全等三角形的存在性问题针对演练
北京市大兴七中八年级数学上册《全等三角形的判定(三)边角边公里》优秀教学案例
在讲授新知环节，我将按照以下步骤进行：
1.首先，通过实物模型和动态软件，向学生直观展示边角边（SAS）公里的定义，即两个三角形中有两边及其夹角相等时，这两个三角形全等。
2.接着，结合教材内容，详细讲解边角边公里判定全等三角形的步骤和注意事项。
3.然后，通过示例演示，让学生跟随教师一起运用边角边公里判定两个三角形全等，加深学生对判定方法的理解。
1.边角边公里是什么？它为什么能判定两个三角形全等？
2.除了边角边公里，还有哪些方法可以判定两个三角形全等？
3.在实际生活中，我们如何运用全等三角形的判定方法解决问题？
这些问题将激发学生的求知欲，促使他们通过自主探究、合作交流等方式寻求答案。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。我将学生分成若干小组，每组4-6人，让他们在小组内共同探究全等三角形的判定方法。在小组合作过程中，学生可以互相讨论、交流，共同解决问题。这样既能培养学生的团队协作能力，又能提高他们的沟通表达能力。
2.问题导向激发学生思考
本案例以一系列具有启发性和挑战性的问题为导向，引导学生主动思考、探索全等三角形的判定方法。这种问题导向教学法充分调动了学生的主观能动性，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
3.小组合作促进交流与共享
小组合作是本案例的另一个亮点。通过分组讨论、交流，学生共同探究全等三角形的判定方法，培养团队协作能力和沟通表达能力。同时，小组合作有助于学生互相学习、取长补短，提高学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生的学习积极性，使他们在学习中体验成功的喜悦。
2.培养学生勇于探究、善于思考、严谨治学的学习态度，树立正确的学习观念。
3.引导学生认识数学在现实生活中的重要作用，培养学生的应用意识和创新精神。
中考数学微专题5 全等或相似三角形存在性问题
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－ 1，0)，B(3，0)， ∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. ∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)过点 D 作 DM∥y 轴，交 BC 于点 M. ∵当 x＝0 时，y＝－x2＋2x＋3＝3， ∴c(0，3)． ∴直线 BC 解析式为 y＝－x＋3. ∴D(m，－m2＋2m＋3)，M(m，－m＋3)． ∴DM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.
△OBE 与△ABC 相似时，点 Q 的坐标( 3，－2 3)或(－ 2，
2 3)或－1＋2 13，
3－3 2
13或－1－2
3，3＋23
3．
例1 (2021黑龙江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)x 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，连接 BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.(1)求抛物
考题变式 1．(2020 广东东莞)如图，抛物线 y＝3＋6 3x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A，B 分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点 B 的直线与 y 轴正半轴
和抛物线的交点分别为 C，D，BC＝ 3CD.
(1)求b，C的值； (2)求直线BD的函数解析式； (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA 上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条 件的点Q的坐标．
②若△PEQ∽△CBO，如图所示， 设 P(x，2)， 代入关系式得，2＝－x2－2x＋3， 整理得，x2＋2x－1＝0， 解得，x1＝－1－ 2，x2＝－1＋ 3(舍)， ∴点 P 的坐标为(－1－ 2，2) 综上所述点 P 的坐标为(－1－ 2，2)，(－2，3).
