重庆市顶级名校2021届高三上学期第一次月考 数学试题
高2021级高三第一次月考
数学试题
一、单选题：本大题共8小题，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．与角2021︒终边相同的角是（ ）
A ．221°
B ．2021-︒
C ．221-︒
D ．139︒
2．已知i 为虚数单位，若21m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．2- D ．12
- 3．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：0
10lg I I η=（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度），则60dB 的声音强度1I 是50dB 的声音强度2I 的（ ）
A ．76倍
B ．7
610倍 C ．10倍 D ．7ln 6
倍 4．小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（ ）
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
5．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念。
在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
，则下列选项正确的是（ ） A ．()()()π2f f e f << B ．()()()2πf f e f '''<<
C ．()()()()1212f f f f ''<<
D ．()()()()2211f f f f ''<-< 6．函数()()
2ln 1f x x kx =+-的图象不可能是（ ） A ． B ．C ． D ．
7．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]
2,3上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),81-∞- B ．()24,-+∞ C ．()81,24-- D ．()81,-+∞
8．已知函数()f x 对任意x R ∈都有()()()422f x f x f ++=，()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，则()20201f +=（ ）
A ．0
B ．2-
C ．1-
D ．1
二、多选题：本大题共4小题，分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．
9．下列函数中，既是偶函数又是区间()0,+∞上的增函数有（ ）
A ．2x y -=
B ．2
3y x = C ．21y x =- D ．3y x =
10．若()52345
01234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则下列结论中正确的是（ ）
A ．01a =
B ．123452a a a a a ++++=
C ．5
0123453a a a a a a -+-+-= D ．0123451a a a a a a -+-+-=-
11．若方程22
131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（ ）
A ．若13t <<，则C 为椭圆
B ．若
C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<
C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <
D ．若C 是双曲线，则其离心率有1e <<12．已知log x a y =，log y b x =，y c x =，x
d y =，其中x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，则（
）
A ．对任意的x 和y ，都有c d ≠
B ．存在x 和y ，使得a b =
C ．a ，b ，c ，d 中大于1的数有奇数个
D ．存在x 和y ，使得a b c d <<<
三、填空题：本大题共4小题，把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知()π,2πα∈，3
tan 4α=-，则cos α=______．
14．已知一个扇形的周长为8cm ，则当该扇形的半径r =______cm 时，面积最大．
15．已知点P 是抛物线2
4y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，当PF PA 取最小值时，直线AP 的方程为______．
16．函数()f x 对于任意x R ∈，均满足()()2f x f x =-，()3,0132,0
x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<⎩，若存在实数a ，b ，c ，
()d a b c d <<<满足()()()()f a f b f c f d ===，则()()2b a c d --+的取值范围是______．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知tan 3α=，求值：
（1）cos sin cos sin αααα
-+ （2）23π2sin 3sin sin 2ααα⎛⎫+-
⎪⎝⎭． 18．已知函数()x f x e ax =-，a R ∈，e 是自然对数的底数．
（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间：
（2）记函数()f x 在区间[]0,1上的最小值为()h a ，求()h a ．
19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且60BAD ∠=︒，11124CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点．
（1）求证：1AA BD ⊥；
（2）求直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值．
20．某市2017年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2018年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2018年2月后该市新建住宅销售均价的数据：
月份x
3 4 5 6 7 均价y （百元/平方米） 83 82 80 78 77
（1）研究发现，3月至7月的各月均价y 与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求均价y 关于月份x 的
线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）用i y 表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值与实际相应月份销售均价i y ，差的绝对值记为i ξ，即i i i y y ξ=-，1i =，2，3，4，5．现从5个数据1ξ，2ξ，3ξ，4ξ，5ξ中任取2个，记取到的2个数据和为η，求η的分布列和数学期望E η． 注意几点：①可供选择的数据511984i i
i x y ==∑，5
21135i i x ==∑； ②参考公式：回归方程系数公式1
22
1ˆn i i
i n i j x y nxy b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-． 21．在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为()2,0-），()2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于14
-．设点P 的轨迹为C ． （1）求轨迹C 的方程；
（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点()1,0且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线AM ，BN 的交点Q 在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．
22．已知()()2121ln 1f x x x k x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭
，其中k R ∈，()()1f x g x x =-． （1）当1k =时，求()g x 的单调区间，并证明：()0f x ≥；
（2）若对任意的0x >且1x ≠时，()0f x <恒成立，求实数k 的取值范围．。
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合(){}ln 1A y y x ==-，{B y y ==，则A B =（ ）A ．[)0,2B ．()0,2C ．[]0,2D ．[)0,1【答案】A【解析】先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B ，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】∵(){}ln 1A y y x R ==-=，{[)0,2B y y ===，∴[)0,2AB =.故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.2．设a ，()0,b ∈+∞，A =，B =，则A ，B 的大小关系是（ ）A ．AB < B ．A B >C ．A B ≤D ．A B ≥【答案】B【解析】根据题意计算做差可得22A B >，得到答案. 【详解】由a ，()0,b ∈+∞，得0A =>，0B =>22220A B -=-=>，∴22A B >，故A B >， 故选：B. 【点睛】本题考查了做差法比较大小，意在考查学生的计算能力和推断能力.3．已知直线l 是曲线2y x =的切线，则l 的方程不可能是（ ）A ．5210x y -+=B ．4210x y -+=C ．13690x y -+=D ．9440x y -+=【答案】B【解析】利用导数求出曲线2y x =的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线2y x =的切线，由此可得出结论.【详解】对于函数2y x =，定义域为[)0,+∞，则22y '=+>，所以，曲线2y x =的切线l 的斜率的取值范围是()2,+∞.对于A 选项，直线5210x y -+=的斜率为52，令522y '=+=，解得1x =，此时3y =，点()1,3在直线5210x y -+=上，则直线5210x y -+=与曲线2y x =相切；对于B 选项，直线4210x y -+=的斜率为2，该直线不是曲线2y x =的切线；对于C 选项，直线13690x y -+=的斜率为1326>， 令1326y '=+=，解得9x =，此时21y =，点()9,21在直线13690x y -+=上，所以，直线13690x y -+=与曲线2y x=相切；对于D 选项，直线9440x y -+=的斜率为924>， 令924y '==，解得4x =，此时10y =，点()4,10在直线9440x y -+=上，所以，直线9440x y -+=与曲线2y x =相切. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题. 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．(35)π-B．(51)πC．51)πD．52)π【答案】A【解析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S与2S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(35)απ=-故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lrα==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长．5．若函数()(),2log2,xaa x af xx x a⎧<<⎪=⎨->⎪⎩（其中0a>，1a≠）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．()1,11,32⎛⎫⋃⎪⎝⎭B．(]1,3C．()2,3D．(]2,3【答案】C【解析】根据题中所给的函数有零点，结合解析式的特征，求得函数的零点，再根据分段函数的意义再结合式子的特征求得结果.【详解】因为x a>时，()log(2)af x x=-，所以2a>，若函数若有零点，则()log 20a x -=，解得3x =， 故3a >，又2a >，∴实数a 的取值范围是()2,3． 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数有零点求参数的取值范围，属于简单题目.6．已知02ω<≤，函数()sin f x x x ωω=，对任意R x ∈，都有()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ω的值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】化简函数()y f x =的解析式为()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意可知，点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，结合02ω<≤可求得ω的值. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()3f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，得,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，则2sin 0663f ππωπ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 063πωπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 02ω<≤，0363ππωπ∴-<-≤，所以063πωπ-=，解得2ω=.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用导数求得函数()y f x =的单调递减区间，利用赋值法可得出结果. 【详解】()2cos sin 2f x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x '=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -≤≤，可得sin 10x +≥，令()0f x '<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 5,,4266ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对任意的k Z ∈，50,2,2666k k πππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,2,2266k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，55,2,2666k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（ ）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ． 【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.二、多选题9．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin sin B A C =，则角B 的值不可能是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°【答案】CD【解析】先利用正弦定理得到2b ac =，再利用余弦定理和基本不等式得到0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可判断. 【详解】∵2sin sin sin B A C =， 由正弦定理得： ∴2b ac =，∴2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时取等号， 又0B π<<，故0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：CD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题. 10．下列说法正确的是（ ） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题C ．命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+>” D ．将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【解析】解方程tan 1x =，利用集合的包含关系可判断A 选项的正误；判断命题p 的真假，可判断出该命题的否定的真假，进而可判断B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断C 选项的正误；利用图象平移得出函数()y g x =的解析式，利用对称性的定义可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，解方程tan 1x =，可得()4x k k Z ππ=+∈，4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，所以，“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件， A 选项正确；对于B 选项，当0m =时，22am bm =，则命题p 为假命题，它的否定为真命题，B 选项正确；对于C 选项，命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+<”，C 选项错误；对于D 选项，将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度， 得到()cos 2sin 2444g x x x x x πππ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭， ()()sin 2sin 244g x x x x x ππ-=---+=-+，则()()2g x g x π+-=，故函数()y g x =的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了充分不必要条件、命题的否定的真假、特称命题的否定的判断，同时也考查了函数对称性的验证，考查推理能力，属于中等题.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）A ．()2xf x x =+B ．()23g x x x =--C ．()21,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()ln 1f x x =-【答案】BC【解析】只要解方程00()f x x =，观察它有没有实解即可得， 【详解】选项A ，若()00f x x =，则020x =，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若()00g x x =，则200230x x --=，解得03x =或-1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若()00f x x =，则01x ≤，0021xx -=，或01x >，002x x -=，解得01x =，故C 中函数是：“不动点”函数；选项D ，若()00f x x =，则00ln 1x x -=，该方程无解，故D 中函数不是“不动点”函数. 故选：BC. 【点睛】本题考查新定义“不动点”，解题关键是根据新定义把问题转化为方程有无实数解． 