一、凑微分法
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
高等数学第一类换元法(凑微分法)
注: 一般情形:
x f ( x ) dx
2
x2 u
1 f ( u) du. 2
完
例 4 计算不定积分 解
x 1 x 2 dx .
1 2
x
1 x dx
2
dx (1 x ) (1 x )
1 2 2
2
1 (1 x ) d (1 x 2 ) 2
例7
求下列不定积分
(1)
1 dx ; a 2 x 2
( 2)
1 dx . 2 x 8 x 25
解 (1) 原式
1 arctan x C ; a a
(2) 原式
1 1 dx dx 12 2 ( x 4) 2 9 3 x 4 1 3
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx dx 12 2 2 3 x 4 ( x 4) 9 1 3 1 1 d x 4 1 arctan x 4 C . 2 3 x 4 3 3 3 1 3 (1)
1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ; 解法一 原式 2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x )2 C;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
微积分下册主要知识点汇总
vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
)()()]()([b
babadxxgdxxfdxxgxf
2 ,)()(b
badxxfkdxxkf (k为常数).
3 b
cabadxxfdxxfdxxf)()()(.
1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：
1）,)(,)(ba 且bta)(；
2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
ttfdxxfb
)()]([)(. (4.1)
(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
),(),(lim00000,
).,(,,
4-2(第一换元法)
u 3 2 x 1 1du 1 ln u C 2 u 2 1 ln( 3 2 x ) C . 2
一般地，对于积分 f (ax b)dx(a 0)
总可以取 u ax b ，使之化为
f (ax b)dx f (ax b)d (ax b)
熟练以后就不需要进行 u ( x ) 转化了
dx (a 0) 例7 求 2 2 a x
解
dx 1 1 1 a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 1 dx dx 2a a x 2a a x
1 d (a x ) 1 d (a x ) 2a a x 2a a x 1 1 ln a x ln a x C 2a 2a 1 a x 2a ln a x C
2
总可以取 u ax b ，使之化为
2
1 f (ax b) xdx [ f ( u)du]uax b 2a
2
2
课堂练习1:
1、 (1 2 x )
2、
100
dx
x 1 x 2 dx
常用的凑微分
dx d (ax b) a
2
2 xdx dx
1 x dx dx 1 1
x2
x2
2 ， e u x ；
解 间变量 u x 2 的导数，
于是有
2 2 xe dx e dx x2 x2
2 xe dx e dx 2
x2 x2
e C
x2
一般地，对于积分 f (ax b) xdx(a 0)
(1)
说明：使用公式（1）的关键在于将 g( x )dx
凑微分法技巧口诀
凑微分法技巧口诀
这三句口诀是：换元必换限，换限不还原，换顺序必化为重积分。
“换元必换限”中限指的是上下限，也就是函数中自变量的取值范围，这句话意思是换了自变量则必须要重新确定自变量的取值范围。
“换限不还原”意思是自变量的取值范围变化了，则原来函数定义就不需要还原了。
“换顺序必化为重积分”指的是在做重积分运算时，如果要交换x,y的计算顺序则必须先化成二重积分在进行换算。
积分运算法则：
一、凑微分法(第一类换元积分)
当被积函数有一部分比较复杂时，可以通过观察把某些函数放到d的后面（放在d后面的函数会发生变化），使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出。
二、换元法(第二类换元积分)
当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分。
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
凑微分法文档
凑微分法什么是凑微分法凑微分法（Method of Undetermined Coefficients）是一种常见的微分方程求解方法，特别适用于非齐次线性微分方程。
凑微分法的基本思想是通过猜测一个特解来接近原非齐次方程的解。
这种方法的优点是求解过程相对简单，不需要像变量分离法或常数变易法一样引入任意常数或变量变化。
凭借其简洁的求解过程，凑微分法在得到特解后，可以通过一般解和特解的线性组合求得原方程的通解。
凑微分法的步骤凑微分法的求解步骤如下：1.首先，我们需要根据原方程的形式，猜测一个特解。
特解的形式通常与原方程中的非齐次项相关。
2.将猜测的特解代入原方程，计算出特解的导数、二阶导数等。
3.将特解及其相应导数的表达式带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧。
4.整理右侧的项，得到一个关于未知系数的线性方程。
5.解线性方程得到特解中的未知系数。
6.将特解及一般解的线性组合作为原方程的通解。
凑微分法的示例下面通过一个具体的例子来说明凑微分法的应用。
假设我们要求解非齐次二阶线性微分方程：$$y'' + 3y' + 2y = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$首先我们需要猜测一个特解。
由于原方程右侧包含e−x和$\\sin(2x)$两种函数，我们可以假设特解的形式为$Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)$，其中A、B和C为待定常数。
接下来，我们对特解进行求导，得到：$$y' = -Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) - 2C\\sin(2x)$$$$y'' = Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)$$将特解及其导数带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧，得到：$$(Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)) + 3(-Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) -2C\\sin(2x)) + 2(Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)) = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$ 简化上述方程，整理得到未知系数的线性方程：$$(6A - 2B - 4C)e^{-x} + (3B + 4C)\\sin(2x) - (3A - 2B + 4C)\\cos(2x) = 4e^{-x}+ 5\\sin(2x)$$通过比较左右两侧的系数，我们可以得到未知系数的值：6A−2B−4C=43B+4C=53A−2B+4C=0解上述线性方程组，可以得到A=1，B=1，C=1。
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
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函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
则
f ( x)dx F ( 1 ( x)) C.