八年级全等三角形专题练习(解析版)
一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕1. 〔1〕如图〔1〕,：在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为：在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.〔3〕拓展与应用：如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形【解析】解：(1)证实：BDL直线m, CEJ_直线m,,N BDA=N CEA=900.: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.又AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE./. DE=,,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证实如下：: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-O r . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE二AE+AD=BD+CE.(3)△ DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.・•, Z DBA+Z ABF=Z CAE+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF,,•・丛DBF合△ EAF (AAS) . /. DF=EF, Z BFD=Z AFE.・•, Z DFE=Z DFA+z AFE=Z DFA+Z BFD=60°.・•.A DEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证△ ADB合4 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实△ ADB2 J CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ ADB2△ CEA得BD=AE, NDBA=N CAE,由△ ABF和△ ACF均等边三角形,得Z ABF=Z CAF=60°, FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以△ DBF^ △ EAF,所以FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60°得到△ DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE, PE 交CD 于 F〔1〕证实：PC=PE；〔2〕求N CPE的度数：〔3〕如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当N ABC=12〔T时,连接【答案】(1)证实见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABP g^CBP,从而得出结论：⑵、根据全等得出NBAP=NBCP, ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证实4ABP和^CBP全等,然后得出PA=PC, NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60°,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】⑴、在正方形ABCD 中,AB=BC, ZABP=ZCBP=45%在ZkABP 和4CBP 中,XV PB=PB AAABP^ACBP (SAS) , ,PA=PC, VPA=PE>:.PC=PE；⑵、由(1)知,A ABP^ACBP,.\ZBAP=ZBCP, JNDAP=NDCP,VPA=PE, .\ZDAP=ZE> /. ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等), A180° - ZPFC - ZPCF=1800 - ZDFE - NE, BPZCPF=ZEDF=90<>：⑶、AP = CE理由是：在菱形ABCD 中,AB=BC, NABP二NCBP,在2\ABP ^lACBP 中,XV PB=PB /.△ABP^ACBP (SAS),,PA二PC, NBAP=NDCP,VPA=PE,,PC=PE,,NDAP=NDCP, V PA=PC,/DAP=NE, A ZDCP=ZE V ZCFP=ZEFD (对顶角相等),A180°- ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - NE, RPZCPF=ZEDF=180° - ZADC=180° - 120°=60°, AAEPC 是等边三角形,,PC=CE, AAP=CE考点：三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点£＞为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图①图②图③〔1〕假设A3 = AC, ABAC = 90°①当点.在线段BC上时〔与点3不重合〕,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系：②当点O在线段C的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由；〔2〕如图3,假设ABwAC, ABAC90° , ZBC4 = 45°,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位置关系.【答案】〔1〕①CF_LBD,证实见解析：②成立,理由见解析：〔2〕 CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】〔1〕①根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用"边角边"证实4ACF和4ABD全等,②先求出NCAF=NBAD,然后与①的思路相同求解即可：〔2〕过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE, NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边〞证实4ACF 和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90°,从而得到CFJ_BD.【详解】解：〔1〕①•••NBAC=90°, 4ADF是等腰直角三角形,.\ZCAF+ZCAD=90% ZBAD+ZACD=90°,.\ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF,.,.△ACF^AABD〔SAS〕,.・.CF=BD, ZACF=ZABD=45",ZACB=45",AZFCB=90°,.-.CF±BD：②成立,理由如下：如图2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ ZCAD= ZDAF+ ZCAD, 即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF, AAACF^AABD(SAS), ACF=BD, NACF=NB,VAB=AC, ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/. Z BCF= ZACF+ ZACB=45o+45o=90°,ACF1BD：(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,•/ ZBCA=45",••.△ACE是等腰直角三角形,,AC=AE, NAED=45°, VZCAF+ZCAD=90°, ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE, NCAF=NEAD, AD=AF,.•.△ACF^AAED(SAS), /. ZACF=ZAED=45\,ZBCF= ZACF+ ZBCA=45o+45°=90°, ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图〔1〕,在△A3C中,ZA = 90°, A3 = AC,点.