第十章 超静定拱
结构力学教程——第10章 力法
系数和自由项 ➢ 梁、刚架：
ii
M i 2 ds
EI
Ai yi EI
ij
M i M j ds EI
Aj yi EI
iP
M i M P ds EI
➢ 桁架：
2
ii
Ni l EA
ij
Ni N jl EA
iP
Ni N Pl EA
知识点
10.3 超静定刚架和排架
1. 刚架
20kN/m
11
M12 EI
ds
FN21 EA
ds
y2
cos2
EI ds EA ds
1P
M1 M P EI
ds
M0y ds
EI
（4）求多余未知力，即水平推力FH
M0y
X1
FH
1P 11
y2 EI
EI ds
cos2
ds EA
ds
（5）内力计算
M M 0 FH y
FQ FQ0cos FHsin FN FQ0sin FHcos
1P 11X1 0
P
2P 0
P
0
a
11
2 2
1
1
1
P
a
N1
NP
(3)求系数
11
2
Ni l 2( EA
2)2 EA
2a 4 12 a EA
4a (1 EA
2)
1P
Ni N jl 1 Pa 2 EA EA
(
2 )( EA
2P)
2a 2Pa (1 EA
2)
(4)解方程
X1
1P
11
P 2
当结构框格数目为 f , 则 n=3f 。
朱明zhubob结构力学6-9超静定拱
11 22
X1 X2
1P 2P
0 0
弹性面积
33 X 3 3P 0
M 1 y y, FN1 cos ,
FQ1
sin
M 2 x, FN2 sin , FQ2 cos
M 3 1,
FN3 0,
FQ3 0
X1
t
y
h
y
ds
t0l
( y y)2 ds EI
cos2
EA
ds
X3
t
ds h
ds EI
0
⒉ 温度变化和支座位移作用下无铰拱的计算
任意截面处的内力：
M FN
(y X1
y) X1
cos
1
X
匀改变时，在弹性中心处只产生 水平未知力X1，升温时为压力，
X1
t0l
( y y)2 ds cos2 ds
EI
EA
降温时则为拉力。
it
Mi
t
h
ds
M1 y y
FN1 cos
FQ1 sin
FNi t0ds
M3 1
FN3 0
FQ3 0
M 1 ds EI
FN21 ds EA
K
y2 EI
ds
cos2
EA
ds
X1 基本结构
1P
M1 MP ds EI
第十章_超静定结构
第十章超静定结构一、内容提要1、理解超静定结构中的一些基本概念，即：静定与超静定、超静定次数、多余约束、超静定系统（结构）、基本静定系以及相当系统等。
2、熟练掌握用力法求解超静定结构。
3、掌握对称与反对称性质并能熟练应用这些性质求解超静定结构。
4、了解连续梁的概念以及三弯矩方程。
二、基本内容1、超静定系统中的一些基本概念超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统。
静定结构或系统：无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出的机构或结构系统。
多余约束：在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系。
外超静定：超静定结构的外部约束反力不能全由静力平衡方程求出的情况。
内超静定：超静定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况。
混合超静定结构：对于内、外超静定兼而有之的结构。
基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为静定基）。
静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。
超静定次数：超静定结构的所有未知约束反力和内力的总数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。
2、力法与正则方程力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。
应用力法求解超静定问题的步骤：1）根据问题，确定其是静定还是超静定问题，如为后者，则确定超静定次数。
2）确定哪些约束是多余约束，分析可供选择的基本静定系，并注意利用对称性，反对称性，选定合适的静定系统，在静定系上加上外力和多余约束力，形成相当系统。
3）比较相当系统与原系统，在多余约束处，确定变形协调条件，并列写正则方程（对有n个多余约束的结构）011212111=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ022222121=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ.02211=∆++⋅⋅⋅++nF Rn nn R n R n F F F δδδ其中F Ri 表示n 个多余约束力，δij 表示F Rj ＝1引起i 处沿F Ri 方向的位移，∆iF 表示结构所有已知载荷产生的在i 处沿F Ri 方向的位移。
10(力学与结构)两铰拱
6）两铰拱的计算和受力特点 a.从力法计算：不能用图乘法，积分。考虑轴力。 b.从受力特点：与三铰拱基本相同，H通过力法计算。
（2）带拉杆的两铰拱
X1
1）基本体系 2 2）力法基本方程
（1）不带拉杆的两铰拱 1）两铰拱的基本体系
X1
ϕ
2）力法基本方程
δ 11 X 1 + ∆1P = 0
3）计算系数和自由项（略去剪力影响）
M N δ 11 = ∫ ds + ∫ ds EI EA M 1M P ∆1 P = ∫ ds EI M1 = −y
2 1 2 1
N 1 = − cos ϕ
M P =M 0
1 l 4f δ 11 = [ 2 x(l − x)]2 dx EI ∫0 l 16 f 2 l 2 2 8 f 2l 3 4 = (l x − 2lx + x )dx = 4 ∫0 EIl 15 EI
AD段（0 ＜ x ≤ l/4） DC段（l/4 ＜ x ≤l/2 ）
∆1 P 1 =− EI
y 0
