成比例的问题.二、填空题13．【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有28种所 解析：725【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。
2021-2022年上海市高中数学必修三期末试题附答案
一、选择题1．已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12-的概率为（ ） A ．712B ．23C ．34 D ．562．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．163．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为15，则勾与股的比为（ ）A ．13B ．12C 3D 2 4．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+5．我国南宋时期数学家秦九韶在其著作（数术九章》中提出了解决多项式求值的秦九韶算法，其程序框图如图所示，若输入3x =，则输出v 的值为（ ）A ．1131-B ．11312-C ．12312-D ．10312-6．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164817．执行如下图的程序框图，如果输入的N 的值是7，那么输出的p 的值是（ ）A ．3B ．15C ．105D ．9458．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的13x =，输出的12181=y 则判断框“”中应填入的是（ ）A ．2?k ≤B ．3?k ≤C ．4?k ≤D ．5?≤k9．已知变量x ，y 的关系可以用模型kx y ce =拟合，设ln z y =，其变换后得到一组数据下：x 16 17 18 19 z50344131由上表可得线性回归方程4z x a =-+，则（ ）A ．4-B ．4e -C ．109D ．109e10．网上大型汽车销售某品牌A 型汽车，在2017年“双十一”期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系 价格（万元） 25 23.5 22 20.5 销售量（辆）30333639已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线性回归方程：8ˆ0ˆybx =+，若A 型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（ ） A ．39B ．42C ．45D ．5011．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，812．已知x ，y 的取值如表： x 2 6 7 8y若x ，y 之间是线性相关，且线性回归直线方程为，则实数a 的值是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________14．如图，⊙O 的半径为1，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，从A B C 、、、D E F 、、3的概率是_____．15．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.16．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值满足关系式y=-2x+4，则这样的x 值___个．17．运行如图所示的程序框图，则输出的所有y 值之和为___________．18．如下图，程序框图中，若输入4,10m n ==，则输出a 的值是________.19．下列说法正确的是__________（填序号）（1）已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位（2）若,p q 为两个命题，则“p q ∨”为假命题是“p q ∧”为假命题的充分不必要条件（3）若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥（4）已知随机变量()22X N σ~，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=20．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________三、解答题21．某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数； （2）若打分的平均值不低于75分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)；（3）若采用分层抽样的方法，从打分在[40,60)的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在[40,50)的概率.22．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：[)[)[)[)[)[]60,75,2;75,90,3;90,105,14;105,120,15;120,135,12;135,150,4;样本频率分布表： 分组频数频率[)60,7520.04 [)75,9030.06[)90,105 140.28 [)105,120150.30[)120,135 A B[]135,15040.08合计CD（1）在给出的样本频率分布表中，求,,,A B C D 的值； （2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[]135,150的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[)60,75中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率. 23．已知直线1:240l x y +-=，阅读如图所示的程序框图，若输入的x 的值为612+，输出的()f x 的值恰为直线2l 在x 轴上的截距，且12l l ⊥.（1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）若直线3l 过直线1l 与2l 的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程.24．给出求满足不等式122010n ++⋅⋅⋅+>的最小正整数n 的一种算法，并作出程序框图. 25．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：x2 3 4 5 6若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，试求： （1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：1221ni ii nii x ynxyb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-）26．某企业广告费支出与销售额（单位：百万元）数据如表所示：（1）求销售额y 关于广告费x 的线性回归方程；（2）预测当销售额为76百万元时，广告费支出为多少百万元. 回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 求出满足12y ≥-的角x 的范围，由长度比，即可得到该几何概型的概率. 【详解】1sin ,[,]2y x x ππ=≥-∈-，5[,][,]66x ππππ∴∈--⋃-，则满足12y ≥-的概率为： 5()()266()3P ππππππ---+--==--.故选：B. 【点睛】本题考查了三角不等式的求解，几何概型的计算，属于中档题.2．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】联立2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B解析：B 【分析】分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为15，从而构造方程可求得结果. 【详解】由图形可知，小正方形边长为b a -∴小正方形面积为：()2b a -，又大正方形面积为：2c()()2222222221115b a b a ab a b c a b a b b a--∴==-=-=+++，即：25a b b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得：12a b = 本题正确选项：B 【点睛】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.4．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】根据给定的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，即可求解. 【详解】由题意，输入3,1,1x v k ===，第1次循环，满足判断条件，31,2v k =+=；第2次循环，满足判断条件，2(31)31331,3v k =+⨯+=++=；第10次循环，11109313331,112v k -=++++==，不满足判断条件，输出运算结果11312v -=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法进行求解，着重考查推理与运算能力，属于基础题.6．C解析：C 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.7．C解析：C 【分析】由已知中的程序框图，得到该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得：7,1,1N k p ===， 满足条件7k <，执行循环体，3,3k p ==； 满足条件7k <，执行循环体，5,15k p ==； 满足条件7k <，执行循环体，7,105k p ==； 此时，不满足条件7k <，推出循环，输出p 的值为105， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解答中应模拟程序框图的运行过程，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．解析：C 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出输出y 的值时判断框中应填入的是什么． 【详解】模拟程序的运行过程如下， 输入114,1,11333x k y ===⨯+=， 41132,1339k y ==⨯+=，131403,19327k y ==⨯+=， 4011214,127381k y ==⨯+=， 此时不满足循环条件，输出12181=y ； 则判断框中应填入的是4?k ≤．故选：C ． 【点睛】本题考查了算法与程序框图的应用问题，理解框图的功能是解题的关键，是基础题．9．D解析：D 【分析】由已知求得x 与z 的值，代入线性回归方程求得a ，再由kxy ce =，得()kx kx lny ln ce lnc lne lnc kx ==+=+，结合z lny =，得z lnc kx =+，则109lnc =，由此求得c 值．【详解】 解：1617181917.54x +++==，50344131394z +++==． 代入4z x a =-+，得39417.5a =-⨯+，则109a =．∴4109z x =-+，由kxy ce =，得()kx kx lny ln ce lnc lne lnc kx ==+=+，令z lny =，则z lnc kx =+，109lnc ∴=，则109c e =． 故选：D ． 【点睛】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题．解析：B 【解析】分析：先求均值，确定ˆb，再求自变量为19对应函数值得结果. 