排列组合基本原几种类型
排列组合基础知识
排列组合基础知识排列组合基本原理讲解如下：排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号C(n,m)表示。
难点从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力。
限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解。
计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
乘法原理和分步计数法1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
2、合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
排列组合十二种类型
排列组合问题综合应用一、特殊元素优先法例1.由5,4,3,2,1,0可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从5,3,1三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从4,2和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数种任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得288341413=A C C 。
变式1.7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制得四个花盒中共有24A 种排列，再种其他葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得14405524=A A 。
二、相邻问题捆绑法例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个符合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得480222255=A A A 。
变式2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为多少？分析：命中得三枪捆绑成一枪，与命中得另一枪插入未命中四枪形成得五个空位，共有2025=A 种排列。
三、相离问题插空法例3.一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题，分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得432004652=A A .变式3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为多少？分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有3026=A 种排列。
排列组合的讲义
万华：公考传奇缔造者！万华：公考培训黄埔军校！排列组合的讲义一、排列组合定义1、什么是C公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。
例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。
即C（3，2）＝32、什么是P或A公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）3、A和C的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
4、计算方式以及技巧要求组合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）条件：N<=M排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！条件：N<=M为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。
如果不大。
我们可以求C（M，[M－N]），因为C（M，N）＝C（M，[M－N]）二、排列组合常见的恒等公式1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）针对这2组公式我来举例运用(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。
万华：公考传奇缔造者！万华：公考培训黄埔军校！三、排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。
高中排列组合基础题 (含答案)
排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2种方法.则共有5254A A ＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共1545A A ＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）. 四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）（A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、1333A A 个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种，其中0居首位的有314544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314555544C C A C C A ＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545C C A 个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444C C A A 种排法.综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋31415444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？【解】设A ＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B ＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求()card U B A ，画韦恩图如图，阴影部分 即UBA ，从图中看出()()card card UBA B AB =-.又A BB ，由性质2，有()()()card card card .B A B B A B -=-()card B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知()1444card A A B =.()card A B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知()1333card A A AB =，所以()14134433card A A A A UB A =-＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
北师大版高数选修23第2讲：排列组合
排列组合__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.○4根据定义区分排列问题、组合问题.2.排列数与组合数：(1)排列数的定义:一般地，我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫A表示.做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mn(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nn A n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+L (1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅L L L !.()!n n m =-所以!.()!mn n A n m =-(3)组合数公式:!.!()!m n n C m n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.mn mn nC C -=性质2：11.m mm n n n C C C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关. (2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b -=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ [解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2m A B.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A + 例4：计算98100C [答案] 98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++[答案] 原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +==类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A ⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A ⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A -⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C +36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880C C A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336C C A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( ) A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( ) A.36 B.120 C.720 D.140 [答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( ) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 [答案] C５.若266,xC C =则x 的值是( ) A.2B.4C.4或2D.0[答案] C ６.1171010r r C C +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574C C C ++ B.222574C C C C.222574A A A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种B.180种C.270种D.540种[答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( ) A.10人 B.8人 C.6人 D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A A B.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A A B.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种. [答案] 864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案] 3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案] 1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案] 140能力提升1.(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案] B2.(2014四川卷)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案] B3.（2014辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案] Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】 ９６6.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案] ３６7.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A ⋅=个.方程更有实根，必须满足240.b ac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222A A +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222A A A ++=18个.课程顾问签字： 教学主管签字：。
