15题压轴题练习--图形折叠及动点问题的相关计算

图形折叠及动点问题的相关计算

考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长．

【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特 殊位置的探究．

1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分；

2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解；

3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等．

1.（2017年）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为 2

1221 或1 ．

【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，

推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=

MB′，列方程即可得到结论． 【解答】解：①如图1，

当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，

∴BM=BC=+； ②如图2，当∠MB′C=90°，

∵∠A=90°，AB=AC ，

∴∠C=45°，

∴△CMB′是等腰直角三角形，

∴CM=MB′，

∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′，

∴BM=B′M ，

∴CM=

BM ， ∵BC=+1，

∴CM +BM=

BM +BM=+1， ∴BM=1，

综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为+或1， 故答案为： +或1．

【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

2.（2016年）如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=

3. 点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N ．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为__________223或5

53________.

解：由翻折的性质可得：AB=AB ’ BE=B ’E

①当MB ’=2，B ’N=1时，设EN=x 得 B ’E=12+x

△B ’EN ∽△AB ’E '''AB E B M B EN = 即3122+=x x 解得2x =5

4

BE=B ’E=154+=553 ②当MB ’=1，B ’N=2时，设EN=x 得 B ’E=222+x

△B ’EN ∽△AB ’E '

''AB E B M B EN = 即3412+=x x 解得2x =21 BE=B ’E=421+=2

23 故答案为：

223或553

3.（2015年）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为 16或45 .

4．（2014年）如图，矩形ABCD 中，AD=5,AB=7.点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D /落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 53或52

.

5．（2013年）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为___32

或3_______．

对应练习 1．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，点E 是射线BC 上一动点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AEF ，延长AF 交CD 的延长线于点G ，当BE=3EC 时，DG= 2

5或8 .

如图①，当E 点在边BC 上时，BE=3EC ，BE=4.5，EC=1.5

设AH=HE=x ，FH=4.5-x

在Rt △AHF 中：222)5.4(3x x =-+ 解得：x=3.25

FH=4.5-3.25 =1.25 ∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FH AD AF = DG 25.163= 解得DG=2.5=25 如图②，当E 点在BC 延长线上时，BE=3EC ，BC=6，EC=3

设AH=HE=x ，FH=9-x

在Rt △AHF 中：222)9(3x x =-+ 解得：x=5

FH=9-5=4 ∵△AHF ∽△AGD ，∴

DG FH AD AF = DG

463= 解得DG=8

2．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是斜边AC 上的一点，且AE=AB 。若沿△DEC 的一个内角平分线折叠∠C ，使点C 落在DE 所在的直线上，则折痕的长度为 7212或2

53

由题可知：AED ABD ∆≅∆，则∠AED=∠ABC ，BD=DE

如图①，若沿∠DEC 的平分线折叠∠C 时，∠DEC=90°，过点M 做MP 丄DE 于点P

∵EM 平分∠DEC ，∴∠PEM=45°∴PE=PM ，EC ’=EC=AC-AE=4，

设PE=PM=x ，PC ’=4-x

∵43''tan tan ====BC AB PC PM C C ，∴434=-x x ，解得7

12=x ，∴EM=2PM=7212 如图②，若沿∠EDC 的平分线折叠∠C 时，

BC

AB CE DE C ==tan ，∴DE=BD=3，∴CD=C ’D=5，∴C ’E=2 ∵43'tan 'tan ====BC AB E C EM C C ,∴EM=23，∴DM=22233⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=253