详解：因为2523.52220.5330333639122,344442x y ++++++====，所以1348022,3224ˆb-==- 所以19(2)8042y =⨯-+=选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .11．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图12．B解析：B 【解析】 【分析】根据所给的两组数据，做出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到线性回归直线一定过的点的坐标． 【详解】 根据题意可得，，由线性回归方程一定过样本中心点，．故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．二、填空题13．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为解析：1 2【解析】五种抽出两种的抽法有2510C=种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12.14．【解析】【分析】先计算出所有线段条数的总数并从中找出长度为的线段条数利用古典概型概率公式计算所求事件的概率【详解】在中任取两点的所有线段有：共条其中长度为的线段有：共条由古典概型的概率公式可知线段的解析：2 5【解析】【分析】式计算所求事件的概率．【详解】在A、B、C、D、E、F中任取两点的所有线段有：AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF，共15条，AC、AE、BD、BF、CE、DF，共6条，62155=，故答案为25．【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查概率公式的应用，其中列举基本事件时，可以利用枚举法与树状图法来列举，在列举应遵循不重不漏的原则进行，考查计算能力，属于中等题．15．【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中选一个表示剩下的解析：23【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C ⨯⨯=种,其中23C 表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C 表示从三种组合中选一个，12C 表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=. 考点：古典概型及其概率计算公式．16．2【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用根据题意解析：2 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，并输出.【详解】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果.根据题意，可知该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，依题意得2224x x x ≤⎧⎨=-+⎩或252424x x x <≤⎧⎨-=-+⎩或5124x x x>⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得1x =-±x 的值有两个， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x 的个数.17．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到所有输出的的值然后求和即可【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；退出循环可得所有值 解析：10【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到所有输出的y 的值,然后求和即可. 【详解】 输入2n =-，第一次循环，8,1y n ==-； 第二次循环，3,0y n ==； 第三次循环，0,1y n ==； 第四次循环，1,2y n =-=； 退出循环，可得所有y 值之和为830110++-=，故答案为10. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.18．20【解析】模拟执行程序可得：不满足条件整除以不满足条件整除以不满足条件整除以不满足条件整除以满足条件整除以退出循环输出的值为点睛：本题主要考查的程序框图的知识点解题的关键是要读懂程序框图模拟执行程解析：20 【解析】模拟执行程序，可得：4,10m n ==，1i =，4a =不满足条件n 整除以a2i =，8a =不满足条件n 整除以a 3i =，12a =不满足条件n 整除以a 4i =，16a =不满足条件n 整除以a5i =，20a =满足条件n 整除以a ，退出循环，输出a 的值为20点睛：本题主要考查的程序框图的知识点．解题的关键是要读懂程序框图．模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i ，a 的值，当20a =的时候，满足条件n 整除以a ，退出循环，即可得到输出a 的值为20．19．【分析】（1）由回归方程知相关变量与成负相关（2）为假命题则同时为假命题为假命题则中至少有一假命题（3）全称命题与特称命题转换条件不变结论变相反（4）由正态曲线的对称性可解【详解】（1）由回归方程知 解析：(2)【分析】（1）由回归方程ˆ24yx =-知相关变量y 与x 成负相关，（2） “p q ∨”为假命题则,p q同时为假命题，“p q ∧”为假命题则,p q 中至少有一假命题（3）全称命题与特称命题转换条件不变，结论变相反 （4）由正态曲线的对称性可解. 【详解】（1）由回归方程ˆ24yx =-知相关变量y 与x 成负相关，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4-个单位，故（1）错误（2） “p q ∨”为假命题则,p q 同时为假命题，“p q ∧”为假命题则,p q 中至少有一假命题，所以“p q ∨”为假命题是“p q ∧”为假命题的充分不必要条件是正确的.故（2）正确 （3）全称命题与特称命题转换条件不变，结论变相反，故（3）错误 （4）由正态曲线的对称性知，随机变量()22X N σ~，，若()0.32P X a <=，对称轴是2x = ，则()40.32P X a >-=，故（4）错误. 故答案为; (2) 【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()001;()P X x P X x -≥=<;(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．20．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析：18 【解析】 【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，即可解得. 【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，解得18x =. 【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.三、解答题21．（1）0.006a =，不低于70分的人数为680人；（2）该校学生对食堂服务满意，理由见解析；（3）710. 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率的和为1可计算出a 值，求出不低于70分的频率可估计出人数；（2）取各组数据中点值为估计值乘以频率相加可得平均值，从而得结论；（3）由频率得抽取的5人中在[40,50)和[50,60)上的人数，分别编号后用列举法写出所有基本事件，并得出两人都在[50,60)内的可能结果从而结合对立事件的概率公式可得结论． 【详解】 解：由频率分布直方图可知，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =.该校学生满意度打分不低于70分的人数为1000(0.280.220.18)680⨯++=人. （2）打分平均值为：450.04550.06650.22750.28850.22950.1876.275x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>. 所以该校学生对食堂服务满意.（3）由频率分布直方图可知：打分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，抽取的5人采用分层抽样的方法，在[40,50)内的人数为2人，在[50,60)内的人数为3人.设[40,50)内的2人打分分别为12,,[50,60)a a 内的3人打分分别为123,,A A A ，则从[40,60)的受访学生中随机抽取2人，2人打分的基本事件有：()()()121112,,,,,a a a A a A ，()()()()()()()13212223121323,,,,,,,,,,,,,a A a A a A a A A A A A A A ，共10种.其中两人都在[50,60)内的可能结果为()()()121323,,,,,A A A A A A ，则这2人至少有一人打分在[40,50)的概率3711010P =-=. 【点睛】关键点点睛：本题考查频率分布直方图，考查分层抽样与古典概型．在频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得频率分布直方图缺少的数据．古典概型问题中如果事件空间中基本事件的个数不是太多的可以 用列举法写出所有基本事件，从而计算出概率．如果事件的个数较多，不便于列举，可以利用计数原理计数，从而得出概率． 22．(1)1250,12,,150C A BD ====;(2)0.32;(3)14P =.【解析】分析：（1）由样本频率分布表，能求出A ，B ，C ，D 的值．（2）由频率分布表能估计成绩在120分以上（含120分）的学生比例．（3）成绩在[60，75）内有2人，记为甲、A ，成绩在[135，150]内有4人，记为乙，B ，C ，D ，由此利用列举法能求出甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率． 详解：（1）由样本频率分布表，得：1250,12,,150C A BD ====. （2）估计成绩在以上120分（含120分）的学生比例为：0.240.080.32+= （3）成绩在[)60,75内有2人，记为甲、A 成绩在[]135,150内有4人，记为乙，,,B C D . 则“二帮一”小组有以下12种分钟办法：,,,,,,,,,,,B C D BC BD CD A B A C A D ABC ABD ACD 甲乙甲乙甲乙甲甲甲乙乙乙其中甲、乙两同学被分在同一小组有种办法：甲乙B ，甲乙C ，甲乙D ， ∴甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率为：31124P == 点睛：本题考查频率分布列的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．23．（1）(2,1)；（2）20x y -=或250x y +-= 【分析】（1）根据程序框图，可得输出的函数()f x ，由输入x 的值为12+可得直线2l 在x 轴上的截距.由12l l ⊥，可得直线2l 的斜率.根据点斜式可得直线2l 的方程，联立两直线方程，即可求得交点坐标.（2）讨论截距是否为0：当截距为0时，易得直线方程；当截距不为0时，根据在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，设出直线方程，代入所过的点，即可求解. 【详解】（1）由程序框图，若输入x 的值为1+，由102+> 所以输出()221f x x x =-+代入可得21112232122f ⎛⎫⎛⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++ 所以2l 在x 轴上的截距为32， ∵12l l ⊥， ∴121l l k k =-⋅ 所以22l k =∴直线2l 的方程为3022y x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即23y x =-. 联立240230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩. ∴直线1l 和2l 的交点坐标为(2,1). （2）当直线3l 经过原点时，可得方程为12y x =. 当直线3l 不经过原点时，设在x 轴上截距为0a ≠，则在y 轴上的截距为2a ，其方程为12x y a a +=，将交点坐标(2,1)代入可得2112a a +=，解得52a =， ∴方程为25x y +=.综上可得直线3l 方程为20x y -=或250x y +-=. 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，垂直直线的斜率关系，直线交点的求法，截距式方程的用法，注意讨论截距是否为0，属于中档题. 24．见解析 【分析】本题先要求12n ++⋅⋅⋅+，即每一项的变量都加一，设置两个变量：每一项的变量n ，且在循环中每次加一；每一项的和的变量T ，随着每一项的变量的增加而增加；再由题意得到退出循环的条件为2010T >. 【详解】 算法：1:1S n ←；2:0S T ←； 3:S T T n ←+；4S ；如果2010T >，输出n ，结束；否则1n n ←+，回到3S .程序框图如下：【点睛】本题考查了算法和框图的知识，考查学生分析解决问题的能力，对于循环结构的分析可以先写出循环的部分，再确定最终循环结束的条件，本题属于中等题。
