2016-2017年全国中考旋转-折叠压轴题

旋转 轴对称1如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形AB CO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是A （0，2）和C （23，0），点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连结BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1）填空：点B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DE DB =33； ②设AD =x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．2．如图，抛物线22y ax bx =++经过点(1,0),(4,0)A B -，交y 轴于点C ：（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）．（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使23ABC ABD S S ∆∆=，若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由．（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45o ，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．3. 已知，在Rt ABC ∆中，90,4,2,ACB AC BC D ∠===o是AC 边上的一个动点，将ABD ∆沿BD 所在直线折叠，使点A 落在点P 处.（1）如图1，若点D 是AC 中点，连接PC . ①写出,BP BD 的长；②求证：四边形BCPD 是平行四边形.（2）如图2，若BD AD =，过点P 作PH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，求PH 的长.4．如图，已知抛物线a ax ax y 9322--=与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，ANAM 11+均为定值，并求出该定值．5.平面内，如图，在ABCD Y 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PQ ．(1)当10DPQ ∠=︒时，求APB ∠的大小；(2)当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离(结果保留根号)；(3)若点Q 恰好落在ABCD Y 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积(结果保留π)．6. 如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点.（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值.7在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、4A 的打印纸等，2，我们不妨就把这样的矩形成为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD 中，P 为DC 边上一定点，且CP BC =，如图所示．（1）如图①，求证：BA BP =；（2）如图②，点Q 在DC 上，且DQ CP =，若G 为BC 边上一动点，当AGQ ∆的周长最小时，求CG GB 的值； （3）如图③，已知1AD =，在（2）的条件下，连接AG 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，T 为BF 的中点，M 、N 分别为线段PF 与AB 上的动点，且始终保持PM BN =，请证明：MNT ∆的面积S 为定值，并求出这个定值．8已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，∠BAO=90°，AC ∥OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于E ．（1）如图1，若点B 在OP 上，则①AC OE （填“＜”，“=”或“＞”）；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是 ；（2）将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式 ．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的边AD 在x 轴上，点C 在y 轴的负半轴上，直线BC ∥AD ，且BC =3，OD =2，将经过A 、B 两点的直线l ：y =﹣2x ﹣10向右平移，平移后的直线与x 轴交于点E ，与直线BC 交于点F ，设AE 的长为t （t ≥0）．（1）四边形ABCD 的面积为 ；（2）设四边形ABCD 被直线l 扫过的面积（阴影部分）为S ，请直接写出S 关于t 的函数解析式；（3）当t =2时，直线EF 上有一动点，作PM ⊥直线BC 于点M ，交x 轴于点N ，将△PMF 沿直线EF 折叠得到△PTF ，探究：是否存在点P ，使点T 恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，CD 是中线，AC BC =.一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与,AC BC 的延长线相交，交点分别为点,E F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N .（1）如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；（2）如图2，在EDF ∠绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段,,AB CE CF 之间的数量关系，并说明理由；②若4,2CE CF ==，求DN 的长.11．问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与A ，B 重合），DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ，记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．（1）初步尝试：如图①，当△ABC 是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A ，且DE ∥BC ，AD=2时，则S 1S 2= 12 ；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD=4，再将∠EDF 绕点D 旋转至如图②所示位置，求S 1S 2的值；（3）延伸拓展：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如图③，当点D 在线段AB 上运动时，设AD=a ，BD=b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和α的三角函数表示）．（Ⅱ）如图④，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD=a ，BD=b ，直接写出S 1S 2的表达式，不必写出解答过程．12折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片()ABCD AB BC >（图①），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）. 