第十章超静定拱
结构力学教程——第10章 力法
系数和自由项 ➢ 梁、刚架：
ii
M i 2 ds
EI
Ai yi EI
ij
M i M j ds EI
Aj yi EI
iP
M i M P ds EI
➢ 桁架：
2
ii
Ni l EA
ij
Ni N jl EA
iP
Ni N Pl EA
知识点
10.3 超静定刚架和排架
1. 刚架
20kN/m
11
M12 EI
ds
FN21 EA
ds
y2
cos2
EI ds EA ds
1P
M1 M P EI
ds
M0y ds
EI
（4）求多余未知力，即水平推力FH
M0y
X1
FH
1P 11
y2 EI
EI ds
cos2
ds EA
ds
（5）内力计算
M M 0 FH y
FQ FQ0cos FHsin FN FQ0sin FHcos
1P 11X1 0
P
2P 0
P
0
a
11
2 2
1
1
1
P
a
N1
NP
(3)求系数
11
2
Ni l 2( EA
2)2 EA
2a 4 12 a EA
4a (1 EA
2)
1P
Ni N jl 1 Pa 2 EA EA
(
2 )( EA
2P)
2a 2Pa (1 EA
2)
(4)解方程
X1
1P
11
P 2
当结构框格数目为 f , 则 n=3f 。
朱明zhubob结构力学6-9超静定拱
11 22
X1 X2
1P 2P
0 0
弹性面积
33 X 3 3P 0
M 1 y y, FN1 cos ,
FQ1
sin
M 2 x, FN2 sin , FQ2 cos
M 3 1,
FN3 0,
FQ3 0
X1
t
y
h
y
ds
t0l
( y y)2 ds EI
cos2
EA
ds
X3
t
ds h
ds EI
0
⒉ 温度变化和支座位移作用下无铰拱的计算
任意截面处的内力：
M FN
(y X1
y) X1
cos
1
X
匀改变时，在弹性中心处只产生 水平未知力X1，升温时为压力，
X1
t0l
( y y)2 ds cos2 ds
EI
EA
降温时则为拉力。
it
Mi
t
h
ds
M1 y y
FN1 cos
FQ1 sin
FNi t0ds
M3 1
FN3 0
FQ3 0
M 1 ds EI
FN21 ds EA
K
y2 EI
ds
cos2
EA
ds
X1 基本结构
1P
M1 MP ds EI
第十章_超静定结构
第十章超静定结构一、内容提要1、理解超静定结构中的一些基本概念，即：静定与超静定、超静定次数、多余约束、超静定系统（结构）、基本静定系以及相当系统等。
2、熟练掌握用力法求解超静定结构。
3、掌握对称与反对称性质并能熟练应用这些性质求解超静定结构。
4、了解连续梁的概念以及三弯矩方程。
二、基本内容1、超静定系统中的一些基本概念超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统。
静定结构或系统：无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出的机构或结构系统。
多余约束：在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系。
外超静定：超静定结构的外部约束反力不能全由静力平衡方程求出的情况。
内超静定：超静定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况。
混合超静定结构：对于内、外超静定兼而有之的结构。
基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为静定基）。
静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。
超静定次数：超静定结构的所有未知约束反力和内力的总数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。
2、力法与正则方程力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。
应用力法求解超静定问题的步骤：1）根据问题，确定其是静定还是超静定问题，如为后者，则确定超静定次数。
2）确定哪些约束是多余约束，分析可供选择的基本静定系，并注意利用对称性，反对称性，选定合适的静定系统，在静定系上加上外力和多余约束力，形成相当系统。