【沪科版】高中数学必修三期末第一次模拟试卷附答案
一、选择题1．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．521B ．1021C ．1121D ．12．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．563．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A ．827B ．56C ．23D ．134．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B ．33πC ．23D ．9π 5．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（ ）A ．-9B ．60C ．71D ．816．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．127．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-8．如图给出的是计算1111246102+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（ ）A ．102i >B ．102i ≤C ．100i >D ．100i ≤9．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>10．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上(0)a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均不变 B ．这组新数据的平均数为am C ．这组新数据的方差为2a nD ．这组新数据的方差不变11．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为1A ，216,,A A ⋯，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A ．10B ．6C ．7D ．1612．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示，s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2的关系是( )．A．s1＞s2B．s1＝s2C．s1＜s2D．不确定二、填空题13．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为________.14．已知△ABC的两边AB＝4，AC＝7，D点为边BC上一点，且AD平分∠BAC，现随机将一粒豆子撒在△ABC内，则豆子落在△ABD内的概率是_____．15．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.16．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x 值与输出的y值满足关系式y=-2x+4，则这样的x值___个．17．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为______.18．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是___________．19．一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 零件数x （个） 15 20 30 40 50 加工时间y （分钟）6570758090由表中数据，求得线性回归方程0.66y x a =+，则估计加工70个零件时间为__________分钟（精确到0.1）．20．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s =___________________． 三、解答题21．一个盒子里装有m 个均匀的红球和n 个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为1011. （1）求m ，n 的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 22．某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率.23．用二分法求方程5310x x -+=在(0,1)上的近似解，精确到0.001，写出算法，并画出流程图.24．图C1-6所示的程序框图表示了一个什么样的算法？试用当型循环写出它的算法并画出相应的程序框图．25．某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快递公司记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)25,35、[)35,45、[)45,55、[)55,65、[)65,75、[)75,85、[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a的值；（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（3）假设公司中所有骑手都选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？26．某公司有400名员工，根据男女员工人数比例，用分层随机抽样的方法从中抽取了100人，调查他们的通勤时间（上下班途中花费的总时间，单位：分钟），将数据按照[)20,30，[)30,40，，[]80,90分成7组，并整理得到如下频率分布直方图：（I）从总体中随机抽取1人，估计其通勤时间小于40分钟的概率；（Ⅱ）求样本数据的中位数的估计值；（Ⅲ）已知样本中通勤时间大于或等于60分钟的人都是男员工，通勤时间小于60分钟的人中有一半是男员工，求该公司男员工的人数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B由从共有15个球中任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有215C 种不同的取法， 其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，所以概率为11510215501010521C C C ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．D解析：D 【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况， 故5()6P AB =. 故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．D解析：D 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D.本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π， 所以所求的概率2233349493r P ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】根据程序框图，模拟运算即可求解. 【详解】第一次执行程序后，1a =-，i=2； 第二次执行程序后，9a =-，i=3；第三次执行程序后，a=71，i=4>3，跳出循环，输出a=71. 故选：C本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.6．D解析：D 【分析】列举出前四次循环，可知，该算法循环是以3为周期的周期循环，利用周期性可得出输出的S 的值. 【详解】第一次循环，02020k =≤成立，1112S ==--，011k =+=； 第二次循环，12020k =≤成立，()11112S ==--，112k =+=；第三次循环，22020k =≤成立，12112S ==-，213k =+=；第四次循环，32020k =≤成立，1112S ==--，314k =+=； 由上可知，该算法循环是周期循环，且周期为3，依次类推，执行最后一次循环，20202020k =≤成立，且202036731=⨯+，此时12S =， 202012021k =+=，20212020k =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为12. 故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，推导出循环的周期性是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7．A解析：A 【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=；68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=；98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选A. 【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据题目所求表达式1111246102+++⋅⋅⋅+中最后一个数字1102，确定填写的语句.【详解】由于题目所求是1111246102+++⋅⋅⋅+，最后一个数字为1102，即当102i =时，判断是，继续循环，2104i i =+=，判断否，退出程序输出S 的值，由此可知应填102i ≤.故选B. 【点睛】本小题主要考查填写程序框图循环条件，属于基础题.9．A解析：A 【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小. 【详解】 由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+，22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <．故选:A ．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．10．D解析：D 【分析】考查平均数和方差的性质，基础题． 