2凑微分法
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。
本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。
一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。
基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。
1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。
如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。
2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。
3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。
凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。
例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。
二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。
换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。
1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。
然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。
然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。
分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
高等数学第一类换元法(凑微分法)
注: 一般情形:
x f ( x ) dx
2
x2 u
1 f ( u) du. 2
完
例 4 计算不定积分 解
x 1 x 2 dx .
1 2
x
1 x dx
2
dx (1 x ) (1 x )
1 2 2
2
1 (1 x ) d (1 x 2 ) 2
例7
求下列不定积分
(1)
1 dx ; a 2 x 2
( 2)
1 dx . 2 x 8 x 25
解 (1) 原式
1 arctan x C ; a a
(2) 原式
1 1 dx dx 12 2 ( x 4) 2 9 3 x 4 1 3
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx dx 12 2 2 3 x 4 ( x 4) 9 1 3 1 1 d x 4 1 arctan x 4 C . 2 3 x 4 3 3 3 1 3 (1)
1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ; 解法一 原式 2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x )2 C;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
2凑微分法
2凑微分法微积分中最常用的方法之一就是微分法，可以通过微分法来求出对于复杂的函数的导数。
而对于一些比较复杂的函数，需要使用一些特殊的技巧来求导数，其中包括凑微分法。
1. 凑微分法的基本原理凑微分法的基本原理可以归结为以下三个步骤：（1）把原函数中的不可微部分分离出来。
（2）将可微部分用恰当的方法凑成微分的形式。
（3）利用微积分基本定理求出微分的导数。
对于一个复合函数而言，其可微部分即为所有的内函数对应的导数的乘积。
而不可微部分即为外函数的不可微分性质。
例如：$$y = \sin(x^2)$$对于上述函数而言，它的不可微部分即为$\sin(x^2)$，可微部分即为$(\sin(x^2))' = 2x \cdot \cos(x^2)$。
凑微分法的关键是要找到一种方法，使得所求的可微部分与其微分的形式尽量相似。
通常情况下，我们可以使用一些恰当的代换或变形来达到这个目的。
例如：对于上述函数而言，我们可以令$x = \sqrt{t}$，则有：$$\begin{aligned} y &= \cos((\sqrt{t})^2) \\ & = \cos(t) \end{aligned}$$此时，可微部分为$\cos(t)$，而其微分形式为$d\sin(t)$，进而有：$$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = - \sin(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = - \frac{\sin(x^2)}{2x}$$根据微积分基本定理，可得到函数的导数可以通过函数的微分求出，从而可以通过凑微分法求导。
即：其中，$F(u)$为可微函数，$g(x)$为实函数。
通过这种方法，我们可以将一些比较复杂的函数用凑微分法求导，从而简化求导过程，使得我们更加容易求得函数的导数。
总结凑微分法是微积分中重要的求导方法之一，其基本原理是通过将可微部分凑成微分的形式，然后利用微积分基本定理求出微分的导数。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是数学中常用的一种函数方法，它是一种“从某种变量微分出别的变量”的求解方法。
不定积分凑微分法公式可以应用于各种函数计算，对研究变量进行深入的分析、控制和模型的构建有很大帮助。
一般情况下，不定积分凑微分法公式主要求解几何型的微分方程。
它把一个方程中的一个变量与另一个变量之间的关系转化成微分方程，并用不定积分凑微分法分析两个变量之间的关系，以求解原方程。
说白了，就是用不定积分凑微分法对微分方程进行求解，以得到原方程的解。
不定积分凑微分法公式的基本形式：int_{x_0}^{x} {f(x}dx=F(x)-F(x_0)其中，f(x)是原方程中某一变量的函数表达式，F(x)是原方程的积分，x_0是不定积分的起始点，x是不定积分的终止点。
除此之外，不定积分凑微分法还可以应用于各种具体的微分方程，比如：1. 一阶微分方程：frac{dy}{dx}=f(x,y)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^{x} {f(xy(x))dx=y(x)-y(x_0)}2. 二阶微分方程：frac{d^2y}{dx^2}+p(x)frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^x{(frac{1}{2}p(xy^2+q(xy+g(x))dx=F(x)-F(x_0)} 以上就是不定积分凑微分法的一般形式和具体公式，它是一种解决微分方程的有效手段。