3）比较相当系统与原系统，在多余约束处，确定变形协调条件，并列写正则方程（对有n个多余约束的结构）011212111=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ022222121=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ.02211=∆++⋅⋅⋅++nF Rn nn R n R n F F F δδδ其中F Ri 表示n 个多余约束力，δij 表示F Rj ＝1引起i 处沿F Ri 方向的位移，∆iF 表示结构所有已知载荷产生的在i 处沿F Ri 方向的位移。
(土建施工)静定拱
静定拱
一、教学内容
知识目标：认识拱结构的形式及拱结构的特点。
会计算三铰拱的支座反力和内力。
能力目标：具备熟练计算三铰拱的能力。
二、教学重难点
重点：拱的概念、特点及三铰拱内力计算。
难点：三铰拱的内力计算。
三、教学方法
采用线上线下混合式教学法、小组讨论法、案例分析等方法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP部署任务，学生在课前预习拱的相关知识，能够认识拱的特点及应用，对拱的计算有个大致的印象。
课中：教师首先通过工程实例和相应的一些拱的特点引入静定拱存在的一定性，然后将静定拱和静定梁放在一起比较，从而进一步讲解静定拱的内力求解过程，分别求解相关例题，由学生讲解其中的关键点的计算。
最后老师对各小组点评。
课后：教师通过云课堂APP部署相关知识点的作业，要求学生按时完成，教师对作业进行批改，总结学生学习的缺乏。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务部署。
10(力学与结构)两铰拱
6）两铰拱的计算和受力特点 a.从力法计算：不能用图乘法，积分。考虑轴力。 b.从受力特点：与三铰拱基本相同，H通过力法计算。
（2）带拉杆的两铰拱
X1
1）基本体系 2 2）力法基本方程
（1）不带拉杆的两铰拱 1）两铰拱的基本体系
X1
ϕ
2）力法基本方程
δ 11 X 1 + ∆1P = 0
3）计算系数和自由项（略去剪力影响）
M N δ 11 = ∫ ds + ∫ ds EI EA M 1M P ∆1 P = ∫ ds EI M1 = −y
2 1 2 1
N 1 = − cos ϕ
M P =M 0
1 l 4f δ 11 = [ 2 x(l − x)]2 dx EI ∫0 l 16 f 2 l 2 2 8 f 2l 3 4 = (l x − 2lx + x )dx = 4 ∫0 EIl 15 EI
AD段（0 ＜ x ≤ l/4） DC段（l/4 ＜ x ≤l/2 ）
∆1 P 1 =− EI
y 0
∆1 c
δ 11
3EIθ = 2 l
3EIθ l
M图
M = M X1
基本结构取如图所示，力法方程如何？
δ11 X1 +∆1 c =θ
1 1 l 2 δ 11 = ×1× l × ×1 = EI 2 3EI 1 3 θ 3EIθ ∆1 c = 0 X1 = = δ 11 l
力法计算支座移动时超静定结构内力的特点： (1)力法方程的等号右边可以不为零； (2)自由项是由支座移动在基本结构中产生的位移； (3)内力全部由多于未知力产生; (4)内力与杆件EI成正比。
04-课件：7.7 超静定拱
三、有拉杆两铰拱的计算
EI、EA
A
E1 A1
l
B
原结构
A
X1
B
基本体系
解：①确定基本未知量、选择基 本结构及基本体系
51.7kN
22
M 0 X1 X 2 (R a) 2.76kN.m
M A M B X1 X 2 (a Rcos0 ) 6.98kN.m
三铰拱的水平推力
H
M0 C f
ql 2 8f
10·10 2 8·2.5
50kN
H
H H
51.7 50 50
3
%
F N1 F N 2ds EA
建立坐标系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱoy：
M1 1 M2 y
d
x’
F N1 0 F S1 0
FN2 cos FS2 sin
12
21
y ds EI
建立坐标系x’oy’：
y
y
d
12
y d EI
ds
y EI
ds
d
1 EI
ds
F1 C C1
F2
O O1
F1
F2
X2
X2
X1
马蹄形隧洞衬砌
隧道顶拱
二、无拉杆两铰拱的计算
EI、EA
A
原结构 B
EI、EA
A
基本体系
X1 B
解：①确定基本未知量、选择基 本结构及基本体系
②列力法程 11 X1 1P 0
静定结构和超静定结构
第十章静定结构和超静定结构课题：第一节结构的计算简图[教学目标]一、知识目标：1、理解结构计算简图的作用和意义。
2、掌握结构计算简图基本的简化方法。
二、能力目标：通过对结构计算简图的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、素质目标：培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾[教学重点]1、支座的简化和节点的简化。
