222对数函数及其性质(第2课时)
《对数函数及其性质》第二课时参考课件
当a , b 0, a 1时, 有 (1) log a b 0 (a 1)( b 1) 0; ( 2) log a b 0 (a 1)( b 1) 0;
能力测试(比一比)
4.设f ( x) 2
x 2 2 x
( x 1),求反函数f ( x).
1
5.求函数y log1 ( x 2 3 x 2)的单调增区间 .
6.已知函数y loga ( x 2) 3, (a 0, a 1)不论a为 何值都经过一个定点 , 则这个定点坐标为______.
2 2 例2.已知(loga ) 1, 求a的取值范围 3
2 3 (0, ) ( ,) __________ _. 3 __________ 2
2
例3.解不等式logx (2 x x ) 0
1 5 解集为: { x | 1 x }. 2
能力测试(比一比)
1.已知f ( x 6 ) l og2 x , 那么f (8)等于( 4 1 A. B .8 C .18 D. 3 2 2
解： (2) 当 [ H ] 10 时，pH lg10 7. 即纯净水的 pH是7. 国家规定，饮用纯净水 的pH应该在 5.0 ～ 7.0之间 .
7
7
例题分析:
例1. l og( a 1) ( 2 x 1) l og( a 1) ( x 1)则( C ) A. x 0, a 0 B . x 1, a 1 C . x 1, a 2 D. x 1,1 a 2
1 解 ： (1)根据对数的运算性质得pH lg[H ] lg[H ] lg , [H ]
1
课件7：2.2.2 对数函数及其性质 第二课时
＝log211＋＋xx2221，
6分
由于0<x1<x2，则0<x21<x22，
7分
则0<1＋x21<1＋x22，
所以0<11＋＋xx1222<1.
9分
又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以log211＋＋xx2122<0.
所以f(x1)<f(x2).
11分
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
∴log21.7<log23.5.
(3)借助y＝log1 x及y＝log1 x的图象，如图所示．
2
5
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，
∴log1 3<log1 3.
2
5
(4)由对数函数性质知，
log1 0.3>0，log20.8<0，
3
∴log1 0.3>log20.8.
3
1．(1)下列大小关系正确的是( )
②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数， 因为log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)，
a＋1>0， 所以3－a>0，
a＋1<3－a，
解得－1<a<1.
即实数a的取值范围是－1<a<1. 答案： (1)0<a<25或a>1 (2){x|0<x<3}
对数函数性质的综合应用
已知函数f(x)＝log2(1＋x2)． 求证：(1)函数f(x)是偶函数； (2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
x－1>0， 当a>1时，有3－x>0，
x－1≥3－x，
解得2≤x<3.
高中数学2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)优秀课件
函数y loga x在(0, )上是单调递减,且5.1 5.9
loga 5.1 loga 5.9
➢同底对数值比较大小：假设底数未确定，需分类讨
四、例题分析
例2 比较以下各组数中两个值的大小。
(1) log2 3.4, log2 8.5 (3) loga 5.1, loga 5.9(a 0, a(2) l1o)g0.3(14.)8l,ologg2 03.3, l2o.g70.5 4
4
解：(3)令t log2 x，由2 x 4得1 t 2,
y t2 2t 3 (t 1)2 2，1 t 2
换元
函数y (t 1)2 2对称轴为t 1,在[1, 2]上单调递增，
(1 1)2 2 (t 1)2 2 (2 1)2 2，
即6 (t 1)2 2 11， 原函数的值域为[6,11].
(0,) 当0< x<1 时， y>0
值域
R
性 定点
过定点(1,0)，即x=1时，y=loga1=0
质 单调性 在 (0,) 上是增函数 在 (0,) 上是减函数
观察以下四个函数的图象，能否总结出其图象特征？
y log2 x
y log3 x
y log1 x
2
y log1 x
3
y loga x与y log1a x 的图象关于x轴对称
(4) y log2 x在(0, )单调递增，
且3 1, log2 3 log2 1 0;
loga 1 0
又 y log0.5 x在(0, )上单调递减，
且4 1 log0.5 4 log0.51 0;
log2 3 log0.5 4
➢底数不同，真数不同对数值比较大小：借助中间量“0〞
2014年高中数学(答疑+思维启迪+状元随笔)2.2.2 对数函数及其性质第2课时同步课堂讲义课件 新人教A版必修1
函数y＝logaf(x)(a>0且a≠1)可看做是y＝logat(a>0 且a≠1)与t＝f(x)两个简单函数复合而成的，则由 复合函数的判断法则同增异减知：当a>1时，若t ＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为增函数，若f(x) 为减函数，则y＝logaf(x)为减函数；当0<a<1时， 若t＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为减函数，若t ＝f(x)为减函数，则y＝logaf(x)为增函数．
1．(1)设 a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( A．a<c<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c (2)比较下列各组值的大小： ①log20.5，log20.6；
3 3
)
②log1.51.6，log1.51.4； ③log0.57，log0.67； ④log3π，log20.8.
