静定拱
《结构力学》第四章静定拱
受力特点概述
静定拱在荷载作用下，拱身主要承受 压力作用，这使得拱具有较好的受压 性能。
拱身受压力作用
由于拱的曲线形状和荷载作用位置的 不同，拱身内力分布通常不均匀，需 要进行详细的内力分析。
内力分布不均匀
静定拱在荷载作用下，其变形主要以 压缩变形为主，弯曲变形相对较小。
变形以压缩为主
影响因素分析
面内失稳
1
拱在面内发生屈曲，导致承载力急剧下降。
面外失稳
2
拱在面外方向发生侧倾或扭转，失去原有形状。
局部失稳
3
拱的局部区域发生失稳，如拱脚的局部压曲等。
提高稳定性的措施
合理选择拱的轴线形式 使拱在受力时能够均匀分布荷载，避 免应力集中。
加强拱的横向联系
通过设置横撑、横系梁等构件，增强 拱的横向稳定性。
贰
静定拱的受力特点
受力分析基本假设
拱身是理想弹性体 在分析中，假设拱身材料符合胡克定律， 即应力与应变成正比关系。 荷载作用在拱的节点上 为简化计算，通常将荷载（如均布荷载、 集中力等）作用在拱的节点上进行分析。 忽略拱身自重影响 在分析中，通常忽略拱身自重对受力的影 响，或将其简化为等效荷载进行处理。
增加拱的刚度
采用高强度材料、增加截面尺寸等措 施，提高拱的整体刚度。
考虑施工方法和顺序
合理的施工方法和顺序可以有效减少 拱在施工过程中的变形和应力，有利 于提高稳定性。
陆
静定拱的工程应用
桥梁工程中的应用
拱桥
静定拱是拱桥的主要结构形式，能够承受较大的竖向荷载和水平推 力，具有良好的经济性和美观性。
习题一
某静定拱的跨度为L，矢高为f，承受均布 荷载q作用，试求其拱脚处的水平推力H和 竖向反力V。
第3章静定结构受力分析三铰拱
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4章 静定拱【圣才出品】
第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、拱的基本概念及特点 ★★表4-1-1 拱的基本概念及特点表4-1-2 有拉杆和无拉杆三铰拱的区别与联系二、三铰拱的计算 ★★★★★1．支座反力的计算（见表4-1-3）表4-1-3 支座反力的计算2．内力的计算（见表4-1-4）表4-1-4 三铰拱的内力计算三、三铰拱的合理拱轴线（见表4-1-5） ★★★表4-1-5 三铰拱的合理拱轴线4.2 课后习题详解复习思考题1．拱的受力情况和内力计算与梁和刚架有何异同？答：（1）拱与梁的受力情况和内力计算的区别①约束反力方面，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力），而梁在竖向荷载作用下不会产生水平反力（推力）；②内力分布方面，由于水平推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的应力分布较为均匀；③内力分析方法方面，若只有竖向荷载时，梁只需进行简单的整体分析即可求解，而拱由于水平力的存在，需要整体分析与局部分析相结合。
（2）拱与刚架的受力情况和内力计算的异同①内力分析方法方面，拱与刚架的受力情况和内力计算的特点和所应用方法基本一致，例如三铰刚架也属于拱式结构；②拱的轴线是曲线，刚架杆的轴线是直线，在应用平衡条件计算内力时，拱仍然取投2．在非竖向荷载作用下怎样计算三铰拱的反力和内力？能否使用式（4-1）和（4-2）？答：（1）对于三铰拱承受非竖向荷载的情况，可将非竖向荷载分解为水平荷载和竖向荷载。
（2）仍然可以应用式（4-1）和（4-2），将水平反力加上非竖向荷载水平方向上的分量一起代入公式中进行求解。
(4-1)o AV AV o BV BV o c H F F F F M F f ⎫⎪=⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭cos sin (4-2)sin cos o H o S S H o N S H M M F y F F F F F F ϕϕϕϕ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=+⎪⎭3．什么是合理拱轴线？试绘出图4-2-1各荷载作用下三铰拱的合理拱轴线形状。
01-静定拱和悬梁结构知识点小结
K
截面的弯矩、剪力；
