材料力学静定拱
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4 第四章静定拱3
f
L
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
世界上最古老的铸铁拱桥(英国科尔布鲁克代尔桥).
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称"渭水长 虹","渭水第一桥" 主跨:40米 建成时间:1368
第3章 静定结构的内力分析
合 肥 工 业 大 学
例4-2,设三铰拱承受沿水平方向均匀满跨分布的竖向荷 求其合理轴线. 载,求其合理轴线. M o (x ) 解:由式 y ( x ) = F q
H
y A l/2
C f l/2 B
先列出简支梁的弯矩方程
q x(l x ) 2 o M C ql 2 x = 拱的推力为: 拱的推力为:FH = f 8f M o ( x) =
FP FP
曲梁
三铰拱
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
2)常见的拱式结构有: 2)常见的拱式结构有: 常见的拱式结构有
三铰拱
带拉杆三铰拱
两铰拱
三铰拱——静定拱 拱两铰拱 无铰拱超静定结构
无铰拱
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
�
∑ MC = 0
FAV
FB V
c
F2
FH B
o FBV
f l1
F1
A
FAV l1 F1 d FH f = 0
F
o AV
c
x
FAV
o MC o M C FH f = 0 ∴ FH = f
9静定拱
82.5
FNC
左 0左 FQD FQD Cos D FH Sin D
左
105 0.832 82.5 0.555 41.6kN
左 0左 FND FQD Sin D FH Cos D
A
105
0
MD A 0 FVA D FQD
0左
105 0.555 82.5 0.832 127kN
13
(2) 求dy 4 f 4 4 tg D 2 ( L 2 x) 2 (12 2 3) 0.667 dx L 12
4 4 yD 2 (12 3) 3 3m 12
D 3342'
Cos D 0.832 Sin D 0.555
第六章 静定拱
§6-1 概述
§6-2
三铰拱的计算
§7-3
三铰拱的合理拱轴线
1
1.拱的特征及其应用
（1）拱的特征： a.在竖向荷载作用下会产生水平反力(推力)。 b.杆轴线通常是曲线的。
FP
FP
曲梁
三铰拱
在竖向荷载作用下， 水平反力等于零， 曲梁结构(不是拱)。
在竖向荷载作用下， 会产生水平反力， 因此它是拱结构。
2
赵州桥
3
丫髻沙大桥
4
雁滩黄河大桥
5
大跨度体育馆
6
砌体拱顶
7
农业大棚
8
三铰拱的计算
为了便于理解， 与相应的简支梁作对比。 （1）支座反力计算 a.竖向反力 FPi bi 0 得 M 0 F F B VA VA L FPi ai 0 得 M 0 F F A VB VB L b.水平反力 取左半跨为隔离体：
FNC
左 0左 FQD FQD Cos D FH Sin D
左
105 0.832 82.5 0.555 41.6kN
左 0左 FND FQD Sin D FH Cos D
A
105
0
MD A 0 FVA D FQD
0左
105 0.555 82.5 0.832 127kN
13
(2) 求dy 4 f 4 4 tg D 2 ( L 2 x) 2 (12 2 3) 0.667 dx L 12
4 4 yD 2 (12 3) 3 3m 12
D 3342'
Cos D 0.832 Sin D 0.555
第六章 静定拱
§6-1 概述
§6-2
三铰拱的计算
§7-3
三铰拱的合理拱轴线
1
1.拱的特征及其应用
（1）拱的特征： a.在竖向荷载作用下会产生水平反力(推力)。 b.杆轴线通常是曲线的。
FP
FP
曲梁
三铰拱
在竖向荷载作用下， 水平反力等于零， 曲梁结构(不是拱)。
在竖向荷载作用下， 会产生水平反力， 因此它是拱结构。
2
赵州桥
3
丫髻沙大桥
4
雁滩黄河大桥
5
大跨度体育馆
6
砌体拱顶
7
农业大棚
8
三铰拱的计算
为了便于理解， 与相应的简支梁作对比。 （1）支座反力计算 a.竖向反力 FPi bi 0 得 M 0 F F B VA VA L FPi ai 0 得 M 0 F F A VB VB L b.水平反力 取左半跨为隔离体：
