泸州市2018级高考一诊数学模拟考试(习题及答案解析)
高2018届泸州一诊理数含答案
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数学---四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试试题(文)
四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|-1<x 2,x }N ≤∈A x ，}3,2{=B ，则=B A （ ） A ．}3,2,1,0{ B ．}2{ C ．}2,1,0,1{- D ．∅ 2．“0>x ”是“01>+x ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．“0>x ”是“3)31(<x”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．在正方体1111D C B A ABCD -中，棱所在直线与直线1BA 是异面直线的条数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．定义在R 上的函数m x x f +-=3)(与函数kx x f x g -=)()(在]1,1[-上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ）A ．]0,(-∞B ．]3,(--∞C ．),3[+∞-D ．),0[+∞ 6．函数||ln x x y ⋅=的大致图象是（ ）7．设b a ,是空间中不同的直线，βα,是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．αβα⊂a ,//，则β//a B ．βαβα//,,⊂⊂b a ，则b a // C ． ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂，则βα// D ．α⊂b b a ,//，则α//a8．已知函数)2sin(ϕ+=x y 在π=6x 处取得最大值，则函数)2cos(ϕ+=x y 的图象（ ） A ．关于直线π=6x 对称 B ．关于点π(,0)3对称C ．关于点π(,0)6对称D ．关于直线π=3x 对称 9．已知圆锥的高为5，底面圆的半径为5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．36πC ． 48πD ．24π 10．已知函数)212()(x xx x f -=，若)()1(x f x f >-，则x 的取值范围是（ ） A ．)21,(-∞ B ．)21,(--∞ C ．),21(+∞ D ．),21(+∞-11．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π2+3 B ．1+π2 C ．2+π3 D ．π2+612．函数--1()=-ln(+2)+e+4e x aa f x x x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使3)(0=x f 成立，则实数a 的值为（ ）A ．2lnB ．12ln -C ． 2ln -D ．12ln -- 二、填空题：每题5分，满分20分13．已知31cos sin =+αα，则ααcos sin 的值为 ． 14．设函数⎩⎨⎧>+≤<+=2,1220,4log )(2x x x x f x ，若9)(=a f ，则a 的值为 ．15．如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为030，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为045，则此山的高=CD m ．16．一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数a x x x x f +-=2cos cos sin )(的最大值为22. （1）求a 的值；（2）求使0)(≥x f 成立的x 的集合.18．设()=e -cos xf x a x ，其中R ∈a .（1）求证：曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线过定点；（2）若函数)(x f 在π(0,)2上存在极值，求实数a 的取值范围.19．如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，)sin(2sin B A A +=，它的面积21675c S =.（1）求B sin 的值；（2）若D 是BC 边上的一点，43cos =∠ADB ，求DCBD 的值.20．如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是梯形，DC AB //，090=∠ABC ，SD AD =，AB CD BC 21==，侧面⊥SAD 底面ABCD .（1）求证：平面⊥SBD 平面SAD ；（2）若0120=∠SDA ，且三棱锥BCD S -的体积为126，求侧面SAB ∆的面积.21．已知函数)0(ln 21)(2>+-=a x a ax x x f . （1）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；（2）当1=a 时，若方程)2(21)(2-<+=m m x x f 有两个相异实根21,x x ，且21x x <，证明：2212x x <. 选做题：22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为πcos(+)=33ρθ，曲线C 的极坐标方程为)0(cos 4>=a a θρ.（1）设t 为参数，若t y 2132+-=，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于Q P ,，设)32,0(-M ，且||||||2MQ MP PQ =，求实数a 的值.23.已知函数|2||3|)(x x a x f +--=. （1）若2=a ，解不等式3)(≤x f ；（2）若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5：BBACD 6-10：DACBA 11-12：CD 二、填空题 13．94-14．315．215016．]5,1(三、解答题17．解：（1）a x x x x f +-=2cos cos sin )(a x x ++-=212cos 2sin 21π1=-)-+242x a 由R ∈x ，得)(x f 的最大值为222122=+-a 故21=a .（2）因0)(≥x f 即π-)024≥x 所以π2π2-2k π+π4≤≤k x ， 所以π5ππ+π+88≤≤k x k 求使0)(≥x f 成立的x 的集合是π5π[π+,π+]88k k ，Z ∈k . 18.证明：（1）因为'()=e +sin xf x a x 所以a f =)0('，又1)0(-=a f ，所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为ax a y =--)1(，即1)1(-+=x a y ， 所以曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线过定点)1,1(--. （2）因为'()=e +sin xf x a x ，因为函数)(x f 在π(0,)2上存在极值， 所以0)1(')0('<f f ，即π02π(e +sin0)(e +sin )<02a a所以π21-<<0ea ，所以a 的取值范围是π21(-,0)e.19.解：(1)因为)sin(2sin B A A +=，所以C A sin 2sin =， 由正弦定理得c a 2=， 因为221675sin sin 21c B c B ac S ===所以1675sin =B （2）因为43cos =∠ADB ，所以47sin =∠ADB ， 在ABD ∆中，由正弦定理得ADBABB AD ∠=sin sin ， 所以c AD 45=由余弦定理得43452)45(222⨯⨯⨯-+=BD c BD c c ， 所以c BD 23=或c 83， 因为D 是BC 边上的一点，所以c BD 23=， 因为，所以， 所以3=DCBD. c a 2=c CD 21=20.解：（1）因为090=∠ABC ，，所以045=∠CBD ，BCD ∆是等腰直角三角形，故CB BD 2=，因为BD AB 2=，045=∠ABD ，所以ABD ∆∽BCD ∆，090=∠ADB ，即AD BD ⊥，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，交线为AD ， 所以⊥BD 平面SAD ，所以平面⊥SBD 平面SAD . （2）过点S 作AD SE ⊥交AD 的延长线于点E ， 因为侧面⊥SAD 底面ABCD ， 所以⊥SE 底面ABCD ，设a CD BC ==，则a BD SD AD 2===， 因为0120=∠SDA ，所以a SE 26=， 三棱锥BCD S -的体积为126， 即12626213131=⨯⨯⨯⨯=⨯=∆-a a a SE S V BCD BCD S ， 所以1=a ，6,223==SA AE ， 所以侧面SAB ∆的面积为215=∆SAB S .21.解：（1）因为)(1)('2a ax x xx a a x x f +-=+-=， CD BC=因为0<a ，当042>-=∆a a ，由0)('=x f 得2421a a a x --=，2422aa a x -+=，因为函数)(x f 的定义域为),0(+∞，所以∈1x ),0(+∞，所以当2402a a a x -+<<时，0)('<x f ，当242aa a x -+>时，0)('>x f ，故)(x f 在)24,0(2a a a -+上单调递减，),24(2+∞-+aa a 上单调递增.（2）设)2(21)(2-<+=m m x x f 的两个相异实根分别为21,x x ，满足0ln =--m x x ， 且1,1021><<x x ，0ln ln 2211=--=--m x x m x x 令x x x g -=ln )(的导函数， 所以)(x g 在),1(+∞上递减由题意可知22ln 2ln 11-<-<=-m x x ， 故21>x ，所以12,0221<<x x ， 令m x x x h --=ln )(，)22(ln )(ln )22(ln )(ln )2()(222221222211221x x x x x x x x x h x h ---=---=- 令)2(2ln ln 32)(2>-++-=t t t t t F ， 则323)1()2(341)('t t t t t t F +-=+--=，当2>t 时，0)('<t F ，所以)(t F 是减函数，所以0232ln 2)2()(<-=<F t F ， 11)('-=xx g所以当21>x 时，0)2()(221<-x h x h ， 因为12,0221<<x x ，)(x h 在)1,0(上单调递增，所以2212x x <.22.解：（1）直线l 的极坐标方程为πcos(+)=33ρθ 所以3sin 23cos 21=-θρθρ，即32321=-y x因为t 为参数，若t y 2132+-=，代入上式得t x 23=，所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==ty tx 213223（t 为参数）（2）由)0(cos 4>=a a θρ，得)0(cos 42>=a a θρρ，由θρθρsin ,cos ==y x 代入，得)0(422>=+a ax y x ，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立， 得012)1(322=++-t a t （*），04)1(124)]1(32[22>-+=⨯-+=∆a a ，12),1(322121=+=+t t a t t ，设点Q P ,分别对应参数21,t t 恰为上述方程的根，则||||,||,||2121t t PQ t MQ t MP -===，由题设得21221||t t t t =-， 则有060)]1(32[2=-+a ，得15-=a 或15--=a ， 因为0>a ，所以15-=a .23.解：（1）不等式3)(≤x f 可化为3|2||32|≥+--x x ，则 ⎩⎨⎧≤++--≤32322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤<-3232322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--->322332x x x解得2743≤≤-x ，所以不等式3)(≤x f 的解集为}2743|{≤≤-x x .（2）不等式|2|41)(x a x f +--≤等价于a x x a -≤++-|2|3|3| 即a x x a -≤++-1|2|3|3|，因为|6||363||36||3||2|3|3|+=++-≥++-=++-a x x a x x a x x a 若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立，则a a -≤+1|6|，解得25-≤a ，实数a 的取值范围是]25,(--∞.。