是斜边8C的中点,点E, 产分别在线段A3, 4c上,且NEDF = 90..〔1〕求证：△.所为等腰直角三角形：〔2〕假设△ABC的面积为7,求四边形AEDF•的面积：〔3〕如图〔2〕,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF = 90°,△.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕 3.5：〔3〕是,理由见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△ BD年△ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.瓦'为等腰直角三角形；〔2〕由题意分析可得S网边形AEDF=S MDF+S AADE=S ABDE+S ACDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；〔3〕根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△ BDE^ △ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.所为等腰直角三角形.【详解】解：〔1〕证实：如图①,连接AD.「N BAC=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/. AD±BC , AD=BD,・•, Z 1=Z B=45°,Z EDF=90% Z 2+Z 3=90%又,Z 3+Z 4=90°,/. Z 2=Z 4,在^ BDE 和^ ADF 中,Z 1=Z B, AD=BD,Z 2=Z 4,/. △ BDE合 , ADF(ASA),・•, DE二DF,又；Z EDF=90\・•・ ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF, NON 6=45., 又「N 2+N 3=90°, Z 2+Z 5=90%J Z 3=Z 5,A ADE级△ CDF,・' S N边H,AEDF=S AADF+S CADE二S ABDE+S^CDF,S MBC=2 S 网边毛AEDF,S wijn；AEDF=3.5.(3)是,如图②,连接AD.•/ Z BAC=90\ AB=AC, D 是斜边BC 的中点,/. AD±BC Z AD=BD ,「・Z 1=45°,Z DAF=180°-Z l=180°-45°=135% Z DBE=180°-Z ABC=180°-45°=135%/. Z DAF=Z DBE,「Z EDF=90\/. Z 3+Z 4=90%又；Z 2+Z 3=90°,「・Z 2=Z 4,在仆BDE 和a ADF 中,Z DAF=Z DBE, AD=BD,N 2=Z 4,△ BDE合△ ADF(ASA),・•.DE=DB又：Z EDF=90\.•.A DEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图,在MBC中,ZC = 90°, AC = 3, BC = 7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面积等于—；(2)连接CE,求证：CE是NAC3的平分线；(3)点.在6C边上,且CO = 1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O 1 _【答案】〔I〕—：〔2〕证实见解析：〔3〕 3点【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得：〔2〕如下图作出辅助线,证实△AEM名ADEN 〔AAS〕,得至I] ME=NE,即可利用角平分线的判定证实：〔3〕由〔2〕可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=!〔AC + C.〕,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解：〔1〕 ZC = 90°, AC = \ BC = 7= -ACxBC = -x3x7 = — ,故答案为：—2〔2〕连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=Z END=90°,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+Z DEN=90°,•••△ADE是等腰直角三角形AZAED=90\ AE=DEA ZAEM+Z MED=90%, ZAEM=Z DEN,在△AEM 与ZkDEN 中,ZEMA=Z END=90% ZAEM=Z DEN, AE=DEAAAEM^ADEN 〔AAS〕/. ME=NE,点E 在NACB 的平分线上, 即CE 是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E 在NACB 的平分线上,・•・当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,VAAEM^ADEN,AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZiCME 与 RtZkCNE 中,CE=CE, ME=NE,ARtACME^RtACNE (HL)ACM=CN.,.CN=；(AC + CO),又YNMCE 二NNCE=45°, ZCME=90\・,. CE= y/2CN = —(AC + CD).2当 AC=3, CD=CO=1 时,CE=](3 + 1) = 2&当 AC=3, CD=CB=7 时,5CE=r (3 + 7) = 5 虚,点E 的运动路程为：50-20 = 30,£【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角 形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P 从点B 出发,以2cm/s 的 速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts.(1) PC=—cm ：(用含t 的式子表示)■I) I)(2)当t 为何值时,△ABPg^DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等？假设存在,请求出v的值：假设不存在,请说明理由.【答案】(1) (12-2/)； (2)1 = 3;(3)存在,P = 2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长：(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得；(3)先分两种情况：当BP=CQ, AB=PC 时,△ABPgZ\PCQ：或当BA=CQ, PB=PC 时,△ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解：(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P = 2/57•・• BC = \2cin：.PC = BC-BP = (n-2i)cm故答案为：(12—27)(2) MBP = ^DCP・•. BP = CP・•・ 2/= 12-2/解得1 = 3.(3)存在,理由如下：①当BP=CQ, AB=PC 时,ZiABP名△PCQ,1. PC=AB=5.•.BP=BC-PC=12-5=7•・• BP = Item：.2t=7解得t=3.5.\CQ=BP=7,那么 3.5v=7解得y = 2.②当B4 = C.,PB = PC 时,MBP = \QCP,: BC = ncm,BP = CP = -BC = 6c7〃 2V BP = Item:.2t = 6解得/ = 3CQ = 3vcm,: AB = CQ = 5cm, 3v = 5解得U3综上所述,当u = 2或i,=,时,A48尸与以P, Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.：在MBC中,AB = AC,ZBAC = 90° ,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图①所示,当P.与BC边有交点时,求证：MN = CN — BM ；(2)如图②所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)见解析：(2) MN = BM + CN (或BM = MN — CN或CN = MN-BM ),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM = CN,BM = AN,即可证得MN = CN — BM： (2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M =CN,8M = AN,即可确定MN = BM + CN.