2、计算简图的概念和要求。
[难点分析]计算简图简化的原理。
[学生分析]学生由于缺乏实际工程知识，不太理解计算简图的作用以及这种分析方法。
[辅助教学手段]理论联系实际、分析、讨论的方法[课时安排]1课时[教学内容]一、导入新课何谓结构？结构的举例。
通过启发学生联系工程实例，理解结构的概念。
二、新课讲解1．结构的计算简图2．结构的计算简图应满足的要求（1）基本上反映结构的实际工作性能（2）计算简便3．实际结构的计算简图的简化（1）支座的简化三种形式；简支梁、阳台、柱的实例。
（2）节点的简化铰节点和刚节点的特点及其应用（3）构件的简化实际上是力学中杆件的简化（4）荷载的简化集中荷载和均布荷载三、讨论1 牛腿柱的计算简图2 雨蓬的计算简图四、小结在结构设计中，选定了结构的计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应的措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。
五、作业思考题：1课题：第二节平面结构的几何组成分析[教学目标]一、知识目标：1、理解几何组成分析的作用和意义。
2、了解结构从几何组成的观点的分类。
3、了解结构几何组成分析的规则和方法。
4、了解静定结构和超静定结构的概念。
5、会对简单结构进行几何组成分析。
二、能力目标：通过对结构几何组成分析的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、质目标：培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾[教学重点]1、几何组成分析的意义和结果。
2、几何组成分析的方法。
[难点分析]结构几何组成分析的概念和方法都比较抽象，尤其是方法，学生学习起来比较困难。
讲解时，淡化理论，结合例题讲解。
10.超静定结构总论
第十二章超静定结构总论•基本解法的分类和比较•基本解法的推广和联合应用•混合法与近似法•超静定结构的特性•关于计算简图的补充讨论12-1 超静定结构解法的分类和比较力法类型位移法类型基本形式力法位移法能量形式余能法势能法渐近形式（渐近力法）力矩分配法、无剪力分配法手算电算矩阵形式（矩阵力法）矩阵位移法说明：手算时，凡是多余约束多、结点位移少的结构用位移法；反之用力法。
结构形式适宜的方法超静定桁架、超静定拱力法连续梁、无侧移刚架力矩分配法有侧移刚架位移法、无剪力分配法、联合法一、力法中采用超静定结构的基本体系↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1画M 1、M P 有现成的公式可用二、位移法中采用复杂单元只需推导复杂单元的刚度方程，整体分析按常规步骤进行。
变截面单元变截面单元单拱单元（各取所长）4I4I5I3I 3I A B CDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4I4I5I3I 3I A B CDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4I4I5I 3I 3I A B C DEFΔ=1例题12-10 试用联合法求图示刚架的弯矩图。
F 1Pk 11用力矩分配法，并求出F 1P 、k 1101111=+∆P F k 再用叠加法，作M 图。
再建立位移法方程8m4m4m 4m4m 2mABECFDG 20kN/m 100kN 20kN [分析]图示结构中E 点处有竖向线位移，故不能直接应用力矩分配法，可利用位移法与力矩分配法联合进行计算。
选E 点竖向线位移为位移法基本未知量，B 、C 点角位移用力矩分配法计算。
解：（1）取E 点竖向线位移为位移法基本未知量k F P 11110∆+=典型方程为：（2）用力矩分配法求基本体系，在荷载作用下的弯矩图8m4m4m 4m4m2mABE CFDG 20kN/m 100kN20kN ①杆件相对线刚度i EI AB =8i EI BE =4i EI EC =4i EICD =8②杆端分配系数μBA =25μBE =35μCE =23μCD =13③固端弯矩M M ql AB BA =-=-212=-⨯=-2081210672.kN.mM Pl m CD =-+3162=-⨯⨯+=-310081620130kN.mM DC =⨯=20240kN.m 23133525-106.7106.7-13040-42.68-64.02-21.34-128.064.0-64.043.386.786.7-86.7401286486.773.3407535841.