四川省泸州市2018届高三高考模拟考试数学(文)试卷(含答案)
四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为，且(是虚数单位)，则在复平面内，复数对应的z z ()310z i +=i z 点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，，则（ ）{|25}A x x =-<<{1}B x y x ==-A B = A ． B ． C ． D ．(2,1)-(0,1][1,5)(1,5)3.阅读如下框图，运行相应的程序，若输入的值为10，则输出的值为（ ）n nA ．0B ．1C ．3D ．44.已知函数是上的奇函数，则（ ）(),0()21,0g x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩R (3)g =A ．5 B ．-5 C ．7 D ．-75.“”是“直线和直线互相垂直”的（ ）1a =20ax y +-=70ax y a -+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知函数在处取得最大值，则函数的图像（ ）sin(2)y x ϕ=+6x π=cos(2)y x ϕ=+A ．关于点对称 B ．关于点对称 C.关于直线对称 D ．关于(0)6π，(0)3π，6x π=直线对称3x π=7.若实数满足，则的取值范围是( )a 142log 1log 3a a >>a A. B. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D.3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在中，角为，边上的高恰为边长的一半，ABC △B 34πBC BC 则( )cos A =2555523539．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．136π B ．144π C ．36π D ．34π10.若函数，则函数的零点个数是（ ）()f x x =12()log y f x x =-A ．5个 B ．4个 C. 3个 D ．2个11.已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，2:4C y x =F l A l ∈AF C B 若，3FA FB = 则（ ）AF = A ．3 B ．4 C.6 D ．712．已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且ABC ∆P CP =的取值范围是（ ）()PC PA PB ⋅+ A ． B ． C ． D ．[]0,1230,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,6[]0,3二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算： ．=-3log 87732log 14.若，满足约束条件，则的最大值为 ．x y 001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩12y z x +=+15.已知，则 ．2)4tan(=-πα=-22sin(πα16.已知双曲线的中心为坐标原点，点是双曲线的一个焦点，过点作渐近线C (2,0)F C F 的垂线，垂足为，直线交轴于点，若，则双曲线的方程为 l M l y E 3FM ME =C ．三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本大题满分12分）已知数列的前项和是，且.{}n a n n S ()21n n S a n =-∈*N（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）令，求数列前项的和.2log n n b a =(){}21n n b -2n T18.（本大题满分12分）2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：,,,，，，得到[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[]70,80如图所示的频率分布直方图.问：（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选[)2040，派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在的概率.[)3040，19．（本大题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.P ABCD -60ABC ∠=E DP（Ⅰ）证明：平面；//PB ACE （Ⅱ）若，求三棱锥的体积.2AP PB ==2AB PC ==C PAE -20.（本大题满分12分）已知动点.(,)M x y =（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；M E （Ⅱ）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点(1,0)N -l E ,A B A x C与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.C B BC 21.（本大题满分12分）已知函数，()ln f x x =()(1)g x a x =-（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；2a =()()()h x f x g x =-（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；1x >x ()()f x g x <a （Ⅲ）若数列满足，，记的前项和为，求证：{}n a 11n n a a +=+33a ={}n a n n S .ln(1234)n n S ⨯⨯⨯⨯⨯< 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，抛物线的方程为.xOy C 24y x =（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；x C（Ⅱ）直线的参数方程是(为参数)，与交于两点，l 2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩t l C ,A B AB =的倾斜角.l 23.（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.()|3||2|f x a x x =--+（Ⅰ）若，解不等式；2a =()3f x ≤（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.a ()14|2|f x a x --+≤a 四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试文数学答案1-5:ACCAA 6-10:ACADD 11-12:BA13. 14. 15. 16.34-2541322=-y x 17．解：（Ⅰ）由得，112121n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩()12,1n n a a n n -=∈≥*N 于是是等比数列.{}n a 令得，所以.1n =11a =12n n a -=（Ⅱ），122log log 21n n n b a n -===-于是数列是首项为0，公差为1的等差数列.{}n b ，2222221234212n n T b b b b b b -=-+-+--+L 123212n n b b b b b -=+++++L 所以.()()221212n n T n n -==-18. 解（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为，则x ，解得，()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=55x =即80名群众年龄的中位数55．（Ⅱ）由已知得，年龄在中的群众有人，[20,30）0.0051080=4⨯⨯年龄在的群众有人， 按分层抽样的方法随机抽取年龄在的[30,40）0.011080=8⨯⨯[20,30）群众人，记为1，2；随机抽取年龄在的群众人， 记为46248⨯=+[30,40）86=448⨯+.则基本事件有：,,,a b c d ()()()()(),,,,,,,,1,,,2,,,,a b c a b d a b a b a c d ，()()()(),,1,,,2,,,1,,,2a c a c a d a d ()()()()(),,,,,1,,,2,,,1,,,2,b c d b c b c b d b d 共20个，参加座谈的导游中有3名群()(),,1,,,2,c d c d ()()()(),1,2,,1,2,,1,2,,1,2a b c d 众年龄都在的基本事件有：共4个，设事件[30,40）()()(),,,,,,,,,a b c a b d a c d (),,,b c d 为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在”，则A [30,40） 41()205p A ==19．（Ⅰ）证明：如图，连接BD ，BD AC F = ，连接EF ，∵四棱锥P ABCD -的底面为菱形，∴F 为BD 中点，又∵E 是DP 中点，∴在BDP △中，EF 是中位线，//EF PB ∴，又∵EF ⊂平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ，//PB ∴平面ACE ．（Ⅱ）解：如图，取AB 的中点Q ，连接PQ ，CQ ，∵ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，∴ABC △为正三角形，CQ AB ⊥∴，AP PB ==∵，2AB PC ==，CQ =∴，且PAB △为等腰直角三角形，即90APB ∠=︒，PQ AB ⊥，且1PQ =，222PQ CQ CP +=∴，PQ CQ ⊥∴，又AB CQ Q = ，PQ ⊥∴平面ABCD，111112122232C PAE E ACP D ACP P ACD V V V V ----===== ∴．20.解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q 的距离之和为22且22PQ <M 的轨迹为椭圆，而2a =1c =，所以1b =，所以，动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=. （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：(1)y k x =+由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+， 直线BC 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---，令0y =，则1221121212122112122()2()2()2()2x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -.21.解：（Ⅰ）由，得.所以2a =()()()ln 22,(0)h x f x g x x x x =-=-+>'112()2x h x x x-=-= 令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间'()0h x <12x >0x <()()()h x f x g x =-为 1(,)2+∞（Ⅱ）由得，()()f x g x <(1)ln 0a x x -->当时，因为，所以显然不成立，因此.0a ≤1x >(1)ln 0a x x -->0a >令，则，令，得.()(1)ln F x a x x =--'1()1()a x a F x a x x-=-='()0F x =1x a =当时，，，∴，所以，即有1a ≥101a<≤'()0F x >()(1)0F x F >=(1)ln a x x ->.