第四章-静定拱
§4-1 基本概念 2.常见形式
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
第4章 静定拱
第四章 静定拱
§4—1概述 拱——曲线杆件， 竖向荷载作用下有水平反力。 常用形式： 三铰拱、两铰拱、无铰拱
重要特点： 竖向荷载产生水平推力（与梁相比）
优点： M减小，N为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土
缺点： 水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）
更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
y(x) x1=1.5,y1=1.75 tanφ=y’ sinφ,cosφ
3.M1=M10-FHy1 S1=S10*c-FH*s N1=S10*s+FH*c
4.表4－1，作图。
3．特点： （1）竖向荷载作用下，
有水平推力H （2）推力使拱M减小，
M = M0 － Hy （3）拱截面内轴力较大，
（梁N=0） 4．斜拱与一般荷载作用 ①斜拱
【例4—2】 均布荷载满跨 【解】
M 0 ql x qx2 qx (l x) 2 22
H
M
0 c
1
ql 2
f f8
y M 0 qx (l x) 8 f 4 f x(l x)
H2
ql 2 l 2
具有不同髙跨比的一组抛物线——合理拱轴线
[例4—3]q = qc+ γy 解：坐标系如图，
M=M0－H（f－y）=0
f y M0 H
求导二次：
y"
1 H
d2M 0 dx2
1 H
(q)
y q H
q=qc+γy
y " x y qc HH
微分方程解 边界条件
——二阶常系数线性非齐次方程 ——确定合理拱轴线方程
[例4-4] 静水压力 解：非竖向荷载，设M＝0状态，
用微元平衡求合理拱轴线 微段：N 平衡：
§4—1概述 拱——曲线杆件， 竖向荷载作用下有水平反力。 常用形式： 三铰拱、两铰拱、无铰拱
重要特点： 竖向荷载产生水平推力（与梁相比）
优点： M减小，N为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土
缺点： 水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）
更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
y(x) x1=1.5,y1=1.75 tanφ=y’ sinφ,cosφ
3.M1=M10-FHy1 S1=S10*c-FH*s N1=S10*s+FH*c
4.表4－1，作图。
3．特点： （1）竖向荷载作用下，
有水平推力H （2）推力使拱M减小，
M = M0 － Hy （3）拱截面内轴力较大，
（梁N=0） 4．斜拱与一般荷载作用 ①斜拱
【例4—2】 均布荷载满跨 【解】
M 0 ql x qx2 qx (l x) 2 22
H
M
0 c
1
ql 2
f f8
y M 0 qx (l x) 8 f 4 f x(l x)
H2
ql 2 l 2
具有不同髙跨比的一组抛物线——合理拱轴线
[例4—3]q = qc+ γy 解：坐标系如图，
M=M0－H（f－y）=0
f y M0 H
求导二次：
y"
1 H
d2M 0 dx2
1 H
(q)
y q H
q=qc+γy
y " x y qc HH
微分方程解 边界条件
——二阶常系数线性非齐次方程 ——确定合理拱轴线方程
[例4-4] 静水压力 解：非竖向荷载，设M＝0状态，
用微元平衡求合理拱轴线 微段：N 平衡：
03结构力学 第三章 静定结构的内力计算3.5 静定拱的内力计算(邓军)
实际桥梁工程中，虽然两铰拱为一次超静定拱，支座沉降或温 度改变容易引起附加内力，但由于两铰拱取消了拱顶铰，构造 较三铰拱简单，结构整体刚度较三铰拱为好，维护也较三铰拱 容易，而支座沉降等产生的附加内力较无铰拱为小。 因此在地基条件较差和不宜修建无铰拱的地方，可采用两铰拱 桥。 无铰拱属三次超静定结构，虽然支座沉降等引起的附加内力较 大，但在荷载作用下拱的内力分布比较均匀，且结构的刚度大、 构造简单、施工方便。 因此无铰拱是拱桥中，尤其是圬工拱桥和钢筋混凝土拱桥中普 遍采用的形式，特别适用于修建大跨度的拱桥结构。
M [ FAV xK FP1 ( xK a1 )] FH yK
