不变量比例问题
分数应用题中比的应用
分数应用题中比的应用一、抓不变量【例1】有一些球，其中红球占1/3，当再放入8个红球后，红球占总球数的5/14，问现在共有多少球？解：其他球的数量没有改变。
增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14－5）＝5∶9。
在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3－1）＝1∶2＝4.5∶9。
因此8个红球是5－4.5＝0.5（份）。
现在总球数是本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变。
把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点。
本题也可以列出如下方程求解：（x＋8）∶2x＝5∶9。
【例2】甲、乙两同学的分数比是5∶4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7。
甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化。
原来要分成5＋4＝9份，变化后要分成5＋7＝12份。
如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键。
9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算，5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16.5∶7＝（5×3）∶（7×3）＝15∶21。
甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20－15＝5份。
因此原来甲得22.5÷5×20＝90（分），乙得 22.5÷5×16＝72（分）。
我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程。
解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x。
根据得分变化，可列出比例式。
（5x－22.5）∶（4x＋22.5）＝5∶7 即 5（4x＋22.5）＝7（5x－22.5），15x＝12×22.5，x＝18。
甲原先得分18×5＝90（分），乙得18×4＝72（分）。
【例3】张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元。
问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解。
第7课时 用比例解决问题(2)——2025学年六年级下册数学人教版
第4单元 比 例 3.比例的应用 第 7Hale Waihona Puke 课时 用比例解决问题（2）
复习导入
判断下面各题中的两个量成什么比例关系。 （1）路程一定，速度和时间成（反）比例关系。
（2）总价一定，单价和数量成（反）比例关系。
（3）运货的总量一定，汽车的载质量和运的次数 成（反）比例关系。
探究新知
2x＝4×1.5
x＝
4×1.5 2
x＝3
答：如果他只买单价是2元的，可以买3支。
课堂总结
通过这节课的学习，你有什么收获?
500÷25＝20（天 答：原来）5天的用电量现在可以用20天
平均每天照明用电
原来 100千瓦时
现在
25千瓦时
用电天数 5天 ？天
方法二： 用比例的知识解决问题。 （ 总的用电量 ）一定，（ 用电时间）与单位时
间内的（用电量）成（反）比例关系。也就是说， （ 每天的用电量）与（用电天数 ）的（乘积）相等。
现在30天的用电量原来只够用几天？
解：设现在30天的用电
平均每天照明 用电
原来 100千瓦时
天数 ？天
量原来只够用x天。
100x＝25×30
x＝
25×30 100
现在 25千瓦时 30天
x＝7.5
答：现在30天的用电
量原来只够用7.5天。
巩固运用
（教材P60 做一做T1）
1.小明买4支圆珠笔用了6元。小刚想买3支同样的圆 珠笔，要用多少钱？
解：设小刚想买3支同样的圆珠笔，要用x元。
6 4
＝
x 3
4x＝18
x＝4.5
答：小刚想买3支同样的圆珠笔，要用4.5元。
小学奥数教程：比例应用题(二)全国通用(含答案)
1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ；性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数)性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积)正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比；反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比．二、主要比例转化实例①x a y b = ⇒ y b x a =； x y a b =； a b x y =； ② x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb=(其中0m ≠)； ③ x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a--=； x y a b x y a b ++=-- ；④ x a y b =，y c z d= ⇒ x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的c a 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为ax a b -，B 的元素数量为bx a b-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 知识点拨 教学目标比例应用题（二）四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。