()()f x g x <因此时，在上恒成立.1a ≥()()f x g x <(1,)+∞②当时，，在上为减函数，在上为增函数，01a <<11a >()F x 1(1,a 1(,)a+∞∴，不满足题意.min ()(1)0F x F <=综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是()()f x g x <(1,)+∞a [1,)+∞（III ）证明：由知数列是的等差数列，所以131,3n n a a a +=+={}n a 33,1a d ==3(3)n a a n d n=+-=所以1()(1)22n n n a a n n S ++==由（Ⅱ）得，在上恒成立.ln (1)1x a x x x <-≤-<(1,)+∞所以. 将以上各式左右两边分别相加，得ln 22,ln 33,ln 44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<.因为ln 2ln 3ln 4ln 234n n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ln101=<所以(1)ln1ln 2ln 3ln 4ln 12342n n n n n S +++++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+==所以ln(1234)nn S ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<22.解：(1)∵，代入，∴cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩24y x =2sin 4cos 0ρθθ-=(2)不妨设点，对应的参数分别是，，A B 1t 2t 把直线的参数方程代入抛物线方程得：，l 22sin 4cos 80t t αα-⋅-=∴，则，∴，∴或12212224cos sin 8sin 1616sin 0t t t t αααα⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪∆=+>⎪⎩12AB t t =-==sin α=4πα=.34πα=23.解：（Ⅰ）不等式化为，则()3f x ≤|23||2|3x x --+≤22323x x x -⎧⎨-++⎩≤≤或，或，2232323x x x ⎧-<⎪⎨⎪---⎩≤≤233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---⎩≤解得，3742x -≤≤所以不等式的解集为；()3f x ≤37{|}42x x -≤≤（Ⅱ）不等式等价于()14|2|f x a x --+≤|3|3|2|1a x x a -++-≤即，|3|3|2|1a x x a -++-≤因为，|3|3|2||3||63||363||6|a x x a x x a x x a -++=-++-++=+≥若存在实数，使不等式成立，a ()14|2|f x a x --+≤则，|6|1a a +-≤解得：，实数的取值范围是52a -≤a 5(]2-∞-，。
四川省泸州泸县第五中学2018届高三第一次适应性考试高
四川省泸县第五中学2018届高考模拟考试数学（理科）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==0,)31(x y y P x ，{})24ln(2x x y x Q -==，则P ∩Q=（ ）A ．（0，1]B ．∅C ．（0，2）D ．{0}2．已知i m m m z )23(2222+-+-=（m ∈R ，i 为虚数单位），则“m =﹣1”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A ．14 B ．12 C ．8π D ．4π4.已知双曲线C 的中心为原点，点F 是双曲线C 的一个焦点， 点F 到渐近线的距离为1，则C 的方程为（ ）A ．221x y -= B ．2212y x -= C. 22123x y -= D ．22133x y -= 5. 某几何体的三视图如图(1)所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A6.6)2)(1(--x x 的展开式中3x 的系数为（ ）A ．400-B ．80 C.80- D ．4007.为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为123a a a ，传输信息为11232h a a a h ，其中112h a a =⊕，213h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（ ） A ．01100 B ．11010 C ．10110 D ．11000 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．410．若3x =是函数()()21xf x x ax e =++的极值点，则()f x 的极大值等于（ ）A ．-1B ．3C ．32e -D ．16e -11.棱长为2的正八面体（八个面是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，球O 的表面积为（ ）A ．83π B ．43π D 12.如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =,点E 在线段AC 上,且25AE AC =,双曲线过C D E 、、三点，以A B 、为焦点; 则双曲线离心率e 的值为（ ）A ．32 B 2D ．2 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知138a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14．已知焦点在坐标轴上，中心是原点的双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点()2,3，则双曲线的焦点到渐近线的距离等于 ．15．函数()2sin f x x x π=+，则不等式()212f x -≤-≤的解集为 ． 16.设函数()(12)xf x e x ax =-+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得0()f x a >，则实数a 的取值范围是三.解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列{}n a 满足132n n a a +=+，且12a =. （Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）数列{}n b 满足3log (1)n n b a =+，判断数列2211{}n n b b +的前n 项和n T 与12的大小关系，并说明理由.18.第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（Ⅰ）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(II)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（Ⅰ）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (II)求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为(0,1)B ，1ABF ∆的面积为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II)设直线l ：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤. （Ⅰ）求实数a 的值； (II)令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； (II)直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()3f x ≤的解集；(II)若不等式2()6f x a a <-解集非空，求实数a 的取值范围.四川省泸县第五中学2018届高考模拟考试数学（理科）答案一．选择题1-12 ACCAD DDBBD AB 二．填空题 13.31 14.24 15.[]2,0 16.253[,)32e e17.（Ⅰ）由题意可得11333(1)n n n a a a ++=+=+，即1(1)3(1)n n a a ++=+，又1130a +=≠，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知13n n a +=，即33log (1)log 3n n n b a n =+==. 故)121121(21)12()12(1)12(211122+--=+⋅-<+⋅=+n n n n n n b b n n∴21)1211(21)121121(21)5131(21)311(21<+-=+--++-+-<n n n T n ，故12n T < 18.解：（1）由题意得下表：2k 的观测值为2120(1200600)70506060-⨯⨯⨯242.7067=>.所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2.且2426(0)C P C ξ==62155==，114226(1)C C P C ξ==815=，2226(2)C P C ξ==115=，所以ξ的分布列为()01515E ξ=⨯+⨯215153+⨯==.19.解：（ 1）连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=， ∴DBF ∆为等边三角形.∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥.∵AB BC ⊥，AB BC ==D 是AC 的中点， ∴BD AC ⊥. ∵平面BDEF平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥. 由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =，∴BF ⊥平面AMC .（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,1,0)A -，1(,0,)22E -，1(,0,22F ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C .∴1(2AE =-，(1,0,0)EF =，1(2BF =-，(1,1,0)BC =-. 设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =.由00AE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111102102x y z x ⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.解得112y z =-. 取12z =-，∴2)m =-.又由00BC n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222201022x y x z -+=⎧⎪⇒⎨-+=⎪⎩解得22y =. 取21z =，∴(3,3,1)n =. ∵cos ,m n <>m n m n⋅=17==.∴平面AEF与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为17.20.解：（1）由已知，有1b =. 又111()22ABF S a c b ∆=-=，∴1a c -=. ∵222a b c =+， ∴a =∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）①当0k =时，点P 即为坐标原点O ，点Q 即为点2F ，则1PQ =，12FQ =. ∴12PQ FQ ⋅=. ②当0k ≠时，直线l 的方程为(1)y k x =+. 则直线m 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(12)4k x k x ++2220k +-=. 此时28(1)0k ∆=+>.∴2122412k x x k -+=+，1212(2)y y k x x +=++2212k k =+. ∴2222(,)1212k kP k k-++. ∵PQ 即点P 到直线m 的距离，∴PQ =2=.