不定积分凑微分法最大的优点是能够求解一个微分方程，而一个微分方程大多由一系列问题系统所构成，因此，使用不定积分凑微分法可以解决复杂的多变量系统问题。
总之，不定积分凑微分法公式是一种广泛应用的数学方法，它可以应用于多个变量间的关系求解，有效地帮助我们研究和模型某一变量与另一个变量之间的关系，从而有效解决实际函数问题，是一种有效的解决办法。
2021年成考专升本高等数学二重点及解析精简版
高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）I 、函数、极限一、 基本初等函数（又称简朴函数）：（1）常值函数：y = c （2）幕函数：y = （3）指数函数：y = / （“〉0,且d H1）（4） 对数函数：y = \og a x （u ） 0,且oHl ）（5） 三角函数：y = sin x > y = cosx> y = tanx » y = cot x（6） 反三角 函数：y = arcsin x, y = arccosx> y = arctan x» y = arc cot x二、 复合函数：要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成。
例如：|y = lncosx 是由y = ln“ , u = cosx 这两个个简朴函数复合而成. 例如：|y = arctan e'x 是由y = arctan u > u = e 和y = 3x 这三个简朴函数复合而成. 该某些是背而求导核心！三、 极限计算1、运用函数持续性求极限（代入法）：对于普通极限式（即非未定式），只要将凡代 入到函数表达式中，函数值即是极限值，即lim/（x ） = /（x 0）.XT 心注意：（1）常数极限等于她自身，与自变量变化趋势无关，即limC = C o（2）该办法使用前提是当x->x 0时候，而xts 时则不能用此办法。
例lim 4 = 4, lim-3 = -3, Iimlg2 = lg2, lim/r = /r, ------ A —»-XA —>-l .TfX J 〜丸•1弋2.未定式极限运算法（1）对于+未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。
x 2 +3x-l~x+i02+3>0-l _o+i- 丽^1曲空41k 空—1------- 22 X-l 2-1（非特殊角三角函数值不用讣算出来）ini西计算黒m …•…存定式’提取公因式解：原式二 lim- V ~3)( V + 3)23X -3(2)对于三未定式：分子、分母同步除以未知量最髙次幫，然后运用无穷大倒数是无穷小 Q0这一关系进行讣算。
5.3 凑微分法和分部积分法
例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2
du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数 三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
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第二讲Ⅰ 授课题目（不定积分）：§5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：凑微分法，变量代换法。
难点：凑微分法, 变量代换法。
Ⅳ 讲授内容： 一、 凑微分法利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。
但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。
来看下面几个例子。
例1 求dx x ⎰2cos这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。
解 因为x x 2cos 2)2(sin ='而x x 2cos )2sin 21(='，所以c x xdx +=⎰2sin 212cos 。
例2 求dx x ⎰)4sin(3解)4sin(3))4cos(43()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-⇔='-⇔-='按照等价命题 c x dx x +-=⎰)4cos(43)4sin(3例3 求dt t ⎰+12这样想：)(12+='t ，联想到 )(u ='，再想到u u u u u u ='⇔=='=')32(2323)()(323233如果12+=t u12))12(31(122)12(12))12(32(33+='+⇔+='+⋅+='+t t t t t t最后一个等式正是我们想要的。
利用等价命题，就可以得到c t dt t ++=+⎰3)12(3112。
在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。
这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ） 例4 求dx x x ⎰+212如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +===那么这个不定积分就可以看作⎰⎰'=+dx x g x g f dx x x )())((122如果F 是f 的反导数，根据链法则)())(())((x g x g f x g F dxd '=所以，将u 看作是 21x +， 由于 c u du u du u f +==⎰⎰2332)(就可以得到 c x dx x x ++=+⎰3222)1(3212还可以通过求导数来验证结果是正确的。
把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则或者 ⎰⎰=+=du u f c u F dx dxdu u f )()()(，例5 求⎰+dx xx 232dxdu u f dx du u F u F dx d )()()(='=解cx c u duuu xxdx xdx xx ++=+==++=+⎰⎰⎰32223221323132注意运算中的一个细节：)(22x d xdx =,知道这一点非常重要。
在凑微分的过程中，下面这些微分等式至关重要。