∆1 c
δ 11
3EIθ = 2 l
3EIθ l
M图
M = M X1
基本结构取如图所示，力法方程如何？
δ11 X1 +∆1 c =θ
1 1 l 2 δ 11 = ×1× l × ×1 = EI 2 3EI 1 3 θ 3EIθ ∆1 c = 0 X1 = = δ 11 l
力法计算支座移动时超静定结构内力的特点： (1)力法方程的等号右边可以不为零； (2)自由项是由支座移动在基本结构中产生的位移； (3)内力全部由多于未知力产生; (4)内力与杆件EI成正比。
静定拱专题
拉杆 提高净空 拉杆来代替支座承受水平推力
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第4页
拱顶 拱轴线 拱高 f 起拱线
拱趾
跨度 l
f l
高跨比
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第5页
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第6页
位于河北赵县，又名安济桥，由石工李春主持设计建造，完成 于公元605年左右。 该桥为空腹敞肩式坦拱桥，桥长64.4m，净跨37.02m，桥宽 9m，净矢高7.23m，桥面纵坡6.5%。 拱由28圈拱石平行砌筑，每圈有拱石43块；为加强拱石间的结 合，拱石各面均凿有相当细密的斜纹。另外，还在拱石之间设置X 形锚铁和铁锚杆。 在拱圈两肩各设两个跨度不等的腹拱，既减轻了桥身自重，又 节省了材料，还便于排洪。 该桥构思巧妙，造型美观，施工精度高，工艺精致，历1300多 年而无恙，举世闻名，不愧为桥梁文物宝库中的精品。 赵州桥被列为“全国重点文物保护单位”。在90年代初，赵州桥 被美国土木工程师学会选为“国际历史土木工程里程碑”。
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第10页
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第7页
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
结构力学电子教案
பைடு நூலகம்
第四章
静定拱
第8页
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第9页
灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹” “渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：1368
第四章
静定拱
第2页
拱常用的形式
第十章超静定拱
ds
3
落地式拱
带拉杆的拱作为屋盖结构
如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的受力状态基本相同。 如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉杆的三E1铰A1 拱实际上是一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适
当的加大拉杆的刚度。
MP=M 0
＝
MP=M 0 00
VA=（1-K）
VB=K
0 x M0=Vax=(1-K)x
≤x≤l
M0=K（l-x）
0.1810.195l/f 0.139
d1P
H
==--
= 5l
3E1fElI2IK014-l 2fKx1l+-Kx-1K-2 K1 - K 1 + K - K 2
K
xdx
+0.l04l726f
xl - xKl - xdx
8f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L.
先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
0M.25CI.L.
0.195 l 0.195l
7
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1
P2
P1 C C1
P2
X1 X2
X1
Oo O1 X2
例题10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y x
A
f=2.5m
D
A
X1
X1
x
X2
X2
R Φ0
R Φ0
R
φR
04-课件：7.7 超静定拱
三、有拉杆两铰拱的计算
EI、EA
A
E1 A1
l
B
原结构
A
X1
B
基本体系
解：①确定基本未知量、选择基 本结构及基本体系
51.7kN
22
M 0 X1 X 2 (R a) 2.76kN.m
M A M B X1 X 2 (a Rcos0 ) 6.98kN.m
三铰拱的水平推力
H
M0 C f
ql 2 8f
10·10 2 8·2.5
50kN
H
H H
51.7 50 50
3
%
F N1 F N 2ds EA
建立坐标系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱoy：
M1 1 M2 y
d
x’
F N1 0 F S1 0
FN2 cos FS2 sin
12
21
y ds EI
建立坐标系x’oy’：
y
y
d
12
y d EI
ds
y EI
ds
d
1 EI
ds
F1 C C1
F2
O O1
F1
F2
X2
X2
X1
马蹄形隧洞衬砌
隧道顶拱
二、无拉杆两铰拱的计算
EI、EA
A
原结构 B
EI、EA
A
基本体系
X1 B
解：①确定基本未知量、选择基 本结构及基本体系
②列力法程 11 X1 1P 0
静定结构和超静定结构
第十章静定结构和超静定结构课题：第一节结构的计算简图[教学目标]一、知识目标：1、理解结构计算简图的作用和意义。
2、掌握结构计算简图基本的简化方法。