【详解】设这一组数据为()1,n X a a =，由()()E X a E X a +=+，()()D X a D X +=，故选：D ． 【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.11．A解析：A 【分析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于90分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于90分的个数数出来，即为输出的结果． 【详解】176A =，1i =，16i ≤成立，190A ≥不成立，112i =+=； 279A =，2i =，16i ≤成立，290A ≥不成立，112i =+=；792A =，7i =，16i ≤成立，790A ≥成立，011n =+=，718i =+=；依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选A ． 【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题．12．C解析：C 【分析】先求均值，再根据标准差公式求标准差，最后比较大小. 【详解】乙选手分数的平均数分别为7885848192767780949384,84,55++++++++====因此s 1＜s 2，选C. 【点睛】本题考查标准差，考查基本求解能力.二、填空题13．【分析】利用对立事件的概率公式计算即可【详解】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件事件为事件的对立事件则事件为一种新产品都没有成功因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和则再根据对立事件的概率之间 解析：1315【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可， 【详解】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件m ，事件n 为事件m 的对立事件，则事件n 为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为23和35． 则()232(1)(1)3515p n =--=，再根据对立事件的概率之间的公式可得()()213111515P m P n =-=-=， 故至少有一种新产品研发成功的概率1315． 故答案为：1315． 【点睛】本题主要考查了对立事件的概率，考查学生的计算能力，属于基础题．14．【分析】由角平分线性质得出线段的比高相同得出面积之比进而得概率【详解】点为边上一点且平分；由内角平分线性质可得：；所以根据几何概型可知豆子落在△ABD 内的概率故答案为：【点睛】本题主要考查了几何概型解析：411． 【分析】由角平分线性质得出线段的比，高相同，得出面积之比，进而得概率． 【详解】4AB =，7AC =，D 点为边BC 上一点，且AD 平分BAC ∠；由内角平分线性质可得：AB BDAC DC=⇒47BDDC=⇒411BDBC=；∴411ADBABCSS∆∆=．所以根据几何概型可知，豆子落在△ABD内的概率411ADBABCSSP∆∆= =.故答案为：4 11【点睛】本题主要考查了几何概型，将基本事件“几何化”，实际问题转化为数学问题，属于中档题．15．【分析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是Ω＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20}作出事件对应的集合表示的面积写出满足条件的事件是A＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20y﹣x≥5}算解析：38【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．【详解】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为7时x分、7时y分，则10≤x≤20，5≤y≤20，甲至少需等待乙5分钟，即y﹣x≥5，则试验包含的所有区域是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5}，如图：正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为12⨯15×152252=，∴甲至少需等待乙5分钟的概率是225323008=，故答案为3 8【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16．2【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用根据题意解析：2【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x xy x xxx⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，并输出.【详解】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果.根据题意，可知该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x xy x xxx⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，依题意得2224x x x ≤⎧⎨=-+⎩或252424x x x <≤⎧⎨-=-+⎩或5124x x x>⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得1x =-±x 的值有两个， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x 的个数.17．72【分析】模拟程序的运行依次写出每次循环得到的的值可得当时不满足条件退出循环输出的值为72【详解】模拟程序的运行可得满足条件执行循环体满足条件执行循环体；满足条件执行循环体;满足条件执行循环体；不解析：72 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S i ，的值，可得当9i = 时不满足条件8i ＜，退出循环，输出S 的值为72. 【详解】模拟程序的运行，可得10,i S ==， 满足条件8i ＜，执行循环体，39;i S ==，满足条件8i ＜，执行循环体，524i S ==， ； 满足条件8i ＜，执行循环体，745i S ==， ; 满足条件8i ＜，执行循环体，9i =，72S =； 不满足条件8i ＜，退出循环，输出S 的值为72, 故答案为72 【点睛】本题考查循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．18．9【解析】:试题分析：由题意可得a 是在不断变大的b 是在不断变小当程序运行两次时a=9b=5a>b 跳出程序输出a=9;考点：算法的流程图的计算解析：9 【解析】:试题分析：由题意可得，a 是在不断变大的，b 是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;" 考点：算法的流程图的计算19．7【解析】【分析】结合题意先求出线性回归方程然后再计算出结果【详解】由题意可得则线性回归方程为当时【点睛】本题考查了求线性回归方程然后求出估计结果需要掌握解题方法较为基础解析：7【解析】 【分析】结合题意先求出线性回归方程，然后再计算出结果 【详解】 由题意可得1520304050315x ++++==6570758090765y ++++==,760.6631a ∴=⨯+， 55.54a =，则线性回归方程为0.66 5.4ˆ55y x =+ 当70x =时，ˆ101.7y≈ 【点睛】本题考查了求线性回归方程，然后求出估计结果，需要掌握解题方法，较为基础20．【解析】试题分析：由平均数及方差的定义可得；考点：样本数据的数字特征：平均值与方差解析：165【解析】试题分析：由平均数及方差的定义可得10685675x ++++==；222222116[(107)(67)(87)(57)(67)] 3.255s =-+-+-+-+-==.考点：样本数据的数字特征：平均值与方差.三、解答题21．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则218431228()55C C P C C ==，故42()()()55P A P B P C =+=. 因此，从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为4255. 【点睛】本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，属于中档题． 22．（1）及格率是80%；平均分是72分（2）13【分析】（1）由频率分布直方图直接可计算得及格率以及平均分；（2）按分层抽样知[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F ，写出基本事件，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，利用古典概型即可得到结论. 【详解】（1）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0200.0300.0250.005)100.80+++⨯=，所以抽样学生成绩的合格率是80%.-利用组中值估算抽样学生的平均分：123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅450.05550.15650.2750.3850.25950.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 72=.估计这次考试的平均分是72分（2）按分层抽样抽取[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F .，则基本事件(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种， 故所求概率为：51153p ==.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均数，考查分层抽样的定义，古典概型，属于基础题. 23．见解析 【分析】利用二分法得到算法：取[,]a b 中点01()2b x a =+，判断()0()f a f x 符号，依次进行直到满足精度，再画出流程图得到答案. 【详解】 算法：第一步：取[,]a b 中点01()2b x a =+，将区间一分为二； 第二步：若()00f x =，则0x 就是方程的根；否则所求根*x 在0x 左侧或右侧； 若()0()0f a f x >，则()*0,x x b ∈，以0x 代替a ；若()0()0f a f x <，则()*0,x a x ∈，以0x 代替b ；第三步：若||a b c -<，计算终止，此时*0x x ≈，否则转到第一步.【点睛】本题考查了利用二分法解方程的算法和程序框图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 24．见解析【解析】【分析】根据图中的流程图表示的算法可知这是一个计算10个数的平均数的算法，根据当型循环结构的特点，先判断I是否小于等于10，再执行运算，由此写出当型循环的算法并画出流程图【详解】这是一个计算10个数的平均数的算法．当型循环的算法如下：S=.第一步，0I=.第二步，1第三步，如果I小于等于10，执行第四步；否则，转第七步第四步，输入G.第五步，.S S G =+第六步，1I I =+，返回第三步． 第七步，10S A =. 第八步，输出A .程序框图如图．【点睛】本题是一道关于设计流程图的题目，解答本题的关键是理解流程图的功能，属于中档题。
【沪科版】高中数学必修三期末试卷带答案(3)