12．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x【答案】ABD【解析】先根据周期函数定义判断选项A ，再根据[]y x =函数的意义，转化()f x 为分段函数判断B 选项，结合三角函数的图象与性质判断C ，D 选项. 【详解】[][]()2sin co (cos in )s s f x x x f x π+=+=，()f x ∴的一个周期是2π，故A 正确；sin11,01,0,2cos1,21sin1,,2()3cos1sin1,,23cos1,,22cos1,,02x x x x f x x x x πππππππππ+=⎧⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎛⎤⎪-∈ ⎪⎥=⎝⎦⎨⎪⎛⎫⎪-∈ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x ∴是非奇非偶函数，B 正确；对于C ，(0,)2x π∈时，()1f x =，不增不减，所以C 错误；对于D ，[0,)2x π∈，()sin11sin11 1.742f x π=+>+=+>>D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.三、填空题13．若幂函数()f x 过点()2,8,则满足不等式(3)(1)f a f a -≤-的实数a 的取值范围是______. 【答案】(,2]-∞【解析】先求得幂函数()f x 的解析式，在根据()f x 的单调性求得不等式(3)(1)f a f a -≤-的解集.【详解】设()f x x α=，代入点()2,8，得28,3αα==，所以()3f x x =，所以()f x 在R 上递增，所以(3)(1)31f a f a a a -≤-⇒-≤-，解得2a ≤，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞.故答案为：(,2]-∞ 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，属于基础题. 14．已知1a >，1b >，则log log 216a b b a +的最小值是______. 【答案】8【解析】利用换底公式可得log log 1a b b a ⨯=，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为1a >，1b >，所以log 0,log 0b a a b >>，因为lg log lg log log 1lg log lg aa b bb b a b a a a b ⎧=⎪⎪⇒⨯=⎨⎪=⎪⎩，所以，log log 2168a b b a +≥==，当log 2a b =时取“=”. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查指数式的运算、考查了换底公式与基本不等式的应用，属于中档题. 15．4cos50tan40-=______．【解析】【详解】4sin 40cos40sin 404cos50tan 40cos 40--=2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=,1cos10sin1022cos 40⎫-⎪⎝⎭=403cos 40==【考点】三角函数诱导公式、切割化弦思想.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，()cos25cos 3A B C ++=-，点P 是ABC 的重心，且27AP =，则c =______.【答案】4【解析】首先根据余弦二倍角公式得到1cos 2A =，设BC 边上的中线为AD ，得到7AD =，从而得到()12AD AB AC =+，再平方解方程即可得到答案. 【详解】因为()cos25cos 3A B C +-＋＝，所以22cos 5cos 20A A -+=， 所以1cos 2A =或cos 2A =（舍去）. 设BC 边上的中线为AD ，如图所示：因为27AP =，所以7AD = 又因为()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AC AB AC =++⋅， 所以()22172cos 4c b bc A =++，2211722242⎛⎫=++⨯⨯ ⎪⎝⎭c c ，化简得22240c c +-=，解得4c =或6c =-（舍去）. 故答案为：4 【点睛】本题主要平面向量数量积的应用，同时考查了余弦二倍角公式，属于简单题.四、解答题17．已知点()2,1P -在角α的终边上，且02απ≤< .（1）求值：2sin cos 4sin cos αααα-+；（2）若32ππβ<<，且sin 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2αβ+的值.【答案】（1）2；（2）724απβ+=. 【解析】先利用同角三角函数的基本关系得到sin ,cos ,tan ααα；（1）原式分子分母同除cos α得到正切，代入已知量即可得出结果；（2）先利用已知角的范围求得5224παπβ<-<，求出cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用22ααββα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果. 【详解】由题意：sin α=，cos α=， 1tan 2α=-，且2παπ<<，（1）2sin cos 2tan 124sin cos 4tan 1αααααα--==++；（2）∵32ππβ<<，224παπ-<-<-，∴5224παπβ<-<，∴cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴cos cos cos cos sin sin 2222ααααββαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5521010⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎭=⎝-， ∵5242παβπ<+<， ∴724απβ+=. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题.18．已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上单调递增？若存在，求出t 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）()[]2,3f x ∈；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）求出函数的单调区间，由2在减区间内部，得结论． 【详解】解：（1）∵()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 21sin 212sin 223x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22633x πππ≤-≤，即212sin 233π⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭x ， ∴()[]2,3f x ∈； （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈得51212k x ππππ-+≤≤+()k Z ∈， 所以()f x 的递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，递减区间是511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，令0k =，函数在511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而5112,1212ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即函数在112,12π⎛⎫⎪⎝⎭上是递减的，故不存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上递增. 【点睛】本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解． 19．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；（2）211e -. 【解析】（1）首先对函数求导，根据函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值，得到()110f a '=-=，求得1a =，根据导数的符号求得其单调区间； （2）将不等式转化为1ln 1x b x x +-≥，之后构造新函数()1ln 1xg x x x=+-，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果. 【详解】()11ax f x a x x-'=-=，由()110f a '=-=得1a =，()1ln =--f x x x ， （1）()1x f x x-'=，由0f x 得1x >，由0f x 得01x <<，故函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增.（2）()1ln 21x f x bx b x x≥-⇒+-≥， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2ln 2x g x x -'=，由0g x，得2x e >，由0g x ，得20x e <<，故()g x 在()20,e上递减，在()2e ,+∞上递增，∴()()22min 1e1eg x g ==-，即211e b ≤-， 故实数b 的最大值是211e-.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目. 20．已知函数()1f x x ax =-，其中0a >. （1）求关于x 的不等式()2f x a>的解集； （2）若12a =，求[]0,x m ∈时，函数()f x 的最大值.【答案】（1）2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）2max 2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【解析】（1）根据分段函数定义域解不等式可求得答案； （2）画出函数()f x 的图象，数形结合可求得()f x 的最大值 【详解】（1）()()()11,11,x ax x af x x x x a α⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，(0)a >当1x a ≥时，由()2>f x a ，得(12)x ax a ->，1(2)()0ax x a-+>，20ax ->，2x a>， 当1x a <时，由()2>f x a ，即(1)2x ax a ->，220ax x a -+<，令220ax x a-+=，180∆=-<，方程无解，而0a >，所以220ax x a-+<无解，综上所述，2x a >，所以不等式()2f x a >的解集为2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）12a =时()22,21212,22x x x f x x x x x x ⎧-≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩，∵()112f =，由1122x x -=得另一个根21x =，由()f x 的图像可知，当01m <<时，函数的最大值为()2122m m f m m m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当121m ≤≤+时，函数的最大值为12； 当21m >+时，函数的最大值为()22m f m m =-综上所述，函数的最大值为2max2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【点睛】本题考查了解分段函数不等式的问题，分段函数求最值的问题，考查了数形结合的思想. 21．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长23AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？ 【答案】（1）43OA θ=；436OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当632OB OA ==时，OM 取最大值.【解析】（1）在OAB 中，利用正弦定理即可将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来； （2）在OMB △中，由余弦定理得出2OM 21632283πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可得出OM 的最大值，再求出,OA OB 的长度即可. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可知sin sin 6OA ABπθ=，则OA θ=；同理由正弦定理可得sin sin 6OB ABOABπ=∠，则6OB OAB πθ⎛⎫=∠=+⎪⎝⎭， （2）∵AB =6MAB MBA π∠=∠=，∴2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理可知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭248sin 4cos 666πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭241cos 24233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2823cos 228228333πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦， ∵50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴2sin 21,32πθ⎡⎫⎛⎫+=-⎪⎢⎪⎪⎝⎭⎣⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即512πθ=时， OM4=+，此时5sin cos cos sin 124646OA πππππ⎫==+=⎪⎭，5551261212OB πππππ⎛⎫⎛⎫=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即当OB OA ==OM 取最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题. 22．已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.（1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围； （2）若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.【答案】（1）(0,25sin 4)a ∈-；（2）()f x 有3个零点. 【解析】（1）先求导得2sin )(1)(ag x x x '=--+，求出2()0(1)a g ππ'=-<+()4sin 425a g '=--，再由sin 4025a --≤和sin 4025a-->两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(,)b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可. 【详解】解：（1）当1b =时，si ()(l )n 1n f x a x x =++，cos 1()()x x ag f x x '==++， 2sin )(1)(a g x x x '=--+()0a >在(),4π是增函数，2()0(1)ag ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--， 当(4)sin 4025ag '=--≤时，()g x 在(,4)π是减函数，无极值； 当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得00()g x '=， 从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点，所以()0,25sin 4a ∈-（2）当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，（i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-，1()cos f x x x b'=-+，（ii ）(,)2x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减， ()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<，存在唯一的(,)2s ππ∈，()0f s =；（iii ）当(,)2x b π∈-，21()sin ()f x x x b ''=-++是减函数，且21(0)00f b ''=+>，21()102()2f b ππ''=-+<+ 则1(0,)2x π∃∈，1()0f x ''=，()f x '在1(,)b x -是增函数，1()2x π，是减函数，并且 lim ()0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1()022f b ππ'=-<+， 所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=；3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知()f x()f x 在()2,b x -减，在()23,x x 增，在3(,)2x π减，又因为()lim 0x b x f +→->，()00ln 0f b =-<，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =， (0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理(含解析)