K 值为 K 截面法线的倾角（如图 4-1(a)所示的坐标系中），在拱顶铰以左取正，以右
取负。
K 可根据其与拱轴方程 y = f (x) 之间的关系式确定，即：
3、受力特征总结
cosK =
1
1+ ( y)2
, sinK = ycosK
x = xK
（1）支座反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关； （2）两个竖向支座反力与相应简支梁竖向支反力对应相等，这说明竖向支反力与拱高 无关；
以上公式均适用于带拉杆的三铰平拱（承受竖向荷载作用），拉杆拉力即为水平推力 FH ，
其支座反力和内力和的计算公式不变。 5、一般荷载（含水平力）作用下，支座反力和内力不能套用上述公式，而应直接采用截面 法求内力，此时两个支座的水平反力也不相同。
二、三铰斜拱的计算
三铰斜拱在竖向荷载作用下，可根据三个整体平衡条件，以及半拱对拱顶铰 C 的平衡
y = M 0(x) FH
式中， M 0 为相应简支梁的弯矩图表达式， FH 为拱的水平推力。这表明，在竖向荷载 作用下三铰平拱合理轴线的纵坐标 y 与相应简支梁弯矩图的竖标 M 0 成比例。
三铰平拱在满跨竖向均布荷载 q 作用下的合理轴线为二次抛物线（图 4-3），即：
y
=
4f l2
x(l − x)
F 'AV = FA0V ,
F 'BV
=
FB0V ， FA' H
= FB'H
= FH'
=
M
0 C
h
式中，h
为斜拱中拱顶铰
C
至拱趾连线的垂直距离，M
0 C
为相应水平简支梁中相应
静定拱结构的变形公式推导
静定拱结构的变形公式推导好的，以下是为您生成的关于“静定拱结构的变形公式推导”的文章：咱先来说说啥是静定拱结构。
想象一下，有一个弯弯的桥，那个桥的形状就有点像静定拱结构。
比如说，咱经常在公园里看到的那种拱形的石桥。
这静定拱结构啊，它在受到各种力的作用时，会发生变形。
那咱就得搞清楚这个变形是咋来的，就得推导一下相关的公式。
比如说，有这么一个简单的静定拱结构，它就像一个被微微压弯的弓。
咱先假设这个拱受到一个竖直向下的集中力 P 。
这时候，拱的各个部分都会产生内力和变形。
那怎么推导这个变形公式呢？咱先得分析一下这个结构的受力情况。
就像解一道复杂的数学题一样，得一步步来。
咱把这个拱分成很多小段，每一小段都受到不同的力。
然后呢，通过一些力学的原理和方法，比如平衡方程、几何关系啥的，来逐步推导。
我记得有一次，我在一个建筑工地观察那些工人们搭建一个小型的拱结构。
他们非常仔细地测量每一个部件的尺寸，计算受力情况。
我就凑过去问一个老师傅：“师傅，这拱结构的变形咋算啊？”老师傅笑着说：“小伙子，这可复杂着呢，得一点点分析。
”他边说边比划着，给我讲了一些基本的概念和方法。
咱接着说这变形公式的推导。
通过对每个小段的分析，咱可以得到一些关于内力和变形的关系式。
然后把这些关系式整合起来，经过一番复杂的计算和推导，最终就能得到静定拱结构的变形公式。
这公式可重要啦，有了它，工程师们就能准确地预测拱结构在受力时的变形情况，从而保证结构的安全性和稳定性。
比如说，在设计一个大型的桥梁时，如果变形太大，那可就危险啦。
总之，静定拱结构的变形公式推导虽然有点复杂，但只要咱耐心分析，一步步来，就能搞明白其中的奥秘。
就像解决一个难题，只要不放弃，总有办法找到答案的。
4 静定拱
结构力学第四章 静定拱§4-1 概 述§4-2 三铰拱的数值解§4-3 三铰拱的合理拱轴线杆轴线为曲线，在竖向荷载拱式结构的特点：作用下会产生水平反力（称为推力）。
拱式结构又称为推力结构。
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
BBACABC(c)BCAB有拉杆的三铰拱 两铰拱曲梁三铰拱各部分名称高跨比f/l 是拱的一个重要的几何参数。
工程实际中，高跨比在l ~1／10之间，变化的范围很大。
跨度矢高拱趾拱趾拱顶f l 拱轴线拱顶：拱的最高点。
拱趾： 支座处。
跨度：两支座之间的水平距离， 用l 表示。
矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f 表示。
拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小得多，所以拱结构适用于大跨度的建筑物。
