4-9 凑微分法

模块基本信息 一级模块名称 积分学 二级模块名称 计算模块

三级模块名称 凑微分法 模块编号 4-9

先行知识 1、积分基本公式 模块编号 4-7

2、牛顿—莱布尼茨公式 模块编号 4-6

知识内容 教学要求 掌握程度

1.凑微分法求不定积分 1.会运用凑微分法求不定积分 熟练掌握

2.凑微分法求定积分 2.会运用凑微分法求

定积分

能力目标 1.培养学生的知识迁移能力 2.培养学生的计算能力 时间分配 90分钟 编撰 尧克刚 校对 熊文婷 审核 危子青 修订人 张云霞 二审 危子青

一、正文编写思路及特点 思路：在熟练掌握积分基本公式的基础上，引入凑微分法，按照由易到难的顺序讲题例题、安排习题，使学生能够灵活运用凑微分积分法求函数的不定积分。在学习完不定积分的凑微分法后再来学习定积分的凑微分法。 特点：通过变换习题的手段，一方面进一步的巩固积分基本公式，另一方面锻炼学生的观察能力和知识的迁移能力。 二、授课部分 （一） 新课讲授 利用基本积分公式与不定积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的.因此有必要进一步来研究不定积分的求法.由微分运算与积分运算的互逆关系，我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元法积分法，简称换元法。我们来讨论两类换元法-----第一类换元法和第二类换元法.本节课我们来学习第一换元法，也称为凑微分法. 1、不定积分的凑微分法（第一换元积分法） （1）基本积分公式的推广 定理：若()()fxdxFxC,则

(())()fxdx()()()uxfuduFuC(())FxC 例如：2222uxxuuxedxedueCeC 3cos33cossinsin3uxxdxuduuCxC

（2）引例：求不定积分2xedx 分析：在基本积分公式中只有xxedxeC.比较xedx与2xedx

这两个积分，我们发现区别只是xe的幂次相差一个常数因子，

但显然22xxedxeC.如果将dx中的x凑上一个常数因子2，使之成为下式 222112222xxxedxedxedx

然后再令2ux，那么上述积分就变为 2211222xxuedxedxedu

这样就将原不定积分化为可用基本积分公式的问题了，而 uuedueC

,最后将2ux代回，从而有

2211222xxuedxedxedu

21122uxeCeC

由于221()'2xxee，所以计算结果正确. （3） 不定积分的凑微分法（第一换元法） 将引例抽象化，对于具有形如[()]'()fxxdx



的不定积分，可利

用下面的积分方法： ()[()]'()[()]()[()]uxfxxdxfxdxfudu

定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式 CxFCuFduufxdxfdxxxf)]([)()()()]([)()]([ 其中，'()()Fufu, 此称为积分形式的不变形，又称为第一换元积分法或凑微分法。 总结：凑微分法的关键是凑成微分'()()xdxdx的形式，即通过凑成某个函数的微分，进一步的凑成基本积分公式，然后利用基本公式积出来 （4）案例讲解 例1. 求下列函数的不定积分 (1)cos2xdx（一级）(2)13dxx（一级）

(3)3(12)xdx（一级） 解: (1) 11cos2cos22cos22xdxxdxudu(令2ux) 11sinsin222uCxC

注：此题利用凑微分公式122dxdx，从而凑出了

cossinuduuC这个积分公式

(2) 1111(3)332dxdxduxxu(令3ux) 11lnln322uCxC

注：此题利用凑微分公式(3)dxdx

，从而凑出了

1lnduuCu这个积分公式

(3)331(12)(12)(12)2xdxxdx（） 312udu（12ux） 4411(12)88uCxC

注：此题利用凑微分公式1(12)2dxdx，从而凑出了

34

1

4uduuC这个积分公式

在计算比较熟练以后，换元这一步可以省略，即按如下方法写出计算过程： 331(12)(12)(12)2xdxxdx41(12)8xC

例2. 求下列函数的不定积分 (1)2xxedx（二级）(2)21xxdx（二级）

(3)1lndxxx（二级）(4)211cosdxxx（二级）

(5)cossinxdxx（二级）(6)xedxx（二级） （7）(12ln)dxxx（二级） 解: (1) 22221122xxxxedxedxeC (2) 222111(1)2xxdxxdx 332222

121(1)(1)233xCxC

(3)11lnlnlnlnlndxdxxCxxx (4)211111coscossindxdCxxxxx

(5)cos1sin2sinsinsinxdxdxxCxx

(6)22xxxedxedxeCx （7）1(12ln)(12ln)12lndxdxxxx ln12lnxC 由以上题目可见，凑微分是通过凑出某个函数的微分进一步的凑成基本的积分公式，从而掌握一些常用的凑微分方法是必要的，下面是一些常用的凑微分方法： （1）1()()()(0);faxbdxfaxbdaxbaa

（2）11()()();fxxdxfxdx （3）1(ln)(ln)(ln);fxdxfxdxa （4）1()()();lnxxxxfaadxfadaa 特别地，()()();xxxxfeedxfede （5）(sin)cos(sin)(sin);fxxdxfxdx （6）(cos)sin(cos)(cos);fxxdxfxdx （7）2(tan)sec(tan)(tan);fxxdxfxdx （8）21(tan)(tan)(tan);1farcxdxfarcxdarcxx （9）21(arcsin)(arcsin)(arcsin);1fxdxfxdxx （10）'(())()(())(());fgxgxdxfgxdgx 例3. 求下列函数的不定积分 (1)221dxax（二级）(2)221dxax（a0）（二级）

(3)221dxxa（二级） 解：(1)22221111()dxdxxaxaaCaxaaxdaxaarctan1)(1112

 即 2211arctanxdxCaxaa

(2)2221111()dxdxaxaxa

211()xdaxa



arcsinxCa 即221arcsinxdxCaax (3) 221111[()]2dxdxxaaxaxa 111[]2dxdxaxaxa



111[()()]2dxadxaaxaxa



1[lnln]2xaxaCa 1ln2xaCaxa



即 这样，我们2211ln2xadxCxaaxa得到三个积分公式：

2211arctanxdxCaxaa



221arcsinxdxCaax



2211ln2xadxCxaaxa



(选讲)例4求下列函数的不定积分（提高部分，可选讲） (1) arctan(1)xdxxx（三级） (2）lntansincosxdxxx（三级）

解： （1） 2

arctanarctanarctan221(1)1()xxxdxdxdxxxxx





2arctanarctanxdx 2arctanxc

（2）2

lntanlntanlntann1sincosnncosxxxdxdxdtaxxxtaxtaxx

=21lntanlnn(lntan)2xdtaxxc

2、定积分的凑微分法（第一换元积分法） 由牛顿—莱布尼茨公式可知，定积分的凑微分法与不定积分的凑微法类似，只是多了一步将上、下限代入的步骤. 类似于不定积分的思路，我们可以得到如下定理 定理2 设f(u)具有原函数可导F(u)则有换元公式

)()()()()()]([aFbFabuFduufxdxfba





例5 求下列函数的定积分