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案） 1.在平面直角坐标系中，点sin100,cos 0()20P ︒︒位于第（ ）象限. A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】 【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得0cos 200<，即可得到答案. 【详解】()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-<，∴点()sin100,cos 200P ︒︒位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2.设,,x y z ∈R ，条件p ：22xz yz >，条件q ：x y >，则p 是q 的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】条件p ：22xz yz >，⇒条件q ：x y >；反之不成立：例如取0z =，则22xz yz =即可判断出．【详解】∵条件p ：22xz yz >⇒条件q ：x y >；反之，则不成立；例如取0z =，则22xz yz =． 则p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若m α⊆，n β⊆，则m ，n 为异面直线 B. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若αβ⊥，m α⊆，n β⊆，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案. 详解】对A ，若m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故A 错误；对B ，若m ⊥α，则m 垂直平面α内所有的直线，又n ∥α，所以m ⊥n ．故B 正确； 对C ，若m ∥α，m ∥β，则α，β可能相交，平行．故C 错误；对D ，若α⊥β，m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.4.已知正数a ，b 满足1a b +=，则9a bab+的最小值为（ ） A. 4B. 6C. 16D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得99191()a b a b ab b a b a +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解． 【详解】正数,a b ，满足1a b +=，则991919()101016a b b a a b ab b a b a a b +⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b =且1a b +=即13,44a b ==时取得最小值16． 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 5.设函数()1sin cos f x x x =+，则下列说法中正确的是（ ） A. ()f x 为奇函数 B. ()f x 为增函数C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 图象的一条对称轴为4πx =-【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】因为1()1sin cos 1sin 22f x x x x =+=+， 对A ，函数()f x 不关于原点对称，所以不为奇函数，故A 错误； 对B ，函数()f x 在R 上不具有单调性，故B 错误； 对C ，函数()f x 的周期22T ππ==，故C 错误； 利用排除法可得D 正确. 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键． 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若563S a S =+，则{}n a 的公比q =（ ）B. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可算出结果．【详解】∵等比数列{}n a 的各项为正数，0q ∴>，∵563S a S =+，∴536S S a -=，即：546a a a +=，∴541131a q a q a q +=，化简得：210q q --=，解得q =又∵0q >，∴q =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考查运算求解能力．7.已知集合M x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，232x N y y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. (0,1]B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ，由此能求出M N ⋃．【详解】∵12210,log (21)0,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩⇒集合1|12M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，∵323x+>,∴22||0323x N y y y y ⎧⎫⎧⎫===<<⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭， ∴{|01}(0,1]M x x ⋃=<=N ． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考查运算求解能力．8.已知向量a ，b 满足||2a =，3b =，4a b +=，则||a b -=（ ）B.D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对||4a b +=两边平方求出2a b ⋅的值，再求出2()a b -的值，从而求出||a b -的值． 【详解】∵||2a =，||3b =，180，∴222()213216a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=， ∴23a b ⋅=，∴222()213213310a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=-=， ∴||10a b -=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（ ）A. 8πB.28π3 C. π D. 7π6【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体为34个球，根据球的体积公式可求得结果. 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为2的球体，切去14个球后所剩余部分，如图所示∴该几何体的体积为3432834V ππ=⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查球的体积的求解，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题. 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为x ，由题意判断人数关系，求出x 的值后，即可求得答案． 【详解】设教师人数为x ， ∵家长人数多于教师人数， ∴家长人数≥1x +， ∵女学生人数多于家长人数， ∴女学生人数≥2x +， ∵男学生人数多于女学生人数， ∴男学生人数≥3x +， ∴总人数≥46x +，∵教师人数的两倍多于男学生人数， ∴23x x >+， ∴3x >，当4x =时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断①；运用线面平行的判定定理，即可判断②；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断③；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断④．【详解】对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，则1A C ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1A C ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误； 对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．12.已知函数()4cos f x x x π=-，等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，则189a a a ++=（ ）A. 6B. 3C.34D.32【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得函数在R 上单调递增，由()4cos f x x x π=-，可得1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，即()()66334f a d f a d -++=，可得612a =．再利用等差数列的性质即可得出．【详解】∵函数()4cos f x x x π=-，'0(n )4si f x x ππ+=≥，∴()f x 在R 上单调递增，∴对任意实数t ，1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=， ∴391a a +=，∴612a =， ∵1891633(5)32a a a a d a ++=+==. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数x ，y 满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值为________.【答案】12 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,x y ，满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，可得(4,0)A ，化目标函数32z x y =+为322zy x =-+， 由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为342012z =⨯+⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为________. 【答案】840 【解析】 【分析】分析数列的奇数项，得出奇数项为222113151,,,222---⋯，根据此规律代入求出即可．【详解】奇数项为 222113151,,,222---⋯,根据此规律有：第41项为24118402-=，故答案为：840．【点睛】本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15.已知正三棱锥的底面边长为________. 【答案】100π 【解析】 【分析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P 在底面ABC 的投影为三角形ABC 的外心，设为D ， 其外接球的球心在PD 上，设为点O ，设外接球半径为r ，三角形ABC 的外接圆半径为R ，∵13V sh =，∴11322PD =⨯⨯， 所以8PD =， 由正弦定理有2sin ABR C=， 所以4AD R ==，在Rt ADO ∆中有，222AD OD AO +=， 所以2224(8)r r +-=解得=5r ， 所以外接球表面积24100S r ππ==， 故答案为：100π．【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力．16.设函数2(0)()(0)xe xf x xx ⎧≥=⎨<⎩，若方程(())f f x λ=恰有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为________.【答案】2ln 22- 【解析】 【分析】由题意，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，画出图象，显然()()22112x x e g x eg x eλ====，进而得到()12112ln x x x x +=+-，由此即可得解．【详解】当0x ≥时，()1xf x e=，则(())xe f f x e =；当0x <时，2()0f x x =>，则2(())x f f x e =，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，即函数()y g x =与直线y λ=有且仅有两个交点，作出图象如图所示，由图象可知，e λ≥，11x ≤-，0x ≥，且()()22112x xe g x e g x e λ====， ∴221xx e =，则()212ln x x =-，∴()12112ln x x x x +=+-，令()2ln()h x x x =+-，1x ≤-，则2()1h x x'=+，令()0h x '=，解得2x =-， 显然，当(,2)x ∈-∞-时，函数()h x 为增函数， 当(2,1)x ∈--时，函数()h x 为减函数，∴max ()(2)2ln 22h x h =-=-． 故答案为：2ln 22-．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置） 17.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC 而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC 的费马点.如图所示，在ABC 中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC 的费马点，且满足45PBA ∠=︒，2PA =.（1）求PAC的面积；（2）求PB 的长度.【答案】（13；（231. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB ︒∠=，30PAC ︒∠=，可得在PAC ∆中，30PCA ︒∠=，可得2PA PC ==，利用三角形的面积公式即可求解PAC ∆的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin 45︒，sin15︒的值，在PAC ∆中，由正弦定理可得PB 的值．【详解】（1）由已知1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC ∠=︒-︒=︒. 在PAC ∆中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC ==.所以PAC ∆的面积113sin 22322S PA PC PAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. （2）在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒（*）而()232162sin15sin 45302-︒=-=⨯-⨯=︒︒， 2sin 452=°代入（*）式得31PB =-.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想．18.数列{}n a 满足1323nn n a a +=+⨯，13a =.（1）证明：3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S .【答案】（1）证明见解析；（2）3nn S n =⋅.【解析】 【分析】（1）将等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）由已知11111323223333333n n n n n n n n n n n a a a a a ++++++⨯==+⇒-=， 由定义知3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且公差为23，首项为1113a =，故12211(1)(21)3333n n n n a n n a n -+=+-=⇒=+. （2）由已知0121335373(21)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+++，故1233335373(21)3n n S n =⨯+⨯+⨯+++，相减得：()01212332333(21)3n n n S n --=⨯++++-+，即()103132332(21)32313n n n nS n n ---=⨯+⨯-+=-⋅-，所以3n n S n =⋅.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设BC ，CD 的中点分别为E ，F ，点G 在线段PA 上，如图.（1）证明：EF GC ⊥；（2）当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）35. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥EF ，再由ABCD 是正方形结合EF 为△BCD 的中位线，可得EF ⊥AC ，得到EF ⊥平面PAC ，进一步得到EF ⊥GC ； （2）分别以PB ，OC ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出A ，P ，E ，F 的坐标，设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤，求得(0,,1)G λλ--，设平面PEF 的一个法向量为(,,)m a b c =，求得(0,2,1)m =，结合BG ∥平面PEF ，利用数量积为0求得λ，进一步得到120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(0,1,0)C ，求出直线GC 的法向量为(0,2,1)=-n ．设GC 和平面PEF 所成角为θ，再由sin |cos ,|GC m θ=<>求解．【详解】（1）证明：由已知P ABCD -为正四棱锥，设AC ，BD 交于点O ， 由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，所以PO EF ⊥，由于正方形ABCD 满足AC BD ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故//EF BD ，所以EF AC ⊥， 所以EF ⊥平面PAC ，而CG ⊆平面PAC ，所以EF GC ⊥. （2）分别以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立如图坐标系，此时(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤， 即(,,1)(0,1,1)(0,,1)x y z G λλλ-=--⇒--， 设平面PEF 的法向量为(,,)m a b c =， 由于11,,122EP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,0,0)EF =-， 由00m EP m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩解得(0,2,1)m =，由//BG 平面PEF 知0(1,,1)(0,2,1)130BG m BG m λλλ⊥⇒⋅=⇒---⋅=-=，解得13λ=，此时120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于(0,1,0)C ，故420,,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以直线GC 的方向向量(0,2,1)=-n ， 设GC 和平面PEF 所成角为θ， 则003sin |cos ,|5||||0n m GC m n m θ⋅⨯=<>===⋅+.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 20.已知函数()2ln f x x x =+.（1）经过点()0,2-作函数()f x 图象的切线，求切线的方程； （2）设函数()()()1xg x x e f x =--，求()g x 在(0,)+∞上的最小值.【答案】（1）32y x =-；（2）22ln 2-. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为()00,x y ，斜率()0k f x '=，利用点在曲线上和切线上，可得关于0,x k 的方程；（2）对()g x 求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】（1）由于2()1f x x'=+，设切点坐标为()00,x y ， 则0002ln y x x =+，切线斜率()0021k f x x '==+； 另一方面0000022ln 2y x x k x x +++==， 故0000002ln 221ln 013x x x x k x x +++=⇒=⇒=⇒=， 此时切点坐标为()1,1，所以切线方程为()131y x -=-，即32y x =-.（2）由已知()22ln xg x xe x x =--，故12()(1)21(1)xx g x x e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，由于2()xh x e x=-在(0,)+∞单调递增， 同时0lim ()x h x →=-∞，lim ()x h x →+∞=+∞，故存在00x >使得()00h x =， 且当()00,x x ∈时()0h x <， 当()0,x x ∈+∞时()0h x >， 所以当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，即函数()g x 先减后增. 故()()0min 0000()2ln xg x g x x e x x ==-+.由于()0000000202ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21.