排列组合常见类型及方法
1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” ，“邻”与“不邻”⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是 ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题， “含”与“不含” ，“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3．闸板法 名额分配或相同物品的分配问题4．合并单元格解决染色问题练习 1．3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种3．有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有（ ） (A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种4．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__5．在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 9906．有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 4327．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ）8．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ） 9．某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
排列组合常考题型
排列组合常考题型排列组合是数学中研究事物的安排方式的一门学问，常用于计算不同的组合可能性数量。
在考试和竞赛中，排列组合的题目类型多样，以下是一些常见的题型：1. 排列题：- 求解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表示阶乘。
- 有重复元素的排列问题，如n个a和m个b的排列方式。
- 带有限制条件的排列问题，例如要求某些元素必须相邻或者某些位置上的元素必须满足特定条件。
2. 组合题：- 求解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，公式为C(n, m) = n! / [m! * (n-m)!]。
- 组合数的性质和应用，如集合的子集个数、二进制数的1的个数等。
3. 分堆问题：- 将n个物品分成k个非空组的方法数。
- 把n个物品分成任意数量的非空组的方法数。
4. 分配问题：- 将不同类型的物品分配到不同组或位置的问题，可能涉及多重集合的排列组合。
5. 错排问题（Derangement）：- 求没有任何一个元素出现在原位置上的排列数，记为D(n)。
6. 利用包含与排除原理计算至少满足一个条件的情况数。
7. 使用递推关系和母函数解决复杂的排列组合问题。
8. 概率与统计中的应用，比如桥牌、彩票中奖计算等。
9. 利用组合几何学解决空间中的排列组合问题，例如线段、圆周上的点分布等。
10. 置换群、轨道和稳定化子等高级组合结构问题，常见于高等数学和组合数学领域。
这些题型通常需要学生掌握基本的排列组合概念、性质以及解题技巧，并能根据具体问题的约束条件灵活运用公式和策略来解决问题。
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排列组合基本原几种类型————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：课题：___排列组合基本原理和几种类型___教学任务教学目标知识与技能目标辨析掌握基本原理；对常见类型能熟练应对。
过程与方法目标学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中掌握两个基本原理的区别及熟悉掌握常见类型的特征及解法。
情感,态度与价值观目标在教学过程中，培养学生独立分析和归纳总结的能力重点掌握两个基本原理的应用区别，能灵活地解决几种类型难点能通过辨析类型的特征并加以解决教学流程说明活动流程图活动内容和目的活动1课前热身－练习温习两个基本原理，熟悉几种类型活动2 合作归纳－反思通过合作交流归纳几种类型地特征解法活动3提高探究－实践通过练习能熟练掌握原理和类型活动4交流小结－感知让学生在合作交流的过程总结知识和方法活动5巩固提高－作业巩固教学、个体发展、全面提高教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1课前热身（资源如下）1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有______种方法2、有三名学生分配到四个车间去参加劳动，共有_______________种不同的分法。
3、以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数有______________个。
4、5样不同的玩具分给4个小孩，每人都有，共有___________种不同的分法。
5、4名教师、6名学生站于一排照相，教师互不相邻，则有_____________种不同的站法。
6、若a∈{1,2，3，4，5},b∈{1，2,3,4,5，6，7},则方程x2/a2+y2/b2=1可以表示的曲线，3+2=543=64C48－2×6=58C25P4=240P47P6=6048001+2+3+4=10熟悉排列组合两个基本原理，能从中感知两者的区别。
其中焦点在x 轴上的椭圆共有__________个。
能熟练辨析几种排列组合应用类型。
活动2合作归纳 分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++L 种不同的方法分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法 常见类型： 1. 反面思考 2. 捆绑与插入 3. 例举法 学生合作交流得出两个原理的区别。
通过合作交流学生能总结出类型的使用范围和具体解法。
能体会出排列组合应用题的一般步骤:1. 对研究对象进行合理的分类与分步(熟练运用加、乘法原理)2. 区分排列与组合3. 从特殊入手，正反两面都得思考 4. 重视其他知识点的概念 5．防止重复与遗漏使学生能够掌握类型本身的特征、使用前提、具体解法。
活动3提高探究 资源1、用5种不同的颜色给图涂色,每部分涂一种颜色,相邻部分涂不同的颜色,求共有多少种涂法?5×4×3×4=240资源2、已知集合M满足条件:{1,2}⊂M ⊆{1,2,3,4,5,6},则这样的集合M 共有几个?C 14 +C 24 +C 34 +C 44=15资源3、从1,2,3,5,7这五个数字中任取两个分别作为对数的底和真数,则共能组成不同的对数_______________个。
C14·C14－3=P24+P14=13资源4、如图所示,问从A到D每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)C12C13+C12C12+C12+C13+1=16资源5、平面上有7个点,其中有且仅有三点共线,则一共可以连成________条不同的线。
C27－C23+1=19资源6、.8个人排成一排，若甲、乙两人之间必须有3个人，则不同的排法有_____________种C36P4P2P3=5760资源7、若用1,2,3,4,5这五个数字,组成比20000大,并且百位数不是3的没有重复的五位数,那么这样的五位数个数为_____________个。
C13C13P3+P4=78资源8、从1，2，3，4，6，8，9中取两个不同数作为对数的真数与底数，共得_________个不同的对数值。
P27—（6×2—1）—4=27资源9、有编号为1、2、…10的10盏路灯,为节约用电将其中3盏灯熄灭,但不能熄灭相邻的2盏灯,而两端却不能熄灭,问有几种不同的熄灭方法?C36=20资源10、由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？143472p p=141312443322264p p p p p p-+=活动4交流小结活动5巩固提高附作业巩固发展提高排列组合基本原理和几种类型一、选择：1、四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（ C ）A．8种B．10种C．12种D．16种2、．由0，3，5，7，9这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（B ）A．9 B．21 C． 24 D．423、五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（C ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种4、学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是 （ D ）A ．64B ．20C ．18D ．105、从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ C ）条.A ． 14B ．30C ． 70D ．60 二、填空：6、4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 4444576p p = ； （2）女生互不相邻 43451440p p = ； （3）男女生相间 3434144p p = ； （4）女生按指定顺序排列 47840p = ．7、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有______1800___种不同的送书方法。
8、三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,则共有出场方案_____36_____种 9、圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是____412495C =_____10、7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 3600 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 3720 种11、远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或三面表示信号，则最多可组成不同信号有______15________种。
12、从3名男工和7名女工中选派2男3女去做5项不同的工作,若每人各做一项,不同的选派方法有__12600___种。
13、从全班52名学生中选10名学生参加某项活动，如果正、副班长至少有一个在内，那么有_____5547746050__________种选法。
14、4人坐在一排10个座位上，若使每人的两边都有空位，则有____120____种不同的坐法。
15、象棋比赛中，进行单循环比赛其中有2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，比赛开始时参赛者有_____15__人分析：需要考虑两种情况：第一种，因故退出比赛的两人之间没有进行比赛，则22683n C -+=，此方程无正整数解；第二种，因故退出比赛的两人之间进行了比赛，则226183n C -+-=，解得15n =，所以，比赛开始时参赛者有15人 三、解答：16、三年级4个班举行班级之间男、女排球单循环赛，问：① 男女各需比赛多少场？②组织这次比赛共需安排多少场比赛？① C 24 =6;C 24=6②C 24+ C 24=12答案：17、分队有10名歌舞演员,其中7人能唱歌,5人善跳舞,今从10人中选4人参加演出,2人唱歌,2人跳舞的选法有多少种?答案：C 25C 25+ C 15 C 12C 24+ C 22 C 23=163 18、商店的橱窗中陈列着七件不同样品,现要将其中的三件样品调换位置,另外四件位置不动,共有不同的调换方法多少种？答案：2C 37=7019、10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？答案：114644576C C A =或114464576C C A =20、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？答案：可以分为两类情况：① 若取出6，则有)(217171228C C C A +种方法；②若不取6，则有2717A C 种方法，根据分类计数原理，一共有)(217171228C C C A ++2717A C ＝602种方法。