第四章 刚体的转动讲解

2. 转动 刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这条 直线叫作转轴.
瞬时转轴：转轴的位置或方向随时间变化. 固定转轴：转轴的位置或方向不随时间变化.
定轴转动的特点： 刚体上各质点都作圆周运动； 各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线 上； 各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。
三、描述刚体转动的物理量
参考系和坐标系的选择：在刚体内选取一个垂直于转 轴的平面作为参考平面，在此平面内取一个坐标系， 并把平面与转轴的交点作为坐标系的原点。坐标系 常选极坐标，把在参考平面中过原点的任一直线作 为参考线。
1．角位置（角坐标） θ ：位置矢量与坐标轴(ox轴)
的夹角。单位：弧度，rad。
例1 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用， 在5s内角速度由15rad/s 匀减速地降到 10rad/s 。求：(1)角加速度；(2)在此5s 内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停 止转动。
§4－2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。
说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
研究刚体的方法:从质点和质点系的运动规律出发来研究刚体的 运动规律。把刚体看成是无数质点组成的质点系，先讨论每 个质点的运动规律，然后把构成刚体的全部质点的运动加以 综合，可以得到刚体的运动规律。
法向加速度：
an
t 0
v2
R
lim s
R
t t0 t
(R)2 R 2
R

R
切向加速度：
a

dv dt

d dt
(R)

R
d
dt

R
结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有
各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；
而各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比。
2．物理意义
转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。
2．角位移Δθ：Δt时间内角位移增量。
规定：定轴转动的只有两个转动方向， 沿逆时针方向转动的角位移取正值 沿顺时针方向转动的角位移取负值
单位：rad
3．角速度ω 平均角速度 ＝
t
lim 瞬时角速度
＝
t 0

t

d
dt
对定轴转动，ω的正负也是由转动方向确定。
ω=const 匀速转动；ω≠const 变速转动
单位rad·s-1
4．角加速度α
平均角加速度 ＝
t
lim 瞬时角加速度
＝
t 0

t

d
dt

d 2
dt 2
α,ω同号：加速转动 α,ω异号：减速转动
单位rad·s-2
三、转动公式（与第一章相同）
1．匀速转动(t=0，θ=θ0)
1）角加速度 α=0
2）角速度
ω=const
3）角位移
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M i
M F1r1 sin1 F2 r2 sin 2 F3r3 sin 3
单位： N.m
注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的
轴的力矩。用M表示。
用矢量表示 M r F
或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个
力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。
合力M矩＝对r于每F个分r 力的F力i 矩 之和r 。Fi
Δθ=ωt
4）角位置
＝0＋ t
2．匀变速转动(t=0，ω=ω0，θ=θ0)
1）角加速度 ＝const
2）角速度 ＝0 t
3）角位移 4）角位置
＝
0
t

1 2
＝ 0＋ 0

t
t2

1 2

t
2
四、角量与线量的关系
半径R，角位移
弧长 s R
线速度v: v lim
二、刚体的平动和转动
刚体的运动可分为平动和转动定轴转动和非定轴转动. 较复杂的运动可以看成是这两种基本运动的叠加， 或一种转动与另外一种转动的叠加。
1.平动:当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时， 或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。
对于刚体的平动，各个质 点在同一时间内的位移相 同，同一时刻的速度和加 速度相等，因而刚体的平 动可用一个点的运动代表， 刚体可以视为质点。
不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
二、转动定律
1．一个质点的情况 法向力通过转轴，力矩为零
切向力 Ft mat mr
对转轴的力矩为 M＝Ft r mr2
总力矩 M＝mr2
即刚体的角加速度与刚体所受的力矩成正比。 2．内力的力矩
刚体内任意两点之间的相互作用力，大小相等，方 向相反，在同一条直线上。两力的力臂相等，因而两 力的力矩相等，方向相反。故两个内力的和力矩为零。
则得 M J 写成矢量形式
M

J
转动定律：刚体所获得的角加速度
与它所受的合外力矩成正比，与刚
体的转动惯量成反比。
4．说明：
合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴 而言的；
转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律， 它的地位与质点动力学中牛顿第二定律相 当。
三、转动惯量
1．定义
刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到 转轴距离平方的乘积之和。它与刚体的形状、质量分 布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转 动的刚体本身的性质和转轴的位置有关。
推广：刚体的内力力矩之和为零。
3．刚体的情况
把刚体看成是由许多质点所组成的，对于质点i，假 设它的质量为Δmi，则
M i＝mi ri 2
其中力矩为外力矩和内力矩之和。
对刚体的所有质点来说，都有同样的结论。把这些
式子相加，得
把合外力矩记作

M
＝
i
M
mi ri 2
定义 J＝ miri 2 为转动惯量