解析： (1)由对数函数 y＝ log5x 的图象，可得 2 0<log53<log54<1，∴b＝ (log53) <log54＝a，又 c ＝ log45>1， ∴b<a<c.
(2)①∵函数 log2x 是减函数，且 0.5<0.6，
3
∴ log20.5>log 20.6.
3 3
②∵函数 log1.5x 是增函数，且 1.6>1.4， ∴ log1.51.6>log1.51.4. ③∵0>log70.6>log70.5， 1 1 ∴ < ，即 log0.67<log0.57. log70.6 log70.5 ④∵log3π>log31＝ 0， log20.8<log21＝ 0， ∴ log3π>log20.8. 答案： (1)D
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
高中数学必修一课件：2.2.2 对数函数及其性质(二)
loga M loga N loga MN
判断对数函数奇偶性: f ( x) f ( x) 0或f ( x) f ( x) 0
(2) g ( x) lg
解：
x 1 x
2
x2 1 x
2 2
定义域为 R
2 lg ( x ) 1 x lg g ( x) g ( x)
3 2
3
u g ( x) x ax a 在 (, 1 3)上是减函数,
2 且当 x (, 1 3) 时, g ( x) x ax a 0
2 f ( x ) log x 0 a 1 时, a 4x 3
在 (3, ) 上递减, 在 (, 1) 上递增
2 f ( x ) log ( x ax a) 在区间 (, 1 3) 6 、若 2
上是增函数, 求 a 的取值范围?
解： 由于 y log 2 u 在 (0, )上是减函数, 则
解之，得函数定义域为
1 3 {x | x 2且x 1且x } 2 2
2 y log ( x 4 x 7) 的值域？ 2：求 3, 定义域： R 值域：
{x | x R且x 2} 值域： R 定义域：
2″
y log 2 ( x 2 4 x 4)
求 a的取值范围？
二次项系数 是否为0?
解得 0 a 1
故函数定义域为R时, 0 a 1.
改变条件为：
3′已知函数 若 值域 为 值域 y lg(ax2 2ax 1)， 求 a 的取值范围？
R
解： (1) a 0 时， y lg 1 ,此时不 × 满足题设条件 ； (2) a 0 时，设 u ax2 2ax 1, 因为函数 y的值域是R, 则 a 0 解得 a 1 4a2 4a 0
对数函数的性质课件PPT
思考5:设
，若
m与n的大小关系如何？若
则m与n的大小关系如何？
，则 ，
理论迁移
例1 比较下列各组数中的两个值的大小： （1）log23.4，log28.5 ； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1); （4）log75，log67.
2.2.2 对数函数及其性质 第二课时 对数函数的性质
问题提出
1.什么是对数函数？其大致图象如何？
2.由对数函数的图象可得到哪些基本性 质？
知识探究（一）：函数
思考1:函数图象分布 在哪些象限？与y轴的 相对位置关系如何？
的性质
y
1
0
1
x
思考2:由此可知函数的定义域、值域分别 是什么？
思考3:函数图象的升降情况如何？由此说 明什么性质？
2.2.2 对数函数及其性质 第二课时 对数函数的性质
问题提出
1.什么是对数函数？其大致图象如何？
2.由对数函数的图象可得到哪些基本性 质？
知识探究（一）：函数
思考1:函数图象分布 在哪些象限？与y轴的 相对位置关系如何？
的性质
y
1
0
1
x
思考2:由此可知函数的定义域、值域分别 是什么？
思考3:函数图象的升降情况如何？由此说 明什么性质？
思考4:图象在x轴上、下 y
两侧的分布情况如何？
由此说明函数值有那些
1
0
1
x
变化？
思考5:若
y
，则
函数
与
0
1
x
的图象的相
对位置关系如何？
高考数学第一轮复习：2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用
学习目标 1.进一步理解对数函数的性质(重点).2.能运用对数 函数的性质解决相关问题(重、难点)．
课堂互动
课堂反馈
题型二 与对数函数有关的值域和最值问题
【例 2】 (1)函数 f(x)＝log1 (x2＋2x＋3)的值域是________．
2
(2)若函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值
课堂互动
课堂反馈
方向3 与对数函数有关的复合函数的单调性
【例 3－3】 (1)求函数 y＝log0.3(3－2x)的单调区间； (2)函数 f(x)＝log1 (3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，
3
求实数 a 的取值范围． 解 (1)由 3－2x>0，解得 x<32，设 t＝3－2x，x∈－∞，32， ∵函数 y＝log0.3t 是减函数，且函数 t＝3－2x 是减函数， ∴函数 y＝log0.3(3－2x)在－∞，32上是增函数，即函数 y＝ log0.3(3－2x)的单调递增区间是－∞，32,没有单调递减区间．
课堂反馈
规律方法 1.两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)． (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.