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出,PB PC ，得到PBC ∆.（1）说明PBC ∆是等边三角形.【数学思考】（2）如图④.小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC .他发现，在矩形ABCD 中把PBC ∆经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.（3）已知矩形一边长为3cm ，另一边长为acm .对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围.（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm .13如图，在矩形纸片CD AB 中，已知1AB =，C 3B =，点E 在边CD 上移动，连接AE ，将多边形C AB E 沿直线AE 折叠，得到多边形C ''AB E ，点B 、C 的对应点分别为点'B 、C '．（1）当C ''B 恰好经过点D 时（如图1），求线段C E 的长；（2）若C ''B 分别交边D A 、CD 于点F 、G ，且D 22.5∠AE =o（如图2），求DFG ∆的面积；（3）在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点C '运动的路径长．14如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕,AD BE （如图①），点O 为其交点.（1）探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若,P N 分别为,BE BC 上的动点.①当PN PD +的长度取得最小值时，求BP 的长度；②如图③，若点Q 在线段BO 上，1BQ =，则QN NP PD ++的最小值= .15我们定义：如图1，在△ABC 看，把AB 点绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD= BC ；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 长为 ．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD ，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，3DA=6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12②4（2）AD=12BC （3）存在 165.如图，在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A B C D ''''，B C '与AD 交于点E ，AD 的延长线与A D ''交于点F .（1）如图①，当060α=时，连接DD '，求DD '和A F '的长；（2）如图②，当矩形A B C D ''''的顶点A '落在CD 的延长线上时，求EF 的长；（3）如图③，当AE EF =时，连接,AC CF ，求AC CF g 的值.17OPA ∆和OQB ∆分别是以OP OQ 、为直角边的等腰直角三角形，点C D E 、、分别是OA OB AB 、、的中点．（1）当90AOB ∠=o 时如图1，连接PE QE 、，直接写出EP 与EQ 的大小关系；（2）将OQB ∆绕点O 逆时针方向旋转，当AOB ∠是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将OQB ∆绕点O 旋转，当AOB ∠为钝角时，延长PC QD 、交于点G ，使ABG ∆为等边三角形如图3，求AOB ∠的度数．18.如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，AD=5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ.过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF,(1)求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随着移动.①当点Q 与点C 重合时，（如图2），求菱形BFEP 的边长；②如限定P ，Q 分别在BA ，BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离.19边长为6的等边ABC ∆中，点D 、E 分别在AC 、BC 边上, AB DE //, 32=EC .（l ）如图1，将DEC ∆沿射线EC 方向平移，得到C ED '''∆，边E D ''与AC 的交点为M ,边D C ''与C AC '∠的角平分线交于点N .当C C '多大时，四边形D MCN '为菱形?并说明理由.（2）如图2，将DEC ∆绕点C 旋转α（︒<<︒3600α），得到C E D ''∆,连接D A '、E B '，边E D ''的中点为P .①在旋转过程中，D A '和E B '有怎样的数量关系?并说明理由.②连接AP ,当AP 最大时，求D A '的值.（结果保留根号）20【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ，在三角板斜边上取一点F ，使CF=CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE=30°，连接AF ，EF ． ①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由； 【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ，在三角板另一直角边上取一点F ，使CF=CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE=45°，连接AF ，EF ，请直接写出探究结果： ①求∠EAF 的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．2115或32,42,52的三角形就是（3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD 中，8,12AD cm AB cm ==．第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点E 处，折痕为AF ，再沿EF 折叠，然后把纸片展平．第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D 与点F 重合，折痕为GH ，然后展平，隐去AF ．第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH 折叠，得到AD H '∆，再沿AD '折叠，折痕为AM ，AM 与折痕EF 交于点N ，然后展平．问题解决（1）请在图2中证明四边形AEFD 是正方形．（2）请在图4中判断NF 与ND '的数量关系，并加以证明． （3）请在图4中证明AEN ∆是（3，4，5）型三角形． 探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．22如图1，已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象过点(0,0)O 和点(4,0)A ，函数图象最低点M 的纵坐标为38-，直线l 的解析式为y x =．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l 沿x 轴向右平移，得直线'l ，'l 与线段OA 相交于点B ，与x 轴下方的抛物线相交于点C ，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，把BCE ∆沿直线'l 折叠，当点E 恰好落在抛物线上点'E 时（图2），求直线'l 的解析式；（3）在（2）的条件下，'l 与y 轴交于点N ，把BON ∆绕点O 逆时针旋转135︒得到''B ON ∆．