已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，由该点在椭圆上得出22132y x =-，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）分直线l 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l 的斜率不存在时，可求得122S S =，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据直线l 与圆222x y +=相切，得出()2221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将12S S 表示为k 的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由12PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x= 由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立， 得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-， 可知22221112221sin 112122sin 2OA OB AOBS OA OB x y x y S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=+⋅+⋅⋅∠()()2222121212121111313392222224x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭． 将根与系数的关系代入整理得：()()22222212221263618319221k m m k m S S k-+++-=++，结合()2221m k =+，得()4212221284479221S k k S k ++=++． 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则221222178818813291688162,2222S t t u u S t t t ⎡⎤+-=+=-++=-++∈⎢⎥⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是322,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，（α为参数）.（1）若点22M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上，求m 的值；（2）过点()1,0P 的直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的取值范围. 【答案】（1）2±；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值； （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立圆的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围． 【详解】（1）已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，等价于2sin x y α=+，2cos x y α=-，由于22sin cos 1αα+=， 所以等价于2222()()4sin 4cos 4x y x y αα++-=+=. 整理得曲线C 的普通方程为222x y +=，将2M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入解得m =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），与222x y +=联立得：22cos 10t t θ+⋅-=， 由韦达定理122cos t t θ+=-，121t t =-.由于1t ，2t 异号，故2112121111||||t t PA PB t t t t -+=+==将韦达定理代入，并结合2cos [0,1]θ∈，得11[2,||||PA PB +=. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，考查直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查化简运算能力．选修4-5：不等式选讲23.已知正实数a ，b 满足()lg lg lg a b a b +=+.（1）证明：228a b +≥；（2）证明：()()2211254a b a b ++≥+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得ab a b =+，再利用基本不等式和不等式222a b ab +≥，即可证出228a b +≥；（2）用分析法，结合a b ab +=，分析出要证原不等式只需证()()4810ab ab -⋅-≥，因为4ab ≥，所以原不等式得证．【详解】证明：（1）由已知ab a b =+，均值不等式24ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥，由均值不等式222a b ab +≥，结合4ab ≥，可知228a b +≥. （2）欲证()()2211254a b a b ++≥+， 只需证()()()2241125a b a b ++≥+， 只需证()()()2224125ab a b a b ⎡⎤⎣≥⎦++++， 即证()()()2242125ab a b ab a b ⎡⎤++-+≥+⎣⎦， 结合a b ab +=， 只需证()()2242125ab ab ab ab ⎡⎤+-+≥⎣⎦， 即()283340ab ab -+≥，即证()()4810ab ab -⋅-≥，ab ，从而原不等式得证.因为4【点睛】本题主要考查对数的运算性质，以及利用基本不等式证明不等式，是中档题．。
重庆八中2021届高三上学期适应性月考(一)数学试题 Word版含答案
数学
一、选择题
1．设全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．在等差数列 中， ，则 （）
A．21B．28C．35D．42
3．在 中， ， ， ，则 （）
A．9B． C． D．8
4．在三角形 中， 为 的中点，若 ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
（1）求 和 ；
（2）若 ，求正整数 的值．
18．已知函数 ，将曲线 向右平移 个单位，得到的曲线关于原点对称．
（1）求 ；
（2）求 在 上的值域．
19．2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生（男生与女生的人数之比为3：2）对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．
（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表）
（2）结合频率分布直方图，请完成以下 列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；
态度
性别
满意
不满意
合计
男生
女生
10
合计
100
20．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ．
（1）求角 的大小；
（2）若 在线段 上，且 ， ，求 的面积．
21． ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ， 是 上一点， 与 轴垂直，且 ．
（1）求 的方程；
（2）设 ， ， ， 是椭圆 上的四点， 与 相交于 ，且 ，求四边形 的面积的最小值．
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷及答案
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟一、单项选择题。
本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} , B = {y |y =√4−2x },则 A ∩B= ( )A. [0,2)B. (0,2)C. [0,2]D. [0,1)2.a,b ∈(0,+∞), A =√a +√b , B =√a +b ,则 A,B 的大小关系是( )A. A<BB. A>BC. A ≤BD. A ≥ B3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线,则 l 的方程不可能是A.5x −2y +1=OB.4x −2y +1=OC.13x −6y +9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S 1 ,画面中剩余部分的面积为S 2,当 S 1 与S 2的比值为√5−12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.(3−√5)πB. (√5−1)πC. (√5+1)πD. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ,2<x ≤a log a (x −2),x >a(其中a >0,且a ≠1)存在零点,则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2,3) D.(2,3]6. 己知0<ω≤2,函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx ),对任意x ∈R ,都有f (π3−x)=−f (x ),则 ω 的值为( )A. 12B. 1C.32D. 27. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是( )A.(π4,π2)B.(0,π6)C.(π2,π)D. (5π6,π)8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x ),对任意的 x ∈R ,有f (x )+f (−x )=2cos x ,且在[0,+∞)上有f′(x)>−sin x ,则不等式f(x)−f(π2−x)≥cos x−sin x的解集是A.(−∞,π4] B.[π4,+∞) C.(−∞,π6] D.[π6,+∞)二、多项选择题。
2021届重庆第八中学高三上学期第一次月考数学(文)试卷
2021年重庆第八中学高三上学期第一次月考数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合}22|{<<-=x x A ，}1|{<=x x B ，则=B A （ ）A ．)2,(-∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),2(+∞2．已知数列}{n a 为等差数列，且2265=+a a ，73=a ，则=8a （ ）A ．11B ．15C ．29D ．303．设命题：对，则为（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数3log 2)(2-+=x x f x 在区间)2,1(内的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量3||=，17=⋅，则=⋅（ ）A ．0B ．14C ．8-D ．86．若 73sin 17sin 77sin 2λ=-，则=λ（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-7．已知直线a y =与函数1331)(23+--=x x x x f 的图象相切，则实数a 的值为（）A ．26-或38B ．1-或3C ．8或38-D ．8-或388．已知ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且面积为6，周长为12，53cos =B ，则边b 为（ ）A ．3B ．24C ．4D ．349．已知均为正数，且，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．10．函数c x bax x f ++=2)(的图象如下图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0,0>>c aB ．0,0<>c aC ．0,0><c aD ．0,0<<c a11．已知数列}{n a 的前n 项和为)11ln(n S n +=，则=++987a a a e （ ） A ．43 B ．2120 C ．2726 D ．3635 12．已知函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，若3tan =α，则=)2sin 2015(αf （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2016二、填空题13．已知复数z 满足321)1(i i z +=-⋅，其中i 为虚数单位，则=z .14．在正项等比数列}{n a 中，有162534231=++a a a a a a ，则=+42a a .15．已知C B A ,,是ABC ∆的三个内角，且2π=C ，则B A 22sin 9sin 4+的最小值为 .16．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01<a ，公差0>d ，01020<a S ，则n S 最小时，=n .三、解答题17．已知函数1)22cos()62cos()62cos()(++--++=πππx x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数)(x f 的图象向左平移)0(>m m 个单位后，得到的函数)(x g 的图象关于直线4π=x 轴对称，求实数m 的最小值.18．一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示.将月用电量落入该区间的频率作为概率.若每月的用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元，若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元.记X （单位：度，32525≤≤X ）为该用户下个月的用电量，T （单位：元）为下个月所缴纳的电费.（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将T 表示为X 的函数；（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费)115,5.37[∈T 的概率.19．已知在斜三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 为菱形， 90=∠ACB ，2==BC AC ，点D 为AC 的中点，⊥D A 1平面ABC .（1）求证：11AC B A ⊥；（2）设直线1AC 与D A 1交于点M ，求三棱锥MBC C -1的体积.20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线01cos sin =-+θθy x 相切（θ为常数）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若椭圆C的左、右焦点分别为21FF、，过2F作直线l与椭圆分别交于两点NM、，求NFMF11⋅的取值范围.21．已知函数)(1)1(ln)(2Raxxaxxxf∈+---=.（1）当0=a时，求)(xf的极值；（2）若0)(<xf对),1(+∞∈x恒成立，求a的取值范围.22．如图，已知AC是以AB为直径的⊙O的一条弦，点D是劣弧AC上的一点，过点D作ABDH⊥于H，交AC于E，延长线交⊙O于F.（1）求证：ACAEAD⋅=2；（2）延长ED到P，使PCPE=，求证：PFPDPE⋅=2.23．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin3cos31yx（θ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是33)6cos(=-πθρ，射线OT：）（03>=ρπθ与曲线C 交于A点，与直线l交于B点，求线段AB的长.24．已知实数0>a，0>b，且3322=+ba，若mba≤+5恒成立.（1）求实数m 的最小值；（2）若b a x x +≥+-5|||1|2对0>a ，0>b 恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案1．A【解析】试题分析：(,2)A B =-∞．考点：集合并集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2．B【解析】试题分析：等差数列中5638822,15a a a a a +=+==.考点：等差数列的基本概念．3．C【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以为 考点：全称命题与特称命题4．B【解析】试题分析：根据零点与二分法，()()10,20f f <>，且函数是增函数，故有唯一零点. 考点：零点与二分法．5．D【解析】试题分析：()1798OA AB OA OB OA ⋅=⋅-=-=.考点：向量运算．6．A【解析】试题分析：2sin 77sin17sin 73λ-=可化为()22sin 77sin17cos171sin 17λλθ=+=++，所以60λθ==.考点：三角函数恒等变形．7．D【解析】试题分析：即求导数为零的极值点，令()'2230,1,3f x x x x x =--==-=，()()81,383f f -==-. 考点：导数与切线．8．C【解析】试题分析：222413sin ,sin 6,12,cos 5225a b c B ac B a b c B ab +-==++===，解得4b=. 考点：解三角形．9．C【解析】试题分析：()2324a b c a c b c ++=+++≥=.考点：基本不等式．10．A【解析】试题分析：()()200,0,ax f b f x x c ===+，()()()()()()22'22222a x c ax x a x c f x x c x c +---==++，故0,0a c >>.考点：函数图象与性质．11．B【解析】试题分析：()()1ln 2,1,ln(1)ln ln ln 1ln 12ln ln(1)n a n a n n n n n n n =>=+----=+-+-⎡⎤⎣⎦，故78920ln 21a a a ++=，所以7892021a a a e ++=. 考点：数列求通项．【思路点晴】已知n S 求n a 是一种非常常见的题型，这些题都是由n a 与前n 项和n S 的关系来求数列{}n a 的通项公式，可由数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意：当1n =时，1a 若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；当1n =时，1a 若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示．12．B【解析】 试题分析：2222sin cos 2tan 3tan 3,sin 2sin cos tan 15αααααααα====++，()f x 是周期为3的奇函数，故()()(2015sin 2)120900f f f α===.考点：函数的单调性、奇偶性与周期性．【思路点晴】弦化切是三角函数题目中一种常见的解法.如已知tan 2θ=，求sin cos sin cos θθθθ+-，我们只需分子分母除以cos θ就能转化为正切，即tan 1tan 1θθ+-.如果要求的是二次的，则除以2cos θ.如果要求的式子是整式，则需先除以1，如本题中的222sin cos 2sin cos sin cos θθθθθθ=+，然后再分子分母同时除以2cos θ，转化为正切值来求.13．12i z -= 【解析】 试题分析：121,2i z i z -⋅=-=. 考点：复数的运算．14．4【解析】试题分析：()21324352424216,4a a a a a a a a a a ++=+=+=．考点：等比数列的基本性质．15．25【解析】试题分析：有一个角是直角，故()()222222224sin cos 9sin cos 49sin sin sin cos A A A A A B A A+++=+ 224139tan 131225tan A A=++≥+=． 