【详解】证实：・・・BM_LPQ,CN_LP0,・•. ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,AZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NMM)・•. ZBAM = ZACN,在AAMB和ACN4中,'ZAMB = 4CNA・.• ZBAM = AACN , AB = CA:.AAM“ACN4(A4S),.・.AM =CN,BM =AN,,: MN = AM-AN,:.MN = CN — BM.(2) MN = BM + CN (或BM=MN-CN或CN = MN-BM) .理由：•.・BM_LPQ,CN_LP.,・•・ ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,.\ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NBAM ),:.ZBAM = ZACN,在AAMB和ACNA中,'AAMB = ZCNAZ.B\M = ZACN , AB = CA：.AAM*ACNA( AAS),.・.AM =CN,BM =AN,:.MN = AN + AM = BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现：如图,己知"配和"DE均为等腰三角形,AB=AC, AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8, D, E在同一直线上,连接CE.(1)如图1, ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=55Q,求证：△BADgZkCAE；(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数：拓广探索：(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4, CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析：(2) 70°； (3) 2【解析】【分析】(1)根据SAS证实△BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30°即可解决问题.(1)证实：如图1中,图1Z ABC=^ ACB = Z ADE=N AED, /. Z EAD=Z CAB,：.Z EAC=A DAB,AE=AD. AC=AB9：.△ BAD^ & CAE (SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于O. •「N A8C=N4C8 = 55°,/. Z 84c=180° - 110° = 70°,BAD^△ CAE,Z ABO=Z ECO,Z EOC=ZAOB,・•, Z CEO = Z 840=70°,即 N BEC= 70°.(3)解：如图2中,A图2Z C48 = N EAD=120\•. Z BAD=A CAE,：AB=AC, AD=AE.△ BAD^ 4 CAE 〔SAS〕,•. Z BAD=A ACE. 8D=EC=4,同理可证N BEC- 8AC=120°,Z F£C=60%CFLEF,Z F=90",•. Z FCE=30\1•. EF=-EC=2. 2此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点〔1〕如图,连接AE,①AE与AC的数量关系是；②设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小；〔2〕如图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】⑴①AB二AE；②NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案；②由釉对称性,得：AE二AB, NBAF=NEAF=.,由△A3C是等边三角形,得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解：(2)作NFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证△ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)①•・•点4关于射线的对称点为点E , AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是:AB=AE;②•.•点3关于射线的对称点为点E , ,AE二AB, NBAF=NEAF=.,•二△A3c是等边三角形,AAB=AC, ZBAC=ZACB=60" ,：.ZEAC=60° -2a, AE=AC,ZACE=1[180 - (60 - 2a)] = 60 +6?,A ZBCF=ZACE-ZACB=60 +a-60°=a .(2) AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,•••NBAF=NBCF=a , NADB=NCDF,A ZABC=ZAFC=60c ,••.△FCG是等边三角形,AGF=FC,•二△A3c是等边三角形,ABC=AC, ZACB=60° , AZACG=ZBCF=« .在AACG和ABCF中,CA = CBZACG = ABCF , CG = CF,AACG 仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,•・•点4关于射线AO的对称点为点E , .\AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.\AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上〔“点D不与A,C重合〕,点石是射线5c上的一个动点〔点E不与点8,C重合〕,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.〔1〕如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D 作DG//AB, DG 交BC 于点、G ,求证：CF = EG ；〔2〕如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证：CD = CE+CF；〔3〕如图3,当OE反向延长线与线段A8相交,且.,厂在直线O石的异侧时,猜测CD、CE、CP之间的等量关系,并说明理由.【答案】〔1〕证实见详解；〔2〕证实见详解：〔3〕 CF = CO-CE,理由见详解.【解析】【分析】(1)由AABC 是等边三角形,DG//AB,得NCDG=NA=60° , NACB=60.,ACDG 是等边三角形,易证AGDE仝ACDF(SAS),即可得到结论：(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝△ CDF(SAS),即可得到结论；(3)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝A CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)•・• AA3C是等边三角形,DG//AB, ：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ・•. ACQG是等边三角形,.\DG=DC.是等边三角形, .,.DE=DF, ZEDF=60° , A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和八CDF中,DE = DFNGDE = NCDF ,DG = DC.,.△GDE^A CDF(SAS),：.CF = EG ；(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,如图2,•・• AABC是等边三角形,DG//AB、：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,••・ACDG是等边三角形,:.DG=DC.