又1FQ 即点1F 到直线m的距离，∴1FQ =.∴21222(13)(12)(1)k PQ FQ k k +⋅=++. 令213(1)k t t +=>，则213t k -=. ∴118(12)(2)tPQ FQ t t ⋅=++1812()5t t=++182225<=⨯+. 即0k ≠时，有102PQ FQ <⋅<. 综上，可知1PQ FQ ⋅的取值范围为(0,2].21. 解：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，则22'()ath t a t t-=-=， 当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在(0,)+∞上单调递增， 由于(1)0h =，所以当1t >时，()(1)0h t h >=，不合题意.当0a >时，2'()a t a h t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，'()0h t >；当2t a>时，'()0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()h t 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即max 2()h t h a ⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln 22ln a a =-+-.所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤， 亦即22ln 22ln 0a a -+-≤，令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则22'()1a a a aϕ-=-=， 所以当02a <<时，'()0a ϕ<；当2a >时，'()0a ϕ>，即()a ϕ在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2， 即2a =.法2：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，由于(1)0h =，故2ln 0a at t -+≤()(1)h t h ⇔≤， 所以(1)h 为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故'(1)0h =.又22'()at h t a t t -=-=，所以2a =， 此时2(1)'()t h t t-=，当01t <<时，'()0h t >，当1t >时，'()0h t <，即：()h t 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减.故2a =合题意.（2）由（1）知()()xf x g x x a =-22ln (2)2x x x x x +=>-， 所以22(2ln 4)'()(2)x x g x x --=-， 令()2ln 4s x x x =--，则22'()1x s x x x -=-=， 由于2x >，所以'()0s x >，即()s x 在(2,)+∞上单调递增；又(8)0s <，(9)0s >， 所以0(8,9)x ∃∈，使得0()0s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在0(2,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增.所以min 0()()g x g x =000022ln 2x x x x +=-2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-） 即0m x =，所以0()()f m f x =0022ln 2(6,7)x x =+=-∈，即6()7f m <<.22．解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ． （II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得． 设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由，解得． ∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ |=2．23.解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为：3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞.（Ⅱ）因为()23(2)(3)5f x x x x x =--+≤--+= 所以5()5f x -≤≤，即()f x 的最小值为5-， 要不等式2()6f x a a <-解集非空，需2min ()6f x a a <-， 从而2650a a -+>，解得1a <或5a >，所以a 的取值范围为()(),15,-∞+∞U .。
四川省泸州市2018届高三高考模拟考试数学文试题 含答案 精品
四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 的共轭复数为z ，且()310z i +=(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{|25}A x x =-<<，{B x y ==，则A B =（ ）A ． (2,1)-B ．(0,1]C ．[1,5)D ．(1,5) 3.阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n 的值为10，则输出n 的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．44.已知函数(),0()21,0g x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩是R 上的奇函数，则(3)g =（ ）A ．5B ．-5C ．7D ．-7 5.“1a =”是“直线20ax y +-=和直线70ax y a -+=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图像（ ）A ．关于点(0)6π，对称B ．关于点(0)3π，对称 C.关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称7.若实数a 满足142log 1log 3aa >>，则a 的取值范围是( ) A.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.23,34⎛⎫⎪⎝⎭ C.3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在ABC △中，角B 为34π，BC 边上的高恰为BC 边长的一半， 则cos A =( )C.239．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．136π B ．144π C ．36π D ．34π 10.若函数()f x x =，则函数12()log y f x x =-的零点个数是（ ）A ．5个B ．4个 C. 3个 D ．2个11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB =，则AF =（ ）A ．3B ．4 C.6 D ．712．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且3CP =则()PC P A P B ⋅+的取值范围是（ ）A ．[]0,12B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,6D ．[]0,3二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算：=-3log 87732log ．14.若x ，y 满足约束条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则12y z x +=+的最大值为 ．15.已知2)4tan(=-πα，则=-)22sin(πα ． 16.已知双曲线C 的中心为坐标原点，点(2,0)F是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若3F M M E =，则双曲线C 的方程为 ．三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本大题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()21n n S a n =-∈*N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n b a =，求数列(){}21nnb -前2n 项的和T .18.（本大题满分12分）2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30,[)30,40,[)40,50,[)50,60，[)60,70，[]70,80，得到如图所示的频率分布直方图.问： （Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在[)2040，中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在[)3040，的概率.19．（本大题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=，E 是DP 中点.（Ⅰ）证明：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）若AP PB ==2AB PC ==，求三棱锥C PAE -的体积.20.（本大题满分12分）已知动点(,)M x y （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标.21.（本大题满分12分）已知函数()ln f x x =，()(1)g x a x =-（Ⅰ）当2a =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间；（Ⅱ）若1x >时，关于x 的不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若数列{}n a 满足11n n a a +=+，33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：ln(1234)n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于,A B 两点，AB =求l的倾斜角.23.（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3||2|f x a x x =--+. （Ⅰ）若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数a ，使得不等式()14|2|f x a x --+≤成立，求实数a 的取值范围.四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试文数学答案1-5:ACCAA 6-10:ACADD 11-12:BA13.34- 14.2 15.54 16.1322=-y x 17．解：（Ⅰ）由112121n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩得()12,1n n a a n n -=∈≥*N ，于是{}n a 是等比数列.令1n =得11a =，所以12n n a -=. （Ⅱ）122log log 21n n n b a n -===-， 于是数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列.2222221234212n n T b b b b b b -=-+-+--+L 123212n n bb b b b -=+++++L ， 所以()()221212n n T n n -==-.18. 解（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为x ，则()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得55x =，即80名群众年龄的中位数55．