证明： d ( F ( 1 ( x)) F (t ) ( 1 ) dx
1 f ( (t )) (t ) f ( x). (t )
x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 ln | x x 2 a 2 | C1
2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln | x x 2 a 2 | C. 2 2
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2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C. 2 2
ln | sec x tan x | C.
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§2. 不定积分的计算
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
cos x 1 cos x sin x dx sin xd sin x 1 sin x dx 0 1?
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§2. 不定积分的计算 将不定积分视为一个数进行运算是错误的, 不定积分是 原函数的集合. 此时, cos x d sin x sin x dx sin x ln | sin x | C. 使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式, 例如：
求
f ( (t )) (t )dt
设 (t ) x
( 将函数 (t )替换为变量x )
f ( x )dx
求出这个不定积分,再将结果中的x换成 (t )即得 所求的不定积分.
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§2. 不定积分的计算 换元积分法——将变量替换为函数：
设 x (t )
求
f ( x)dx
dx (t )dt
f ( (t )) (t )dt ,
( 将变量x替换为函数 (t ) )
求出这个不定积分，再将结果中的t换成－1 ( x)即得 所求的不定积分.
注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.
1 ( x 2)(3x 1) C. 5
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2 3
§2. 不定积分的计算 例8. 求
a 2 x 2 dx
解： 令 x a sin t , dx a cos tdt ,
a 2 x 2 dx a cos t a cos tdt a 2 cos 2tdt
1Байду номын сангаас
dx
例10. 求
ln(x x 2 a 2 ) C, (C C1 ln a). dx
x 2 a 2 解： 1. 令x a sec t , dx a sec t tan tdt.
2. 令x acht, dx ashtdt
asht 原式 dt t C ln | x x 2 a 2 | C. asht
1 1 2. 令 t , dx 2 dt x t
1 x
1 x
1 2 t 原式 t e ( 2 )dt et dt e x C. t
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1
§2. 不定积分的计算 Theorem : 设f ( x)连续,x (t )及 (t )皆连续,x (t )的反
称之为 分部积分公式.
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§2. 不定积分的计算 注1. 不能直接求
uvdx
改写 转化
求
vudx,
udv
选则 u, v 的原则是
求
vdu
vdu
要比
udv
简单易求,
从而达到化繁为简的目的.
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§2. 不定积分的计算 例11. 求
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§2. 不定积分的计算
例如：1.
1 2 sin x cos xdx sin xd (sin x) 2 sin x C.
1 2. sin x cos xdx cos xd (cos x) cos 2 x C. 2
1 1 3. sin x cos xdx sin 2 xdx cos 2 x C. 2 4
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§2. 不定积分的计算 例9. 求
x2 a2 解： 令 x a tan t , dx a sec2 tdt , 则
a sec2 t 1 2 原式 dt sec tdt ln(tan t a a 2 tan 2 t ) C1 a sec t a
a2 a2 1 ( 1 cos 2 t ) dt ( t sin 2t ) C. 2 2 2
a2 x x 1 2 (arcsin a x2 ) C 2 a a a 2 1 a x 2 2 x a x arcsin C. 2 2 a x a2 x2 ( t arcsin x, sin 2t 2sin t cos t 2 ). a a
F (t ) C
令t ( x)
g (t )dt
积分公式
带回
x
F ( ( x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
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§2. 不定积分的计算
sin x d cos x dx ln | cos x | C. 例2. tan xdx cos x cos x
§2. 不定积分的计算
例15. 求
解：
ax e cos bxdx 及
ax e sin bxdx.
ax e cos bxdx
ax e sin bxdx
1 ax b e cos bx e ax sin bxdx , a a
1 ax b e sin bx a a
ax e cos bxdx,
x2 x2 x2 x sin xdx sin xd ( 2 ) 2 sin x 2 d (sin x).
比
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x sin xdx
更繁.
§2. 不定积分的计算 例12. 求
arctan xdx
解： 原式 x arctan x
x dx 2 1 x
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§2. 不定积分的计算 例14. 求 解：
2
x 2 a 2 dx
2 2 2
a 2 a 2
x x a a2
2 2
x a dx x x a x
dx
x x 2 a 2 x 2 a 2 dx
x a
2
2
dx
注：积分方法以“化繁为简”为目的.
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§2. 不定积分的计算 三、分部积分法
对于可微函数u( x)与v( x), 有
(uv) uv uv,
or
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
uvdx uv vudx ,
or
udv uv vdu ,
(a const )
dt t ln | t | C ln | x a | C.
d ( x a) xa
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令x a t
dx dt
§2. 不定积分的计算
“凑”微分法:
求
f ( x)dx
设法凑成
g ( ( x )) ( x) dx
§2. 不定积分的计算 一、“凑”微分法
2x e 例如： 求 e2 x dx 2 d (2 x)
形式上“凑”成能由不定 积分公式求出的积分!
令2 x t
dx 1 dt 2
1 t 1 t 1 2x e dt e C e C. 2 2 2
简单替换
例1.
1 dx xa
例3.
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
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§2. 不定积分的计算 例7. 求
x 1 dx 3 3x 1
解： 令 3x 1 t 3 , t 3 3x 1, x 1 (t 2 1), dx t 2 dt , 则 3
1 3 (t 1) 1 1 4 2 3 原式 t dt (t 2t )dt t 3
联立, 解之得：
b sin bx a cos bx ax e C, 2 2 e cos bxdx a b