=⨯F P F P 1377=.kN.m（3）用力矩分配法计算时的弯矩图∆11=时，梁端固端弯矩：∆11=M i l i BE=-=-334∆M i l i CE==334∆23133525-0.750.750.30.450.150.150.3-0.3-0.5-0.250.25-0.250.15i0.3i0.25i02758411.i k =⨯k i1101375=.BECFDG（4）代入典型方程得0137537701..i ∆+=∆12742=-.i（5）求作连续梁弯矩图M M M P=+∆11169.118.318.340170.91601286486.773.3400.15i0.3i0.25i力矩分配法的联合，力矩分配法与无剪力分配法的联合等。
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ds
3
落地式拱
带拉杆的拱作为屋盖结构
如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的受力状态基本相同。 如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉杆的三E1铰A1 拱实际上是一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适
当的加大拉杆的刚度。
MP=M 0
＝
MP=M 0 00
VA=（1-K）
VB=K
0 x M0=Vax=(1-K)x
≤x≤l
M0=K（l-x）
0.1810.195l/f 0.139
d1P
H
==--
= 5l
3E1fElI2IK014-l 2fKx1l+-Kx-1K-2 K1 - K 1 + K - K 2
K
xdx
+0.l04l726f
xl - xKl - xdx
8f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L.
先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
0M.25CI.L.
0.195 l 0.195l
7
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1
P2
P1 C C1
P2
X1 X2
X1
Oo O1 X2
例题10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y x
A
f=2.5m
D
A
X1
X1
x
X2
X2
R Φ0
R Φ0
R
φR
Φ0 Φ0
O l =10m
解:求R和φ0
R=6.25m
sinj = 0.8 0
cosj = 0.6 0
2 1
ds +
EI
N
2 1
ds
EA
j
X1=1
y
X1=1
x
M1 = -y
N 1 = - cos j
D = 1P
M 0y ds
EI
求即由基考计考MNQ于本虑算虑出：===拱体弯轴δQ1-HM1是系曲向时Q后00曲是变变c，0-，os杆曲形形有isHnj内δ梁，时j1y1-，（Δ力-1H计P在H不的s算平能cin计Δo拱f用1sP中j算时图）一乘与还般法三要只铰三两拱d铰铰相11拱拱同=中中H：：Ey=I2H-HdsDd==11+1P-MfDdC0c11o1PEsA2 j
10
M
P
=
q 2
x
2
EID1P = M1M Pds = -0.224qR3
D
X1
=-
1P
d
= 0.121qR 2
= 47.1kN.m
11
EID2P = M 2M Pds = -0.0223qR4
D
X 2 = - d 2P =0.827qR =51.7kN 22
H = X 2 =51.7kN
H*=1
X1=1
N1 M1
d11 =
M
2 1
ds
+
EI
N12 ds EA
D 1P =
M 1 M P ds EI
D H = - 1P
d 11
H * = - D*1P
d* 11
H=1 ≠
N1 M1
d * 11
=
M
2 1
ds
+
N12 ds+
l
EI
EA E1 A1
d* 11
=
d11
+
A 0.5l
B 0.5l
∴
d 11
=
1 EI
l 0
4 l
f
2
xl - x2 dx = 8 f 2l
15 EI
q↓↓↓↓↓↓↓
x
3 ql 8
M0
x
ql 2
1 ql 8
16
D = - 1
1 p EI
l 2
y
3
qlx
-
1
qx
2
dx
0 8 2
- 1 l y ql l - xdx = - qfl 3
q↓↓↓↓↓↓↓ y
A 0.5l
f x B
0.5l
y
=
4f l2
xl - x
ql 2
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
