中考数学压轴题破解策略专题25《全等三角形的存在性》

专题25《全等三角形的存在性》
破解策略
全等三角形的存在性问题的解题策略有：
（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解．
（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．
例题讲解
例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可列方程组
4240
3
2
a b
b
a
-+=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，解得
1
4
3
2
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
所以抛物线的表达式为213
442
y x x =-++．
（2）显然OA ＝2， OB ＝3， OC ＝4．
所以5BC BA =． 若△P BD ≌△PBC ，则BD ＝ BC ＝5，PD ＝PC
所以D 为抛物线与x 轴的左交点或右交点，点B ，P 在CD 的垂直平分线上， ①若点D 为抛物线与 x 轴的左交点，即与点A 重合．
如图1，取AC 的中点E ，作直线BE 交抛物线于P 1（x 1，y 1），P 2（x 2．y 2）两点． 此时△P 1BC ≌△P 1BD ，△P 2BC ≌△P 2 B D ．
由A 、C 两点的坐标可得点E 的坐标为（－1，2）．
所以直线BE 的表达式为13
22y x =-+．
联立方程组2132213442y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
，解得114x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
224x y ⎧=+⎪⎨=
⎪⎩ ． 所以点P 1，P 2的坐标分别为（4
）．（4
②若D 为抛物线与x 轴的右交点，则点D 的坐标为（8，0）．
如图2，取CD 的中点F ．作直线BF 交抛物线于P 3（x 3，y 3），P 4（x 4，，y 4）两点． 此时△P 3BC ≌△P 3BD ，△P 4BC ≌△P 4 B D ．
由C 、D 两点的坐标可得点F 的坐标为（4，2）， 所以直线BF 的表达式为y ＝2x －6．
联立方程组22613
442y x y x x =-⎧⎪
⎨=-++⎪⎩
，解得3318x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩
4418x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩所以点P 3，P 4的坐标分别为（－1
，－8＋
），（ －1
，－8－
）， 综上可得，满足题意的点P 的坐标为（4
），（4
（－1
，－8＋
）或（－1
，－8－
）．
（3）由题意可设点M （0，m ），N （3，n ），且m ＞0，
则AM 2＝4＋m 2，MN 2＝9＋（m －n ）2，BN 2＝n 2． 而∠AMN ＝∠ABN ＝900
， 所以△AMN 与△ABN 全等有两种可能： ①当AM ＝AB ，MN ＝BN 时，
可列方程组222
4259()m m n n
⎧+=⎪
⎨+-=⎪⎩
，解得11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
22m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（舍）， 所以此时点M 的坐标为（0
）．
②当AM ＝NB ，MN ＝BA 时，可列方程组：222
49()25
m n
m n ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩·
解得11
325
2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，223252m n ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（舍） 所以此时点M 的坐标为（0，
3
2
）． 综上可得，满足题意的点M 的坐标为（0
）或（0，
3
2
）． 例2 如图，在平面直角坐标系xoy 中，△ABO 为等腰直角三角形，∠ABO ＝ 900
，点A 的坐标为（4．0），点B 在第一象限．若点D 在线段BO 上，OD ＝ 2DB ，点E ，F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．
图1 图2
解： 由题意可得OA ＝4，从而OB ＝AB
＝．所以OD ＝23OB
，BD ＝1
3OB
．
①当点F 在OA 上时，
（ⅰ）若△DFO ≌△DFE ，点E 在OA 上．如图1．
此时DF ⊥OA ，所以OF
＝43，所以OE ＝2OF ＝83，即点E 的坐标为（8
3
，0）．
（ⅱ）若△DFO ≌△DFE ，点F 在AB 上，如图2．
此时ED ＝OD ＝2BD ，所以sin ∠BED ＝BD ED ＝12；所以∠BED ＝300
，
从而BE
AE
过点E 作EG ⊥OA 于点G ．则EG ＝AG
＝2， 所以OG
＝2，即点E
的坐标为（2
，2）．
图3 图4
（ⅲ）若△DFO ≌△FDE ，点E 在AB 上，如图3．
此时DE ∥OA ，所以BD ＝BE ． 从而AE ＝OD
， 过点E 作EG ⊥OA 于点G ， 则EG ＝AG
＝43
， 所以OG ＝83，即点E 的坐标为（83
，4
3）．
②当点F 在AB 上时，只能有△ODF ≌△AFD ，如图4．
此时DF ∥0A ．且点E 与点A 重合， 即点E 的坐标为（4，0）．
综上可得，端足条件的点E 的坐标为（8
3，0），
（2+
，2），（83
，4
3）或（4，0）．
进阶训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
1382
y x x =--与y 轴变于点C ． 直线l ；4
3
y x =-
与抛物线的对称轴交于点E ．连结CE ，探究；抛物线上是否存在一点F ， 使得△FOE ≌△FCE ．．若存在，请写出点F 坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
存在．点F
的坐标为（3-
，－4
）或（34）
2． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1过点A （1，0）且与y 轴平行．直线l 2
过点B （0，2）且与x 轴平行，直线l 1与l 2相交于点P ．E 为直线l 2上一点，反比例函数k y x
=
（k ＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交干点F ． （1）若点E 与点P 重合，求k 的值；
（2）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求点E 的坐标：若不存在，请说明理由．
备用图
答案：
（1）k＝2
（2）存在．点E的坐标为（
3
8
，2）或（
8
3
，2）
【提示】（2）易得点E（
3
k
，2），F（1，k）．①如图1，当k＜2时，只能有△MEF≌△PEF．过点F作FH⊥y轴于点H，易证△BME∽△HFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM＝
1
2
，再解Rt△BME，得k＝
3
4
，所以点E的坐标为（
3
8
，2）；②如图2，当k＞2时，只能有△MEF≌△PFE．过点F作FQ⊥y轴于点Q，同①可得点E的坐标为（
8
3
，2）
图1
图2
3．如图，抛物线2
y ax bx c
=++经过A
（-，0），B
（0），C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴交干D，该抛物线的顶点为P，连结PA，A D．线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q．使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
（1
）抛物线的表达式为2
1
3
33
y x x
=-++
（2）存在．点Q
的坐标为（4
2
），（-1）或（0，7）．
【提示】（2）方法一：易求直线BC
：3
3
y x
=-+，从而点D
2），可
得CD＝PD，所以△QCD与△ADP全等有两种情况．设点Q坐标，通过两点间距离公式列出QC，QD，AP，AD的长．再分类讨论列方程组，从而求得点Q点坐标．
方法二：连接CP，易证△CDP为等边三角形，∠ADC＝60°，所以∠PDA＝120°．
△QCD与△ADP全等有两种情况，①如图1，∠DCQ＝120°，CQ＝DA＝4，此时点Q1的坐标为
（0，7），点Q2
的坐标为（-1）；
②如图2，∠CDQ＝120°，DQ＝DA＝4，此时点Q3的坐标为
－2），点Q4的坐标为
（
4）。