一、选择题1．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ）A ．23B ．14C ．38D ．342．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A ．964B ．449C ．225D ．273．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin8y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．116D ．184．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（ ）A．15B．25C．35D．455．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．63 B．15 C．31 D．326．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．-9 B．60 C．71 D．817．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021-9．如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长10．某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各10株，测量了它们的根系深度（单位：cm），得到了如图所示的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（）A．海水稻根系深度的中位数是45.5B．普通水稻根系深度的众数是32C．海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数D．普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差11．某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为（）A．15.5 B．15.6 C．15.7 D．1612．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．90.5 B．91.5 C．90 D．91二、填空题P x y，则点P落在阴影部分BCD内的概率为13．如图，在长方形OABC内任取一点(,)________.14．马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案_______ ．15．在[0,1]上随机取两个实数,a b，则,a b满足不等式221+≤的概率为________．a b16．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=__________．17．已知流程图如图，则输出的i＝________．18．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为__________________.19．已知一组数据：5.7，5.8，6.1，6.4，6.5，则该数据的方差是__________．mm检测结果的频率分布直方图.估计这批20．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：)产品的中位数为______．三、解答题21．某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）试求出a的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（2）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的概率是多少？22．某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）19242630343540合计工人数133543120（人）（1）求这20名工人年龄的众数与平均数；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.23．相传古代印度国王在奖赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋发明者)时,问他需要什么,达依尔说:“国王只要在国际象棋棋盘的第一格子上放一粒麦子,第二格子上放二粒,第三格子上放四粒,以后按比例每一格加一倍,一直放到第64格(国际象棋棋盘格数是8×8=64),我就感恩不尽,其他什么也不要了.”国王想:“这才有多少,还不容易!”于是让人扛来一袋小麦,但不到一会儿就用完了,再来一袋很快又没有了,结果全印度的粮食用完还不够,国王很奇怪,怎么也算不清这笔账.请你设计一个程序框图表示其算法,来帮国王计算一下需要多少粒小麦.24．由键盘输入三个整数a,b,c,输出其中最大的数,画出其算法的程序框图,并写出程序.25．2020年1月末，新冠疫情爆发，经过全国人民的努力，2月中旬，疫情得到了初步的控制，湖北省以外地区的每日新增确诊人数开始减少，某同学针对这个问题，选取他在统计学中学到的一元线性回归模型，作了数学探究：他于2月17日统计了2月7日至16日这十天湖北省以外地区的每日新增确诊人数，表格如下：日期 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16代号x12345678910新增确558509444381377312267221166115诊人数y计算出y 与x 的线性相关系数约为0.9966-，他确定y 与x 有99%的把握线性相关，然后计算出： 5.5,335x y ==，()()1013955iii x x y y =--=-∑，()210182.5ii x x =-=∑（1）请你帮这位同学计算出y 与x 的线性回归方程(精确到0.1)，然后根据这个方程估计湖北省以外地区新增确诊人数为零时的大概日期；附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1012101iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-（2）实际上2月17日至2月22日的新增确诊人数如下：出评价.26．高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表： （Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考公式及数据：回归直线的系数()()()1122211ˆn ni iiii i nni ii i x y nxy x x y y bx nxx x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，154900n i i i x y ==∑，()5211000i i x x=-=∑，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()2 6.6350.01P K ≥=， ()210.8280.001P K ≥=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.2．B解析：B 【分析】求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】 解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒，在ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=，224()749DEF ABCS S∴==． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可． 【详解】由已知，可得大圆的直径为y ＝3sin 8πx 的周期，由T 2168ππ==，可知大圆半径为8， 则面积为S ＝64π，一个小圆的周长242l r r π==∴= 故小圆的面积S ′＝π•22＝4π， 在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为： P 2'81648S S ππ===， 故选：D ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题．4．B解析：B 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求． 【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据， 从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===， 故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题． 5．C解析：C【分析】根据程序框图模拟程序计算即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1i =；满足条件5i <，执行循环体，3S =，2i =；满足条件5i <，执行循环体，7=S ，3i =；满足条件5i <，执行循环体，15S =，4i =；满足条件5i <，执行循环体，31S =，5i =；此时，不满足条件5i <，退出循环，输出S 的值为31.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.6．C解析：C【分析】根据程序框图，模拟运算即可求解.【详解】第一次执行程序后，1a =-，i=2；第二次执行程序后，9a =-，i=3；第三次执行程序后，a=71，i=4>3，跳出循环，输出a=71.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.7．B解析：B【分析】根据框图，模拟程序运行即可求解.【详解】根据框图，执行程序，12,2S n ==；1222,3S n =+=；⋯12222,1i S n i =++⋯+=+，令12222126i S =++⋯+=，解得6i =，即7n =时结束程序，所以6n ≤，故选 ：B【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，等比数列求和，属于中档题.genju8．C解析：C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．D解析：D【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误.本题选择D 选项.本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D【分析】选项A 求出海水稻根系深度的中位数是444745.52+=，判断选项A 正确；选项B 写出普通水稻根系深度的众数是32，判断选项B 正确；选项C 先求出海水稻根系深度的平均数，再求出普通水稻根系深度的平均数，判断选项C 正确；选项D 先求出普通水稻根系深度的方差，再求出海水稻根系深度的方差，判断选项D 错误.【详解】解：选项A ：海水稻根系深度的中位数是444745.52+=，故选项A 正确； 选项B ：普通水稻根系深度的众数是32，故选项B 正确； 选项C ：海水稻根系深度的平均数393938434447495050514510+++++++++=，普通水稻根系深度的平均数252732323436384041453510+++++++++=，故选项C 正确；选项D ：普通水稻根系深度的方差2222222211[(3845)(3945)(3945)(4345)(4445)(4745)(4945)(5045)10S =-+-+-+-+-+-+-+-+， 海水稻根系深度的方差2222222221[(2535)(2735)(3235)(3235)(3435)(3635)(3835)(4035)(10S =-+-+-+-+-+-+-+-+，故选项D 错误故选：D.【点睛】本题考查根据茎叶图求中位数、众数、平均数、方差，是基础题. 11．