•••ADE/是等边三角形,,DE=DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE> 即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和^ CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF ,DG = DC.,.△GDE^ACDF(SAS),:・CF = GE,••. CD = CG = CE+GE = CE+CF(3)CF = CD + CE,理由如下：过点D作DG〃AB交BC于点G,如图3,•・・AA8C是等边三角形,DGUAB, .,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,,ACDG是等边三角形, ADG=DC=GC.•・• ADEF是等边三角形, ,DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：NGDE=NCDF, 在A GDE和4 CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF , DG = DCAAGDE^ACDF(SAS),,CF = G£=GC+CE=CD+CE.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。
全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
二次函数存在性问题
类型3直角三角形存在性问题
3、如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B. (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，连接CD，BD，把△BCD沿BC折叠， ①求点D的对应点D′的坐标； ②在抛物线上是否存在点P，使得△DD′P是以DD′为一直角边的直角三角形？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
体验中考
7、[2017·齐齐哈尔] 如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线 折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次 方程x2－12x＋32＝0的两个根，且OA>OC. (1)求线段OA，OC的长．(2)证明△ADE≌△COE，并求出线段OE的长． (3)直接写出点D的坐标． (4)若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F为 顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数存在性问题
上次作业处理
类型1全等三角形存在性问题
1、已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物 线的顶点，点B在x轴上． (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
(3)如图②，取一根橡皮筋两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在 直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是 否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果 不存在，请简要说明理由．
中考数学“全等、相似三角形的存在性问题”题型解析
中考数学“全等、相似三角形的存在性问题”题型解析解此类问题，一般分为三个步骤：第一步寻找分类标准；第二步列方程；第三步解方程并验根 .难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快 .一般情况下，寻找一组相等的角或边，分情况列方程 .本节主要来讨论下全等三角形和相似三角形的存在性问题 .类型一：全等三角形存在性问题【例题1】如图，抛物线y = ax^2 + c （a ≠0）与y 轴交于点A，与x 轴交于B , C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x 轴的交点为H .（1）求a , c 的值；（2）连接OF，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E，另一直角边与y 轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .【解题策略】（1）关键是利用等腰直角三角形的性质及面积，求出关键点坐标，用待定系数法求解；（2）关键是求得平移后的函数抛物线，证明两边相等即可；（3）关键是分类讨论分两种情形，而情形一又分两种情形，依据全等三角形性质，寻找边角相等求解 .类型二：相似三角形存在性问题【例题2】如图，已知抛物线y = ax^2 + 8/5 x + c 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C，且A（2,0），C（0，-4），直线l : y = -1/2 x - 4 与x 轴交于点D，点P 是抛物线y = ax^2 + 8/5 x + c 上的一动点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E , 交直线l 于点F .（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图（2），过点P 作PH⊥y 轴, 垂足为H，连接AC .①求证：△ACD 是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点P , C , H 为顶点的三角形与△ACD 相似？【解题策略】解析本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质 .依据平行四边形的对边相等列出关于m 的方程是解析问题（2）的关键；利用相似三角形的性质列出关于n 的方程是解析问题（3）的关键 .。
全等三角形的存在性
全等三角形的存在性（讲义）一、知识点睛全等三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形间的对应关系及不变特征考虑分类．2.画图求解：①目标三角形确定时，根据对应关系分类，借助边相等、角相等列方程求解；②目标三角形不确定时，先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．二、精讲精练1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴的交点为C ，对称轴是直线x =3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式．（2）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得 △PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点C (0，4)，对称轴直线2x =与x 轴交于点D ，顶点为M且DM =OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式．（2）设点P (x ，y )是第一象限内该抛物线上的一动点，△PCD 的面积为S ，求S与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，是否存在以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等？若存在，求出直线QE 的解析式；请说明理由．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线1l 过点A (1，0)且与y 轴平行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于点P ．点E 为直线2l 上一点，反比例函数k y x=（0k >）的图象过点E 且与直线1l 相交于点F ．（1）若点E 与点P 重合，求k 的值．（2）连接OE ，OF ，EF ．若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标．