安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题(教师版)

2019-2020学年度第一学期合肥市六校联考高一年级期末教学质量检测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则AB =（ ）A. [1,1]-B. [2,1]--C. [1,2)D. [1,2)-【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以[]1,3B =-，所以[)1,2A B =-.故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为（ ）A. 16B. 15C. 5-D. 15-【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，求得[(4)]f f -的值.【详解】依题意()()()[]24416,41616115f f f f -=-=-==-=⎡⎤⎣⎦. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 3.已知角α终边上一点P 的坐标为2233sincos ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，则sin α的值为（ ） A.12B. 1-2D.【答案】B 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义先求得该点到原点的距离，再由sin α的定义求得．【详解】解：角α的终边上一点P 的坐标为221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：1sin 2y r α==-， 故选B ．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A. 3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144AB AC +D. 1344AB AC +【答案】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 6.已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=（ ）A.13 B. 13-C.3D. 3-【答案】B 【解析】51cos sin 62333cos ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B7.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.8.已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立a 与b 的关系，即可得到夹角.【详解】因为()a b b -⊥，所以()=0a b b -⋅，则2=0a b b ⋅-，则222cos =0b θb -，所以1cos =2θ，所以夹角为π3故选B. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.9.幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为( )A. 2或1-B. 1-C. 2D. 2-或1【答案】B 【解析】由题意得2211130m m m m m ⎧--=⇒=-⎨+-<⎩，选B.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.10.设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A. f(x)的一个周期为−2π B. y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C. f(x+π)的一个零点为x=6π D. f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.11.已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则 A. (1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C.D. (1)()0b b a --> 【答案】D 【解析】试题分析：log log 1a a b a >=，当1a >时，1b a >>，10,010,0a b a b a b ∴->->->-<，，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----当01a <<时，01b a ∴<<<，10,010,0,a b a b a b ∴-<-<--，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----观察各选项可知选D.【考点】对数函数的性质.【易错点睛】在解不等式log 1a b >时，一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．【此处有视频，请去附件查看】12.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）13.23log 9log 4⨯= . 【答案】4【解析】 试题分析：原式lg 9lg 42lg 32lg 24lg 2lg 3lg 2lg 3=⨯=⨯=，答案：4. 考点：1.对数运算；2.对数的换底公式. 14.已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β=_______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式列方程，解方程求得tan β的值.【详解】由1tan 3α=-，tan()1αβ+=得()1tan tan tan 3tan 111tan tan 1tan 3βαβαβαββ-+++===-⋅+，解得t a n 2β=. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.15.函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到． 【答案】3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少． 【此处有视频，请去附件查看】16.若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________. 【答案】12b ≤≤ 【解析】()f x 在R 为增函数；∴()()22102 022101020b b b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-⋅+-≥-+-⋅⎪⎩，解得12b ≤≤；∴实数b 的取值范围是[]1,2，故答案为[]1,2.三、解答题（本大题共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.）17.已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15R B x x ≤≤ð.（1）若=A B φ⋂，求实数a 的取值范围； （2）若=A B A ，求实数a的取值范围.【答案】（1）12a -≤≤（2）4a <-或5a > 【解析】 【分析】（1）首先求得B ，根据=A B φ⋂列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. （2）根据AB A =，得到A B ⊆，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）由{}=|15R B x x -≤≤ð得：{}|15B x x x =<->或. 若=A B φ⋂，则有：-135a a ≥⎧⎨+≤⎩，故12a -≤≤.（2）若=A B A ，则有A B ⊆，故：31a +<-或5a >，即4a <-或5a >.【点睛】本小题主要考查交集、补集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题. 18.已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值. 【答案】（1）()2cos f αα=-（2）8()5f α=-【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求得()fα.（2）利用诱导公式求得sin α的值，根据同角三角函数的基本关系式求得cos α的值，进而求得()fα的值.【详解】（1）2sin cos (tan )()2cos tan sin f ααααααα-==-.（2）33cos()sin 25παα-=-=，所以3sin 5α=-，又α是第四象限角， 故4cos 5α=.即8()5f α=-.【点睛】本小题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知函数1()1x x a f x a -=+（0a >且1a ≠） .（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明. 【答案】（1）奇函数.见解析（2）减函数；见解析 【解析】 【分析】（1）先求得()f x 的定义域，然后利用()()f x f x -=-，证得()f x 为奇函数. （2）利用单调性的定义，计算()()120f x f x ->，由此证得()f x 在R 上递减.【详解】（1）函数的定义域为R ， 11()()11x x x xa a f x f x a a-----===-++.有()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数.（2）设1212(,R)x x x x <∈，1212121212112()11(1)(1()-())x x x x x x x x a a a a a a a a f x f x ----==++++， 当01a <<时，12x x a a >，有()()120f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在R 上是减函数； 【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题.20.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1212log (1),0()log (1),0x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+⎪⎩…（2）0a <或2a >【解析】 【分析】（1）令0x >，则0x -<，由函数为R 上的偶函数，得到12()()log (1)f x f x x =-=+，进而可求得函数的解析式；（2）根据复合函数的单调性，可得()f x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，把不等式转化为(1)(1)f a f -<或(1)(1)f a f -<-，即可求解．【详解】（1）由题意，令0x >，则0x -<，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以12()()log (1)f x f x x =-=+， 即当0x >时，12()log (1)=+f x x ，所以函数()f x 的解析式为1212log (1),0()log (1),0x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+⎪⎩…．（2）由内层函数1=-+u x 在(,0]-∞上单调递减，外层函数12log y u =在(0,)+∞上单调递减，根据复合函数的单调性，可得12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 又由(1)1f a -<-，可得(1)(1)f a f -<或(1)(1)f a f -<-， 即11a -<-或11a ->，解得0a <或2a >． 即实数a 的取值范围0a <或2a >．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的应用，其中熟记函数的单调性与奇偶性，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21.已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=，413a b -=.（Ⅰ）求cos()αβ-的值；（Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值. 【答案】(1)5.13 (2) 16.65【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于向量413(cos ,sin ),(cos ,sin ),.a b a b ααββ==-=，那么可知 2413165·=cos(),=1+1-2?=,cos()131313a b a b a b a b αβαβ--=-∴-=,（） （2）根据题意，由于0,022ππαβ<<-<<且4sin 5β=-，那么16sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-= 考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积公式以及两角和差的三角公式的运用，属于中档题．22.已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x R ππ=++-+-∈. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5,]()88k k k Z ππππ++∈[（2）112a +≤< 【解析】【分析】 （1）利用两角和与差的正弦公式、降次公式和辅助角公式化简()f x 解析式，根据三角函数的单调减区间的求法，求得()f x 的单调减区间.（2）将()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点转化为()21f x a =-在[0,]2π有 两个不等的实根，结合()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像，求得a 的取值范围. 【详解】（1）()sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ=++-+sin 2cos2x x =+)4x π=+. 3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈令，得： 5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 故函数()f x 的单调递减区间为5,]()88k k k Z ππππ++∈[ （2）函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，等价于方程()21f x a =-在[0,]2π有 两个不等的实根，即函数()f x 在[0,]2π上的图像与直线21y a =-有两个不同的交点.作出函数()f x 在[0,]2π上的图像，由121a ≤-<得：112a +≤<.【点睛】本小题主要考查三角恒等变形，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数图像，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。