它广泛地应用房屋桥梁和水工建筑物中。
由于推力的存在它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用拱的结构形式时必须注意的。
一、三铰拱的反力和内力计算。
1.支座反力计算（与三铰刚架反力的求法类似）。
代梁代梁：同跨度、同荷载的简支梁,其反力、内力记为、 、 、0V AFV BF 0M 0S F 三铰拱BF F F F fFFF Ayxl/x KC2l/2V AH BH AV BF 1F 2F 3BACF a a a 123F K V AV BH H H F F F B A ==考虑整体平衡0V 332211=−++l F a F a F a F B ()()()[]332211V 1a l F a l F a l F lF A−+−+−=考虑C 铰左侧部分平衡 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⋅=2211H 2221a l F a l F l F fF yA 由∑X =0，得由∑M A =0()332211V 1a F a F a F lF B++=得由∑M B =0，得由∑M C =0，得B F F F F fFFF Ayx l/x K C2l/2V AH BH AV B与代梁相比较有：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===f M F F F F F C B B AA 0H 0V V 0V V 可见：三铰拱的竖向支座反力就等于代梁的反力； 水平推力就等于代梁C 截面的弯矩除以矢高； 拱的矢高对水平推力影响很大（矢高愈小即拱的形状愈扁平推力愈大）。
李廉锟《结构力学》(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(静定拱)【圣才出品】
第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、拱的基本概念1．拱的定义拱是指轴线（截面形心的连线）为曲线并且在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。
2．拱的分类（1）按铰点数①三铰拱；②两铰拱；③无铰拱。
拱的定义 按铰点数：三铰拱、两铰拱、无铰拱 拱的分类 按铰趾位置：平拱、斜拱拱的基本概念 拱的特点拱式结构消除推力对支撑结构影响的方法拱各部分的名称：拱轴线、拱趾、拱的跨度、起拱线、拱顶、拱高等 反力个数 支座反力的计算 计算方法 计算公式三铰拱的计算 反力值影响因素内力的计算：弯矩、剪力、轴力斜拱支座反力计算三铰拱的合理拱轴线 合理拱轴线的定义拱轴线的计算方法 静定拱图4-1-1（2）按铰趾位置①平拱平拱是指两拱趾在同一水平线上的拱。
②斜拱斜拱是指不在同一水平线上的拱。
3．拱的特点（1）优点①与梁相比，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。
推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。
②由于推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的应力分布较为均匀。
③主要承受压力，可利用抗拉性能较差而抗压较强的材料如砖、石、混凝土等来建造，更能发挥材料的作用。
（2）缺点拱支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）。
4．拱式结构拱式结构是指在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构，也称为推力结构。
如三铰刚架、拱式桁架等。
5．消除推力对支撑结构影响的方法在拱的两支座间设置拉杆来代替支座承受水平推力，使其成为带拉杆的拱（图4-1-2（a））。
为了使拱下获得较大的净空，有时也将拉杆做成折线形的（图4-1-2（b））。
图4-1-26．拱的各部分名称（1）拱轴线拱轴线是指拱身各横截面形心的连线。
（2）拱趾拱趾是指拱的两端支座的位置。
（3）拱的跨度l拱的跨度是指两拱趾间的水平距离。