考点：解三角形、基本不等式．【思路点晴】本题主要考查同角三角函数关系、1的代换、基本不等式三个知识点. 高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查主要是小题为主,试题难度不大．主要从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．16．10【解析】 试题分析：()()10112010101110111010100,0,0,0a a S a a a a a a a +=<+<<>，故前10项和最小. 考点：等差数列的基本概念．【思路点晴】若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+.熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．17．（1）π，Z k k k ∈++],127,12[ππππ；（2）3π 【解析】试题分析：（1）将cos(2),cos(2)66x x ππ+-展开后再次合并，化简得()2sin(2)13f x x π=++，进而求得周期和单调递减区间；（2）先按题意平移，得到2sin(22)13x m π+++，即1)322sin(2±=++ππm ，由此求得Z k k m ∈-=,62ππ，最小值为3.试题解析：（1）6sin 2sin 6cos 2cos 1)22cos()62cos()62cos()(πππππx x x x x x f -=++--++= 1)32sin(212sin 2cos 312sin 6sin2sin 6cos2cos ++=++=++++πππx x x x x x∴函数)(x f 的最小正周期πωπ==||2T ， 当Z k k x k ∈+≤+≤+,2323222πππππ，即Z k k x k ∈+≤≤+,12712ππππ时，函数)(x f 单调递减.∴函数)(x f 单调递减区间为Z k k k ∈++],127,12[ππππ. （2）由已知1)322sin(21]3)(2sin[2)(+++=+++=ππm x m x x g又)(x g 的图象关于直线4π=x 轴对称，∴当4π=x 时，)(x g 取得最大值或最小值，∴1)322sin(2±=++ππm ，∴Z k k m ∈+=+,2652πππ，∴Z k k m ∈-=,62ππ，又0>m ，∴1=k 时，m 取得最小值3π.考点：三角函数图象与性质． 18．（1）161；（2）⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T ；（3）0.7【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图估计平均数的公式，计算平均值为161；（2）依题意，易得⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T ；（3）[37.5,115)[75,225)T X ∈⇔∈，由频率分布直方图求得概率为0.7. 试题解析：（1）月用电量的平均值1610.063000.122500.222000.31500.181000.1250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X （度）（2）⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T（3）)225,75[)115,5.37[∈⇔∈X T ，则7.050)0044.00060.00036.0())225,75[())115,5.37[(=⨯++=∈=∈X P T P考点：频率分布直方图．19．（1）证明见解析；（2）9【解析】试题分析：（1）依题意有，BC D A ⊥1，由⊥BC 平面11ACC A ，从而1AC BC ⊥，所以⊥1AC 平面BC A 1，从而11AC B A ⊥；（2）利用割补法111223C MBC C ABC M ABC M ABC ABC V V V V S MD ----∆=-==⨯⨯⨯，9343323121=⨯⨯⨯=-MBC C V .试题解析：（1）证明：一方面，∵⊥D A 1平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC D A ⊥1， 又∵AC BC ⊥，∴⊥BC 平面11ACC A ，从而1AC BC ⊥ ① 另一方面，∵四边形11ACC A 为菱形，∴11AC C A ⊥ ②由①②可得：⊥1AC 平面BC A 1，再加上⊂B A 1平面BC A 1，从而11AC B A ⊥. （2）解：∵D 为线段AC 的中点，∴2111=C A AD ，从而211=MC AM ，即3211=A C M C ， 于是MD S V V V V V V ABC ABC M ABC M ABC M ABC M ABC C MBC C ⨯⨯⨯==-=-=∆------3122311， 而22221=⨯⨯=∆ABC S ，33331311=⨯==D A MD ， ∴9343323121=⨯⨯⨯=-MBC C V . 考点：立体几何证明垂直与求体积．20．（1）1222=+y x ；（2）7[1,]2- 【解析】试题分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径，求得1c =，由2c a =求得22a =，椭圆C ：1222=+y x ；（2）①若直线l 斜率不存在，求出,M N 坐标，进而求得2711=⋅N F M F .②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，代入11F M F N ⋅，求得表达式为2972221k -+，由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅F F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅F F .试题解析：（1）依题意⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=121cos sin 1222222222b a c c b a c ac θθ椭圆C ：1222=+y x . （2）①若直线l 斜率不存在，则可得x l ⊥轴，方程为1=x ，)22,1()22,1(-N M 、 ∴)22,2(1=F ，)22,2(1-=N F ，故2711=⋅F F . ②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 消去y 得：0224)21(2222=-+-+k x k x k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则2221214k k x x +=+,22212122kk x x +-=. ),1(111y x F +=，),1(221y x F +=，则)1()1()1)(1()1)(1(2121212111-⋅-+++=+++=⋅x k x k x x y y x x F F2212212111))(1()1(k x x k x x k F F +++-++=⋅⇒代入韦达定理可得12292712171124412)1(222222422411+-=+-=+++-++-=⋅k k k k k k k k k F F 由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅N F M F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅N F M F .考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及到向量，就用点的坐标来表示. 21．（1）)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值；（2）21≥a 【解析】试题分析：（1）0=a 时，x x f ln )('=，令0)('=x f ，解得1=x ，∴)(x f 在），（10上单调递减，在），（∞+1上单调递增.故)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值；（2）本题转化为01)1(ln 2<-+--xx x a x 在),1(+∞恒成立，令x x x a x x h 1)1(ln )(2-+--=，利用导数并分类讨论，可求得21≥a . 试题解析：（1）0=a 时，x x f ln )('=，令0)('=x f ，解得1=x ，∴)(x f 在），（10上单调递减，在），（∞+1上单调递增. 故)(x f 有极小值为0)1(=f ，无极大值. （2）解法一：01)1(ln )(2<+---=x x a x x x f 在),1(+∞恒成立，∵0>x ，即01)1(ln 2<-+--xx x a x 在),1(+∞恒成立， 不妨设x x x a x x h 1)1(ln )(2-+--=，),1(+∞∈x ，则2)1)(1()('x a ax x x h -+--=.①当0≤a 时，01<-+a ax ，故0)('>x h ，∴)(x h 在），（∞+1上单调递增，从而0)1()(=>h x h ，∴0)(<x h 不成立. ②当0>a 时，令0)1)(1()('2=-+--=x a ax x x h ，解得：11=x ，112-=ax若111>-a ，即210<<a ， 当)11,1(-∈a x 时，0)('>x h ，)(x h 在)11,1(-a上为增函数，故0)1()(=>h x h ，不合题意； 若111≤-a ，即21≥a ， 当)0(∞+∈，x 时，0)('<x h ，)(x h 在），（∞+1上为减函数，故0)1()(=<h x h ，符合题意. 综上所述，若0)(<x f 对),1(+∞∈x 恒成立，则21≥a . 解法二：由题)1(2ln )('--=x a x x f ，),1(+∞∈x . 令)(')(x f x g =，则xaxx g 21)('-=①当0≤a 时，在1>x 时，0)('>x g ，从而0)1()(=>g x g ，∴)(x f 在），（∞+1上单调递增，∴0)1()(=>f x f ，不合题意； ②当0>a 时，令0)('=x g ，可解得ax 21=. （Ⅰ）若121≤a ，即21≥a ，在1>x 时，0)('<x g ，∴0)1()(=<g x g ，∴)(x f 在），（∞+1上为减函数，∴0)1()(=<f x f ，符合题意； （Ⅱ）若121>a ，即210<<a ，当)21,1(a x ∈时，0)('>x g ，∴)21,1(a x ∈时0)1()(=>g x g ，∴)(x f 在），（a211上单调递增，从而)21,1(ax ∈时0)1()(=>f x f ，不合题意. 综上所述，若0)(<x f 对),1(+∞∈x 恒成立，则21≥a .考点：函数导数与不等式．【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由射影定理可得AB AH AD ⋅=2，易证Rt AHERt ACB ∆∆，利用相似比，可得故AH AB AC AE ⋅=⋅，所以AC AE AD ⋅=2；（2）连结OC ，利用等腰三角形和直角，证明PC OC ⊥，由切割线定理，有PF PD PC ⋅=2，由于PE PC =，所以2PE PD PF =⋅.试题解析：（1）解法一：连结DC 、AF .∵DF AO ⊥，∴弧DA =弧AF ，∴ADF DCA ∠=∠在ADC ∆与AED ∆中，EAD DAC ∠=∠，ADF DCA ∠=∠， ∴ADC ∆∽AED ∆，∴ADAE AC AD =，∴AC AE AD ⋅=2. 解法二：由射影定理可得AB AH AD ⋅=2，易证AHE Rt ∆∽ACB Rt ∆， 可得ACAH AB AE =，故AH AB AC AE ⋅=⋅，∴AC AE AD ⋅=2（2）连结OC .∵PC PE =，∴PEC PCE ∠=∠， 又∵PEC AEH ∠=∠，∴AEH PCE ∠=∠，∵在AHE Rt ∆中，90=∠+∠AEH EAH ，∴90=∠+∠EAH PCE ， ∵OC OA =，∴ACO EAH ∠=∠，∴90=∠+∠ACO PCE ，即PC OC ⊥， ∴PC 为⊙O 的切线，PF PD PC ⋅=2， ∵PC PE =，∴PF PD PE ⋅=2.考点：几何证明选讲．23．（1）02cos 22=--θρρ；（2）4【解析】试题分析：（1）先消参，化为直角坐标方程3)1(22=+-y x ，利用极坐标与直角坐标相互转化的公式，有02cos 22=--θρρ；（2）联立圆的极坐标方程和3πθ=，可求得射线OT与曲线C 的交点A 的极坐标为)3,2(π；联立直线的极坐标方程和3πθ=，考前求得射线OT与直线l 的交点B 的极坐标为)3,6(π，故4||||=-=A B AB ρρ.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为3)1(22=+-y x ,又θρcos =x ，θρsin =y ，∴曲线C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ.（2）由2020302cos 222=⇒=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧>==--ρρρρπθθρρ）（， 故射线OT 与曲线C 的交点A 的极坐标为)3,2(π；由60333)6cos(=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==-ρρπθπθρ）（，故射线OT 与直线l 的交点B 的极坐标为)3,6(π. ∴4||||=-=A B AB ρρ. 考点：坐标系与参数方程． 24．（1）4；（2）32-≤x 或2≥x 【解析】试题分析：（1）由柯西不等式有222116(3)(5))3a b b =++≥+，故实数m 的最小值为4；（2）由（1）知45≤+b a .即4|||1|2≥+-x x ，利用零点分段法去掉绝对值，解得32-≤x 或2≥x .试题解析：（1）∵m b a ≤+5恒成立，∴m b a ≤+max )5(.∵0>a ，0>b ，由柯西不等式222)5()315)(3(b a b a +≥++，∴45)5(31632≤+⇒+≥⨯b a b a （当且仅当453=a ，41=b 时取等号） 故4)5(max =+b a ，∴4≥m ，实数m 的最小值为4. （2）由（1）知45≤+b a . 若b a x x +≥+-5|||1|2对任意的0>a ，0>b 恒成立，只需4|||1|2≥+-x x ，该不等式等价于⎩⎨⎧≥--<4)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤4)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->4)1(21x x x解得32-≤x 或2≥x . 考点：不等式选讲．。
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2021届重庆市巴蜀中学⾼三上学期第⼀次⽉考数学（⽂）试题Word版含答案2021届重庆市巴蜀中学⾼三上学期第⼀次⽉考数学（⽂）试题第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.函数1()ln(3)f x x =+-的定义域为（）A ．[2,3)B ．(2,3)C ．[2,)+∞D ．(,3]-∞3.复数z 满⾜2iz i i+=+，则||z =（）AB ．2C D 4.等差数列{}n a 中，7116a a ?=，4145a a +=，则2010a a -等于（） A ．23或32- C ．52D ．52±5.函数y =M ，最⼩值为N ，则M N +=（） A ．2B ．3C ．6D ．126.已知33cos()25π?-=，且||2π<，则tan ?=（） A ．43-B ．43C ．34-D ．347.已知(2,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则||a b +=（）A ．5B ．C ．6D ．508.已知实数[]1,10x ∈执⾏如图所⽰的流程图，则输出的x 不⼩于63的概率为（） A ．310B ．49C ．25D ．9.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意实数x 满⾜3()()02f x f x ++=，若(1)1f >，(2)f a =，则实数a 的取值范围是（） A ．1a >B ．1a <-C ．2a >D ．2a <-10.已知()sin()f x A x ω?=+（0A >0ω>，||2π<，x R ∈）在⼀个周期的图象如图所⽰，则()y f x =的图象可由cos y x =的图象（纵坐标不变）（）得到A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π单位11.已知A ，B ，C ，D 是同⼀球⾯上的四个点，其中△ABC 为正三⾓形，AD ⊥平⾯ABC ，6AD =，A ．45πB ．24πC ．32πD ．48π12.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内⾓A 、B 、C 的对边，若3A π=，则(cos 3)a C C ?=（）A ．a b +B ．b c +C ．a c +D ．a b c ++第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在各项为正数的等⽐数列{}n a 中，若212n n n a a a ++=+（*n N ∈），则公⽐q = ．14.已知M 为抛物线28y x =上的⼀点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=?，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的⾯积为．15.向量AB ，AC 的夹⾓为60?，且3AB AC ?=，点D 是线段BC 的中点，则||AD 的最⼩值为． 16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满⾜(3)1f =，(2)3f -=，当0x ≠时有'()0x f x ?>恒成⽴，若⾮负实数a 、b 满⾜(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的⽉收⼊i x （单位：千元）与⽉储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（1）求家庭的⽉储蓄y 对⽉收⼊x 的线性回归⽅程y bx a =+；（2）若该居民区某家庭⽉收⼊为7千元，预测该家庭的⽉储蓄．附：线性回归⽅程y bx a =+中，1221i ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．18.已知函数21()cos cos 2f x x x x =--．（1）求函数()y f x =在0,2x π??∈时的值域；（2）在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满⾜2c =，3a =,()0f B =,求边b 俄值．19.如图所⽰的⼏何体QPABCD 为⼀简单组合体，在底⾯ABCD 中，60DAB ∠=?，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平⾯ABCD ，//PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===．（1）求证：平⾯PAB ⊥平⾯QBC ；（2）求该组合体QPABCD 的体积．20.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线1l ：2a x c =-和右准线2l ：2a x c=分别与x 轴相交于A 、B 两点，且1F 、2F 恰好为线段AB 的三等分点．（1）求椭圆C 的离⼼率；（2）过点(3,0)D -作直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且满⾜2PD DQ =，当△OPQ 的⾯积最⼤时（O 为坐标原点），求椭圆C 的标准⽅程． 21.已知函数()ln f x x ax x =-?（a R ∈）．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()()ln f x g x x，若函数()g x 在()1,+∞上为减函数，求实数a 的最⼩值；（3）若存在20,x e e ??∈??，使得001()ln 4f x x ≤成⽴，求实数a 的取值范围．