第六单元比中的“不变量问题”专项练习(解析版)北师大版
【分析】设原来两桶汽油一共有x千克，汽油从甲桶倒向乙桶，总质量没变，汽油总质量÷原来总份数×原来甲桶对应份数－汽油总质量÷现在总份数×现在甲桶对应份数＝5千克，据此列出方程解答即可。
【详解】解：设原来两桶汽油一共有x千克。
x÷（3＋2）×3－x÷（8＋7）×8＝5
x÷5×3－ x÷15×8＝5
2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列
第六单元：比中的“不变量问题”专项练习
1．“双减”课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6∶1。后来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4∶3。这个小组增加了多少名女生？
【答案】21人
【分析】根据题意可知，男生人数不变，有42× ＝36（名），女生有42－36＝6（名），后来女生人数占男生人数的 ，根据分数乘法的意义，用36× 即可求出变化后的女生人数，再减去原来的女生人数即可。
7∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶25
13÷（48－35）
＝13÷13＝1Βιβλιοθήκη 克）甲：1×48＝48（克）
乙：1×12＝12（克）
答：甲液原来有48克、乙药液原来有12克。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。
14．一个书架上层和下层的本数比4∶5，如果把上层拿120本到下层，这样下层刚好是上层的2倍，这个书架原来上层有多少本？
【详解】解：设两个场馆共有 名观众。
答：两个场馆共有60名观众。
【点睛】本题考查比例的实际应用，找出题目中人数变化和比的变化的关系是解题的关键。
3．一杯糖水，糖和水的质量比是1∶10。若再放2克糖，糖和水的质量比则是1∶8。杯中糖水里原有糖和水各多少克？
苏科版五(下)奥数教案第15讲~比例中的不变量
五（下）奥数第15讲~比例中的不变量例1、幸福村有一间很大的幸福包子店，店内有许多男职工和女职工，去年男职工和女职工的人数比为1:3，今年又招来了20名男职工，导致现在男职工和女职工的人数比为3:5，那么现在包子店一共有多少名男职工？练1、超人小学去年男同学和女同学的人数比为3:2，今年又转来了250名男同学，使得女同学和男同学的人数比为变为1:2，那么今年超人小学一共有多少名学生？知识点二：“和不变”举例：甲、乙俩人玩游戏，谁输了就要给对方1枚硬币，刚开始两人的硬币数量比为2:3，玩了几轮后，甲从乙那赢了18枚硬币，现在两人硬币的数量比为5:3，你能求出甲、乙两人原有多少枚硬币吗？总结：当题目中的两个量都发生了变化之后，我们只要观察题目中满足“给来给去”这一条件，即可利用和不变来找出不变量，然后再统一不变量，求出一份量，根据统一后的份数进行解题。
板书总结：和不变（给来给去和不变）①分别写出前后两次的份数和；①统一份数和，求出一份量；①根据统一后的份数算出所求量【小试牛刀】乐乐看故事书，开始时已看的页数与未看的页数之比为2:7，乐乐又看了8页作业之后，已看页数与未看页数之比为2:1，请问：这本故事书一共有多少页？例2、甲、乙两箱苹果的重量比是5:4，如果从甲箱取出20千克苹果放入乙箱后，甲、乙两箱苹果的重量之比变为6:5，请问这两箱苹果的总重量是多少千克？练2、甲、乙两个盒子里士力架的数量之比是4:1，如果从甲盒中取出14块放入乙盒后，甲、乙两盒士力架的数量之比变为5:3。
请问：这两盒士力架共有多少块？知识点三、差不变衔接：当题目中给我们两个量，其中一个量未发生变化时，利用一个量不变的方法即可解决，当题目中满足给来给去时，利用和不变即可解决，如果题目中的两个量同时增加，或同时减少时，又该怎么解决呢？不变量又是谁呢？看看下面的题目吧！举例：甲乙两支材质，粗细都相同的蜡烛，它们的长度比为5:3，蜡烛燃烧11小时后，它们的长度比变为7:2，请问短蜡烛还能烧多久？总结：做题时首先找出不变量，不变量通过“同增同减差不变”来找出，然后再将它们进行统一板书总结：差不变（同增同减差不变）①分别写出前后两次的份数差；①统一份数差，求出一份量；①根据统一后的份数算出所求量【小试牛刀】兔斯基的寒假作业有若干页，开始时写完的页数与未写完的页数之比为2:7，兔斯基很着急一气之下将写完和未写完的作业各撕下2页扔掉，结果写完的页数与未写完的页数之比变成了1:4，请问：原来兔斯基的寒假作业一共有多少页？例3、如下图，甲、乙两根木棒插在水池中，它们在水面上部分的长度之差是180厘米。
小学奥数：比例应用题（二）.专项练习及答案解析[汇编]
![小学奥数：比例应用题（二）.专项练习及答案解析[汇编]](https://img.taocdn.com/s3/m/1feb90d8a0c7aa00b52acfc789eb172ded6399fd.png)
1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例①x ay by bx a；x ya b；a bx y；②x ay bmx amy b；x may mb(其中0m)；③x ay bx ax y a b；x y a bx a；x y a bx y a b；L④x ay b，y cz dx acz bd；::::x y z ac bc bd；⑤x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad．三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为:a a b和:b a b，所以甲分配到axa b个，乙分配到bxa b个.⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b)，数量差为x，那么A的知识点拨教学目标比例应用题（二）元素数量为axa b，B的元素数量为bxa b，所以解题的关键是求出a b与a或b的比值．四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。