（4）起拱线起拱线是指两拱趾的连线称为起拱线。
（5）拱顶拱顶是指拱轴上距起拱线最远的一点。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第4章静定拱【圣才出品】
李廉锟《结构⼒学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第4章静定拱【圣才出品】第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】⼀、拱的基本概念及特点 ★★表4-1-1 拱的基本概念及特点表4-1-2 有拉杆和⽆拉杆三铰拱的区别与联系⼆、三铰拱的计算 ★★★★★1．⽀座反⼒的计算（见表4-1-3）表4-1-3 ⽀座反⼒的计算2．内⼒的计算（见表4-1-4）表4-1-4 三铰拱的内⼒计算三、三铰拱的合理拱轴线（见表4-1-5） ★★★表4-1-5 三铰拱的合理拱轴线4.2 课后习题详解复习思考题1．拱的受⼒情况和内⼒计算与梁和刚架有何异同？答：（1）拱与梁的受⼒情况和内⼒计算的区别①约束反⼒⽅⾯，拱在竖向荷载作⽤下会产⽣⽔平反⼒（推⼒），⽽梁在竖向荷载作⽤下不会产⽣⽔平反⼒（推⼒）；②内⼒分布⽅⾯，由于⽔平推⼒的存在，拱的弯矩常⽐跨度、荷载相同的梁的弯矩⼩得多，使得拱截⾯上的应⼒分布较为均匀；③内⼒分析⽅法⽅⾯，若只有竖向荷载时，梁只需进⾏简单的整体分析即可求解，⽽拱由于⽔平⼒的存在，需要整体分析与局部分析相结合。
（2）拱与刚架的受⼒情况和内⼒计算的异同①内⼒分析⽅法⽅⾯，拱与刚架的受⼒情况和内⼒计算的特点和所应⽤⽅法基本⼀致，例如三铰刚架也属于拱式结构；②拱的轴线是曲线，刚架杆的轴线是直线，在应⽤平衡条件计算内⼒时，拱仍然取投2．在⾮竖向荷载作⽤下怎样计算三铰拱的反⼒和内⼒？能否使⽤式（4-1）和（4-2）？答：（1）对于三铰拱承受⾮竖向荷载的情况，可将⾮竖向荷载分解为⽔平荷载和竖向荷载。
（2）仍然可以应⽤式（4-1）和（4-2），将⽔平反⼒加上⾮竖向荷载⽔平⽅向上的分量⼀起代⼊公式中进⾏求解。
(4-1)o AV AV o BV BV o c H F F F F M F f ??=??=?=cos sin (4-2)sin cos o H o S S H o N S H M M F y F F F F F F =-??=-?=+3．什么是合理拱轴线？试绘出图4-2-1各荷载作⽤下三铰拱的合理拱轴线形状。
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第四章静定拱
§4-1 概述
1、拱式结构的特征及应用：
应用：门、窗、桥、巷道、窑洞
特征：
杆轴是曲线，竖向荷载作用下有水平推力。
和曲梁比较
三铰拱是由两条曲杆用铰相互联结，并各自与支座用铰相联结而成。
优点：在竖向荷载作用下拱存在水平推力作用，导致其所受的弯矩远比梁小，压力也比较均匀；若合理选择拱轴，弯矩为0，主要承受压力。
缺点：需要坚固而强大的地基基础来支承；
2、拱的形式：
静定结构：三铰拱。
有两种形式：无拉杆三铰拱、有拉杆的三铰拱、及其变化形式、做成折线即为三铰刚架
超静定结构：无铰拱、两铰拱
3、名称：
跨度L、
拱高：拱顶到两支承边线距离，f
拱脚铰、拱顶铰
对称拱、斜拱（不对称拱）
f/l：矢跨比、高跨比。
高跨比对拱的主要性能有比较大的影响（1－1/10）。
若f－0，三铰共线或接近共线，瞬变体系。
4、计算方法：
数解法、图解法
§4-2 三铰拱的数解法
竖向荷载作用下三铰平拱的支座反力和内力的计算公式，并和同跨同荷载的相应简支梁比较。
一、支座反力的计算
：
三铰拱
三铰拱相当梁：
图4-4、4-5
对三铰拱：∑∑==l a P V M i
i B A ,0 对相当梁结构： ∑∑=
=l b P V M i i A B ,0 ∑===H H H X B A ,0
()∑--=
=f a l P l V H M A C 1111,0 得出：
{ V A =V A 0=∑P i v B 0
V B =V B 0=∑P i a i /l
H=M C 0/f → 荷载大小及位置一定，l 一定，M C 0一定，给定f → H
结论：（1）三铰拱的竖向反力与相当梁的竖向力相同；
