苏州大学线性代数题库-线代05
(完整word版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。
(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。
(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。
（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。
（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
文档：线代15
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第十五卷）共4页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期 题号 一二三四五六七八九得分1、已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A [ ] （A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4231 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1324 （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13242、设n 阶矩阵A 与B 相似，则下列结论必成立的是 [ ] （A ）B E A E -=-λλ，其中λ为A 与B 的特征值 （B ）对于任意常数t ，有B tE A tE -=- （C ）存在对角矩阵Λ，使得A 与B 都相似于Λ（D ）当0λ是A 与B 的特征值时，n 元齐次线性方程组0)(0=-x A E λ 与 0)(0=-x B E λ同解3、设A 为n 阶矩阵，且0=k A （k 为正整数），则 [ ] （A ）0=A （B ）A 有一个不为零的特征值 （C ）A 的特征值全为零 （D ）A 有n 个线性无关的特征向量4、设A 为n 阶方阵，3)(-=n A r ，且向量组321 , ,ααα是0=Ax 的三个线性 无关的解向量，则0=Ax 的基础解系可以是 [ ]（A ）133221 , ,αααααα+++ （B ）312312 ,,αααααα---（C ）312312 ,21,2αααααα--- （D ）1323321 2- , ,ααααααα--++5、设向量组n ααα , , ,21 （2≥n ）线性相关，那么向量组内 [ ] 可由向量组内其余向量线性表示。
（A ）任何一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至少有一个向量 （D ）至多有一个向量二、填空题：（每题3分，共计15分）1、设向量()b a ,,1=α与()2,2,2=β，()3,1,3=γ都正交，则=a ， =b 。
2、设A ，B 为3阶方阵，且2,1=-=B A ，则=-21)(2B A T 。
3、设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随阵*A 的秩是 。
江苏大学线性代数习题详解(5)
根据定义，这恰恰说明12……m线性相关。（定义中并没有规定向量的维数。）
(5) 解：论断错误。
反例：1= 2=
由于 21+2=0
根据定义12线性相关，
但1+22= 0
5.证：作线性组合k11+k22+……+knn
令 k11+k22+……+knn=0
得齐次线性方程组： =
由克莱姆法则的推论知：
4=1+32
5=-21-2
k1,k2,……,kn有非零解的充要条件是：
=0
而由行列式性质知：
=
k1,k2,……,kn有非零解的充要条件是：
=0
命题得证，证毕。
习题4.3
1.(1) 解： (1234)=
12是向量组的一个最大无关组，
3= 1- 2
4=1+22
(2) 解：(12345)=
12是向量组的一个最大无关组，
3=21-2
反例：1= 2= 3=
满足 21-线性组合。
(3) 解：论断是对的。
证明：∵若12……s线性相关，则存在不全为零的数k1k2…… ks使得k11+k22+……+kss=0
取ks+1=0, ks+2=0, ……, ks+t=0
则k1k2…… ksks+1ks+2…… ks+t不全为零
=(12……m)
令(11+2……1+2+……+m)x=0，
由于12……m线性无关，
得齐次线性方程组：
x=0
这里 x=
而 =10
所以，由克莱姆法则x只有零解，
线性代数第五版第五章常见试题及解答
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000210100002B x 与相似，则x=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B2．若A 相似于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ1001，则|A-E|=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B3．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111的非零特征值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B4．设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B5．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式|A 2|=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 答案：C6．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ） A ．121 B ．71 C ．7 D ．12 答案：A7．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E |=0，则A 必有一个特征值为（ ） A ．23- B ．32- C ．32 D ．23答案：B8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ ） A.B A =B.秩（A ）=秩（B ）C.存在可逆阵P ，使P -1AP=BD.λE-A =λE-B答案：D9.与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ ）A.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001 B.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011 C.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001 D.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101答案：A10．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ）A ．E-AB ．-E-AC ．2E-AD ．-2E-A 答案：D11．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（ ）A ．41B ．21C ．2D ．4 答案：A12.若A 与B 相似，则（ ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量 C.A -λE =B -λE D.|A |=|B | 答案：D13.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）答案：D14．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4101B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4201答案：C15.下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cosD.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--336102233660336122 答案：A16．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．A E - C ．A E -- D ．A E -2 答案：D17．已知矩阵A 与对角矩阵D =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001相似，则A 2=（ ） A ．A B ．D C ．E D ．-E答案：C18．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100，则A 的特征值为（ ）A ．1，1，0B ．