（3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】 1. （1）223y x x =-++（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或a =1，b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =42. （1）213442y x x =-++（2）(18(18--+---，，(4(4+， 3.（1）21242y x x =-++（2）214(022S x x x =-+<<+（3）122y x =+，y =6或724y x =- 4.（1）2 （2）（3，2）（3）3(2)8，，8(2)3，学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形的判定有哪些？问题2：全等三角形存在性问题中如何确定分类标准，分类标准确定的依据是什么？问题3：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？问题4：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时的异同有哪些？全等三角形的存在性（一）1.如图1，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P(x，y)在直线y=-2x+4上，过点P作AB的垂线，与x轴、y轴分别交于点E，F．若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( )A. B.C.D.2.如图2，已知点A，B 在抛物线上，且点A在第四象限，点B在第一象限，A，B 两点的横坐标满足方程．连接OB，OA，AB，将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到线段OC．若D是坐标平面内一点，且△OAB和△OCD全等，则符合题意的点D的坐标为( )图1 图2A.B.C.D.3.如图3，抛物线经过三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D．P为该抛物线的顶点，连接PA，AD，DP，线段AD与y轴相交于点E．若Q为平面直角坐标系中的一点，且以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等，则图3 点Q的坐标为( )A. B.C.D.学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形的判定有哪些？问题2：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？全等三角形的存在性（二）1.如图1已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，直线与x轴交于点D．在第一象限内，若直线上存在点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△OBC全等，则点P的坐标为( )A.（4，1），（0，3）B.（4，1），（3，2）或（1，2）C.（4，1），（0，3）或（3，2）D.（4，1），（4，-1），（3，2）或（3，-2）2.如图2，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若以B，C，D为顶点的三角形与△AOB全等，则点C的坐标为( )A. B.C.D.图1 图23.如图3所示，抛物线的顶点为A，直线与y轴的交点为B ，其中．若Q为抛物线的对称轴直线l上一个动点，在对称轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，Q，A为顶点的三角形与△OAB全等，则点P的坐标为( )A.图3 B.C.D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合试题1分析，如何确定分类标准？问题2：画图求解时需要根据分析得到的不变特征，结合两个三角形全等的判定进行分析，试题1中利用的是哪一个全等三角形的判定？问题3：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时的异同有哪些？学生做题前请先回答以下问题问题1：在处理全等三角形的存在性问题时首先要分析不变特征，那么如何分析不变特征？问题2：在全等三角形存在性问题处理时，依据不变特征处理的核心依据是什么？问题3：课堂所讲解示范的，一般会用哪个判定？问题4：全等三角形存在性处理时都需要考虑哪些方面？问题5：已经学习了平行四边形，菱形，矩形，正方形，相似三角形以及全等三角形等各种存在性，存在性问题处理的框架是什么？全等三角形的存在性（三）1.如图1，已知抛物线与x轴的交点为A，D （A在D的右侧），与y轴的交点为C，点B与点C关于对称轴对称．点M是抛物线上的一点，使得△CMD≌△CMB，则点M的坐标为( )A. B. C. D.2.如图2，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．M 为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得△DMC≌△DME，则点M 的坐标为( ) 图1图2A.B.C.D.3.如图3，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．若点E在x轴上，点P是抛物线在第一象限上的图3 点，△APC≌△APE，则点P的坐标为( )A. B. C. D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合第2题考虑全等三角形存在性问题的处理框架是什么？学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形的判定有哪些？问题2：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？问题3：试题1中如何分析不变特征？问题4：试题1中分析不变特征，确定△OPC≌△POQ利用的是全等三角形的哪一个判定？全等三角形的存在性（四）1.如图1，抛物线与y轴交于点C，P是x轴上一个动点，Q是抛物线上异于点C的一个动点．若△OPC≌△POQ，则点Q 的坐标为( )A. B.C.D.2.如图2，抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B．D是x轴上的一个动点，P是抛物线上的一个动点，使得△DPB≌△ABP，求点P的坐标．（1）要求点P的坐标有如下考虑：分析可知，需要结合A，D和图2 公共边BP的相对位置进行分类讨论．当A，D在BP的同侧时，以A，D，B，P组成的四边形为_________（填“平行四边形”或“等腰梯形”或“梯形”）；当A，D在BP的异侧时，此时以A，D，B，P组成的四边形为_________（填“平行四边形”或“等腰梯形”或“梯形”）．A.平行四边形，梯形B.梯形，平行四边形C.平行四边形，等腰梯形D.等腰梯形，平行四边形( )（2）（上接第2题）当A，D在BP的异侧时，点P的坐标为A.(6，4）B.C.D.4.如图4，抛物线与x轴交于A（-2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，2），P为抛物线x轴上方的一个动点，Q为y轴负半轴上的一个动点．若△ABP≌△BAQ，则点P的坐标为( )A. B.（-1，2） C. D.条件不足，无法求解图4学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？问题2：已经学习了平行四边形，菱形，矩形，正方形，相似三角形以及全等三角形等各种存在性，存在性问题处理的框架是什么？全等三角形的存在性（五）1.如图1，二次函数的顶点为A，与y轴的交点为B．若⊙M 的圆心为，半径为r，过点A向该圆作切线，切点为N，若△AMN与△ABO全等，则满足题意的m，r的值分别为( )A. B.C.D.2.如图2，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点为抛物线的顶点，点B在x轴上．若P是抛物线的第二象限的图象上的一点，使得△POB与△POC全等，则点P 的坐标为( )A. B.C.D.图1 图23.直角坐标系中，O是坐标原点，D 是过三点的抛物线上的一点（不与点A重合）．若以D，O，C为顶点的三角形与△AOC全等，则点D的坐标为( )A. B. C.D.4.如图4，在平面直角坐标系中，直线l 经过．M为x 轴上的一点且，点P，Q在线段AB上．若以O，P，图4 Q为顶点的三角形与△OMP全等，则点P的坐标为( )A. B. C.D.问题1：结合第2题考虑不变特征是什么？分类标准是什么？问题2：结合第4题考虑不变特征是什么？