A.(－∞，－2)
B.(－∞，1)
C.(1，＋∞)
D.(4，＋∞)
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2
2
求y
(log2
x 4
)(log2
x 2
)的值域
2.换元法(注明新元取值) 3.二次函数法(配方,画图,求值）
二.新课讲授 函数y=logaf(x)的单调性： 例4.求函数f(x) log3(2x 1), g( x) log1 (2x 1)的单调区间.
3
并比较与t 2x 1( x 1 )的单调性的关系 2
的图象的关系.
y log 3 x 向左平移2个单位 y log3(x 2) y log 3 x 向上平移2个单位 y log3 x 2
例2画出下列函数的图象:
（1）y log 1 | x | （2） y | log2 x |
2
(1)
(2)
已知1 x 10,试比较(lg x)2, lg x2, lg(lg x)的大小.
二.新课讲授 例1 解下列关于x的不等式:
(1) log0.5 x > log0.5 (1-x) (2) log2 (x+3) - 2 <0
(3)
log x
2 3
<
1
变式:0<a<1,0<b<1,且alogb (x-3) <1,求 x
依据：(1)若a 1, loga m loga n m n 0 (2)若0 a 1, loga m loga n 0 m n
结论：当a>1时，y=logaf(x)与t=f(x)>0单调性相同
当0<a<1时，y=logaf(x)与t=f(x)>0单调性相反
练习：求下列函数的单调区间
(1)y=log2|2-x| （2）y=log（1 x2 -3x+2）（3）y=log（2 x-x2）
2
例1 说明函数 y log3(x 2) 和 y log 3 x
即: 0 y 2
故该函数的值域为 y 0 y 2
思考题
若函数 y loga x在[2， ）上恒有y 1 求a的取值范围.
备用习题
1/3<a<1 1.已知loga3a<0，则a的取值范围为
2.设0<x<1,logax<logbx<0,则a,b关系（B ） A.0<a<b<1 B.1<a<b C.0<b<a<1 D1<b<a
注意：要考虑函数的定义域 依据：复合函数的单调性的判定方法.
求x的取值范围. 3 x4
1.解:要使函数有意义,则: x2 0
即得：x 0
故函数的定义域为 x x 0
小结:求形如 y log a f (x)的函数定义域要 考虑 f (x) 0
2.解: 1 x 3 1 x2 9
那么: log 3 1 log 3 x2 log 3 9
名称
指数函数
对数函数
一般形式 图
象
y ax (a 0, a 1)
a 1 0a 1
1
1
0
0
y log a x (a 0, a 1)
a 1 0 a 1
y
01
01
定义域
R
（0，+∞）
值域 过定点 单调性 联系
（0，+∞）
R
（0，1）
（1，0）
a 1增函数；0 a 1减函数
y ax的图象与y log a x的图象关于直线 y x 对称
ห้องสมุดไป่ตู้
二.新课讲授 例2.求函数 y=log3x (1≤x≤3)的值域. 变式：(1)已知函数y=logax(a>0,a≠1), 当x∈[3,9]时， 函数的最大值比最小值大1,则a=__3_或 __ 1 (2)求函数 y=log3（-x2+2x+3）的值域 3
1.单调性法（端点代入） 2.换元法(注明新元取值) 3.二次函数法(配方,画图,求值）
例3：求函数 y=log3x(1≤x≤3)的值域.
变式：
(1)求函数 y=log3（x2-4x+7）的值域.
(2)已知函数y=logax(a>0,a≠1), 当x∈[3,9]时，函数的最大值比最小值大1,
则a=__3_或___13__
例4.函数ｙ＝log2(x2- 3x+2) 的单调减区间 是__(－__∞__, _1_)
例题与练习
例二.设函数 y log 3 x2 (1)求该函数的定义域. (2)若该函数的定义域为[1,3],求该函数的值域. (3)若该函数的值域为[1,3],求该函数的定义域.
x 3 x 3 3或 3 3 x 3
小结:函数思想是实现核心内涵到外延应用的途径.
练习2.已知: 0 a 1,0 b 1;若alogb (x3) 1
二.新课讲授- 与对数有关的二次函数
例3.求 （ f x） 2 loga2 x- loga x+1 的值域 变式:(1)当x=2时 ,f(x)取得最小值 ,求a
（2）求
（ f x）
（ 4
log a
2
x）2 - loga
x +1 的值域
（3 )若2(log1 x )2 7 (log1 x ) 3 0 ,