一凑微分法
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常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
凑微分法和分部积分法学习笔记
（3）一般的选择原则：在选择u(x)与v(x)上，一般来说，有 如下规律
反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数 相乘，将排在前者令为u(x)，排在后者令为v(x)的导数，一般 能简化计算。
4 举例
例1 求下列不定积分
(1) xexdx xdex xex exdx xex ex C
2na2
dx (x2 a2)n1
(x2
x a2)2
2nIn
2na2In1
所以有递推关系式：
In1
1 2na2
(x2
x a2)n
2n 1 2na2
In,n
1,2,
特别地有：
I2
(x2
dx a
2
)2
n
1
1 2a2
x2
x a2
1 2a3
arctan x a
C
例4 求下列不定积分：
(1) ln(1 x)dx x t2,t 0 ln(1 t)dt2
因而要求 u(x)v(x)dx比 u(x)v(x)dx的计算简单才有意义
（2）此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分， 在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题，选择得当，计算将简
化；否则会更复杂，有时甚至无法求出。如 x cosxdx
令u x, dv cos xdx,即v sin x,则有
1 1 u2
du
arctanu a
C
1 a
arctan
x a
C
(5) xex2 dx 1 ex2 dx2 1 eudu
2
2
1 eu C 1 ex2 C
2
2
(6) f (x) f (x)dx f (x)df (x) udu
第五章 2-1 第一类换元法
凑微分的重点在“凑” 字上，其基本思想 就是将被积表达式 g ( x)dx变形，使之凑成 f ( ( x)) ' ( x)dx的形式，便于使用基本 积 分公式求解 .
步骤: (1)凑微分；(2)换元求出积分； (3)代回原变量。
例 求 sin 2 xdx .
sin u du
1 解 sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2
(4). 有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分. 例.
dx x ln x ln ln x
d (ln x ) d (ln ln x ) ln | ln ln x | C. ln x ln ln x ln ln x
(5) 常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
令u 2x
1 1 sin udu cos u C 2 2 1 cos 2 x C ; 2
1 dx. 例 求 2x 3
1 udu 1 1 令2 x 3 u 1 1 d (2 x 3) du 解: 原式 2 2x 3 2 u 1 1 l n u C ln 2 x 3 C . 2 2 ( x) u f [ ( x )] ( x )dx f (u)du
步骤: (1)凑微分；(2)换元求出积分； (3)代回原变量。
例 求 sin 2 xdx .
sin u du
1 解 sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2
(4). 有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分. 例.
dx x ln x ln ln x
d (ln x ) d (ln ln x ) ln | ln ln x | C. ln x ln ln x ln ln x
(5) 常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
令u 2x
1 1 sin udu cos u C 2 2 1 cos 2 x C ; 2
1 dx. 例 求 2x 3
1 udu 1 1 令2 x 3 u 1 1 d (2 x 3) du 解: 原式 2 2x 3 2 u 1 1 l n u C ln 2 x 3 C . 2 2 ( x) u f [ ( x )] ( x )dx f (u)du
换元法
2 sin xd (sin x ) sin x C ;
2
解（三） sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd (cos x ) cos x C .
2
1 dx . 例2 求 3 2x
解
1 1 1 dx d ( 3 2 x ), 3 2x 2 3 2x
x 例4 求 dx . 3 (1 x ) x x 11 1 dx [ dx ]d (1 x ) 解 3 3 2 3 (1 x ) (1 x ) (1 x ) 1 1 C. 2 1 x 2(1 x ) dx 1 dx dx 类似地 ( ) 2 2 1 x 1 x 1 x 1 1 d (1 x ) d (1 x ) 1 x ( ) ln | 1 x | C . 2 2 1 x 1 x
x ln | tan | C ln | csc x cot x | C . 2 （使用了三角函数恒等变形）
解（二） csc xdx
1 sin x dx 2 dx sin x sin x
1 d (cos x ) u cos x 2 1 cos x 1 1 1 1 du du 2 1 u 2 1 u 1 u
2 2
32 sin t cos tdt 32 sin t (1 cos t ) cos tdt
3 2
32 (cos2 t cos 4 t )d cos t 1 1 5 3 32( cos t cos t ) C 3 5 4 1 2 3 2 5 4 x 4 x C. 3 5
1 dx . 例10 求 1 cos x 1 1 cos x 解 dx dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx dx 2 2 1 cos x sin x 1 1 2 dx 2 d (sin x ) cot x 1 C . sin x sin x sin x
自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式
1 a
arctan
x a
C;
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式 1 arctan x C;
a
a
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
1 3
x
3
1 4
2
1
d
x
3
4
1 3
arctan
x
3
4
C
.