如何确定分类标准？依据是什么？学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理思路是什么？问题2：动点问题分析运动过程，需要关注四要素是什么？、问题3：全等三角形的判定有哪些？问题4：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？全等三角形的存在性（六）1.如图1，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点．点P在BC边上以3cm/s的速度由点B向点C运动；同时点Q在AC边上以相同的速度由点C向点A运动，其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为( )图1 A. B. C. D.2.如图2，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点P是x轴上一动点，点Q是x轴上方抛物线上的一( )个动点．若△AQC与△AQP全等，则点Q的坐标为3.如图3，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标为( )图3 A. B.C.D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合试题1考虑，不变特征是什么？△BPD与△CQP利用的是三角形全等的哪一个判定？问题2：试题2中，如何确定分类标准？。
《三角形全等判定(综合探究)》教案 2022年 (省一等奖)
三角形全等的判定总课题全等三角形总课时数第 13 课时课题三角形全等的判定〔综合探究〕主备人课型新授时间教学目标1．理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．2．经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理． 3．培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．教学重点运用四个判定三角形全等的方法．教学难点正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法〞进行表达．教学过程教学内容一、回忆反思【课堂演练】1．△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C•′的度数与AB的长．【教师活动】操作投影仪，组织学生练习，请一位学生上台演示．【学生活动】先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=180°-〔∠A+∠B〕=99°∵△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′，∴∠C′=99°，∴AB=A′B′=5cm．【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．2．：如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．求证：∠B=∠C．【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的方法有：〔1〕两直线平行，同位角或内错角相等；〔2〕全等三角形对应角相等；〔3〕等腰三角形两底角相等〔待学〕．根据此题的图形，应考虑去证明三角形全等，由条件，可知AD=AE，∠1=•∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，那么可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，•而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD〔对顶角〕，∠BEO=∠CDO〔等角的补角相等〕，那么可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD•之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．【教师活动】操作投影仪，巡视、启发引导，关注“学困生〞，请学生上台演示，然后评点．图1【学生活动】小组合作交流，共同探讨，然后解答．【媒体使用】投影显示演练题2．【教学形式】分组合作，互相交流．【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO≌△AEO之后，可以得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，•这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考．证明 在△AEO 与△ADO 中，AE=AD ，∠2=∠1，AO=AO ，∴△AEO ≌△ADO 〔SAS 〕，∴∠AEO=∠ADO ．又∵∠AEO=∠EOB+∠B ，∠AOD=∠DOC+∠C ．又∵∠EOB=∠DOC 〔对应角〕，∴∠B=∠C ．3．如图2，∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE ．求证：AD=AE ．【思路点拨】欲证相等的两条线段AD 、AE 分别在△ABD 和△ACE 中，由于BD=CE ，•∠ABD=∠ACE ，因此要证明△ABD ≌△ACE ，•那么需证明∠BAD=•∠CAE ，•这由条件∠BAC=∠DAE 容易得到．【教师活动】操作投影仪：引导学生思考问题．【学生活动】分析、寻找证题思路，独立完成演练题3．证明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE在△ABD 和△ACE 中，∵BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE 〔AAS 〕，∴AD=AE ．【媒体使用】投影显示演练题3．【教学形式】讲练结合． 图2二、随堂练习1．如图3，点E 在AB 上，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，△ACE 与△ADE 全等吗？△ACB•与△ADB 呢？请说明理由．[答案：△ACE ≌△ADE ，△ACB ≌△ADB ，根据“SAS 〞．]图32．如图4，仪器ABCD 可以用来平分一个角，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们落在角的两边上，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线，你能说明其中道理吗？ 小明的思考过程如下：AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩→△ABC ≌△ADC →∠QRE=∠PRE你能说出每一步的理由吗？ 图43．如图5，斜拉桥的拉杆AB ，BC 的两端分别是A ，C ，它们到O 的距离相等，•将条件标注在图中，你能说明两条拉杆的长度相等吗？答案：相等，因为△ABO ≌△CBO 〔SAS 〕，从而AB=CB ．三、布置作业图5课后反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
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第二部分 攻克题型得高分
题型八 二次函数综合题
类型四 全等三角形的存在性问题
针对演练
1. (2017常州节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝－12x 2
＋bx 的图象过点A (4，0)，顶点为B ，连接AB 、BO .
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D 在线段BO 上，OD ＝2DB ，点E 、F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．
第1题图 第2题图
2. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝3
2x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (2，0)两点，与y 轴交于点C .
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直线y ＝－x ＋n 与抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且BE ＝4EC .