0 FAV FAV
0 MK FAV xK FP1 ( xK a1 )
0 M MK FH yKຫໍສະໝຸດ §3.5 静定拱的内力计算
3）剪力的计算 剪力的符号通常规定，以使截面两侧的分离体有顺时针方向 转动趋势为正，反之为负。 由平衡条件
FAV FAV 0 MC FH f F F 0 BV BV
§3.5 静定拱的内力计算
2）弯矩的计算 由于拱轴为曲线的特点，计算拱的内力时要求截面应与 拱轴线正交，即与拱轴线的切线垂直 拱的内力计算依然用截面法 下面计算中任一截面K的内力
MK 0 FAV xK FP1 ( xK a1 ) FH yK M K 0
高跨比的变化范围很大，是拱的重要几何特征，也是决定拱主 要性能的重要因素。
§3.5 静定拱的内力计算
三铰拱的解法
三铰拱为静定结构，其全部约束反力和内力求解与静定梁或 三铰刚架的求解方法完全相同，都是利用平衡条件即可确定。 现以拱趾在同一水平线上的三铰拱为例。 为了与梁比较， 下图给出了同跨度、同荷载的相应简支梁计 算简图。
结构力学-静定拱
H=M’C/f 2 内力计算：
截面Ｋ的弯矩： M=[Vax－P1(x－a1)]－Hy
即 M=M’－Hy
A
P1
P2
B
ＫC
剪力：
Ｑ=VA cos --P1 cos--H sin V’A
V’B
＝Ｑ’ cos --H sin
轴力：
HA
P1 Ｋ
A
P2
B
HB
N=(VA--P1) sin+
Hcos
第四章 静定拱
§4--1 概述
拱：杆轴线为曲线并且有竖向荷载作用下会产生 水平反力的结构。
拱的常用形式有三种：
1、三铰拱
HA
A
P
HB B
VA
VB
2 两铰拱
3 无铰拱
拱的各部分名称如右图：拱 趾
起拱线
A
拱轴线
拱
拱高f
趾
B
跨度l
§4--2 三铰拱的数解法
1 支座反力计算
如右图： 由MB=0
a1
b1
VA
VB
=Q’sin +Hsin
综上所述，三铰平拱的内力计算公
式可写为：
M=M’--Hy
Q=Q’ cos --H sin
N=Q’ sin --H cos
§4--3 三铰拱的合理拱轴线
当拱上所有截面的弯矩都为零而只有轴力时，这
时的拱轴线为合理拱轴线。其方程为： y=M’/H
q
例４－２
y
a2
b2
P1
P2
MA=0
HA
A
HB B
HA=HB=H
l1
MC=0
VA
l2 VB
VAl1－P1(l1－a1)－Hf=0 l
结构力学第4章静定拱(f)
FH
FH
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A qc
B0
合理拱轴线的方程为
y qc (cosh x 1)
FH
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。
思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。
Fi ai l
Fx 0 FAH FBH FH
相应简支梁
取左半拱为隔离体
MC 0
FH
FAV l1 F1(l1 a1) f
可 得
FAV FBV
FA0V FB0V
FH
M
0 C
f
三铰拱的反力只与 荷载及三个铰的位置有 关，与拱轴线形状无关；
推力FH 与拱高 f 成反比。
§4-2 三铰拱的计算
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin (FAV F1) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV
Fibi l
M A 0 FBV
第四章结构力学静定拱
15kN
A
K左
A
K右
12.5kN
12.5kN
FºSK左＝12.5kN
FºSK右＝－2.5kN
( F H 1 0 k N ,F S 0 K 左 1 2 . 5 k N ,F S 0 K 右 2 . 5 k N )
( s i n 0 .4 4 7 ,c o s 0 .8 9 4 )
FSK左FS0K左cosFHsin12.50.894100.447
r FP1 90。 D D
C
FQD A
FP2 B
FRA
FRB
M D FRD rD
FQD FRD sin D FND FRD cos D
r D ——截面D形心到FRD作用线之距离。
D ——FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。
由此看出，确定截面内力的问题归结为确定 截面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线 的问题。