-1，1，1C ．1，1，1D ．1，-1，-1答案：B19．设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2=E ，则必有（ ） A ．A 的行列式等于1 B ．A 的逆矩阵等于E C ．A 的秩等于n D ．A 的特征值均为1答案：C20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 答案：C21．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 答案：B22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T答案：A23.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 = （ ）A.4B.5C.6D.7答案：B24.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1 D.A*答案：A7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3D.249.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2B.0C.2D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线代20
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第二十卷）共4 页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期1、设B A , 都是3阶矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2132γγαA ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21γγβB ，其中21,,,γγβα均为3维行向量，3,15==B A ，则行列式=-B A 。
2、已知方阵A 满足02=++cE bA aA （其中c b a ,,为常数，且0≠c ），则=-1A 。
3、设02002000110011≠kkk ，则k 应满足 。
4、设21,,ααβ线性相关，32,,ααβ线性无关，则321,,,αααβ线性 。
5、设(),1,1,11=α(),,0,2b a =α()2,3,13=α线性相关，则b a ,应满足关系式 。
6、设A 满足022=++E A A ，则A 的特征值为 。
7、设A 为n 阶方阵，3)(-=n A r ，321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的三个线性无关的解向量，则0=Ax 的一个基础解系为 。
8、设A 是43⨯阶矩阵，2)(=A r ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120B ，则=)(BA r 。
9、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=124242421A 相似于对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45t ，则=t 。
10、设有一个四元非齐次线性方程组b Ax =，3)(=A r ，321,,ααα为其解向量，且(),7,9,9,11T=α(),8,9,9,132T=+αα则此方程组的一般解为 。
二、（10分）计算n 阶行列式nn n n ----111111111111ΛΛM MMM ΛΛ三、（10分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110011B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200120312C 矩阵X 满足E C B C E X T T =--)(1，求：矩阵X四、（10分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22222112121cb a A ，问当b a ,为何值时，A 为正交矩阵；此时利用正交矩阵性质，求解线性方程组()1,1,1TAx =.五、（10分）给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-++1 )2()2()2()23(1)2(321321321x x x x x x x x x λλλλλλ 讨论λ取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有解时，求出其解。
苏州大学历年高等代数真题
2000年真题1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1）4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x +++++= （2） 证明：41x+能整除()g x 。
2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。
3（15分）求矩阵321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。
４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n A A E -+3．５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B λλ-=-６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：257n A A E -+是一个正定矩阵．证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1,n V A α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-K 是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3） 将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2x f x xg x +=- 441()x x x g x ∴+Q +1与互素，．注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2、证明：,()0.AB AC A B C =∴-=Q(),A n r R A r A ⨯=∴Q 是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解．0,B C B C∴-==即3、解：()()224E A λλλ-=-+，02λ∴= 当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()12101012ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．4、解：⨯Q -2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==-则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ=== 故6111520164800n A A E -+=⨯⨯=35、利用构造法，设0λ≠，令1E B H A E λ=， 11010E BE E B A E A E E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，两边取行列式得 11()n H E AB E AB λλλ=-=-．（１） 11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得 11()n H E BA E BA λλλ=-=-．（２）由（１），（２）两式得1()n E AB λλ-＝1()n E BA λλ-E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n m m n E AB E BA λλλλ-=-，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为225357()024ξλλλ=-+=-+>． 故257n A A E -+是一个正定矩阵．7、证明：1n n AA α-≠Q 0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=K ．（１） 用1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=．由于1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=K ．（２） 再用2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．这样继续下去，可得到0110n l l l -====K ．21,,,,n A A A αααα-∴K 线性无关．21,,,,)n A A A A αααα-K (＝21,,,,)n A A A αααα-K (0000100001000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭KK K K K ． ∴Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K K K ， 可见,()1R A n =-,dimker(1)1A n n ∴=--=即A 的核的维数为1．2001年真题2002年真题1．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L LL L L L L L L ，123101221001320001200001n n n n n n B -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L L L 都是n n ⨯矩阵。