①求n 的值；
②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，△AGF 与△CGD 是否全等？请说明理由；
答案
1. (1)解：∵二次函数图象过点A(4，0)，
∴将点A(4，0)代入二次函数表达式y ＝－12x 2＋bx 可得－1
2×42
＋4b ＝0，
解得b ＝2，
∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2
＋2x ；
(2)此二次函数的对称轴为x ＝－b
2a ＝2，∵点B 在二次函数的对称轴上，
∴B 点为(2，2) ∴OB ＝22，
∴OD ＝2BD ，∴OD ＝42
3.
如解图①，当点F ，点E 均在OA 上，且△DFO ≌△DFE ，则DF ⊥OA ，
第1题解图①
∴DF ＝43＝OF ＝EF ，此时点E 的坐标为(8
3，0)； 其他情况不存在；
如解图②，当点F 在OA 上，点E 在AB 上，
当DE ∥OF ，即DE ∥x 轴，且OF ＝DE 时满足题意， 此时点D 与点E 关于x ＝2对称，
第1题解图②
∵点D (43，4
3)，
∴点E 的坐标为(83，4
3)；
其他情况下不存在点E .使得△DOF 与△DEF 全等． 当点E 在BO 上，则不存在这样的点E ，
如解图③，当点F 在AB 上，由抛物线对称性得点E 与点A 重合，坐标为(4，0)．
第1题解图③
当点F 在AB 上，无论点E 在何处，都不满足题意．
当点F 在AB 上，由抛物线对称性得点E 与点A 重合，坐标为(4，0)
当点E 与点O 重合时，△DOF 与△DEF 是同一个三角形，此时满足题意．
如图④，当点E 在AB 上，且△DOF 沿边DF 翻折，O 恰好落在
AB 边上，记为E 。
过B 作BM ⊥x 轴于M ，过E 作EN ⊥BM 于N ，
第1题解图④
由翻折得△DOF ≌△DEF ，∴OD ＝OE ＝423，∵BD ＝22
3，∴BE ＝263，∴BN ＝NE ＝BE ·cos 45°＝233，DM ＋NE ＝2＋23
3，BM －BN ＝2－23
3.
综上，这样的点E 有5个，坐标分别为(0，0)，(83，0)，(83，4
3)，(4，0)，(2＋233，2－23
3)
2. 解：(1)∵抛物线y ＝32x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (2，0)两点，将A (－1，0)，B (2，0)代入抛物线解析式
可得⎩⎨⎧32－b ＋c ＝06＋2b ＋c ＝0
，
解得b ＝－3
2，c ＝－3.
∴该抛物线的解析式为y ＝32x 2－3
2x －3. (2)①如解图，过点E 作EE ′⊥x 轴于点E ′， ∴E ′E ∥OC ，
∴BE′OE′＝BE CE ， ∵BE ＝4CE ， ∴BE ′＝4OE ′， 设点E 坐标为(x ，y )， ∴OE ′＝x ，BE ′＝4x .
第2题解图
∵点B 坐标为(2，0)， ∴OB ＝2， ∴x ＋4x ＝2. ∴x ＝25，
∵抛物线y ＝32x 2－3
2x －3与y 轴交于点C ， ∴当x ＝0时，y ＝－3， ∴C (0，－3)．
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1，
∵B (2，0)，C (0，－3)，将B 、C 两点代入解析式得
∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b 1＝0b 1
＝－3，解得k ＝32，
∴直线BC 的解析式为y ＝3
2x －3.
∵当x ＝25时，代入BC 解析式得y ＝－ 12
5， ∴E (25，－125)．
∵点E 在直线y ＝－x ＋n 上， ∴－25＋n ＝－125， ∴n ＝－2； ②全等；理由如下：
∵直线EF 的解析式为y ＝－x －2， ∴当y ＝0时，x ＝－2， ∴F (－2，0)， ∴OF ＝2. ∵A (－1，0)， ∴OA ＝1，∴AF ＝1，
∵抛物线与直线y ＝－x －2相交于点D ，联立方程，
得233
=322=2
y x x y x ⎧--⎪⎨⎪--⎩ 解得112=3
4=3x y ⎧
-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
或22=1=3x y ⎧⎨-⎩.
∵点D 在第四象限， ∴点D 的坐标为(1，－3)．
∵点C的坐标(0，－3)，
∴CD∥x轴，CD＝1，
∴∠AFG＝∠CDG，∠F AG＝∠DCG，∵CD＝AF＝1，
∴△AGF≌△CGD(ASA)．。