tgy'4l2f
(l2x)a b
F
V
0 A
FP1
D
F
0 SD
代梁
a2+b2 a
b
2) FºSD是代梁截面D的剪力，设为正方向。 故FºSD可能大于零、等于零或小于零。
下面用上述公式求FSK、FNK。
xK＝4m y'41 624(1624)1 2 FºSK左＝12.5kN
5
1 2
FºSK右＝－2.5kN
FP2 E FP1
D
FRA A
o
C FP1 FP2
FRA
FRB
FP3
FP3 F
B
FRB
在上图所示力多边形中，射线1－2代表FRA与 FP1合力的大小和方向；射线2－3代表FRA与FP1、 FP2合力的大小和方向。
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H
MC
120 30 KN f 4
（3）BC段：
y( BC ) M (BC )
° ° ° °
H 50 x3 5 x32 30 x3 (10 x3 ) （抛物线） 6
24
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。 （1）AD段： y( AD ) （2）DC段：
2、内力计算： （1）任一截面K(位置)：
K截面形心坐标X K 、YK K截面形心处拱轴切线的倾角 K
轴力N 以压为正 （2）内力： 剪力Q 绕隔离体顺时针转为正 弯矩M 以拱内侧受拉为正
K
k
10
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（3）弯矩计算：
结构力学 Structural mechanics 第四章 静定拱
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 基本概念 三铰拱的计算 三铰拱的合理拱轴线 三铰刚架
2
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
1、拱的定义 拱-杆轴线为曲线，并在竖向荷载作用下 将产生水平推力的结构。
0 N K Biblioteka QK sin k H cos k （5）剪力计算：
k
Q
0 K
VA P 1
K
QK (V A P1 ) cos k H sin k
K
Q K Q cos k H sin k k -左半拱正、右半拱负 三铰拱的内力与拱的轴线形状有关。
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) M C H f f
0 MC -相应简支梁在C处的弯矩。
三铰拱的约束反力只与荷载及三个铰的位置有关， 9 与拱轴线无关。
0 V A V A 0 V V B B 0 M C H f
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
截面1：
x1 1.5m
y1 1.75m tg1 1 1 45
0
sin 1 cos 1 0.707
15
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
求内力：
M 1 M Hy1 9.6 KN m
Q1 Q cos 1 H sin 1 3KN
pb l
pa l
i i
i i
p1b1 p 2 b2 l
p1 a1 p 2 a 2 l
0
A
VA VA
VB VB
F
X
0
HA HB H
°
°
8
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
M
取左半拱为隔离体，考虑其平衡：
C
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) Hf 0
22
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
H
MC
120 30 KN f 4
M
( DC )
° ° ° °
（ 2 ） DC 段 ：
y( DC ) H 30 x2 P ( x2 3) 30 x2 2 （直线） 3
23
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例
28
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
29
第四章 静定拱（Arch）
作业： 4-1
4-4
30
本节课到此结束再见!