完
例 8 求下列不定积分
(1)
1
1 e
x
dx
;
sin 1
(2)
x
x
2
dx
.
解 (1)
1
ex 1 ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
1
e
x
e
x
dx
dx
算的常用手段之一.
完
例 14 求下列不定积分
5.3 凑微分法和分部积分法
例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2
du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数 三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x
《凑微分法》课件
复合函数与幂函数混合积 分
例如，计算积分 $int (x^{2}e^{x})dx$ 时， 可以将 $x^{2}e^{x}$ 视为
$frac{d}{dx}(e^{x}x^{2})$ 的微分，从而得 到 $e^{x}x^{2}$ 的积分结果。
04
凑微分法的注意事项与技巧
凑微分法的注意事项
观察目标函数形式
凑微分法的数学原理
凑微分法的定义
凑微分法是一种通过观察或变形，将复杂的积分表达式转化为容易计算的积分表达式的技巧。其核心 思想是将被积函数进行适当的变形，使其符合某个已知的积分公式的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用
凑微分法在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用。通过凑微分法，我们可以将复杂的积分问题转 化为简单的计算，从而快速得到结果。例如，在求解某些物理问题的过程中，我们经常需要用到凑微 分法来计算某个物理量的变化率或累积值。
三角函数凑微分
例如，计算积分 $int sin{x}dx$ 时， 可以将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而 得到 $-cos{x}$ 的积分结果。
复杂问题的凑微分法实例
多项式与三角函数混合积 分
例如，计算积分 $int (x^{2} + sin{x})dx$ 时，可以将 $x^{2}$ 视为 $frac{d}{dx}(x^{3})$ 的微分，将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而得 到 $frac{3}{2}x^{2} - cos{x}$ 的积分结果 。
微分与积分的互逆关系
微分与积分互为逆运算
微分和积分在数学上是互逆的过程。微分是将函数进行局部线性化，而积分则是 求函数与x轴所夹的面积。由于这两个过程具有相反的特性，因此它们可以相互 转化。
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
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解：
原式
x arctan
x
x 1 x2 dx
例13.
x arctan x 1 ln(1 x2 ) C. 2
x2e3xdx
x2d (e3x ) x2 e3x 2xe3xdx
33
3
x2 e3x 2 xd ( e3x ) x2 e3x 2x e3x 2 e3xdx
33
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§2. 不定积分的计算
根据代数分项分式定理, 有
F ( x) Q(x)
A1 (x a)
A2 (x a)2
A (x a)
B1 (x b)
B2 (x b)2
B (x b)
C1x D1 x2 px
q
C2 x (x2 px
D2 q)2
L
(
x
C 2
sec tdt ln(tan t 1 a
a2 a2 tan2 t ) C1
ln(x x2 a2 ) C, (C C1 ln a).
例10. 求
dx x 2 a2
解： 1. 令x a sect, dx a sect tan tdt.
2. 令x acht, dx ashtdt
dx (t)dt
( 将变量x替换为函数(t) )
求出这个不定积分，再将结果中的t换成－1(x)即得
所求的不定积分.
注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.
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§2. 不定积分的计算
例如：1.
sin
x
cos
函数t 1(x)存在且连续, 且
f ((t))(t)dt F(t) C,
则
f (x)dx F(1(x)) C.
证明： d (F ( 1(x)) F(t) ( 1)
dx
f ((t))(t) 1 f (x). (t)
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§2. 不定积分的计算
例7. 求 x 1 dx
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln | x x2 a2 | C1
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | C.
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C.
2
2
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ex2 dx, sin x dx, sin x2dx, x 是非初等函数, 即
初等函数的原函数不一定是初等函数.
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§2. 不定积分的计算
四、有理函数积分法
1. 代数的预备知识
设P(x)与Q(x)都是多项式, 则有理函数的一般形式是
P(x) . Q(x)
若P(x)的次数 Q(x)的次数，称 P(x) 为有理假分式； Q(x)
2
2
a
( t arcsin x, sin 2t 2sin t cost 2 x a
a2 x2 ).
a
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§2. 不定积分的计算
例9. 求
1 dx
x2 a2
解：令 x a tan t, dx a sec2 tdt, 则
原式
a sec2 t dt a sec t
x n(ln x)n1 1dx x
x(ln x)n n (ln x)n1dx x(ln x)n nIn1,
其中，I1 ln xdx x ln x x C.