（Ⅱ）由已知得，年龄在[20,30）中的群众有0.0051080=4⨯⨯人，年龄在[30,40）的群众有0.011080=8⨯⨯人， 按分层抽样的方法随机抽取年龄在[20,30）的群众46248⨯=+人，记为1，2；随机抽取年龄在[30,40）的群众86=448⨯+人， 记为,,,a b c d .则基本事件有：()()()()(),,,,,,,,1,,,2,,,,a b c a b d a b a b a c d()()()(),,1,,,2,,,1,,,2a c a c a d a d ，()()()()(),,,,,1,,,2,,,1,,,2,b c d b c b c b d b d()(),,1,,,2,c d c d ()()()(),1,2,,1,2,,1,2,,1,2a b c d 共20个，参加座谈的导游中有3名群众年龄都在[30,40）的基本事件有：()()(),,,,,,,,,a b c a b d a c d (),,,b c d 共4个，设事件A 为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在[30,40）”，则41()205p A == 19．（Ⅰ）证明：如图，连接BD ，BD AC F =，连接EF ，∵四棱锥P ABCD -的底面为菱形，∴F 为BD 中点，又∵E 是DP 中点， ∴在BDP △中，EF 是中位线，//EF PB ∴，又∵EF ⊂平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ，//PB ∴平面ACE ． （Ⅱ）解：如图，取AB 的中点Q ，连接PQ ，CQ ，∵ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，∴ABC △为正三角形，CQ AB ⊥∴，AP PB ==∵，2AB PC ==，CQ =∴，且PAB △为等腰直角三角形，即90APB ∠=︒， PQ AB⊥，且1PQ =，222PQ CQ CP +=∴，PQ CQ ⊥∴，又ABCQ Q=，PQ ⊥∴平面ABCD ，11111323122232C PAE E ACPD ACP P ACD V V V V ----=====∴．20.解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q 的距离之和为且PQ <M 的轨迹为椭圆，而a =1c =，所以1b =，所以，动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：(1)y k x =+由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，直线BC 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---， 令0y =，则1221121212122112122()2()2()2()2x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -.21.解：（Ⅰ）由2a =，得()()()l n 22h x f x g x x x x =-=-+>.所以'112()2x h x x x-=-= 令'()0h x <，解得12x >或0x <（舍去），所以函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间为 1(,)2+∞ （Ⅱ）由()()f x g x <得，(1)ln 0a x x -->当0a ≤时，因为1x >，所以(1)ln 0a x x -->显然不成立，因此0a >.令()(1)ln F x a x x =--，则'1()1()a x a F x a x x-=-=，令'()0F x =，得1x a =. 当1a ≥时，101a<≤，'()0F x >，∴()(1)0F x F >=，所以(1)ln a x x ->，即有()()f x g x <.因此1a ≥时，()()f x g x <在(1,)+∞上恒成立. ②当01a <<时，11a >，()F x 在1(1,)a 上为减函数，在1(,)a+∞上为增函数， ∴min ()(1)0F x F <=，不满足题意.综上，不等式()()f x g x <在(1,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是[1,)+∞（III ）证明：由131,3n n a a a +=+=知数列{}n a 是33,1a d ==的等差数列，所以3(3)n a a n d n =+-=所以1()(1)22n n n a a n n S ++== 由（Ⅱ）得，ln (1)1x a x x x <-≤-<在(1,)+∞上恒成立.所以ln 22,ln33,ln 44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<. 将以上各式左右两边分别相加，得ln 2ln 3ln 4ln 234n n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+.因为ln101=<所以(1)ln1ln 2ln 3ln 4ln 12342n n n n n S +++++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+== 所以ln(1234)n n S ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<22.解：(1)∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入24y x =，∴2sin 4cos 0ρθθ-=(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：22sin 4cos 80t t αα-⋅-=，∴12212224cos sin 8sin 1616sin 0t t t t αααα⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪∆=+>⎪⎩，则12AB t t =-==sin α=4πα=或34πα=. 23.解：（Ⅰ）不等式()3f x ≤化为|23||2|3x x --+≤，则22323x x x -⎧⎨-++⎩≤≤或2232323x x x ⎧-<⎪⎨⎪---⎩≤≤，或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---⎩≤， 解得3742x -≤≤，所以不等式()3f x ≤的解集为37{|}42x x -≤≤；（Ⅱ）不等式()14|2|f x a x --+≤等价于|3|3|2|1a x x a -++-≤ 即|3|3|2|1a x x a -++-≤，因为|3|3|2||3||63||363||6|a x x a x x a x x a -++=-++-++=+≥， 若存在实数a ，使不等式()14|2|f x a x --+≤成立， 则|6|1a a +-≤，解得：52a -≤，实数a 的取值范围是5(]2-∞-，。
四川省泸州市2018届高三高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数为，且(是虚数单位)，则在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的运算法则可得，z，利用几何意义即可得出．详解：由，可得∴=，即复数对应的点位于第一象限.故选：A点睛：本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 设集合,己知,那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据集合的定义与性质，即可求出的取值范围．详解：∵集合∴集合∵集合，且∴故选C.点睛：本题考查了交集的定义与应用问题，意在考查学生的计算求解能力．3. 阅读如下框图，运行相应的程序，若输入的值为10，则输出的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案详解：当n=10时，不能被3整除，故n=9，不满足退出循环的条件；当n=9时，能被3整除，故n=3，满足退出循环的条件；故输出的n=3，故选：C．点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；（5）输出累加（乘）值．4. 已知函数是上的奇函数，则（）A. 5B. -5C. 7D. -7【答案】A【解析】∵函数是上的偶函数，∴故选：B5. 设，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A. ，，则B. ，，，则C. ，，，，则D. ，，则【答案】D【解析】分析：在A 中，a∥或a⊂；在B中，a与b平行或异面；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的性质定理得a∥．详解：由a，b是空间中不同的直线，，是不同的平面，知：在A 中，a∥b，b⊂，则a∥或a⊂，故A错误；在B中，a⊂，b⊂，∥，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂，b⊂，∥，b∥β，则与相交或平行，故C错误；在D中，∥，a⊂，则由面面平行的性质定理得a∥，故D正确．故选：D．点睛：本题考查线面位置关系的判断，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6. 已知函数在处取得最大值，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】∵函数在处取得最大值，∴，解得，∴。
四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷
四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷一、单选题 (共12题；共12分)1．（1分）已知集合A={(x,y)|y=−x+2}，B={(x,y)|y=2x}，则A∩B元素的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（1分）命题“ ∀x∈R，e x>x+1（e是自然对数的底数）”的否定是（）A．不存在，使B．，使C．，使D．，使3．（1分）已知函数f(x)=tanx1−tan2x，则函数f(x)的最小正周期为（）A．B．C．D．4．（1分）设a=(12)13，b=(13)12，c=ln(3π)，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．5．（1分）函数f(x)=xcosx−sinx的图象大致为（）A．B．C．D．6．（1分）若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“ l⊥m”是“ l//α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（1分）正数a，b，c满足3a=4b=6c，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．8．（1分）在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．（1分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的函数图象关于直线x=5π6对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．10．（1分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则cos(α−β)的值为（）A．B．C．D．11．（1分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．12．（1分）已知函数 f(x)=e x−1−alnx +(a −1)x +a(a >0) 的值域与函数 f(f(x)) 的值域相同，则 a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）使不等式 log 12(x −2)>0 成立的 x 的取值范围是 .14．（1分）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 asinA =csinC +(a −b)sinB ，则角 C 的大小为 .15．（1分）已知函数 f(x)={2−x +1,x ≤0−√x,x >0，则 f(x +1)−9≤0 的解集为 . 16．