小学六年级数学根据不变量确定单位1问题专项练习及详细答案解析(50题)
小学六年级数学根据不变量确定单位1问题专项练习及详细答案解析（50题）1、学校图书室对科技书和文艺书进行整理，其中科技书占，后来又买来了15本科技书，这样科技书占总数的，问原来科技书有多少本？2、工厂原有职工128人，男工人数占总数的，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的，这时工厂共有职工多少人？3、某小学男、女生人数之比是16：13，后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比变成为6：5，这时全体学生共有880人，问转学来的女生有多少人？4、职工技术学校原有科技书、文艺书630本，其中科技书占20%，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的30%，又买来科技书多少本？5、一条路，已修的米数相当于未修米数的，后来又修了500米，这时已修的米数和未修的米数的比是3：2，这条路全长多少米？6、学校兴趣小组中，科技组与绘画组人数比是3：2，后来科技组又增加了40人，这时绘画组人数是科技组人数的50%，绘画组有多少人？7、某班一次体标测验，不合格人数与合格人数的比是1:9，后来补测，2人由不合格改为合格，这时体标合格率是94%，这个班有学生多少人？8、张庄小学六年级学生中女生占，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的，六年级原来有多少名学生？9、光明小学原来体育达标人数与没有达标的人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是没达标的，光明小学共有学生多少人？10、学校计算机小组中女生占37.5%，后来又有4名女生参加，这时女生占小组总人数的．计算机小组现在共有多少人？11、（福州）甲、乙两个仓库库存化肥的质量比是12：11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少．乙仓库原来存化肥多少吨？12、（2010•武昌区）合唱团里男、女生人数比是3：5，后来调来8名男生，这时男、女生人数比是7：10，合唱团原有女生多少人？13、（2011•武汉）甲乙两人原有的钱数之比是5：4，后来甲用去了45元，乙又得到了45元，这时两人的钱数之比是5：7，两人原来一共有多少钱？14、（福州）甲、乙两个仓库库存化肥的质量比是12：11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少．乙仓库原来存化肥多少吨？15、六（1）班在一次劳动中，原计划把全班同学平均分成甲、乙两组．后来，根据需要从甲组调了4个人到乙组，结果乙组人数占全班的60%．六（1）班有多少人？16、有甲、乙两堆煤，其中甲堆是乙堆的，后来从乙堆运39吨到甲堆后，甲堆是乙堆的．原来这两堆各有多少吨？17、某校六年级课外数学兴趣小组中，女生人数占；后来又吸收了4个女同学参加，这时，女生人数与小组人数的比是4 : 9。
比例应用题二
一班：二班：三班 原计划： ： ： 现在 ： ： ：
例 2 阿呆和阿瓜两人玩牌，谁输了就要给对方一张积分卡.一开始两人的积分卡数量 比为 2：3，玩了几轮后，阿呆从阿瓜那赢了18 张，两人的积分卡数量比就变为了 5： 3.那么阿呆和阿瓜原来各有多少张积分卡？
练 3 甲、乙、丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵数之比 为 1：1：2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵数之比为 4：3：5，其中一人 比原计划少种了 52 棵，那么甲实际种了多少棵？
三、比例应用题——差不变 探索真相
1.男生 33 人，女生 22 人，男、女生分别派 4 人去做调查。 男生人数 女生人数 人数和 人数差 现在 原来 思考：哪个量不变？ 总结：
4/9
2. 有两根绳子分别长60米、40米，剪去同样长的一段，剩下的绳子长度比为5：3， 那么每根剪去多少米？ 思考：（1）有没有不变量呢？若有，是什么？
（2）两根绳子的长度差是多少份，应该统一为多少？ （3）每根剪去多少米？
笔记区
牛刀小试
练习 1 小高和萱萱的存款数之比为 9：7，两人都捐款 300 元，剩下的钱数之比为 3：2。 （1）原来小高和萱萱的存款差是 份；现在小高和萱萱的存款差是 份； （2）填空：统一后的比是：
10.亮亮读一本书，已读的和未读的页数比是 1：5，如果再读 30 页，已读的和未读 的页数比为 3：5，那么这本书共有多少页？.
8/9
课堂落实
1.隔壁班的男、女生人数比为 6：5，后来转走了 5 名男生，班上的男、女生人数比 变成了 1：1，那么班里共有女生多少名？
2.姐姐和妹妹微信钱包里的钱数比为 4：3，后来妹妹给姐姐发了两元红包后，姐姐 和妹妹的钱数比变为 25：17，那么原来姐姐有多少元钱.
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不变量比例问题
1．有甲乙丙三个学校，甲校人数的1/2等于乙校人数的1/3，等于丙校人数的3/7，已知丙校比甲校多120人，求三校共有多少人？
2．图书馆新购进3种书，其中工具书有180本，科技书占总数的1/3，文艺书的本数是其它两种书本数的1/5。
购进的3种书共有多少本？
3．小李读一本书，已读和未读页数比是1：5，若再读30页，则已读和未读页数比是3：5，求这本书共多少页？
4．甲、乙两人原来的钱数比是7：3，现在甲拿出60元给乙，这时甲、乙两人的钱数比是2：3，求现在甲、乙两人各有多少元？
5．甲、乙、丙三人种树，甲种的棵数是乙丙和的1/2，乙种的棵数是甲丙和的1/3，已知丙种了260棵，求甲乙各种了多少棵？
6.靖宇小学五年级有甲乙两个班，若甲班抽10人到乙班，则两班人数相等，若乙班抽15人到甲班，则甲班的人数是乙班的3倍，甲乙两班原来各有几人？。