64
＝ ＝
q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
M反对称
＋
q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M对称=0
q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
基本X体1 系
q/2
ql 2
M0
64
q/2 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
x
x’
X3
X1
P1
X2 P2
d = 12
M1M 2 ds+ EI
kQ1Q2 ds+ GA
N1N2 ds EA
X3
对称的基本体系
X1=1引起： M1 =1 N1 =0 Q1 =0
X2=1引起： M 2 = - y N2= -cosj
dddddd132132131132XXXXXX113132++++++ddDDDD12232132PXpXpp====220+0+00DDD12PP2P=D==D030P-1P==y=EXMxMOEδEMI31=-点PII2EP1=Pddy引I的ddsδ1s2d2s起物1=s=d：理+-0dd2a21含M111=E=→=y义2EI1=E：dIEy-E1sxdI2IxI2s=dadds-s==sN+20=yEEcEy1-o-IIEsIs8iaddAn2ssjdjsds
l E1 A1
D*1P =
M1M P EI
ds
=
D1P
H*
=
-
D*1P
d*
4 11
如 影 铰例yq果响拱：↓↓↓上在，的E↓↓I↓例=别两推↓ 常，的者力数两荷内与，f铰载力三求拱作不铰Hx与用一拱。三下定的拱铰，相推解d轴s拱或等力=:线d简的在。及x方,化c内计但内程o假sd力算是力j为11定=相位，通=1:E(只1等移在常y平I =考，时一是0l拱y4l22虑f这不般比d,xfx/弯不l忽荷较l<D-曲0是略载接1xp.2=变普轴作近)。-形遍向用的0lyM;性变下。近0d结形，似x 论的两地。取
M 2 = -y N2 = -cosj
D 1P
=
0
D= 2P
N2NP ds= EA
cosj pRds
EA
①不计轴向变形产生无弯矩状态
内力状态分为：
②单由轴向变形产生的附加内力状态
以无弯矩状态作基本体系
12
d = 22
M
2 2
ds
+
EI
N
2 2
ds
=
EA
y2ds + EI
cos 2 j
截 面 内 力 计 算 内 力 图 的 形 状 特 征 叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 多 跨 静 定 梁 静 定 刚 架 内 力 图
1
3m
§10-1 两铰拱的计算方法
16m
2
MP=M 0
X1
d 11 X 1
+
D 1p
=
0
D = 1p
M 1 M P ds EI
d = 11
M
q/2
对称荷载下，取三铰拱为基本体系， 其MP=0∴ MPΔ1PX=10，X1=Δ1P/δ11=0， 在而反对M称=荷M载1 下X，1 +对M称P 未= 知0 力X1=0 M反对称=M1X1+MP=MP = M0-Hy = M0
而
H=
M
0 C
=0
f
6
例：等截面两铰拱，试求H、MC的影响线。
ξ=Kl
单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三：
第一，计算得到简化；
pR
第二，有助于了解拱的受力特点； 第三，能够更好的保证计算精度。
X2
X1
X2
M = (M1X1 + M 2 X 2 ) + M0 P
M = (M1X1 + M2 X2) + M P
符号相反的大数相减
X2
X1
X2
13
p
D
R Φ0
R Φ0
X1
X2 合理拱轴线 X3
MMP=0，Q=P=00，，NN=P－=－pRpR pR
基本体系
y
O
解：1）忽略轴向变形，取
pR
三铰拱为基本体系。
X2
X1
X2 x
pR
M1 =1 N1 = 0
Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0 无铰拱和三铰拱均 处于无弯矩状态
2）考虑轴向变形，用弹 性中心法计算将精确的
M 0 = X1 - X 2 (R-a) = 2.76kN.m
M A = M B = X1 + X 2 (a - Rcosj0 ) = 6.98kN.m
三铰拱的水平推力
H
=
M0 C
=
ql 2
= 1010 2
= 50kN
f 8 f 82.5
HH
H
=
51.7 - 50 50
=
3
%
11
例10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。