B解析：B【分析】由频率分布直方图分别计算出各组得频率、频数，然后再计算出体重的平均值【详解】由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为：0.10.20.250.250.15，，，，，0.05频数为：367.57.54.51.5，，，，， 则平均值为：113136157.5177.519 4.521 1.515.630⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，需要注意计算不要出错12．A解析：A【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95， 所以中位数为90+91=90.52，故选A. 【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题. 二、填空题13．【分析】利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率即可计算出概率值【详解】由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形的面积之比等于所 解析：1e【分析】利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积，根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率，即可计算出概率值.【详解】由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形OABC 的面积之比等于所求概率， 记阴影部分面积为1S ，长方形面积为2S ， 所以()11100111x x S e e dx e e e e =⨯-=-=--=⎰，21S e e =⨯=， 所以所求概率为121S P S e ==. 故答案为：1e. 【点睛】 本题考查几何概型中的面积模型以及利用微积分基本定理求解定积分的值，属于综合型问题，难度一般.几何概型中的面积模型的计算公式：()A A P =构成事件的区域面积全部试验结果所构成的区域面积. 14．2【解析】试题分析：令？的数字是x 则！的数值是1-2x 所以考点：数学期望点评：数学期望就是平均值要得到随机变量的数学期望则需先写出分布列解析：2【解析】试题分析：令？的数字是x，则！的数值是1-2x ，所以考点：数学期望点评：数学期望就是平均值，要得到随机变量的数学期望，则需先写出分布列．15．【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图所示在上随机取两个实数则满足不等式的概率为故答案为【点睛】本题主解析：4π【解析】【分析】画出不等式组2201011aba b≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率.【详解】根据题意，画出不等式组2201011aba b≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，如图所示，在[]0,1上随机取两个实数,a b，则,a b满足不等式221a b+≤的概率为2211414Pππ⨯==，故答案为4π.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 16．42【分析】输入由循环语句依次执行即可计算出结果【详解】当时当时当时当时当时当时故答案为42【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算求出输出值较为基础解析：42【分析】输入1k =，由循环语句，依次执行，即可计算出结果【详解】当1k =时，0212S =+⨯=当2k =时，021226S =+⨯+⨯=当3k =时，021222312S =+⨯+⨯+⨯=当4k =时，021********S =+⨯+⨯+⨯+⨯=当5k =时，0212223242530S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=当6k =时，021222324252642S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为42【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算，求出输出值，较为基础17．9【解析】根据流程图可得：否；否；否；否；是输出故答案为9 解析：9【解析】根据流程图可得：1,3S i ==，否，133S =⨯=，3i =；否339S =⨯=，5i =； 否9545S =⨯=，7i =；否457315S =⨯=，9i =；是输出9i =，故答案为9. 18．【分析】模拟程序运行观察变量值的变化判断循环中的条件【详解】程序运行时循环结构中变量值为：不满足；满足结束循环输出故答案为【点睛】本题主要考查程序框图考查循环结构属于基础题解题方法是模拟程序运行观察 解析：32- 【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环中的条件．【详解】程序运行时，循环结构中变量值为：0x =，1y =-，不满足1y x -<；31,2x y =-=-，满足1y x -<，结束循环，输出32y =-， 故答案为32-． 【点睛】本题主要考查程序框图，考查循环结构，属于基础题．解题方法是模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件． 19．1【解析】分析：先利用平均数公式求出平均数再利用方差公式即可得结果详解：的平均数为的方差为故答案为点睛：本题考查主要考查平均数公式与方差公式属于基础题样本数据的算术平均数公式；样本方差公式标准差 解析：1【解析】分析：先利用平均数公式求出平均数，再利用方差公式即可得结果.详解：5.7，5.8，6.1，6.4，6.5的平均数为5.7+5.8+6.1+6.4+6.5 6.15=， 5.7,5.8,6.1,6.4,6.5∴的方差为()()()()()222225.7 6.1+5.8 6.1+6.1 6.1+6.4 6.1+6.5 6.10.15-----=，故答案为0.1. 点睛：本题考查主要考查平均数公式与方差公式，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式 12n 1(x +x +...+x )x n =；样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =20．5【解析】根据频率分布直方图得；∵002×5+004×5=03<0503+008×5=07>05；∴中位数应在20∼25内设中位数为x 则03+(x−20)×008=05解得x=225；∴这批产品的中解析：5【解析】根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，0.3+0.08×5=0.7>0.5；∴中位数应在20∼25内，设中位数为x ，则0.3+(x −20)×0.08=0.5，解得x =22.5；∴这批产品的中位数是22.5.故答案为22.5.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； ③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.三、解答题21．（1）a =0.014，众数95，中位数2903； （2）815.【分析】（1）根据所有频率和为1求a 的值，根据组中值以及频率确定众数，根据频率为0.5求中位数；（2）先确定成绩在[120，150]的同学人数以及成绩在[130,140)中人数，再利用古典概型概率公式求解.【详解】（1）(0.0020.00420.0060.0120.0160.0180.024)1010.014a a +⨯++++++⨯=∴= 由频率分布直方图得区间[90,100]对应人数最多，所以众数为901002+=95， 设中位数为x ，则90290(0.0040.0140.0160.024)100.5103x x -+++⨯⨯=∴= 所以中位数为2903； （2）成绩在[120，150]的同学人数有50(0.0020.0040.006)106⨯++⨯=，成绩在[130,140)中人数500.004102⨯⨯=，从6人抽取2人共有15种方法，其中抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的抽法有248⨯=种，因此所求概率为815. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．（1）30,30；（2）详见解析；（3）15. 【详解】试题分析：（1）利用车间20名工人年龄数据表能求出这20 名工人年龄的众数和平均数．（2）利用车间20 名工人年龄数据表能作出茎叶图．（3） 记年龄为24 岁的三个人为123,,A A A ；年龄为26 岁的三个人为123,,B B B ，利用列举法能求出这2 人均是24岁的概率．试题（1）由题意可知，这20名工人年龄的众数是30，这20名工人年龄的平均数为： ()1x 19328329530431332403020=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=. （2）这20 名工人年龄的茎叶图如图所示：（3）记年龄为24岁的三个人为123A A A ，，；年龄为26 岁的三个人为123B B B ，，，则从这6人中随机抽取2人的所有可能为：{}{}{}{}{}1213231112A A A A A A A B A B ，，，，，，，，，，{}{}{}{}{}1321222331A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，{}{}{}{}{}3233121323A B A B B B B B B B ，，，，，，，，，共15 种.满足题意的有{}{}{}121323A A A A A A 3，，，，，，种， 故所求的概率为31P 155==. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.23．见解析.【解析】试题分析：依题目可知，问题是求1＋2＋22 ＋…＋263 的和的问题，我们引入一个累加变量S ，一个计数变量i ，累加64次就能求其和试题点睛：本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.24．见解析.【解析】试题分析：由于a、b、c三者最大值有三个情况，可能a最大，可能b最大，可能c最大，据此试着写出算法；根据上述写出的算法，按照程序框图的画法画出算法流程图即可.试题程序框图如图所示.程序如下:a=input(“a=”);b=input(“b=”);c=input(“c=”);if a>b and a>cprint(%io(2),a);elseif b>cprint(%io(2),b);elseprint(%io(2),c);endend25．（1）47.9598.7=-+，2月19日时新增确诊人数为零；（2）该数学探究估计的y x数据与实际的数据不吻合.【分析】（1）根据数据套公式求出b a、，写出回归方程，并估计新增确诊人数为零时的大概日期；（2）在（1）中求出的回归方程为线性的，再分析2月17日至2月22日的新增确诊人数不是线性的，所以选择模型不够理想.【详解】解：()1设回归方程为y bx a=+，∵ 5.5,335x y ==，()()1013955i i i x x y y =--=-∑，()210182.5i i x x =-=∑ 则()()()1012101395547.93982.5i i i ii x x y y b x x ==---==≈--∑∑ 所以598.7a y bx =-≈所以回归方程为47.9598.7y x =-+估计在13x =即2月19日时新增确诊人数为零.()2该数学探究估计的数据与实际的数据不吻合.该同学首先通过线性相关系数进行线性相关判断，得到y 与x 有99%的把握线性相关，这只是说明选取的数据是线性的，但从整体看，不是线性的；出现这个结果的原因可能是传染病初发时的突发因素过多､湖北省外的人口众多､以及传染病机制复杂等因素决定的，说明对于传染病病例的变化趋势，选择线性模型可能不够理想. 【点睛】（1）求线性回归方程的步骤：①求出,x y ；②套公式求出b a 、；③写出回归方程y bx a =+；④利用回归方程y bx a =+进行预报；（2）可以建立多个函数模型时,要对每个模型进行分析比较，选择最优化模型．26．（Ⅰ）ˆ0.918yx =-，估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【分析】 （Ⅰ）由已知求得ˆb与ˆa 的值，可得y 关于x 的线性回归方程，取90x =求得y 值即可； （Ⅱ）由题意填写22⨯列联表，求得2K 的值，结合临界值表得结论．【详解】解：（Ⅰ）1(140130*********)1205x =++++=， 1(110901008070)905y =++++=． 515222221()()2020100010(10)(10)(20)(20)900ˆ0.92010(10)(20)1000()ii i ii x x y y b x x ==--⨯+⨯+⨯+-⨯-+-⨯-====++-+--∑∑， ˆˆ900.912018ay bx =-=-⨯=-． y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.918y x =-，取90x =，得ˆ0.9901863y=⨯-=． ∴估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）由题意填写22⨯列联表：260(2418612)10 6.635 36243030K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．。