（1分）长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =AA 1=2AD ， E 是 DD 1 的中点， BF =C 1K =14AB ，设过点 E 、 F 、 K 的平面与平面 AC 的交线为 l ，则直线 l 与直线 A 1D 1 所成角的正切值为 .三、解答题 (共7题；共14分)17．（2分）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 a =6 ， cosA =18 .（1）（1分）若 b =5 ，求 sinC 的值；（2）（1分）ΔABC 的面积为 15√74，求 b +c 的值.18．（2分）已知函数 f(x)=ax −2sinx +xcosx .（1）（1分）求曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线在 y 轴上的截距；（2）（1分）若函数 f(x) 在区间 [0,π2] 上是增函数，求实数 a 的取值范围.19．（2分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) 都在单位圆 O 上， ∠xOA =α ，且 α∈(π3,π2) .（1）（1分）若 sin(α+π6)=1314，求 x 1 的值；（2）（1分）若 ∠AOB =π3 ，求 y =x 12+y 22 的取值范围. 20．（2分）如图，在四棱锥 P −ABCD 中，平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形，且 ∠BCD =π4 ， PD ⊥BC .（1）（1分）求证： PC =PD ；（2）（1分）若底面 ABCD 是菱形， PA 与平面 ABCD 所成角为 π6 ，求平面 PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.21．（2分）已知函数 f(x)=(x −a)lnx +12x(a >0) .（1）（1分）若 f′(x) 是 f(x) 的导函数，讨论 g(x)=f′(x)−x −alnx 的单调性；（2）（1分）若 a ∈(12e,2√e) （ e 是自然对数的底数），求证： f(x)>0 .22．（2分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin 2θ=2acosθ(a >0) ，过点 P(−2,−4) 的直线 l 的参数方程为{x=−2+5ty=−4+5t（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点. （1）（1分）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）（1分）若|PA||PB|=|AB|2，求a的值.23．（2分）已知定义在R上的函数f(x)=|x−m|+|x|，m∈N∗，若存在实数x使f(x)<2成立.（1）（1分）求实数m的值；（2）（1分）若a>1，b>1，f(a)+f(b)=4，求证：4a+1b>3.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵集合 A ={(x,y)|y =−x +2} ， B ={(x,y)|y =2x } ，∴A∩B={（x ，y ）| {y =−x +2y =2x }={（1，1）}． ∴集合A∩B 的元素个数是1个． 故答案为：B ．【分析】根据集合中元素的特点，求出直线与曲线交点坐标即可.2．【答案】D【解析】【解答】命题““ ∀x ∈R ， e x >x +1 ”的否定是 ∃x ∈R ，使 e x ≤x +1 ，故答案为：D ．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接写出其否定即可.3．【答案】C【解析】【解答】 f(x)=tanx 1−tan 2x =sinxcosx 1−sin 2x cos 2x =sinxcosx cos 2x−sin 2x=12sin2x cos2x =12tan2x ， ∴f(x) 的最小正周期为 π2 ，故答案为：C.【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系，化简，结合正切函数的最小正周期，即可求出函数f （x ）的最小正周期.4．【答案】A【解析】【解答】利用 y =(12)x 与 y =x 12 的单调性可知：a =(12)13>(12)12>(13)12=b >0 ，又 c =ln(3π)<ln1=0∴a >b >c 故答案为：A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量进行比较即可.5．【答案】D【解析】【解答】因为 f(−x)=−xcosx +sinx =−xcosx −sinx =−f(x) ，所以函数 f(x)=xcosx −sinx 是奇函数， 函数图象关于原点对称，可排除选项 B,C ,由 f(π2)=−1<0 ，可排除选项 A ，故答案为：D.【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊点，逐一排除，即可确定函数的大致图象.6．【答案】B【解析】【解答】若 l ⊥m ，因为 m 垂直于平面 α ，则 l//α 或 l ⊂α ；若 l//α ，又 m 垂直于平面 α ，则 l ⊥m ，所以“ l ⊥m ”是“ l//α 的必要不充分条件， 故答案为：B ．【分析】根据空间直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.7．【答案】B【解析】【解答】因为 a,b,c >0 ，且3a =4b =6c =k ∴a =log 3k,b =log 4k,c =log 6k∴2c =2a +1b故答案为：B【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算性质，即可确定正确的关系式.8．【答案】A【解析】【解答】∵在梯形ABCD 中，∠ABC= π2 ，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，∴将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是： 一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1， 高为BC ﹣AD=2﹣1=1的圆锥， ∴几何体的表面积为：S=π×12+2π×1×2+ π×1×√12+12 =（5+ √2 ）π． 故答案为：A ．【分析】根据旋转成的几何体的结构特征，结合圆锥的表面积计算公式，即可求出几何体分表面积.9．【答案】A【解析】【解答】由最大值为 2√3 ，得 A =2√3 ， 由 T 2=43π−π3=π ，得 T =2π=2πω,ω=1 ，f(x)=2√3sin(x +φ) ，∵f(π3)=0,∴π3+φ=kπ ， ∵|φ|<π2,∴φ=−π3 ， f(x)=2√3sin(x −π3) ，将函数 y =f(x) 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 14 ，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移 θ(θ>0) 个单位长度，得到 g(x)=2√3sin[4(x −θ)−π3]=2√3sin(4x −4θ−π3) ， ∵g(x) 图象关于 x =56 对称， ∴4×56π−4θ−π3=kπ+π2 ，4θ=−kπ+5π2 ，k =2 时， θ 最小为 π8 ，故答案为：A.【分析】根据图象最高点的纵坐标求出A ，结合函数的周期求出ω，结合特殊点求出φ ，通过函数的对称轴，即可求出θ 的最小值.10．【答案】D【解析】【解答】设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为9：25， 可得：小正方形的边长为 35，可得：cosα﹣sinα= 35 ，①sinβ﹣cosβ= 35，②由图可得：cosα=sinβ，sinα=cosβ，①×②可得： 925 =cosαsinβ+sinαcosβ﹣cosαcosβ﹣sinαsinβ=sin 2β+cos 2β﹣cos （α﹣β）=1﹣cos （α﹣β），解得：cos （α﹣β）= 1625． 故答案为：D ．【分析】根据图形关系求出三角函数值，结合两角差的余弦公式，即可求出相应的三角函数值.11．【答案】D【解析】【解答】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个 14球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为 13×4×2×2=163. 而 14 球体的体积为 14×43π×(2)3=83π .故组合体的体积为16+8π3故答案为：D【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据棱锥的体积公式和球体的体积公式，即可求出组合体分体积.12．【答案】C【解析】【解答】f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=e x−1−ax+a−1，在（0，+∞）递增．而f′（1）=e0﹣a+a﹣1=0，则f（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，f（1）=2a．∴f（x）的值域为[2a，+∞）．要使y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，只需2a≤1，又a＞0，解得0＜a ≤12．故答案为：C．【分析】求出函数的定义域，求导数，利用导数判定函数的单调性，根据单调性表示函数的值域，即可求出实数a的取值范围.13．【答案】【解析】【解答】∵log12(x−2)>0=log121∴0<x−2<1，即2<x<3故答案为：(2,3)【分析】根据对数函数的真数大于0，解对数不等式，即可求出x的取值范围. 14．【答案】【解析】【解答】∵asinA=csinC+(a−b)sinB，∴由正弦定理可得a×a2a =c×c2R+(a−b)×b2R，化为a2+b2−c2=ab，cosC=a2+b2−c22ab=12，C=π3，故答案为π3 .【分析】根据正余弦定理，边角转化，即可求出角C.15．【答案】【解析】【解答】 ∵ f(x)={2−x +1,x ≤0−√x,x >0 ， ∴ 当 x +1≤0 时， {x ≤−12−(x+1)−8≤0 ，解得 −4≤x ≤−1 ； 当 x +1>0 时， {x >−1−√x +1−9≤0 ，解得 x >−1 ， 综上， x ≥−4 ，即 f(x +1)−9≤0 的解集为 [−4,+∞) ， 故答案为 [−4,+∞) .【分析】对x+1的取值分类讨论，分别代入相应的区间，解不等式组，即可求出不等式的解集.16．【答案】4【解析】【解答】延长KE ，CD 交于M 点，又DE CK =23∴MD MC =23同样延长KF ，CB 交于N 点，又 BF CK =13∴NB NC =13MN 即为过点 E 、 F 、 K 的平面与平面 AC 的交线为 l ，又CN 平行于 A 1D 1 即MN 与CN 所成角为所求，记所成角为 θ则 tanθ=MC NC =3CD32BC=4 故答案为：4【分析】根据正方体的结构特征，通过作平行线得到异面直线所成的角，即可求出相应的正切值.17．【答案】（1）解：由 cosA =18 ，则 0<A <π2 ，且 sinA =3√78，由正弦定理 sinB =b a sinA =5√716，因为 b <a ，所以 0<B <A <π2 ，所以 cosB =916，sinC =sin(A +B) =sinAcosB +cosAsinB =√74（2）解： S ΔABC =12bcsinA =12bc ×3√78=15√74，∴bc =20 ，a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−2×20×18=36 ，∴b 2+c 2=41 ， (b +c)2=b 2+c 2+2bc =41+40=81 ， ∴b +c =9【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可求出sinC ；（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，即可求出b+c.18．