31
y( DC )
M (AD ) H
30 x1 x （直线） 1 30
M (DC ) H x2 3
30 x2 P( x2 3) 30
（直线） 2
（3）BC段： y( BC )
M (BC ) H
50 x3 5 x32 x3 (10 x3（抛物线） ) 30 6
K
k
M K V A X K P1 X K a1 Hy K
0 MK MK Hy K
11
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（4）轴力计算： N K V A sin k P1 sin k H cos k (V A P1 ) sin k H cos k
0 C
f
50.25 KN
14
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（2）求内力 将跨度等分，求轴线上各等分点处的内 力值，然后绘内力图。 以截面1为例： 4f x 拱轴方程： y 2 (l x) x (12 x)
l 9
dy 2 tg (6 x) dx 9
20
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例2
°
°
°
°
21
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。
H
MC
120 30 KN f 4
° ° ° °
（1）AD段：
y( AD ) M (AD ) （直线） H 30 x1 x1 30
6
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
3、几何特性： 拱顶
拱高 起拱线 拱趾( 、 ) 跨度 拱轴线(拱轴)
平 拱-两拱趾连线为水平。 高跨比-f/l
7
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
1、求反力：（Reaction） HA、HB、VA、VB
M
M
B
0
0
0
VA
VB
无水平推力，为曲梁
3
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
悬吊结构（H-水平拉力）
4
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
拱（H-水平推力）
5
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
2、常见形式
三铰拱 静定拱 拱两铰拱 无铰拱超静定结构
三铰拱
两铰拱
无铰拱
2 ql qx M x 2 2
又
H
MC
f
2 ql
8f
M 4f y 2 x(l x) 抛物线 l H
19
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
4f y 2 x(l x) l
讨论： 当q、l一定，f可变，合理拱轴线有无 限多个。 当q、l和f一定（且f 0），合理拱轴 线只有一个。
0 K
θK
12
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
例：（教材） 拱轴线方程：
4f y 2 (l x ) x l
绘M、N、Q图。
×
13
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（1）求反力：
V A V 75.5KN
0 A
VB V 58.5KN
0 B
×
H
M
25
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
26
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
求支反力： 取整体：
M 0 M 0 X 0 H
B
VA 0
A
VB 0
HB H
A
取半边：
M
C
0
H M
l
27
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
1
1
N1 Q sin 1 H cos 1 74 KN
1
同理可以求出其他各截面上的内力值（列 表计算）。（参考教材P61）
16
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 （ Optimal centre line of arch ）
1、定义： 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的轴 线，使得拱的所有横截面上的弯矩为零。 该拱的轴线就称为三铰拱的合理拱轴线。 2、条件： 满足横截面上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有 轴力N。
17
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
3、方法： 利用弯矩方程：
M M Hy
令： M M Hy 0
0
yM
0
H
18
y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例1、（教材）求对称三铰拱在均布竖向荷 载作用下拱的合理拱轴线。
MC
120 30 KN f 4
（3）BC段：
y( BC ) M (BC )
° ° ° °
H 50 x3 5 x32 30 x3 (10 x3 ) （抛物线） 6
24
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。 （1）AD段： y( AD ) （2）DC段：
2、内力计算： （1）任一截面K(位置)：
K截面形心坐标X K 、YK K截面形心处拱轴切线的倾角 K
轴力N 以压为正 （2）内力： 剪力Q 绕隔离体顺时针转为正 弯矩M 以拱内侧受拉为正
K
k
10
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（3）弯矩计算：
结构力学 Structural mechanics 第四章 静定拱
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 基本概念 三铰拱的计算 三铰拱的合理拱轴线 三铰刚架
2
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
1、拱的定义 拱-杆轴线为曲线，并在竖向荷载作用下 将产生水平推力的结构。
0 N K Biblioteka QK sin k H cos k （5）剪力计算：
k
Q
0 K
VA P 1
K
QK (V A P1 ) cos k H sin k
K
Q K Q cos k H sin k k -左半拱正、右半拱负 三铰拱的内力与拱的轴线形状有关。
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) M C H f f
0 MC -相应简支梁在C处的弯矩。
三铰拱的约束反力只与荷载及三个铰的位置有关， 9 与拱轴线无关。
0 V A V A 0 V V B B 0 M C H f
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
截面1：
x1 1.5m
y1 1.75m tg1 1 1 45
0
sin 1 cos 1 0.707
15
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
求内力：
M 1 M Hy1 9.6 KN m
Q1 Q cos 1 H sin 1 3KN
pb l
pa l
i i
i i
p1b1 p 2 b2 l
p1 a1 p 2 a 2 l
0
A
VA VA
VB VB
F
X
0
HA HB H
°
°
8
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
M
取左半拱为隔离体，考虑其平衡：
C
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) Hf 0
22
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
H
MC
120 30 KN f 4
M
( DC )
° ° ° °
（ 2 ） DC 段 ：
y( DC ) H 30 x2 P ( x2 3) 30 x2 2 （直线） 3
23
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例
28
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
29
第四章 静定拱（Arch）
作业： 4-1
4-4
30
本节课到此结束再见!