请考⽣在22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.22.选修4-4：坐标系与参数⽅程以直⾓坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2, )4π，圆1C 的极坐标⽅程为1ρ=，若M 为曲线2C 上的动点，且M 到定点N 的距离等于圆1C 的半径．（1）求曲线2C 的直⾓坐标⽅程；（2）若过点(2,0)P 的直线l的参数⽅程为122x t y ?=-??=（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =+--（a R ∈）．（1）若2a =，求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若存在实数x 使得()2f x a ≥成⽴，求实数a 的取值范围．2021届重庆市巴蜀中学⾼三上学期第⼀次⽉考数学（⽂）试题参考答案⼀、选择题⼆、填空题13.2 14. 16.4,35??三、解答题17.解：（1）由题意知10n =，1180810n i i x x n ====∑，1120n i i y y n ====∑，18.解：（1）2131()3cos cos 2cos 21sin(2)1226f x x x x x x x π=--=--=--，∵0,2x π??∈，∴52,666x πππ??-∈-，∴1sin(2),162x π??-∈-，∴函数()f x 在0,2π的值域为3,02??-．（2）因为()0f B =，即sin(2)16B π-=，∵(0,)B π∈，∴112(,)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3B π=，⼜有2c =，3a =，在△ABC 中，由余弦定理得：22212cos49223732b c a ac π=+-=+-=，即7b =． 19.解：（1）证明：因为QD ⊥平⾯ABCD ，//PA QD ，所以PA ⊥平⾯ABCD ，⼜因为BC ?平⾯ABCD ，所以PA BC ⊥，⼜因为AB BC ⊥，且ABPA A =，所以BC ⊥平⾯PAB ，⼜因为BC ?平⾯QBC ，所以平⾯PAB ⊥平⾯QBC ．（2）⾯QDB 将⼏何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分，过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平⾯ABCD ，BO ?平⾯ABCD ，所以PA BO ⊥，⼜因为AD OB ⊥，PAAD A =，所以BO ⊥平⾯PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的⾼，并且3BO =，3PADQ S =，所以B PADQ V -133PADQ S BO =??=，因为QD ⊥平⾯ABCD ，且已知2QD =，所以13Q BDC BDC V S QD -?==，所以组合体QPABCD +=20.解：（1）焦点2(,0)F c ，右准线2l ：2a x c =，由题知12||3||AB F F =，即2232a c c =?，即223a c =，解得c e a ==（2）由（1）知c e a ==223a c =，222b c =，可设椭圆⽅程为222236x y c +=．设直线l 的⽅程为x my =222(23)660m y c +-+-=，因为直线与椭圆相交，所以2 22484(23)(66)0m m c ?=-+->，由韦达定理得12y y +=，21226623c y y m -=+，⼜2DP QD =，所以122y y =-，得到1y =，2y =2212222669623(23)c m y y m m --==++，得到22216123m c m -=-+，1||1|||||1818322||32||||DPQ m S OD y y m m m ?=-===≤++，当且仅当232m =时，等号成⽴，此时25c =，代⼊?满⾜0?>w ，所以所求椭圆⽅程为2211510x y +=．21.解：（1）1a =时，()ln f x x x x =-?，'()ln f x x =-，令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，解得1x >，∴()f x 在(0,1)递增，在()1,+∞递减．（2）由已知得()ln xg x ax x=-，函数的定义域为()()0,11,+∞，函数()g x 在(1,)+∞上为减函数，∴2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+0≤在(1,)+∞恒成⽴，即2ln 1(ln )x a x -≥211()()ln ln x x =-+在(1,)+∞恒成⽴．令1ln t x =，则0t >，得到2a t t ≥-+在0t >恒成⽴，得14a ≥，即a 的最⼩值为14．（3）若存在20,x e e ??∈??，使得001()ln 4f x x ≤成⽴，问题等价于：存在20,x e e ??∈??，使得000()1()ln 4f x g x x =≤成⽴，问题等价于：“当2”，且()ln x g x ax x=-，∵2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+，结合（2）知：当2,x e e ??∈??时，2ln 110,(ln )4x x -??∈．①当14a ≥时，'()0g x ≤在20,x e e ??∈??上恒成⽴，即()g x 在2,e e 上单调递减，则222min1()()24e g x g e ae ==-≤，得到21124a e≥-成⽴．22.解：（1）点N 的直⾓坐标为(1,1)，曲线1C ：1ρ=1=，即221x y +=，曲线2C 表⽰以(1,1)N 为圆⼼，1为半径的圆，⽅程为2 2(1)(1)1x y -+-=．（2）将12,2x t y ?=-=??代⼊⽅程22(1)(1)1x y -+-=，得22(1)1)12t -+=，即2(110t t -+=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则121211,t t t t ?+==??，易知10t >，20t >，∴12121212||||11||||1||||||||||||t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++====． 23.解：（1）5,13()41,1235,2x f x x x x ?-<-=--≤≤>??，由()3f x ≥-，得413,31,2x x -≥--≤≤??或32x >，解得1322x -≤≤或32x >，即12x ≥-，故不等式的解集为1[,)2-+∞．（2）∵()|2||23||223||3|f x x a x x a x a =+--≤+-+=+，当且仅当(2)(23)0x a x +-≥且|2||23|x a x +≥-时，如取32 x =，“=”成⽴，∴()f x 的最⼤值为|3|a +，∴|3|2a a +≥．。
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学(文)试题Word版含答案
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.函数1()ln(3)f x x =+-的定义域为（ ）A ．[2,3)B ．(2,3)C ．[2,)+∞D ．(,3]-∞3.复数z 满足2iz i i+=+，则||z =（ ）AB ．2C D 4.等差数列{}n a 中，7116a a ⋅=，4145a a +=，则2010a a -等于（ ） A ．23或32B ．13或12- C ．52D ．52±5.函数y =M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．2B ．3C ．6D ．126.已知33cos()25πϕ-=，且||2πϕ<，则tan ϕ=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．347.已知(2,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则||a b +=（ ）A ．5B ．C ．6D ．508.已知实数[]1,10x ∈执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ） A ．310B ．49C ．25D ．139.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意实数x 满足3()()02f x f x ++=，若(1)1f >，(2)f a =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a <-C ．2a >D ．2a <-10.已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >0ω>，||2πϕ<，x R ∈）在一个周期的图象如图所示，则()y f x =的图象可由cos y x =的图象（纵坐标不变）（ ）得到A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π单位11.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 为正三角形，AD ⊥平面ABC ，6AD =，3AB =，则该球的表面积为（ ）A ．45πB ．24πC ．32πD ．48π12.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若3A π=，则(cos 3)a C C ⋅=（ ）A ．a b +B ．b c +C ．a c +D ．a b c ++第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在各项为正数的等比数列{}n a 中，若212n n n a a a ++=+（*n N ∈），则公比q = ．14.已知M 为抛物线28y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=︒，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的面积为 ．15.向量AB ，AC 的夹角为60︒，且3AB AC ⋅=，点D 是线段BC 的中点，则||AD 的最小值为 ． 16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足(3)1f =，(2)3f -=，当0x ≠时有'()0x f x ⋅>恒成立，若非负实数a 、b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．18.已知函数21()cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域； （2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2c =，3a =,()0f B =,求边b 俄值．19.如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===．（1）求证：平面PAB ⊥平面QBC ；（2）求该组合体QPABCD 的体积．20.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线1l ：2a x c =-和右准线2l ：2a x c=分别与x 轴相交于A 、B 两点，且1F 、2F 恰好为线段AB 的三等分点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点(3,0)D -作直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且满足2PD DQ =，当△OPQ 的面积最大时（O 为坐标原点），求椭圆C 的标准方程． 21.已知函数()ln f x x ax x =-⋅（a R ∈）． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()()ln f x g x x=，若函数()g x 在()1,+∞上为减函数，求实数a 的最小值； （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2,)4π，圆1C 的极坐标方程为1ρ=，若M 为曲线2C 上的动点，且M 到定点N 的距离等于圆1C 的半径．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若过点(2,0)P 的直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =+--（a R ∈）． （1）若2a =，求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若存在实数x 使得()2f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题二、填空题13.2 14. 16.4,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）由题意知10n =，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑，18.解：（1）2131()3cos cos 2cos 21sin(2)1226f x x x x x x x π=--=--=--， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin(2),162x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）因为()0f B =，即sin(2)16B π-=，∵(0,)B π∈，∴112(,)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3B π=，又有2c =，3a =，在△ABC 中，由余弦定理得：22212cos49223732b c a ac π=+-=+-⨯⨯⨯=，即7b =． 19.解：（1）证明：因为QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，所以PA ⊥平面ABCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且ABPA A =，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平面QBC ． （2）面QDB 将几何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分， 过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， 所以PA BO ⊥，又因为AD OB ⊥，PAAD A =，所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的高， 并且3BO =，3PADQ S =，所以B PADQ V -133PADQ S BO =⋅⋅=，因为QD ⊥平面ABCD ，且已知2QD =，△BCD 为顶角等于120︒的等腰三角形，2BD =，3BDC S ∆=所以13Q BDC BDC V S QD -∆=⋅⋅=，所以组合体QPABCD +=20.解：（1）焦点2(,0)F c ，右准线2l ：2a x c =，由题知12||3||AB F F =，即2232a c c =⋅，即223a c =，解得c e a ==（2）由（1）知c e a ==223a c =，222b c =，可设椭圆方程为222236x y c +=．设直线l 的方程为x my =222(23)660m y c +-+-=， 因为直线与椭圆相交，所以222484(23)(66)0m m c ∆=-+->，由韦达定理得12y y +=，21226623c y y m -=+，又2DP QD =，所以122y y =-，得到1y =，2y =2212222669623(23)c m y y m m --==++，得到22216123m c m -=-+，所以1221||1|||||1818322||32||||DPQ m S OD y y m m m ∆=⋅-==⋅=⋅≤++， 当且仅当232m =时，等号成立，此时25c =，代入∆满足0∆>w ， 所以所求椭圆方程为2211510x y +=．21.解：（1）1a =时，()ln f x x x x =-⋅，'()ln f x x =-， 令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，解得1x >， ∴()f x 在(0,1)递增，在()1,+∞递减． （2）由已知得()ln xg x ax x=-，函数的定义域为()()0,11,+∞，函数()g x 在(1,)+∞上为减函数，∴2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+0≤在(1,)+∞恒成立，即2ln 1(ln )x a x -≥211()()ln ln x x =-+在(1,)+∞恒成立． 令1ln t x =，则0t >，得到2a t t ≥-+在0t >恒成立，得14a ≥，即a 的最小值为14． （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立， 问题等价于：存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得000()1()ln 4f x g x x =≤成立， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4g x ≤”，且()ln x g x ax x=-， ∵2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+，结合（2）知：当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，2ln 110,(ln )4x x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①当14a ≥时，'()0g x ≤在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即()g x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 则222min1()()24e g x g e ae ==-≤，得到21124a e≥-成立．22.解：（1）点N 的直角坐标为(1,1)，曲线1C ：1ρ=1=，即221x y +=， 曲线2C 表示以(1,1)N 为圆心，1为半径的圆，方程为22(1)(1)1x y -+-=．（2）将12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入方程22(1)(1)1x y -+-=，得22(1)1)12t -+=，即2(110t t -+=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则121211,t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，易知10t >，20t >，∴12121212||||11||||1||||||||||||t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++====⋅⋅⋅． 23.解：（1）5,13()41,1235,2x f x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥-，得413,31,2x x -≥-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或32x >，解得1322x -≤≤或32x >，即12x ≥-， 故不等式的解集为1[,)2-+∞．（2）∵()|2||23||223||3|f x x a x x a x a =+--≤+-+=+， 当且仅当(2)(23)0x a x +-≥且|2||23|x a x +≥-时，如取32x =，“=”成立， ∴()f x 的最大值为|3|a +，∴|3|2a a +≥．。
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考(9月) 数学(文)试题Word版含答案
已知 ，函数 的最小值为
（1）求证： ；
（2）若 恒成立，求实数 的最大值.