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2020-2021上海金山区教师进修学院附属中学高中必修三数学上期末模拟试卷含答案一、选择题1．执行如图的程序框图，若输入1t=-，则输出t的值等于( )A．3B．5C．7D．152．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（）A．40（8）B．45（8）C．50（8）D．55（8）3．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A．①②③B．①③C．②③D．①4．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A．85B．84C．83D．815．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n的值分别为（）（参考数据：20sin200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯6．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元7．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．568．已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为( ) A ．34B ．23C ．12D ．139．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S =（单位：升），则输入的k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1210．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．4511．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ） A ．13B ．49C ．59D ．2312．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为______． 15．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．16．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________17．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________. 18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为___________19．执行如图所示的程序框图，输出的S值为__________.20．执行如图所示的程序框图，若1ln2a=，22be=，ln22c=（其中e是自然对数的底），则输出的结果是__________．三、解答题21．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.22．冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求第2组恰好抽到1人的概率；23．某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A类学生，已知体育健康A类学生中有10名女生.（Ⅰ）根据已知条件完成下面22列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A类学生与性别有关？非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生女生合计（Ⅱ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++24．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； （2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.25．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，现用一种新配方做试验，生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（1）将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到0.1）.[)115,125合计100126．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：年份x20112012201320142015储蓄存款y（千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y=-=-得到下表2：时间代号t12345z01235（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆy bx a=+，其中1221ˆˆˆ,ni iiniix y nx yb a y bxx nx==-⋅==--∑∑）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<， 不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<， 满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案. 【详解】∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）． 再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．【点睛】本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可.3．B解析：B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C o ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C o 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C考点：统计初步4．A解析：A 【解析】 【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解． 【详解】由一组数据的茎叶图得： 该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=． 故选：A ． 【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．C解析：C 【解析】分析：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，可得正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯o，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是1，顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭o，所以正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯o，当6n =时， 2.62S =≈； 当18n =时， 3.08S ≈；当54n =时， 3.13S ≈；符合 3.11S ≥，输出54n =，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．C解析：C【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==． 故选D ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．9．D解析：D 【解析】 【分析】计算出每次循环时各变量的值并与3S =比较后可得对应的k 的值. 【详解】1n =，S k =； 2n =，22k k S k =-=； 3n =，263k k k S =-=； 4n =，33124k k kS =-==，所以12k =. 故选：Ｄ. 【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图，此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值，从而可得程序终止的条件、输出的结果等，本题属于中档题.10．A解析：A 【解析】设甲到达时刻为x ，乙到达时刻为y ，依题意列不等式组为{0.50,1y xx y x y ≥+≥≤≤，画出可行域如下图阴影部分，故概率为11138218--=.11．C解析：C【解析】【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，则0≤x≤15，0≤y≤15，两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，必须满足{（x，y）|0505xy≤≤⎧⎨≤≤⎩，或515515xy≤⎧⎨≤⎩＜＜}，即（x，y）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=59，故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．12．A解析：A【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P-=＝．故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】【分析】将所有的基本事件全部列举出来确定基本事件的总数并确定所求事件所包含的基本事件数然后利用古典概型的概率公式求出答案【详解】所有的基本事件有：（甲乙丙）（乙甲丙）（丙甲乙）（甲乙丙）（甲解析：1 6【解析】【分析】将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共6个，因此，所求的事件的概率为16，故答案为16．【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．14．