31
y( DC )
M (AD ) H
30 x1 x （直线） 1 30
M (DC ) H x2 3
30 x2 P( x2 3) 30
（直线） 2
（3）BC段： y( BC )
M (BC ) H
50 x3 5 x32 x3 (10 x3（抛物线） ) 30 6
K
k
M K V A X K P1 X K a1 Hy K
0 MK MK Hy K
11
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（4）轴力计算： N K V A sin k P1 sin k H cos k (V A P1 ) sin k H cos k
0 C
f
50.25 KN
14
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（2）求内力 将跨度等分，求轴线上各等分点处的内 力值，然后绘内力图。 以截面1为例： 4f x 拱轴方程： y 2 (l x) x (12 x)
l 9
dy 2 tg (6 x) dx 9
20
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例2
°
°
°
°
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。
H
MC
120 30 KN f 4
° ° ° °
（1）AD段：
y( AD ) M (AD ) （直线） H 30 x1 x1 30
6
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
3、几何特性： 拱顶
拱高 起拱线 拱趾( 、 ) 跨度 拱轴线(拱轴)
平 拱-两拱趾连线为水平。 高跨比-f/l
7
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
1、求反力：（Reaction） HA、HB、VA、VB
M
M
B
0
0
0
VA
VB
无水平推力，为曲梁
3
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
悬吊结构（H-水平拉力）
4
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
拱（H-水平推力）
5
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
2、常见形式
三铰拱 静定拱 拱两铰拱 无铰拱超静定结构
三铰拱
两铰拱
无铰拱
2 ql qx M x 2 2
又
H
MC
f
2 ql
8f
M 4f y 2 x(l x) 抛物线 l H
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
4f y 2 x(l x) l
讨论： 当q、l一定，f可变，合理拱轴线有无 限多个。 当q、l和f一定（且f 0），合理拱轴 线只有一个。
0 K
θK
12
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
例：（教材） 拱轴线方程：
4f y 2 (l x ) x l
绘M、N、Q图。
×
13
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（1）求反力：
V A V 75.5KN
0 A
VB V 58.5KN
0 B
×
H
M
25
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
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第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
求支反力： 取整体：
M 0 M 0 X 0 H
B
VA 0
A
VB 0
HB H
A
取半边：
M
C
0
H M
l
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第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
1
1
N1 Q sin 1 H cos 1 74 KN
1
同理可以求出其他各截面上的内力值（列 表计算）。（参考教材P61）
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 （ Optimal centre line of arch ）
1、定义： 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的轴 线，使得拱的所有横截面上的弯矩为零。 该拱的轴线就称为三铰拱的合理拱轴线。 2、条件： 满足横截面上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有 轴力N。
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
3、方法： 利用弯矩方程：
M M Hy
令： M M Hy 0
0
yM
0
H
18
y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例1、（教材）求对称三铰拱在均布竖向荷 载作用下拱的合理拱轴线。