（2）水平推力仅与荷载及三个铰的位置有关，（即只与拱的矢跨比f/l 有关，f/l ↑，H ↓；f/l ↓，H ↑）和拱轴形状无关。
当荷载及l 不变时，f ↑，H ↓，f ↓，H ↑，f →0，H →∞，f=0三拱共线瞬变体系。
（3）竖向向下荷载作用时推力为正，推力向内
2、内力的计算
任一横截面K ：位置由坐标x 、y 及该处拱轴切线的倾角φ确定。
取隔离体：
()[]∑-=---==Hy M Hy a x P x V M M
K A K K 011,0 ϕϕϕϕϕsin cos sin cos cos ,001'H Q H P V Q Y K A -=--==∑
ϕϕcos sin ,00'H Q N X K +===∑
得出：
{ M K =M K 0-H •y K
Q K =Q K 0cos ψK - Hsin ψK
N K =Q K 0sin ψK + Hcos ψK
1}规定正负问题；
2}截面法求内力；
3）比较出公式适用范围（适用范围：竖向荷载（包括竖向均布荷载和集中力）作用下的三铰平拱、带拉杆的拱）。
结论：（1）三铰拱的弯矩小于相当梁的弯矩；
（2）N 较大，Q 较小
3、受力特点（比较法，由公式）
1）竖向荷载下，梁没有水平反力，拱则有水平推力，所以拱要求比梁更为坚固的基础或支承结构。
2）由于水平推力的存在，三铰拱截面上的M 比简支梁小，所以拱比梁能更有效地发挥材料作用，适用于较大跨度或较重荷载。
3）在竖向荷载作用下，梁内无N ，而拱内N 较大，且一般为压力，所以拱可以用抗压性能强而抗拉性能差的材料来建造，例如：砖、石、砼，便宜，造价低。
总之，拱比梁更适用于较大的跨度和较重的荷载。
抗压更有利于抗压性能好的材料，但三铰拱的基础比梁大；因此屋架中三铰拱常带拉杆，减少对墙或柱的推力。
4、拱内力图的绘制
曲线，沿拱轴逐点计算和描绘。
（1） 沿拱轴将拱截成为若干相等的小段；
（2） 计算各截面处的y,tan,sin,cos
（3） 利用公式逐一计算各截面的M 、Q 、N 值；
（4） 逐点描绘
理论上讲，只要用截面法求出拱截面的内力方程，就能作出内力图（内力图的特性改变和梁、刚架不同），但由于拱轴线B 曲线，一般为二次方程，则求出的内力方程为高阶方程，且沿轴线作图比较困难。
因此通常用近似法作拱的内力图：用水平线代替拱轴线，用截面法求出一系列截面的内力，在水平线上用描点法作出（按比例定位，用曲线板相连）。
微分关系复杂
区段叠加法不适用
也可采用叠加法绘制。
例1：求支座反力及拉杆拉力。
例2：求某指定拱横截面的内力。
例3：作拱的内力图
例题：见P45页例4-1。
5、 内力的计算公式推算三铰拱内力图的一些特点：
1）}M K =M K 0-H •y K 集中力偶作用处，M 图发生突变；
2）集中力作用处，三铰拱的N 、Q 图将发生突变；
{ Q K =Q K 0cos ψK - Hsin ψK
N K =Q K 0sin ψK + Hcos ψK
3）}由k k k Q dx dM ϕcos =可知，在Q k =0的截面上M 将出现极值，在集中力作用处由
于Q K 发生突变，M 图将出现尖角。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
一、压力线
一般情况下，三铰拱任一截面上的内力有三个，这三个内力可以合成为一个合力（用图表示），可以确定合力作用点，可能在截面上，也可能在截面的延伸面上。
实体三铰拱上每一截面上总压力在该截面（或其延伸面）上的作用点（合力的作用点的连线）所连成的一条折线或曲线。
三铰拱的压力线可以用作图法作出，随荷载而变化，和荷载及三铰拱的三个铰位置有关。
和拱的轴线形状无关。
已知压力线可以求出（完全确定）任一截面上的内力：力多边形和相应的压力多边形。
二、合理拱轴
当拱的轴线和压力线重合时，各截面形心到合力作用线的距离为0，则各截面上只有轴向压力，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态，这时候材料的使用最经济，这样的拱轴为合理拱轴。
在固定荷载下使拱处于无弯矩状态的轴线。
对于竖向荷载作用下的三铰平拱的合理拱轴，可以用数解法求出拱合理拱轴的轴线方程。
M=0，
在竖向荷载作用下，三铰拱的合力轴线纵坐标与简支梁弯矩成正比，与H 成反比。
例1： H
M y /0。