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§2. 不定积分的计算 初等函数的导数仍是初等函数, 但求不定积分却不那么 简单, 有些不定积分不能用初等函数来表示, 如
§2. 不定积分的计算
例15. 求 eax cosbxdx 及 eax sin bxdx.
解： eax cosbxdx 1 eax cosbx b eax sin bxdx,
a
a
eax sin bxdx 1eax sin bx b eax cos bxdx,
a
a
联立, 解之得：
(uv) uv uv,
or
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
uvdx uv vudx,
or
udv uv vdu,
称之为 分部积分公式.
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§2. 不定积分的计算 注1. 不能直接求
uvdx 改写 转化
udv
求 vudx,
求 vdu
d(x )
2
sin(x )
2
ln
|
sec x tan x | C. (tan x 1 cos
x
csc
x
cotx)
例5. x2 4 3x3 dx
2 sin x
1
(4
3x3
)
1 2
d
(4
3x3
)
1
t
1
2 dt
2
(4
3
3x3 ) 2
.
9
9
9
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§2. 不定积分的计算
选则 u,v 的原则是 vdu 要比 udv 简单易求,
从而达到化繁为简的目的.
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§2. 不定积分的计算
例11. 求 x sin xdx
解： (1) 令 u x, dv sin xdx d( cos x),
则原式 xd(cosx) x cos (cosx)dx
§2. 不定积分的计算
一、“凑”微分法
例如：求 e2xdx e2x d (2x)
2
形式上“凑”成能由不定 积分公式求出的积分!
令2x t 1 etdt 1 et C 1 e2x C.
dx 1 dt 2
2
2
2
简单替换
例1.
x
1
a
dx
(a const)
d (x a) 令x a t dt ln | t | C ln | x a | C. x a dx dt t
若P(x)的次数 Q(x)的次数，称 P(x) 为有理真分式. Q(x)
有理假分式 P(x)
多项式
T (x)
F ( x)
有理真分式
Q(x) 除法
Q(x)
（多项式）
例如：
x4 3 x2 2x 3 4x 6 .
x2 2x 1
x2 2x 1
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§2. 不定积分的计算
二、换元积分法
例6. 求
1 x2
e
1 x
dx
1.
原式
e
1 x
d
(
1
)
1
e x
C.
x
2.
令 1 t, x
dx
1 t2
dt
原式
t
2et
(
1 t2
)dt
1
etdt e x C.
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§2. 不定积分的计算
Theorem : 设f (x)连续,x (t)及(t)皆连续,x (t)的反
eax cos bxdx b sin bx a cos bx eax C, a2 b2
eax
sin bxdx
a sin bx a2
b cos b2
bxeax
C,
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§2. 不定积分的计算
注2. 类似的, 下列函数
xk sin bx, xk cos bx, xkeax , xk lnm x, xk arctan x, p(x) sin mx, p(x) cos mx, p(x) ln x, p(sin x)eax 等等.
原式
asht asht
dt
t
C
ln
|
x
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x2 a2 | C.
§2. 不定积分的计算
注：
dx ln | x x2 a2 | C. x2 a2
a2 x2 dx 1 x a2 x2 a2 arcsin x C.
2
2
a
“凑”微分法与换元积分法比较
“凑”微分法——将函数替换为变量：
解：令 x a sin t, dx a costdt,
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2tdt
a2 (1 cos 2t)dt a2 (t 1 sin 2t) C.
2
22
a2 (arcsin x x 1 a2 x2 ) C
2
a aa
1 x a2 x2 a2 arcsin x C.
x px
D q)
L
E1x F1 x2 rx
s
(
E2 x x2 rx
F2 s)2
L
(
E x F x2 rx s)
.
()
其中，Ai , Bj ,Ck , Dk , Em, Fm都是常数.求解常数的方法：
tan xdx
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln | cos x | C.
例3.
sec
xdx
dx cos x
cos xdx cos2 x
d sin x 1 sin2 x
1 2
( 1
1 sin
x
1
1 sin
x
)d
sin
x
1 2
ln 1 sin 1 sin
x x
C
1 2
ln
(1 sin x)2 cos2 x