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考（9月）
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11-12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1） 因为 ,所以
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设向量 ，则向量 与 夹角的余弦值为( )
A． B． C. D．
5.已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则数列 的公差为 （ ）
A． B． C. D．
6.设 ，则( )
A． B． C. D．
7.函数 （其中 ）的图像如图所示，为了得到 的图像，则只要将 的图像（ ）
综上所述： 时， 恒成立.
22.解：（1） ，即
（2）将直线 的参数方程代入曲线 ，得 ，设 两点在直线 中对应的参数分别为 ，则
23.解：（Ⅰ） ，
且 ，
，当 时取等号，即 的最小值为
（Ⅱ） 恒成立， 恒成立，
当 时， 取得最小值 ， ，即实数的最大值为
21.已知函数
（1）若 是 的极值点，求 的极大值；
（2）求实数 的范围，使得 恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
直角 的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程
（1）写出直线 的普通方程与曲线 直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线相交于两点 ，点 的直角坐标为 ，求 .
因为 ，所以
因为 ，所以 的面积
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理(含解析)
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案） 1.在平面直角坐标系中，点sin100,cos 0()20P ︒︒位于第（ ）象限. A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】 【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得0cos 200<，即可得到答案. 【详解】()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-<，∴点()sin100,cos 200P ︒︒位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2.设,,x y z ∈R ，条件p ：22xz yz >，条件q ：x y >，则p 是q 的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】条件p ：22xz yz >，⇒条件q ：x y >；反之不成立：例如取0z =，则22xz yz =即可判断出．【详解】∵条件p ：22xz yz >⇒条件q ：x y >；反之，则不成立；例如取0z =，则22xz yz =． 则p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若m α⊆，n β⊆，则m ，n 为异面直线 B. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若αβ⊥，m α⊆，n β⊆，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案. 详解】对A ，若m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故A 错误；对B ，若m ⊥α，则m 垂直平面α内所有的直线，又n ∥α，所以m ⊥n ．故B 正确； 对C ，若m ∥α，m ∥β，则α，β可能相交，平行．故C 错误；对D ，若α⊥β，m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.4.已知正数a ，b 满足1a b +=，则9a bab+的最小值为（ ） A. 4B. 6C. 16D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得99191()a b a b ab b a b a +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解． 【详解】正数,a b ，满足1a b +=，则991919()101016a b b a a b ab b a b a a b +⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b =且1a b +=即13,44a b ==时取得最小值16． 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 5.设函数()1sin cos f x x x =+，则下列说法中正确的是（ ） A. ()f x 为奇函数 B. ()f x 为增函数C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 图象的一条对称轴为4πx =-【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】因为1()1sin cos 1sin 22f x x x x =+=+， 对A ，函数()f x 不关于原点对称，所以不为奇函数，故A 错误； 对B ，函数()f x 在R 上不具有单调性，故B 错误； 对C ，函数()f x 的周期22T ππ==，故C 错误； 利用排除法可得D 正确. 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键． 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若563S a S =+，则{}n a 的公比q =（ ）B. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可算出结果．【详解】∵等比数列{}n a 的各项为正数，0q ∴>，∵563S a S =+，∴536S S a -=，即：546a a a +=，∴541131a q a q a q +=，化简得：210q q --=，解得q =又∵0q >，∴q =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考查运算求解能力．7.已知集合M x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，232x N y y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. (0,1]B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ，由此能求出M N ⋃．【详解】∵12210,log (21)0,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩⇒集合1|12M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，∵323x+>,∴22||0323x N y y y y ⎧⎫⎧⎫===<<⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭， ∴{|01}(0,1]M x x ⋃=<=N ． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考查运算求解能力．8.已知向量a ，b 满足||2a =，3b =，4a b +=，则||a b -=（ ）B.D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对||4a b +=两边平方求出2a b ⋅的值，再求出2()a b -的值，从而求出||a b -的值． 【详解】∵||2a =，||3b =，180，∴222()213216a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=， ∴23a b ⋅=，∴222()213213310a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=-=， ∴||10a b -=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（ ）A. 8πB.28π3 C. π D. 7π6【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体为34个球，根据球的体积公式可求得结果. 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为2的球体，切去14个球后所剩余部分，如图所示∴该几何体的体积为3432834V ππ=⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查球的体积的求解，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题. 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为x ，由题意判断人数关系，求出x 的值后，即可求得答案． 【详解】设教师人数为x ， ∵家长人数多于教师人数， ∴家长人数≥1x +， ∵女学生人数多于家长人数， ∴女学生人数≥2x +， ∵男学生人数多于女学生人数， ∴男学生人数≥3x +， ∴总人数≥46x +，∵教师人数的两倍多于男学生人数， ∴23x x >+， ∴3x >，当4x =时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断①；运用线面平行的判定定理，即可判断②；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断③；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断④．【详解】对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，则1A C ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1A C ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误； 对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．12.已知函数()4cos f x x x π=-，等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，则189a a a ++=（ ）A. 6B. 3C.34D.32【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得函数在R 上单调递增，由()4cos f x x x π=-，可得1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，即()()66334f a d f a d -++=，可得612a =．再利用等差数列的性质即可得出．【详解】∵函数()4cos f x x x π=-，'0(n )4si f x x ππ+=≥，∴()f x 在R 上单调递增，∴对任意实数t ，1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=， ∴391a a +=，∴612a =， ∵1891633(5)32a a a a d a ++=+==. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数x ，y 满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值为________.【答案】12 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,x y ，满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，可得(4,0)A ，化目标函数32z x y =+为322zy x =-+， 由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为342012z =⨯+⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为________. 【答案】840 【解析】 【分析】分析数列的奇数项，得出奇数项为222113151,,,222---⋯，根据此规律代入求出即可．【详解】奇数项为 222113151,,,222---⋯,根据此规律有：第41项为24118402-=，故答案为：840．【点睛】本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15.已知正三棱锥的底面边长为________. 【答案】100π 【解析】 【分析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P 在底面ABC 的投影为三角形ABC 的外心，设为D ， 其外接球的球心在PD 上，设为点O ，设外接球半径为r ，三角形ABC 的外接圆半径为R ，∵13V sh =，∴11322PD =⨯⨯， 所以8PD =， 由正弦定理有2sin ABR C=， 所以4AD R ==，在Rt ADO ∆中有，222AD OD AO +=， 所以2224(8)r r +-=解得=5r ， 所以外接球表面积24100S r ππ==， 故答案为：100π．【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力．16.设函数2(0)()(0)xe xf x xx ⎧≥=⎨<⎩，若方程(())f f x λ=恰有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为________.【答案】2ln 22- 【解析】 【分析】由题意，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，画出图象，显然()()22112x x e g x eg x eλ====，进而得到()12112ln x x x x +=+-，由此即可得解．【详解】当0x ≥时，()1xf x e=，则(())xe f f x e =；当0x <时，2()0f x x =>，则2(())x f f x e =，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，即函数()y g x =与直线y λ=有且仅有两个交点，作出图象如图所示，由图象可知，e λ≥，11x ≤-，0x ≥，且()()22112x xe g x e g x e λ====， ∴221xx e =，则()212ln x x =-，∴()12112ln x x x x +=+-，令()2ln()h x x x =+-，1x ≤-，则2()1h x x'=+，令()0h x '=，解得2x =-， 显然，当(,2)x ∈-∞-时，函数()h x 为增函数， 当(2,1)x ∈--时，函数()h x 为减函数，∴max()(2)2ln22h x h=-=-．故答案为：2ln22-．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC而言，若其内部的点P满足120APB BPC CPA∠=∠=∠=︒，则称P为ABC的费马点.如图所示，在ABC中，已知45BAC∠=︒，设P为ABC的费马点，且满足45PBA∠=︒，2PA=.（1）求PAC的面积；（2）求PB的长度. 【答案】（13；（231. 【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB︒∠=，30PAC︒∠=，可得在PAC∆中，30PCA︒∠=，可得2PA PC==，利用三角形的面积公式即可求解PAC∆的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin45︒，sin15︒的值，在PAC∆中，由正弦定理可得PB的值．【详解】（1）由已知1801204515PAB∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC∠=︒-︒=︒.在PAC∆中，1801203030PCA∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC==.所以PAC ∆的面积113sin 22322S PA PC PAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. （2）在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒（*）而()232162sin15sin 45302-︒=-=⨯-⨯=︒︒， 2sin 452=°代入（*）式得31PB =-.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想．18.数列{}n a 满足1323nn n a a +=+⨯，13a =.（1）证明：3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S .【答案】（1）证明见解析；（2）3nn S n =⋅.【解析】 【分析】（1）将等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）由已知11111323223333333n n n n n n n n n n n a a a a a ++++++⨯==+⇒-=， 由定义知3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且公差为23，首项为1113a =，故12211(1)(21)3333nnnna nn a n-+=+-=⇒=+.（2）由已知0121335373(21)3nnS n-=⨯+⨯+⨯+++，故1233335373(21)3nnS n=⨯+⨯+⨯+++，相减得：()01212332333(21)3n nnS n--=⨯++++-+，即()13132332(21)32313nn nnS n n---=⨯+⨯-+=-⋅-，所以3nnS n=⋅.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.已知四棱锥P ABCD-的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设BC，CD的中点分别为E，F，点G在线段PA上，如图.（1）证明：EF GC⊥；（2）当//BG平面PEF时，求直线GC和平面PEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）设AC BD O=，由正棱锥的性质可知PO⊥平面ABCD，得到PO⊥EF，再由ABCD是正方形结合EF为△BCD的中位线，可得EF⊥AC，得到EF⊥平面PAC，进一步得到EF⊥GC；（2）分别以PB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A，P，E，F的坐标，设(,,)G x y z，且PG PAλ=，其中01λ≤≤，求得(0,,1)Gλλ--，设平面PEF的一个法向量为(,,)m a b c=，求得(0,2,1)m=，结合BG∥平面PEF，利用数量积为0求得λ，进一步得到120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(0,1,0)C ，求出直线GC 的法向量为(0,2,1)=-n ．设GC 和平面PEF 所成角为θ，再由sin |cos ,|GC m θ=<>求解．