不定积分(含变上限积分)和微分解题方法

不定积分和微分

一、公式

)()(x f dx x f dx d =⎰

和⎰⎰+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/

的应用 注意：)(x f 的不定积分为⇔+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数⇔)(x f 是)(x F 的导数，即

⎰

+=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F =

1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知

⎰+=c x F dx x f )())((ϕ，求)(x f

方法：求导得)())((/

x F x f =ϕ，令t x =)(ϕ，则)(1

t x -=ϕ，即))(()(1/x F x f -=ϕ

例1（1）⎰+=c x

dx x f 2

)(，求⎰-dx x xf )1(2

解：对

⎰

+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=，2222)1(x x f -=-

则c x x dx x x dx x xf +-=-=-⎰⎰3

2)22()1(2

2

2

2

（2）⎰+=c x dx x xf arcsin )(，求

⎰

)

(x f dx

解：对⎰

+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得2

11)(x

x xf -=

，即2

11)(x

x x f -=

c x x

d x dx x x x f dx +--=---=-=⎰⎰⎰

23

2222)1(3

1

)1(1211)( 2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知)())((/

x f x F =ϕ，求)(x F 方法：令t x =)(ϕ，则)(1

t x -=ϕ

，即))(()(//t f t F ϕ=，故⎰=dt t f x F ))(()(/ϕ

例2（1）x x f 22

/

tan )(sin =，求)(x f

解：令t x =2

sin ，则t t -=1cos 2

，t

t

x x x -==1cos sin tan 222

即t t t f -=

1)(/

两边积分的⎰+---=-=c t t dt t

t t f |1|ln 1)( （2）已知]1)([)(/

/

-=-x f x x f ，求)(x f

解：令t x =-，则上式为]1)([)(/

/

---=t f t t f ，即]1)([)(/

/

---=x f x x f

由上面两式得12)(2

/

+=

x x

x f 两边积分得c x dx x x

x f ++=+=⎰)1ln(1

2)(22

（3）设)(u f 在+∞<<∞-u 可导，且0)0(=f ，又

1

01(ln )1

x f x x <≤⎧⎪'=>，求)(u f

解：令t x =ln 得t

e x =，则

⎪⎩⎪⎨

⎧>≤<=1

101)(/

t

t t e e

e t

f 即⎪⎩⎪

⎨⎧>≤=0

1

)(2/

t e

t t f t

当0≤t 时，1)(/

=t f ，两边积分得⎰

+==1)(c t dt t f 当0>t 时，2

/

)(t e t f =，两边积分得⎰

+==22

22)(c e dt e t f t t 又因为设)(t f 在+∞<<∞-u 可导，所以)(t f 在+∞<<∞-u 连续

而222

2)2(lim )(lim c c e t f t

t t +=+=++→→，110

0)(lim )(lim c c t t f t t =+=--

→→ 因为)(t f 在0=t 处连续，则0212==+c c ，即2,021-==c c

故⎪⎩⎪

⎨⎧>-≤=0

220)(2t e t t

t f t

（4）设)(x f y =在x 处的改变量为)(1x o x x

y y ∆+∆+=

∆（0→∆x ），1)0(=y ，求)1(/

y

解：由)(1x o x x y y ∆+∆+=

∆ 知 x

y

y +=

1/ 即x dx y dy +=1 两边积分得

⎰⎰+=x dx

y dy 1 得 c x y ++=)1ln(ln

而1)0(=y 故 0=c ，即x y +=1 故1)1(/

=y （5）设⎰

-=π

π0

sin )(dt t

t

x f ，求⎰π0)(dx x f

解：

dx x

x x dx x x

dx x xf x xf dx x f ⎰⎰⎰

⎰

---=-=ππ

π

ππ

πππ00

/

00

sin sin )(|)()(

⎰

==

π

2sin xdx

二、已知)(x F 是)(x f 的原函数⎪⎩⎪⎨⎧+==⇔⎰

c x F dx x f x f x F )()()

()(/

，求被积函数中含有))((x f ϕ的

积分

1、由)()(/

x F x f =求出)(x f ，代入积分计算 2、把积分转化为⎰))(())((x d x f ϕϕ的形式，利用⎰+=c x F dx x f )()(求值

例3（1）

x

x

sin 是)(x f 的原函数，0≠a ，求⎰dx a ax f )(

解：因为x

x

sin 是)(x f 的原函数，所以⎰+=c x x dx x f sin )(

而c x

a ax c t a t dt t f a dx a ax f t ax +=+==⎰⎰=322sin sin )(1)(

（2）x

e

-是)(x f 的原函数，求⎰

dx x f x )(ln 2

解：因为x x

e e

x f ---==/)()(，所以x

x f 1

)(ln -=

则⎰⎰+-=-=c x xdx dx x f x 2

)(ln 2

2

三、已知)(x f 的表达式，求被积函数中含有))((x f ϕ的积分 1、由)(x f 求))((x f ϕ，再把))((x f ϕ的表达式代入积分计算