【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球白球若从袋中任意摸出2个球共有10种没有得到白球的概率为设白球个数为x黑球个数为5-x那么可知白球共有3个黑球有2个因此可知填写为解析：3 10【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为15．【解析】∵方程无实根∴Δ＝1－4a<0∴即所求概率为故填：解析：3 4【解析】∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴14a>，即所求概率为34.故填：3416．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析：18【解析】【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为1725443x+⨯=，即可解得.【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为1725443x+⨯=，解得18x=.【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.17．【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是Ω＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20}作出事件对应的集合表示的面积写出满足条件的事件是A＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20y﹣x解析：38【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．【详解】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为7时x分、7时y分，则10≤x≤20，5≤y≤20，甲至少需等待乙5分钟，即y﹣x≥5，则试验包含的所有区域是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5}，如图：正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为12⨯15×152252=，∴甲至少需等待乙5分钟的概率是225323008=，故答案为3 8【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 18．4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n的值为4故答案为4解析：4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，满足判断框的条件，故跳出循环程序．故输出的n的值为4．故答案为4．19．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：37解析：37【解析】根据图得到：n=18,S=19,n=12S=31,n=6,S=37,n=0,判断得到n>0不成立，此时退出循环，输出结果37. 故答案为：37.20．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该解析：ln 22（注：填c 也得分）. 【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值， 因为212ln 2,,ln 22a b c e ===，则221ln 21132ln 2e <<<<，即b c a <<， 所以此时输出ln 22c =. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．三、解答题21．（1）14（2）这样规定公平，详见解析 【解析】 【分析】（1）利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）利用古典概型及其概率的计算公式，求得(),()P B P C 的概率，即可得到结论. 【详解】由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x 、y . 用(,)x y 表示抽取结果，可得(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，则所有可能的结果有16种，（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}A =， 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率41()164P A ==. （2）设“甲获胜”为事件B ，“乙获胜”为事件C ，则{}(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)B =，{(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4)}C =. 可得63()()168P B P C ===， 即甲获胜的概率是38，乙获胜的概率也是38，所以这样规定公平.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算及应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题题. 22．（1）平均数为41.5岁；中位数为42.1岁（2）35【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出a ，再求其平均值.（2）按照分层抽样的方式抽取的人数分别为2人，3人, 设第1组抽取的人员为12,a a ；第2组抽取的人员为123,,b b b .列举出随机抽取两人的情况，再求出概率. 【详解】解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； 设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5⨯+⨯+-⨯=x ，∴42.1x ≈岁. （2）根据题意，第1，2组分的人数分别为1000.110⨯=人，1000.1515⨯=人，按照分层抽样的方式抽取的人数分别为2人，3人.设第1组抽取的人员为12,a a ；第2组抽取的人员为123,,b b b . 于是，在5人随机抽取两人的情况有：()12,a a ，()()()111213,, ,, ,a b a b a b ，()()()212223,, ,, ,a b a b a b ， ()()()121323,,,,,b b b b b b 共10种.满足题意的有：()()()()()()111213212223,, ,, ,, ,, ,, ,a b a b a b a b a b a b 共6种. 所以第2组恰好抽到1人的概率63105p ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图，求平均值，考查概率，属于中档题.23．（Ⅰ）见解析，没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关（Ⅱ）710【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】（Ⅰ）由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A 类学生有25人，从而22⨯列联表如下：22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯；所以没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记a 、b 、c 表示男生，D 、E 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为{ab Ω=，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE ；Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则{A aD =，aE ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE 共计7种；故所求的概率值为P =（A ）710=． 【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 24．（1）1225；（2）2125.【解析】分析：（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有1个是黑球的情况有12种，即可得到答案；（2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出. 详解：全体基本事件共有25种情形，（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形， 故概率1225P =. （2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球， 即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形，即42112525P =-=. 点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法． 25．（1）见解析； （2）100，99.7. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，可补全频率分布表，根据频率分布表中的频率除以组距求出纵坐标，从而可得频率分布直方图；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；先判断中位数x 在内[)95,105，利用()0.380.060.26950.510x ++-⨯=，从而可得结果. 【详解】（1）频率分布表和直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为800.06900.26x =⨯+⨯+ 1000.381100.22⨯+⨯+ 1200.08100⨯=.所以此产品质量指标值的平均数的估计值为100.因为0.060.260.5+<，0.060.260.380.5++>，所以中位数x 在内[)95,105，则()0.380.060.26950.510x ++-⨯=， 解得99.7x ≈【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.26．（Ⅰ） 1.2 1.4=-z t （Ⅱ）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元【解析】试题分析：（Ⅰ）由表中的数据分别计算x ，y 的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；（Ⅱ）t=x ﹣2010，z=y ﹣5，代入z=1.2t ﹣1.4得到：y ﹣5=1.2（x ﹣2010）﹣1.4，即y=1.2x ﹣2408.4，计算x=2020时，的值即可．试题解析：（Ⅰ）4553 2.2 1.255ˆ59b -⨯⨯==-⨯， 2.23 1.21ˆ.4a z bt =-=-⨯=-（Ⅱ）2010,5t x z y =-=-，代入得到：()5 1.22010 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =-1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，∴ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元点睛：求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x ，y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．。