【答案】（1）解：因为 f′(x)=a −2cosx +cosx −xsinx =a −cosx −xsinx ，当 x =π 时， f(π)=aπ−π ， f′(π)=a +1 ， 所以曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线方程为： y −(aπ−π)=(a +1)(x −π) ， 令 x =0 得： y =−2π ，所以曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线在 y 轴上的截距为 −2π（2）解：因为 f(x) 在区间 [0,π2] 上是增函数， 所以 f′(x)≥0 在区间 [0,π2] 上恒成立，则 a −cosx −xsinx ≥0 ，即 a ≥cosx +xsinx ， 令 g(x)=cosx +xsinx ，则 g′(x)=−sinx +sinx +xcosx =xcosx ≥0 ，所以 g(x) 在区间 [0,π2] 上单调递增， 所以 g(x)max =g(π2)=π2 ， 故实数 a 的取值范围是 [π2,+∞) .【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，结合点斜式，求出切线方程，即可得到切线在y 轴的截距；（2）根据增函数，导函数大于等于0，构造函数g （x ），确定函数的单调区间，求出g （x ）的最大值，即可求出实数a 的取值范围.19．【答案】（1）解：由三角函数的定义有 x 1=cosα ， 因为 sin(α+π6)=1314， α∈(π3,π2) ，所以 π2<α+π6<5π6 ， cos(α+π6)=−3√314，所以 x 1=cosα=cos[(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cos π6+sin(α+π6)sin π6=−3√314⋅√32+1314⋅12=17（2）解：由题知 x 1=cosα ， y 2=sin(α+π3)y =x 12+y 22=cos 2α+sin 2(a +π3) =1+cos2α2+1−cos2(α+π3)2， =1+34cos2α+√34sin2α =√32sin(2α+π3)+1 ，α∈(π3,π2) ， 2α+π3∈(π,4π3) ，sin(2α+π3)∈(−√32,0) ， √32sin(2α+π3)+1∈(14,1) .所以 y 的取值范围是 (14,1) .【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，结合两角差是余弦公式，即可求出相应的三角函数值；（2）根据余弦的二倍角公式及辅助角公式，结合不等式的性质，即可求出y 的取值范围.20．【答案】（1）证明：过 P 作 PE ⊥BC ，垂足为 E ，连接 DE ，因为平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ，所以 PE ⊥ 平面 ABCD ， 因为 PD ⊥BC ，所以 BC ⊥ 平面 PDE ，所以 DE ⊥BC ，因为 ∠BCD =π4 ，所以 DE =EC ，因为 ΔPED ≌ΔPEC ，所以 PD =PC .（2）解：解法一：因为 BC ∥AD ， BC ⊄ 平面 ADP ， AD ⊂ 平面 ADP ， 所以 BC ∥ 平面 ADP ， 设平面 PBC ∩平面 PAD = 直线 l ，所以 l ∥BC ，因为 BC ⊥ 平面 PDE ，所以 l ⊥PE ， l ⊥PD ，所以 ∠DPE 是平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面角， 因为 PE ⊥ 平面 ABCD ，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即∠PAE=π6，设PE=a，则AE=√3a，PA=2a，设DE=m，则EC=m，DC=√2m，所以(√3a)2=m2+(√2m)2，所以m=a，故∠DPE=π4，所以cos∠DPE=√22，即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为√22.解法二：因为BC⊥平面PDE，PE⊥平面ABCD，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即∠PAE=π6，且DE⊥BC，DE⊥PE，设PE=a，则AE=√3a，PA=2a，在ΔDEC中，设DE=m，则EC=m，DC=√2m，在ΔEDA中，所以(√3a)2=m2+(√2m)2，所以m=a，以E为坐标原点，分别以ED、DB、EP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D(a,0,0)，A(a,√2a,0)，P(0,0,a)，则平面PBC的法向量a⃗=(1,0,0)，设平面PAD的法向量b⃗=(x,y,z)，因为AP⇀=(−m,−√2m,m)，AD⇀=(0,−√2m,0)，所以{−√2my=0−mx+√2my+mz=0，故b⃗=(1,0,1)，设平面PBD与平面PAC的夹角为θ，则cosθ=b⃗⃗ ⋅a⃗⃗|b⃗⃗ ||a⃗⃗ |=1√2=√22，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为√22.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明线面垂直，结合三角形全等，即可证明PC=PD ；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.21．【答案】（1）解：因为 f′(x)=lnx −a x +32 ，所以 g(x)=(1−a)lnx −a x −x +32， g′(x)=1−a x +ax2−1 =−(x−1)(x+a)x (x >0) ，①当 0<a ≤1 时， g ′(x)>0 ， g(x) 在 (0,+∞) 上是增函数；②当 a >1 时，由 g ′(x)>0 得 0<x <aa−1 ，所以 g(x) 在 (0,a a−1) 上是增函数；在 (aa−1,+∞) 上是减函数（2）解：因为 f′(x)=lnx −a x +32 ，令 ℎ(x)=lnx −a x +32 ，则 ℎ′(x)=1x +a x 2 ，因为 a ∈(12e ,2√e) ，所以 ℎ′(x)=1x +a x2>0 ，即 ℎ(x) 在 (0,+∞) 是增函数，下面证明 ℎ(x) 在区间 (a2,2a) 上有唯一零点 x 0 ， 因为 ℎ(a 2)=ln a 2−12， ℎ(2a)=ln2a +1 ，又因为 a ∈(12e ,2√e) ，所以 ℎ(a 2)<ln 2√e 2−12=0 ， ℎ(2a)>ln(2⋅12e )+1=0 ，由零点存在定理可知， ℎ(x) 在区间 (a2,2a) 上有唯一零点 x 0 ，在区间 (0,x 0) 上， ℎ(x)=f′(x)<0 ， f′(x) 是减函数， 在区间 (x 0,+∞) 上， ℎ(x)=f′(x)>0 ， f′(x) 是增函数，故当 x =x 0 时， f(x) 取得最小值 f(x 0)=(x 0−a)lnx 0+12x 0 ，因为 ℎ(x 0)=lnx 0−a x 0+32=0 ，所以 lnx 0=a x 0−32 ，所以 f(x 0)=(x 0−a)(a x 0−32)+12x 0 =1x 0(x 0−a2)(2a −x 0) ，因为 x 0∈(a2,2a) ，所以 f(x)>0 ， 所以 a ∈(12e,2√e) ， f(x)>0 .【解析】【分析】（1）求导数，表示出g （x ），对g （x ）求导数，解不等式，即可求出函数的单调区间；（2）求导数，构造函数h （x ），对h （x ）求导数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，结合零点的存在性定理，即可证明相应的式子成立.22．【答案】（1）解：由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)，所以曲线C的直角坐标方程y2=2ax，因为{x=−2+5ty=−4+5t ，所以x+2y+4=1，直线l的普通方程为y=x−2（2）解：直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数），代入y2=2ax得：t2−2√2(4+a)t+32+8a=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=2√2(4+a)，t1t2=32+8a，t1>0，t2>0由参数t1，t2的几何意义得|t1|=|PA|，|t2|=|PB|，|t1−t2|=|AB|，由|PA||PB|=|AB|2得|t1−t2|2=t1t2，所以|t1+t2|2=5t1t2，所以(2√2(4+a))2=5(32+8a)，即a2+3a−4=0，故a=1，或a=−4（舍去），所以a=1.【解析】【分析】（1）两边同时乘以ρ，将极坐标方程转化为直角坐标方程即可；消去参数t，即可得到直线的普通方程；（2）写出直线的参数方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，即可求出a的值.23．【答案】（1）解：因为f(x)=|x−m|+|x|≥|x−m−x|=|m|，因存在实数x使f(x)<2成立，所以|m|<2，解之得−2<m<2，因为m∈N∗，所以m=1（2）解：因a>1，b>1，所以f(a)+f(b)=2a−1+2b−1=2a+2b−2，因为f(a)+f(b)=4，所以2a+2b−2=4，所以a+b=3，因为4a+1b=13(4a+1b)(a+b)=13(5+4ba+ab)≥13(5+2√4ba⋅ab)=3，a=2且b=1时等号成立，又a>1，b>1，所以等号不成立，4a+1b>3.【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式，将存在实数x使f(x)<2成立进行转化，解不等式，即可求出m的值；（2）根据f(a)+f(b)=4，得到a和b的关系，结合基本不等式，即可证明结论成立.。
四川省泸州泸县第五中学2018届高三第一次适应性考试(高考模拟)数学(理)试题(含答案)
四川省泸县第五中学2018届高考模拟考试数学（理科）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==0,)31(x y y P x ，{})24ln(2x x y x Q -==，则P ∩Q=（ ）A ．（0，1]B ．∅C ．（0，2）D ．{0}2．已知i m m m z )23(2222+-+-=（m ∈R ，i 为虚数单位），则“m =﹣1”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A ．14 B ．12 C ．8π D ．4π4.已知双曲线C 的中心为原点，点(2,0)F 是双曲线C 的一个焦点， 点F 到渐近线的距离为1，则C 的方程为（ ）A ．221x y -= B ．2212y x -= C. 22123x y -= D ．22133x y -= 5. 某几何体的三视图如图(1)所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A ．63 B ．64 C.22D ．336.6)2)(1(--x x 的展开式中3x 的系数为（ ）A ．400-B ．80 C.80- D ．4007.为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为123a a a ，传输信息为11232h a a a h ，其中112h a a =⊕，213h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（ ）A ．01100B ．11010C ．10110D ．110008.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．410．若3x =是函数()()21x f x x ax e =++的极值点，则()f x 的极大值等于（ ） A ．-1 B ．3 C ．32e - D ．16e -11.棱长为2的正八面体（八个面是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，球O 的表面积为（ ） A ．83π B ．43πC.8627π D ．4627π12.如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =,点E 在线段AC 上,且25AE AC =,双曲线过C D E 、、三点，以A B 、为焦点; 则双曲线离心率e 的值为（ ） A ．32B ．7 C.52 D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知138a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14．已知焦点在坐标轴上，中心是原点的双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点()2,3，则双曲线的焦点到渐近线的距离等于 ．15．函数()2sin f x x x π=+，则不等式()212f x -≤-≤的解集为 ．16.