二、能力目标：通过对结构计算简图的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、素质目标：培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾[教学重点]1、支座的简化和节点的简化。
2、计算简图的概念和要求。
[难点分析]计算简图简化的原理。
[学生分析]学生由于缺乏实际工程知识，不太理解计算简图的作用以及这种分析方法。
[辅助教学手段]理论联系实际、分析、讨论的方法[课时安排]1课时[教学内容]一、导入新课何谓结构？结构的举例。
通过启发学生联系工程实例，理解结构的概念。
二、新课讲解1．结构的计算简图2．结构的计算简图应满足的要求（1）基本上反映结构的实际工作性能（2）计算简便3．实际结构的计算简图的简化（1）支座的简化三种形式；简支梁、阳台、柱的实例。
（2）节点的简化铰节点和刚节点的特点及其应用（3）构件的简化实际上是力学中杆件的简化（4）荷载的简化集中荷载和均布荷载三、讨论1 牛腿柱的计算简图2 雨蓬的计算简图四、小结在结构设计中，选定了结构的计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应的措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。
五、作业思考题：1课题：第二节平面结构的几何组成分析[教学目标]一、知识目标：1、理解几何组成分析的作用和意义。
2、了解结构从几何组成的观点的分类。
3、了解结构几何组成分析的规则和方法。
4、了解静定结构和超静定结构的概念。
5、会对简单结构进行几何组成分析。
二、能力目标：通过对结构几何组成分析的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、质目标：培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾[教学重点]1、几何组成分析的意义和结果。
2、几何组成分析的方法。
[难点分析]结构几何组成分析的概念和方法都比较抽象，尤其是方法，学生学习起来比较困难。
讲解时，淡化理论，结合例题讲解。
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EI d = M ds = 0 .027 R
3
10
q 2 MP = x 2 EID1 P = M 1 M P ds = -0.224qR 3 EID 2 P = M 2 M P ds = -0.0223qR
4
X1 = X2 =-
D1 P
d
= 0.121qR 2 = 47.1kN .m
11
D2P
d
= 0.827 qR = 51.7 kN
22
H = X 2 = 51.7 kN M 0 = X 1 - X 2 ( R - a ) = 2.76kN .m M A = M B = X 1 + X 2 (a - R cosj 0 ) = 6.98kN .m
0 2 2 M ql 10 10 = C = = = 50kN H 三铰拱的水平推力 f 8 f 8 2.5
11 1 1p
P 1P 11
M 1M 2 kQ1Q2 N1 N 2 d 12 = ds + ds + ds EI GA EA X1=1引起： M 1 =1 N1 = 0 Q1 = 0 X2=1引起： M 2 = - y N2 = -cosj X3=1引起： M 2 = - x N2 = -sin j
0.139
l 0.1810.195 /f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L. 先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
5l K 1 - K 1 + K - K 2 8f
0.195l
MCI.L. 0.25
7
0.195l
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1 P2
P1 C C1
X1
P2
截 内 叠 多 静
面 内 力 计 力图的形状特 加法绘制弯矩 跨 静 定 定 刚 架 内 力
算 征 图 梁 图
1
§10-1 两铰拱的计算方法
3m
16m
2
MP=M
0
X1
d 11 X 1 + D 1 p = 0
D1 p = M 1M P EI ds 2 2 M1 N1 ds + ds EI EA
3 ql 8
(0<x<0.5l)
1 ql 8
1 2l 3 1 2 D1 p = - y qlx- qx dx EI 0 8 2 1 l ql qfl3 - l y l - x dx = EI 2 8 30EI
D1 P
l 2
< x & 2 16
2
VA=（1-K）
0 x ≤x≤l
d 1P
H=
M0=Vax=(1-K)x
M0=K（l-x）
l4 f 1 fl 2 4 f 2 0.076 = x l x 1 K xdx + x l x K l x dx =1 K 1 + K K K 2 2 0 3 EI EI l l
MP=M 0
＝
≠
0
P
0
0
H*=1
X1=1
N1
M1
H=1
2 2 M N 1 1 d 11 = ds + ds EI EA D 1P = M 1 M P ds EI
H =-
D 1P
d 11
> H* = -
D* 1P
* d 11
2 2 l M N * 1 1 d 11 = ds + ds+ E1 A1 EI EA l * d 11 = d 11 + E1 A1 * M 1M P * D D1P = ds = D1P H * = - 1P * EI d 4
基本体系
X1
而
0 MC =0 H= f
6
例：等截面两铰拱，试求H、MC的影响线。 d1 p 4 f ξ=Kl y = 2 x l - x 解：由力法方程得 H = d 11 l C
y
H A 0.5l f x 0.5l B VB=K
l 1 4 f y2 8 f 2l d 11 = dx = x l - x dx = 2 0 H EI EI l 15EI M P ydx - 1 l 0 d 1P = - = yM dx 0 EI EI
f