【详解】（1）证明：由已知P ABCD -为正四棱锥，设AC ，BD 交于点O ， 由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，所以PO EF ⊥，由于正方形ABCD 满足AC BD ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故//EF BD ，所以EF AC ⊥， 所以EF ⊥平面PAC ，而CG ⊆平面PAC ，所以EF GC ⊥. （2）分别以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立如图坐标系，此时(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤， 即(,,1)(0,1,1)(0,,1)x y z G λλλ-=--⇒--， 设平面PEF 的法向量为(,,)m a b c =， 由于11,,122EP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,0,0)EF =-， 由00m EP m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩解得(0,2,1)m =，由//BG 平面PEF 知0(1,,1)(0,2,1)130BG m BG m λλλ⊥⇒⋅=⇒---⋅=-=，解得13λ=，此时120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于(0,1,0)C ，故420,,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以直线GC 的方向向量(0,2,1)=-n ， 设GC 和平面PEF 所成角为θ， 则003sin |cos ,|5||||0n m GC m n m θ⋅⨯=<>===⋅+.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 20.已知函数()2ln f x x x =+.（1）经过点()0,2-作函数()f x 图象的切线，求切线的方程； （2）设函数()()()1xg x x e f x =--，求()g x 在(0,)+∞上的最小值.【答案】（1）32y x =-；（2）22ln 2-. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为()00,x y ，斜率()0k f x '=，利用点在曲线上和切线上，可得关于0,x k 的方程；（2）对()g x 求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】（1）由于2()1f x x'=+，设切点坐标为()00,x y ， 则0002ln y x x =+，切线斜率()0021k f x x '==+； 另一方面0000022ln 2y x x k x x +++==， 故0000002ln 221ln 013x x x x k x x +++=⇒=⇒=⇒=， 此时切点坐标为()1,1，所以切线方程为()131y x -=-，即32y x =-.（2）由已知()22ln xg x xe x x =--，故12()(1)21(1)xx g x x e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，由于2()xh x e x=-在(0,)+∞单调递增， 同时0lim ()x h x →=-∞，lim ()x h x →+∞=+∞，故存在00x >使得()00h x =， 且当()00,x x ∈时()0h x <， 当()0,x x ∈+∞时()0h x >， 所以当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，即函数()g x 先减后增. 故()()0min 0000()2ln xg x g x x e x x ==-+.由于()0000000202ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21.已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，由该点在椭圆上得出22132y x =-，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）分直线l 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l 的斜率不存在时，可求得122S S =，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据直线l 与圆222x y +=相切，得出()2221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将12S S 表示为k 的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由12PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立， 得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-， 可知22221112221sin 112122sin 2OA OB AOBS OA OB x y x y S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=+⋅+⋅⋅∠()()2222121212121111313392222224x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭． 将根与系数的关系代入整理得：()()22222212221263618319221k m m k m S S k-+++-=++，结合()2221m k =+，得()4212221284479221S k k S k ++=++． 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则221222178818813291688162,2222S t t u u S t t t ⎡⎤+-=+=-++=-++∈⎢⎥⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是322,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，（α为参数）.（1）若点22M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上，求m 的值；（2）过点()1,0P 的直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的取值范围. 【答案】（1）2±；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值； （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立圆的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围． 【详解】（1）已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，等价于2sin x y α=+，2cos x y α=-，由于22sin cos 1αα+=， 所以等价于2222()()4sin 4cos 4x y x y αα++-=+=. 整理得曲线C 的普通方程为222x y +=，将2M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入解得m =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），与222x y +=联立得：22cos 10t t θ+⋅-=， 由韦达定理122cos t t θ+=-，121t t =-.由于1t ，2t 异号，故2112121111||||t t PA PB t t t t -+=+==将韦达定理代入，并结合2cos [0,1]θ∈，得11[2,||||PA PB +=. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，考查直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查化简运算能力．选修4-5：不等式选讲23.已知正实数a ，b 满足()lg lg lg a b a b +=+.（1）证明：228a b +≥；（2）证明：()()2211254a b a b ++≥+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得ab a b =+，再利用基本不等式和不等式222a b ab +≥，即可证出228a b +≥；（2）用分析法，结合a b ab +=，分析出要证原不等式只需证()()4810ab ab -⋅-≥，因为4ab ≥，所以原不等式得证．【详解】证明：（1）由已知ab a b =+，均值不等式24ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥，由均值不等式222a b ab +≥，结合4ab ≥，可知228a b +≥. （2）欲证()()2211254a b a b ++≥+， 只需证()()()2241125a b a b ++≥+， 只需证()()()2224125ab a b a b ⎡⎤⎣≥⎦++++， 即证()()()2242125ab a b ab a b ⎡⎤++-+≥+⎣⎦， 结合a b ab +=，只需证()()2242125ab ab ab ab ⎡⎤+-+≥⎣⎦， 即()283340ab ab -+≥，即证()()4810ab ab -⋅-≥，ab ，从而原不等式得证.因为4【点睛】本题主要考查对数的运算性质，以及利用基本不等式证明不等式，是中档题．。
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考(9月)数学(理)试题Word版含解析
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考（9月）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合是某些实数组成的数集，集合是平面的点集，因此，故选D．【点睛】集合的问题中确定集合的元素是解决问题的基础，本题中集合是数集，集合是点集，两者当然没有公共元素，交集为空集．易犯错误：联立方程组，解得，得．2. 函数图像的一个对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】把各点横坐标代入，只有，因此是图象的一个对称中心，故选D．【点睛】正弦函数的对称中心为（），对称轴为（）．解决正弦型函数的问题是把作为一个整体，与中的等同．3. 下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由奇函数的定义，只有当时，，故选B．4. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，所以．故选A．5. 下列说法正确的是（）A. “”是“函数是奇函数”的充要条件B. 若为假命题，则为假命题C. 已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的充分不必要条件D. “若，则”是真命题【答案】D【解析】满足，但不是奇函数，A错；为假命题，只要中有一个为假即可，当一真一假时满足为假命题，但为真命题，B错；由于（），因此与之间没有任何关系，C错；因此时，，因此“若，则”是真命题，D正确．故选D．6. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，且，所以，故选B．7. 若是方程的根，则所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，由于，，即，故选C．8. 若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由题意在区间上有零点，又，在上是增函数，所以，解得，故选C．9. 已知函数是偶函数，则在上是减函数的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知为偶函数，，即，故排队，当，时，，递减，当，时，，递增，故选A．10. 函数的部分图像如图所示，若将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），在向右平移得到的图像，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，则，又，而，所以，即，所以，即，故选B．【点睛】已知三角函数图象求函数解析式，主要依据是“五点法”，要掌握正弦函数图象的“五点”：，这五点间可以得出函数的周期、振幅、相位．11. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图像关于直线对称，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的定义域要求真数大于0，则要，因此定义域为，①错误；当时，且，，当时，且，，显然的图象是由的图象向右平移1个单位而得，一般地当时，且，，于是可画出的图象，由图象知②、③、④正确． ... ... ... ... ... ... ...12. 记函数在点处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，切线方程为，令得截距为，由题意对，恒成立，即，令，则，∵，∴，①若，即时，，所以当时，，即在上单调递增，所以恒成立，所以满足题意；②若，即时，，即在上单调递减，所以，所以不满足题意；③若即时，，则的关系如下表：－0 +递减极小值递增所以，所以不满足题意．综合①②③，可得当时，，此时切线在轴上的截距恒小于．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角的终边经过点，且，则__________．【答案】【解析】由题意，解得．14. 若，且，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴．【点睛】三角函数求值中，要注意“角”的变换，而不是随便应用两角和与差的正弦余弦公式变形，象本题，观察出“已知角”与“待求角”之间的差为，因此可用诱导公式求解，从而减少运算．15. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖”丁说：“是或作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．【答案】C【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．16. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】设，则，由题意，所以在上是增函数，所以由得，即，所以．【点睛】已知条件中含有导数函数与的关系式时，可构造新函数，新函数的导数可利用已知不等式确定正负，从而确定单调性，这类新函数一般有，，，等等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立.（1）求函数的解析式；（2）设，求时的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）已知条件提供了二次函数的对称轴与最小值，因此二次函数解析式可配方为顶点式，从而列出关于的方程组，从而解得，得解析式；（2）是分式函数，由于分母是一次的，分母是二次的，可用换元法设，转化后易得函数的单调性，从而得值域．试题解析：（1）又对称轴为值域为且，则函数（2）令，则所求值域为.18. 已知函数，若对恒成立，且（1）求的解析式和单调递增区间；（2）当时，求的值域；【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得出函数图象的一条对称轴是，结合正弦函数的图象的对称性可求得值，再由正弦函数的单调性与复合函数的单调性可得单调增区间；（2）由，求得，把作为一个整体利用正弦函数性质可得的值域．试题解析：（1）由，可知为函数的对称轴，则，由，可知或又由，可知，则验证或，则，所以由得：递增区间：（2）当则所以，值域为：【点睛】函数满足或，则直线是其图象的对称轴．19. 已知函数（1）若函数存在与轴垂直的切线，求的取值范围；（2）若恰有一个零点，求的取值集合；【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）存在与轴垂直的切线，说明存在导数值为0的点，即在上有解，由此可得的范围；（2）求出导数，由导数的知识求得有唯一最大值，结合函数的单调性知，只有当最大值时，函数才有唯一零点．试题解析：（1）的定义域为在上有解得：所以，的取值范围为（2），令，得当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，故①当，即时，因最大值点唯一，故符合题设；②当，即时，恒成立，不合题设；③当，即时，一方面，；另一方面，（易证：），于是，有两零点，不合题设，综上，的取值集合为20. 如图，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，为弦的中点，直线分别与直线和直线交于两点.（1）求直线的斜率和直线的斜率之积；（2）分别记和的面积为，是否存在正数，使得若存在，求出的取值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足题意.【解析】试题分析：（1）设，由点差法可推出，由两直线相交可求得交点坐标，从而得，计算即可；（2）是直线的交点，由两直线方程联立可解得各点坐标，求得，再由求得值即可，若不能求得，则说明不存在．试题解析：（1）设，由点差法可推出：在联立可接出所以，（2）假设这样的存在，联立，在（1）问中已解得，所以；在中令得；在联立所以；由当时，点坐标为，经检验在椭圆内，即直线与椭圆相交，所以存在满足题意.21. 已知函数，其中，且（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，若存在极大值，且对于的一切可能取值，的极大值均小于，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）计算出导数，由不等式得增区间，由得减区间，注意要按的正负分类讨论，的正负对定义域有影响；（2）求出导数，因此必须有，才能有两个不等实根，的两实根为，，极大值为，由求根公式得，令（作为的函数），同理由导数知识得在上单调递减，从而，由可得的范围．试题解析：（1）时，，故当时，，由，得得因此的单调递增区间为：，单调递减区间为：当时，，由得，由得因此单调递增区间为，单调递减区间为（2）由题，显然，设的两根为，则当或时，，当时，，故极大只可能是，且，知，又，故，且，从而令，则，故在单减，从而，因此，解得请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中曲线的参数方程（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）（为参数）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用同角关系及二倍角公式消去参数可得的直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，由直线的标准参数方程可得直线参数方程；（2）把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，利用参数的几何意义，有，代入计算可得．试题解析：（1）曲线的直角坐标方程点的极坐标为，化为直角坐标为，直线的参数方程为，即（为参数）（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得：，显然有，则，所以23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，正数满足，求证：【答案】（1）或；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）解这个绝对值不等式，可按绝对值的定义去掉绝对值符号，化绝对值不等式为一元一次不等式，从而求得解．（2）利用绝对值三角不等式可求得的最小值为，求和后，再得用基本不等式可证题中结论．试题解析：（1）当时，得当时，得无解当时，得所以，不等式的解集为或；（2），即又由均值不等式有：两式相加得。