设函数()(12)xf x e x ax =-+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得0()f x a >，则实数a 的取值范围是三.解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列{}n a 满足132n n a a +=+，且12a =. （Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）数列{}n b 满足3log (1)n n b a =+，判断数列2211{}n n b b +的前n 项和n T 与12的大小关系，并说明理由.18.第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)收看人数143016282012（Ⅰ）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：男 女 合计 体育达人 40 非体育达人 30 合计并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(II)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，2AB BC ==.（Ⅰ）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (II)求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为(0,1)B ，1ABF ∆的面积为212-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II)设直线l ：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤. （Ⅰ）求实数a 的值； (II)令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； (II)直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()3f x ≤的解集；(II)若不等式2()6f x a a <-解集非空，求实数a 的取值范围.四川省泸县第五中学2018届高考模拟考试数学（理科）答案一．选择题1-12 ACCAD DDBBD AB 二．填空题 13.31 14.24 15.[]2,0 16.253[,)32e e17.（Ⅰ）由题意可得11333(1)n n n a a a ++=+=+，即1(1)3(1)n n a a ++=+，又1130a +=≠，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知13n n a +=，即33log (1)log 3nn n b a n =+==.故)121121(21)12()12(1)12(211122+--=+⋅-<+⋅=+n n n n n n b b n n∴21)1211(21)121121(21)5131(21)311(21<+-=+--++-+-<n n n T n ，故12n T < 18.解：（1）由题意得下表：男 女 合计 体育达人 40 20 60 非体育达人30 30 60 合计70501202k 的观测值为2120(1200600)70506060-⨯⨯⨯24 2.7067=>.所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关. （2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2.且2426(0)C P C ξ==62155==，114226(1)C C P C ξ==815=，2226(2)C P C ξ==115=，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2P25815 11528()01515E ξ=⨯+⨯1102215153+⨯==.19.解：（1）连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=， ∴DBF ∆为等边三角形.∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥. ∵AB BC ⊥，2AB BC ==，又D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥. ∵平面BDEF平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥. 由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =，∴BF ⊥平面AMC.（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,1,0)A -，13(,0,)22E -，13(,0,)22F ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C .∴13(,1,)22AE =-，(1,0,0)EF =，13(,0,)22BF =-，(1,1,0)BC =-. 设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =.由00AE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111113022102x y z x ⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩. 解得1132y z =-. 取12z =-，∴(0,3,2)m =-.又由00BC n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2222013022x y x z -+=⎧⎪⇒⎨-+=⎪⎩解得223y z =. 取21z =，∴(3,3,1)n =. ∵cos ,m n <>m n m n⋅=11777==⋅. ∴平面AEF 与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为17.20.解：（1）由已知，有1b =. 又1121()22ABF S a c b ∆-=-=，∴21a c -=-. ∵222a b c =+， ∴2a =.∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）①当0k =时，点P 即为坐标原点O ，点Q 即为点2F ，则1PQ =，12FQ =. ∴12PQ FQ ⋅=. ②当0k ≠时，直线l 的方程为(1)y k x =+. 则直线m 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(12)4k x k x ++2220k +-=.此时28(1)0k ∆=+>.∴2122412k x x k -+=+，1212(2)y y k x x +=++2212kk =+. ∴2222(,)1212k k P k k -++. ∵PQ 即点P 到直线m 的距离，∴222222112121k k k kPQ k -+-++=+22231(12)1k k k +=++.又1FQ 即点1F 到直线m 的距离，∴1221F Q k =+.∴21222(13)(12)(1)k PQ F Q k k +⋅=++.令213(1)k t t +=>，则213t k -=. ∴118(12)(2)t PQ FQ t t ⋅=++1812()5t t=++182225<=⨯+. 即0k ≠时，有102PQ FQ <⋅<. 综上，可知1PQ FQ ⋅的取值范围为(0,2].21. 解：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立， 令()2ln h t a at t =-+，则22'()ath t a t t-=-=， 当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在(0,)+∞上单调递增， 由于(1)0h =，所以当1t >时，()(1)0h t h >=，不合题意.当0a >时，2'()a t a h t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，'()0h t >；当2t a >时，'()0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()h t 在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，即max 2()h t h a ⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln 22ln a a =-+-. 所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤， 亦即22ln 22ln 0a a -+-≤，令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则22'()1a a a aϕ-=-=， 所以当02a <<时，'()0a ϕ<；当2a >时，'()0a ϕ>，即()a ϕ在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增. 又(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2， 即2a =.法2：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立， 令()2ln h t a at t =-+，由于(1)0h =，故2ln 0a at t -+≤()(1)h t h ⇔≤， 所以(1)h 为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故'(1)0h =.又22'()ath t a t t -=-=，所以2a =， 此时2(1)'()t h t t-=，当01t <<时，'()0h t >，当1t >时，'()0h t <，即：()h t 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减. 故2a =合题意. （2）由（1）知()()xf x g x x a =-22ln (2)2x x xx x +=>-， 所以22(2ln 4)'()(2)x x g x x --=-， 令()2ln 4s x x x =--，则22'()1x s x x x-=-=， 由于2x >，所以'()0s x >，即()s x 在(2,)+∞上单调递增；又(8)0s <，(9)0s >， 所以0(8,9)x ∃∈，使得0()0s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在0(2,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增. 所以min0()()g x g x =000022ln 2x x x x +=-2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-）即0m x =，所以0()()f m f x =0022ln 2(6,7)x x =+=-∈，即6()7f m <<.22．解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ． （II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得． 设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由，解得． ∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ |=2．23.解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为：3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩ 解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞. （Ⅱ）因为()23(2)(3)5f x x x x x =--+≤--+= 所以5()5f x -≤≤，即()f x 的最小值为5-，要不等式2()6f x a a <-解集非空，需2min ()6f x a a <-， 从而2650a a -+>，解得1a <或5a >，所以a 的取值范围为()(),15,-∞+∞U .。