A 0.5l
q↓↓↓↓↓↓↓
x x
x 0.5l
d 11 =
y dx EI
0
D1 p = - yM dx
0 2
B
∴
M0
ql 16 2 3 M0 = 8 qlx - 1 2 qx
0 2
1 l 4 f 8 f 2l d 11 = 2 x l - x dx = 0 EI l 15EI
ql 2 64
M0
2
M反对称
q/ 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
＋
q/
＝
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
ql 2 64
2
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
q/
2
M对称=0
q/ 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
对称荷载下，取三铰拱为基本体系， X1 其MP=0∴ MPΔ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0， 而 M= M1 X 1 + M P = 0 在反对称荷载下，对称未知力X1=0 M反对称=M1X1+MP=MP = M0-Hy = M0
pR
X2
X1
X2
x
pR
M 22 ds N 22 ds y 2 ds cos 2 j d 22 = + = + ds EI EA EI EA X 1 = 0 X 2 = - D 2 P d 22 0
X2
X2
注意:1）如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在 同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力 在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产 生不大的弯矩，接近无弯矩状态。 2）将总的受力状态分解为：忽略轴向变形的无弯矩状态和 单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三： pR 第一，计算得到简化； 第二，有助于了解拱的受力特点； X2 X2 X 1 第三，能够更好的保证计算精度。
X1
X2
Oo O1 X3
X2
x x’
P1
X1
X2
P2
X3
对称的基本体系
d d d d d d
y M 1 + d + D = X + D = 0 X X 0 11 1 12 2 1P D = ds d = ds ds EI EI EI = a + d + D = X + D = 0 δ = δ =0 → X 1 22 X 2 0 yM12 21 -aj y y ycos 21 2P 1 d = dsds D = - + ds d = ds = ds ds EI EI X3 + +D D3 P = =0 0 EI X EI EA 33 EI xM x y 1 O 点的物理含义： D = = ds =0 8 ds +d a = ds ds EI EI EI EI
H - H 51.7 - 50 = =3 % H 50
11
例10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
p
X1
D R Φ0 O Φ0 R X3 合理拱轴线 M=0 ， N= pR M QP=0 ， NP－ =－ pR P=0，Q=0 基本体系 pR X2 y
解：1）忽略轴向变形，取 M 1 =1 N 1 = 0 三铰拱为基本体系。 Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0 M 2 = -y N 2 = -cosj 无铰拱和三铰拱均 j pR N cos 2 NP 处于无弯矩状态 D1P = 0 D 2 P = ds = ds EA EA 2）考虑轴向变形，用弹 性中心法计算将精确的 ①不计轴向变形产生无弯矩状态 ②单由轴向变形产生的附加内力状态 内力状态分为： 12 以无弯矩状态作基本体系
H =-
d 11
ql 2 = 16 f
0 MC ql2 = = f 16 f
M=M0 －Hy
－Hy
ql 2 64
5
ql 2 64
M
例：图示拱，EI=常数，求其水平推力H。拱轴线方程为 4f y = 2 xl - x q↓↓↓↓↓↓↓ l y
f
＝
A 0.5l
q/ 2
x 0.5l
B
q/
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
N1
M1
11
4f y = x l - x 上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。 例：EI=常数，求H。拱轴线方程为 l2 如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的 解: 简化假定:只考虑弯曲变形;近似地取 q↓↓↓↓↓↓↓ 影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两 ds=dx,cosj=1(平拱,f/l<0.2)。 铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。 y l 1 l 2 0
j
X1=1
y
M1 = -y x N 1 = - cos j 0 M y d 11 = D 1P = - ds EI 2 2 y cos j 求出 H后，内力的计算与三铰拱相同 d 11 = ds + ds 由于拱是曲杆 δ11Δ1P不能用图乘法 0 EI 基本体系是曲梁，计算Δ1P时一般只 M C EA 即： 三铰拱中： H = 0 考虑弯曲变形， = M M Hy f 计算δ11时，有时（在平拱中）还要 0 Q = Q cosj - H sinf D 1P D 1P 考虑轴向变形 两铰拱中： - =H =H N = -Q0 sinj - H cosj d d