凑微分法
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
5.3 凑微分法和分部积分法
例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2
du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数 三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。
本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。
首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。
不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。
通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。
此外，它还可以帮助求解积分函数。
具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。
下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。
先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。
除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。
举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。
以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。
总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
第一类换元法(凑微分法)
例 10 求下列不定积分
(1) sin 3 x dx ;
( 2) sin 2 x cos 5 x dx .
解 (2) 原式 sin 2 x cos 4 xd (sin x )
sin 2 x (1 sin 2 x ) 2 d (sin x ) (sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x ) d (sin x )
完
1 dx . 例 2 求不定积分 3 2x 解 1 dx 1 1 ( 3 2 x )dx 3 2x 2 3 2x 1 1 d (3 2 x ) 2 3 2x 3 2x u 1 1 1 ln u C du 换元 2 u 2 u 3 2x 1 ln 3 2 x C . 回代 2
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx 12 dx 2 2 ( x 4) 9 3 x 4 1 3 (1)
解法一 原式 1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ;
2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x ) 2 C ;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
注: 一般情形: f (ln x ) 1 dx f (ln x)d (ln x) x
例 6 求下列不定积分
凑微分法文档
凑微分法什么是凑微分法凑微分法（Method of Undetermined Coefficients）是一种常见的微分方程求解方法，特别适用于非齐次线性微分方程。
凑微分法的基本思想是通过猜测一个特解来接近原非齐次方程的解。
这种方法的优点是求解过程相对简单，不需要像变量分离法或常数变易法一样引入任意常数或变量变化。
凭借其简洁的求解过程，凑微分法在得到特解后，可以通过一般解和特解的线性组合求得原方程的通解。
凑微分法的步骤凑微分法的求解步骤如下：1.首先，我们需要根据原方程的形式，猜测一个特解。
特解的形式通常与原方程中的非齐次项相关。
2.将猜测的特解代入原方程，计算出特解的导数、二阶导数等。
3.将特解及其相应导数的表达式带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧。
4.整理右侧的项，得到一个关于未知系数的线性方程。
5.解线性方程得到特解中的未知系数。
6.将特解及一般解的线性组合作为原方程的通解。
凑微分法的示例下面通过一个具体的例子来说明凑微分法的应用。
假设我们要求解非齐次二阶线性微分方程：$$y'' + 3y' + 2y = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$首先我们需要猜测一个特解。
由于原方程右侧包含e−x和$\\sin(2x)$两种函数，我们可以假设特解的形式为$Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)$，其中A、B和C为待定常数。
接下来，我们对特解进行求导，得到：$$y' = -Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) - 2C\\sin(2x)$$$$y'' = Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)$$将特解及其导数带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧，得到：$$(Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)) + 3(-Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) -2C\\sin(2x)) + 2(Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)) = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$ 简化上述方程，整理得到未知系数的线性方程：$$(6A - 2B - 4C)e^{-x} + (3B + 4C)\\sin(2x) - (3A - 2B + 4C)\\cos(2x) = 4e^{-x}+ 5\\sin(2x)$$通过比较左右两侧的系数，我们可以得到未知系数的值：6A−2B−4C=43B+4C=53A−2B+4C=0解上述线性方程组，可以得到A=1，B=1，C=1。
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
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(1)(二级)(２)(二级)
(3)(二级)(４)(二级)
(５)(二级)(6)(二级)
(7)(二级)
解:(１)
(2)
(3)
(４)
(5)
(6)
(7)
由以上题目可见,凑微分就是通过凑出某个函数得微分进一步得凑成基本得积分公式,从而掌握一些常用得凑微分方法就是必要得,下面就是一些常用得凑微分方法:
1、不定积分得凑微分法(第一换元积分法)
(1)基本积分公式得推广
定理:若,则
例如:
(2)引例:求不定积分
分析:在基本积分公式中只有、比较与这两个积分,我们发现区别只就是得幂次相差一个常数因子,但显然。如果将中得凑上一个常数因子2,使之成为下式
然后再令,那么上述积分就变为
这样就将原不定积分化为可用基本积分公式得问题了,而
(４)案例讲解
例１、求下列函数得不定积分
(1)(一级)(2)(一级)
(3)(一级)
解:(1) (令)
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了这个积分公式
(2) (令)
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了
这个积分公式
(3)()
()
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了
这个积分公式
在计算比较熟练以后,换元这一步可以省略,即按如下方法写出计算过程:
２。培养学生得计算能力
时间分配
90分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修文编写思路及特点
思路:在熟练掌握积分基本公式得基础上,引入凑微分法,按照由易到难得顺序讲题例题、安排习题,使学生能够灵活运用凑微分积分法求函数得不定积分、在学习完不定积分得凑微分法后再来学习定积分得凑微分法。
(5)(二级)
(1)解:
(２)解:
＝
(３)解:
(4)解:
(5)解:
3、能力反馈部分
1、用凑微分法求下列函数得不定积分
(1)(一级)(2)(二级)
(3)(二级)(４)(二级)
(５)(二级)(6)(二级)
(7)(二级)(8)(二级)
(9)(三级)(10)(三级)
2、用凑微分法求下列函数得定积分
(二级)(一级)
,最后将代回,从而有
由于,所以计算结果正确。
(3) 不定积分得凑微分法(第一换元法)
将引例抽象化,对于具有形如得不定积分,可利用下面得积分方法:
定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式
其中,, 此称为积分形式得不变形,又称为第一换元积分法或凑微分法。
总结:凑微分法得关键就是凑成微分得形式,即通过凑成某个函数得微分,进一步得凑成基本积分公式,然后利用基本公式积出来
(二级)(二级)
=
2、定积分得凑微分法(第一换元积分法)
由牛顿—莱布尼茨公式可知,定积分得凑微分法与不定积分得凑微法类似,只就是多了一步将上、下限代入得步骤.
类似于不定积分得思路,我们可以得到如下定理
定理2设ｆ(u)具有原函数可导Ｆ(u)则有换元公式
例5 求下列函数得定积分
(1)(一级)(2)(一级)
(３)(二级)(4)(二级)
模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
计算模块
三级模块名称
凑微分法
模块编号
4—9
先行知识
1、积分基本公式
模块编号
4—7
2、牛顿—莱布尼茨公式
模块编号
4-6
知识内容
教学要求
掌握程度
1、凑微分法求不定积分
1。会运用凑微分法求不定积分
熟练掌握
2、凑微分法求定积分
2.会运用凑微分法求定积分
能力目标
1。培养学生得知识迁移能力
（1）
（2）
（3）
（4）
特别地,
(5)
(６)
(７)
(８)
（9）
（10）
例3、求下列函数得不定积分
(1)(二级)(2)(ａ０)(二级)
(3)(二级)
解:(１)
即
(2)
即
(3)
即
这样,我们得到三个积分公式:
(选讲)例４求下列函数得不定积分(提高部分,可选讲)
(1)(三级)(2)(三级)
解: (1)
(2)
特点:通过变换习题得手段,一方面进一步得巩固积分基本公式,另一方面锻炼学生得观察能力与知识得迁移能力。
2、授课部分
（一）新课讲授
利用基本积分公式与不定积分得性质,所能计算得不定积分就是非常有限得.因此有必要进一步来研究不定积分得求法、由微分运算与积分运算得互逆关系,我们可以把复合函数得微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量得代换,得到复合函数得积分法,称为换元法积分法,简称换元法。我们来讨论两类换元法-－-－－第一类换元法与第二类换元法、本节课我们来学习第一换元法,也称为凑微分法。