P 为'l 上的动点，当''PB N ∆为等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．23如图1，在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A （﹣1，0），点B （0，3）． （1）求∠BAO 的度数；（2）如图1，将△AOB 绕点O 顺时针得△A′OB′，当A′恰好落在AB 边上时，设△AB′O 的面积为S 1，△BA′O 的面积为S 2，S 1与S 2有何关系？为什么？（3）若将△AOB 绕点O 顺时针旋转到如图2所示的位置，S 1与S 2的关系发生变化了吗？证明你的判断．24如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD Y 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCD AEFG S S =Y 矩形 ______.(2)ABCD Y 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥==P ．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．25如图1，已知,//ABCD AB x Y 轴，6AB =，点A 的坐标为(1,4)-，点D 的坐标为(3,4)-，点B 在第四象限，点P 是ABCD Y 边上的一个动点．（1）若点P 在边BC 上，PD CD =，求点P 的坐标．（2）若点P 在边,AB AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线1y x =-上，求点P 的坐标．AB AD CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平（3）若点P在边,,∆沿直线PG翻折，行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将PGM当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．26已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．2728如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点P为射线BD，CE的交点.（1）求证：BD=CE；（4分）（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90︒时，求PB的长；（6分）②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.（4分）29（本小题满分 10 分）如图 1，二次函数的图像过点 A （3，0），B （0， 4）两点，动点P 从 A 出发，在线段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P作 PD y 于点 D ，交抛物线于点 C . 设运动时间为 t （秒）.（1）求二次函数的表达式；（2）连接 BC ，当t＝5／6时，求△BCP 的面积；（3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1个单位长度的速度运动，当点 P 与 B 重合时， P 、 Q 两点同时停止运动，连接DQ 、 PQ ，将△DPQ沿直线 PC 折叠到△DPE . 在运动过程中，设△DPE 和△OAB重合部分的面积为 S ，直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.3031如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．32若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1=﹣2x 2+4x+2与C 2：u 2=﹣x 2+mx+n 为“友好抛物线”． （1）求抛物线C 2的解析式．（2）点A 是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A 作AQ⊥x 轴，Q 为垂足，求AQ+OQ 的最大值．（3）设抛物线C 2的顶点为C ，点B 的坐标为（﹣1，4），问在C 2的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C 2上？若存在求出点M 的坐标，不存在说明理由．33已知：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点Ｐ不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点. （1）当点P 与点O 重合时如图1，易证OE=OF （不需证明）. （2）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明.34（本小题满分9分）在ABC ∆中，,AC AB =α22=∠=∠DAE BAC . （1）如图1，若点D 关于直线AE 的对称点为F ，求证：ADF ∆∽ABC ∆；（2）如图2，在（1）的条件下，若︒=45α，求证：222CE BD DE +=；（3）如图3，若︒=45α，点E 在BC 的延长线上，则等式222CE BD DE +=还能成立吗？请说明理由.35爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM 、BN 是△ABC 的中线，AN⊥BN 于点P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a ，AC=b ，AB=c ．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= ，b= ； 如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ； 【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2、b 2、c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． 【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的三等分点，且AD=3AE ，BC=3BF ，连接AF 、BE 、CE ，且BE⊥CE 于E ，AF 与BE 相交点G ，AD=3，AB=3，求AF 的长．36CEF A图2 CE F 图1ECDA图3第24题图37如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为3时，求矩形平移的距离；（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E FG H ，将矩形1111E FG H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．381．新知学习图①图②（备用）图③若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）． 2．解决问题已知等边三角形ABC 的边长为2．（1）如图一，若AD⊥BC，垂足为D ，试说明AD 是△ABC 的一条面径，并求AD 的长；（2）如图二，若ME∥BC，且ME 是△ABC 的一条面径，求面径ME 的长； （3）如图三，已知D 为BC 的中点，连接AD ，M 为AB 上的一点（0＜AM ＜1），E 是DC 上的一点，连接ME ，ME 与AD 交于点O ，且S △M O A =S △D O E ． ①求证：ME 是△ABC 的面径； ②连接AE ，求证：MD∥AE；（4）请你猜测等边三角形ABC 的面径长l 的取值范围（直接写出结果）39已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF 。