0),(1≠+=a b ax d a dx ；））（（221x a d xdx +=; ））（（3231x a d dx x +=； )2(1a x d dx x+=；)(ln 1x d dx x=； )(sin cos x d xdx =；)(xxe d dx e =；)(arctan 112x d dx x=+；)(arcsin 112x d dx x=-；它们就像建筑中的模块，在凑微分过程中起到重要作用。
可以总结一些常见的凑微分公式如下（表5.2）。
表5.2被积分表达式中含有 凑微分法)0(),(1≠+=a b ax d adx )0(),()(1)(≠++=+⎰⎰a b ax d b ax f adx b ax f）（221x d xdx =222)(21)(dx x f xdx x f ⎰⎰= ）（3231x d dx x =3323)(31)(dx x f dx x x f ⎰⎰=……)0)((11≠=-ααααx d dx x )0()(1)(1≠=⎰⎰-ααααααdx x f dx xx f)(ln 1x d dx x= )(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f ⎰⎰=)(sin cos x d xdx = )(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f ⎰⎰=)(cos sin x d xdx -= )(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⎰⎰-= )(tan sec2x d xdx = )(tan )(tan sec)(tan 2x d x f xdx x f ⎰⎰= )(arctan 112x d dx x =+ x d x f dx x x f arctan )(arctan 11)(arctan 2⎰⎰=+)(arcsin 112x d dx x=- x d x f dx xx f arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2⎰⎰=-例6 求dx x ⎰2sin 解 因为2)2cos(1sin2x xdx -=所以c x x dx x x xdx +-=-=⎰⎰)2sin(4121)2cos 1(21sin2例7 求⎰dx x x )sin(2 解 因为)()sin(21)sin()222xd x dx x x =设u=x 2，所以c x c u udu du u dx x x +-=+-===⎰⎰⎰)cos(21)cos (21sin 21)sin(21)sin(22例8 求dx e x ⎰3 解 设u=3xc ec e du e du e dx exuuu x+=+===⎰⎰⎰33313131)21(一般地 c ea dx e axax +=⎰1例9 求 ⎰dx xe x 223 解 设u=2x 2,du=4xdx,⎰⎰⎰+===c edu e du edx xexuux22224343433二、 第二类换元法如果上述凑的方法行不通，而且被积函数中含有开方运算，这时就要“无中生有”了———引入新变量，将被积函数中的根号“去掉” 例10 求dx x ⎰+)1(21从被积表达式中难以看出怎样凑出 )())((x du x u f .可以做个变换2u x =或者u x =那么 udu dx 2=)(du uu d u dx x +=+=+1)1(21)1(21 ⎰⎰⎰⎰+-=+-+=+=+du udu uu du uudx x )111(1111)1(21⎰⎰++-=++-=+-=c x n x c u u duu du 111ln 111再看下面的例子。
例11 求⎰-dx x 21同样，从被积表达式中难以直接看出怎样凑出)())((x du x u f .但是，可以想到u u cos )(sin 12=-做个变换 x u u x arcsin sin ==或者 那么 udu dx cos =udu du u u u d u dx x 222cos ))(cos (cos )(sin sin11==-=-⎰⎰=-udu dx x 22cos 1 而 ⎰⎰⎰⎰+=+=udu du du uudu 2cos 212122cos 1cos 2c u u u ud u ++=+=⎰)2sin(4121)2(2cos 4121注意到x u arcsin =和 u u u cos sin 2)2sin(=c u u u c u u udu dx x ++=++==-⎰⎰cos sin 2121)2sin(4121cos 122=c xx x +-+2121arcsin 21例12 求⎰xdx 3sin注意到)cos )(cos1())(sin (sinsin 223x d x xdx x xdx --== cx x c x x x d x xdx ++-=+--=--=⎰⎰3322cos31cos )cos31(cos )cos ()cos1(sin这里用到了⎰+=c x x d cos cos （为什么？）一般地，对于正的奇数n ,⎰xdx nsin 和⎰xdx ncos 都采用类似的方法计算。
例13 求xdx ⎰4cos解 因为)12cos 22(cos41)22cos 1()(cos cos 22224++=+==x x xx x832cos 214cos 81)12cos 224cos 1(41++=+++=x x x x 所以c x x x c dx xdx xdx xdx +++=+++=⎰⎰⎰⎰832sin 414sin 321832cos 214cos 81cos 4一般地，对于正的偶数 xdx n n ⎰sin ,和 xdx n ⎰cos 都采用类似的方法计算。
Ⅴ 小结与提问：总结一下，利用凑微分法解题的要点是：根据被积函数的特点凑出中间变量)(x u u =及其微分形式，或者说，将被积表达式表示成 )())((x du x u f ，从而将积分化为推广的积分表的形式，即),()]([11),()](sin[),()]([2x du x u x du x u x du x u ⎰⎰⎰+α的形式。
应用这种方法 ，必须熟悉怎样将某些函数移进微分号内，这是微分运算的相反过程Ⅵ 课外作业：1. 填空，凑成微分形式：（1）)()(;)13(131)13(122d dx dx x =+=+（2）)()(ddedx xe xx==--22（3）)()(d d xdx xx =-=-22111 （4）)()(d d tgxdx xtgx ==1cos122. 回答下列问题：（1）⎰=+'dx x f )53( (2)=+'⎰dx x f x f 2)]([1)(3. 计算下列不定积分：（224P 3.（1）--（28））。