2004-2005第二学期线性代数试题参考答案
----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 2004级2004-2005第二学期线性代数试题参考答案一、 填空题（每小题3分，共15 分）1． ))()((b c a c a b ---； 2. 相关; 3. 12536-; 4. 44<<-t ; 5.可以二、 选择题(每小题3分,共15 分)1. B2. C;3. D;4. A;5. C三、 计算题(每小题10分共30分)1.行列式的值为36-.2. B X E A X B AX =-⇒+=)(.,110101111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-E A 0≠-E A , E A -可逆. 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=-143311410352111211101)(1B E A X . 3. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==00001000021003511991191103281120351),,,(4321T T T T A αααα.向量组的秩为3,它的一个极大无关组为421,,ααα.四、 解答题(每小题12分, 共24分)1. 方程组的增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300002621037321134551353137321b b .当3=b 时,方程组有解.此时的方程组为⎩⎨⎧=++=+++26237324324321x x x x x x x ,它有一特解T )0,0,2,3(.对应的齐次线性方程组为⎩⎨⎧=++=+++06207324324321x x x x x x x ,它有基础解系T )1,3,0,2(--, T )0,1,2,1(--. 故原方程组的通解为 T )0,0,2,3(+k T )1,3,0,2(--+l T )0,1,2,1(--,k 与l 为任意常数.2. 二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312132220A .由由 0=-A E λ得A 的特征值2-=λ, 和4=λ(二重). 当2-=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T )1,1,2(-,当6=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T T )1,1,1(,)1,1,0(-.易知这三个向量是两两正交的. 只需再将它们单位化即可得正交矩阵----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=61312161312162310P 使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-2441AP P . 在正交变换PYX =下,232221244y y y f -+=. 五、 证明题(每小题8分,共16分)1. 对B 按列分块, []321B B B B =, 则对于方程0=AX ,321,,B B B 都是其解.由于0B ≠, 故方程0=AX 至少有一个非零解,其充要条件是0=A .而)2(5-=λA . 所以2=λ. 此时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000850321A ,秩2)(=A r . 方程0=AX 的基础解系只含一个向量X, )3,2,1(,==i X k B i i . 所以秩3,11)(=-<=n n B r . 故B 的伴随矩阵*B 的秩为0.2. 因三维向量组(I):321,,ααα中的三个向量分别是三阶矩阵A 的属于特征值 0, 1, 3 的特征向量, 一定是线性无关的. 因此等价于其构成的行列式0321≠ααα. 而向量组(II): 421,,ααα线性相关等价于0421=ααα. 向量组(III): 4321,,αααα-满足条件0421*******≠-=-αααααααααα. 故向量组(III)线性无关.。
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苏州大学《线性代数》课程试卷库（第五卷）共 4 页
学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期
1、多项式x
x x x
x f 1
71
3410
732201)(---=中的常数项为 。
2、若A 为三阶可逆矩阵，且2=A ，则=-T A )2(* 。
3、设矩阵A 满足 042=-+I A A ，则=--1)(I A 。
4、已知⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=13212
111
1a A 的秩为2，则=a 。
5、设A 为34⨯阶矩阵，2)(=A r ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=301020201B 则=)(AB r 。
6、已知线性方程组⎪⎩
⎪
⎨
⎧--=-=+--=+-)
2)(1()1(2
21323
3
2
321
λλλλx x x x x x 无解，则=λ 。
7、当t 时，向量组)2,2,1(1-=α，)3,,4(2t =α，)1,1,3(3-=α线性无关。
8、设任意一个n 维向量都是齐次线性方程组0=⨯x A n m 的解向量，则
=)(A r 。
9、已知λ是A 的特征值，*A 是A 的伴随阵，则*A 的特征值= 。
10、已知矩阵,10100002⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=x A ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=10000002y B 相似，则=y 。
二、（10分） 计算行列式 D=
1
1
1
1
111111111111--+---+---x x x x
三、（10分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000001B ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=112012001P ，且满足关系式PB AP =，
求：A ， 5A ．
四、（10分） 2001
32
1
321321
2000
001010100001010100⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛c c c b b b a a a
五、（10分）线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=+++
+2
33456220
3235
43215
432543
21
54321x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x 讨论当b a ,为何值时，方程组有解，当方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的全部解。
六、（10分）已知2222A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求：
（1）A 的所有特征值和特征向量、（2）正交矩阵,Q 使AQ Q 1-为对角阵Λ。
七、（10分）已知⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=44144191b a a A 是正交阵，求：b a ,的值
八、（10分）设n 阶方阵B A ,分别与对角阵21,ΛΛ相似，
求证：分块矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛B A 00 必与一个对角阵相似。