公开课教案(等腰三角形)

12.3.1 等腰三角形
第1课时
花地中学古瑜青
教学内容
本节主要内容是等腰三角形的性质．
教学目标
1．知识与技能
在观察、操作中认识等腰三角形的性质，感受等腰三角形“三线合一”的意义．
2．过程与方法
经历探索等腰三角形性质的过程，掌握其应用方法．
3．情感、态度与价值观
让学生感悟等腰三角形的实际应用价值，激发他们的求知欲．
重、难点与关键
1．重点：等腰三角形的性质．
2．难点：等腰三角形的性质2的应用．
3．关键：借助轴对称变换来研究等腰三角形．
教具准备
剪刀、长方形纸片．
教学方法
采用“情境──探究”式教学方法．
教学过程
一、操作观察，探索新知
【问题探究】
教师叙述：请同学们把一张长方形的纸对折（如课本图14．3─1）剪去一个角，再把它展开，得到的三角形有什么特点？
【学生活动】拿出事先准备好的纸和剪刀，动手操作，然后观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的．”
【师生共识】有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一条边叫做
底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
【媒体使用】投影显示课本图12．3─1和图1．
【教学形式】操作引入，师生互动．
【继续探究】
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
重合的线段
重合的角
你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生观察，发现．
【学生活动】动手操作、观察，发现重合的线段是AB=AC，BD=CD，底边上的高、顶角的平分线，底边上的中线重合．重合的角是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD．•∠ADB=•∠ADC=90°．【媒体使用】投影显示“思考题”和图2．
【形成性质】
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
D
C
B A
性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、、底边上的高相互重合．
【证明】如课本图12．3─2，△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ．
∵,
,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴△BAD ≌△CAD （SSS ）． ∴∠B=∠C ， ∴BD=CD ，
∴∠BDA=∠CDA=90°．
【评析】从这个证明也可以看出，等腰三角形底边上的中线的左、右两部分经翻转可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
【教师活动】引导学生共同完成等腰三角形性质的推理证明． 【学生活动】同教师一起分析、口述证明思路后，个别学生上台演示． 二、范例点击，应用所学
【例1】如课本图12．3-3，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数．
【思路点拨】首先应用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC ，∠A=∠ABD ，再运用三角形内角和定理求解∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，这里可以运用代数的方法列式求解方程． 【教师活动】操作投影，分析例1，讲明推理的方法．
【学生活动】参与教师的讲例分析中，踊跃发表自己的见解，并尝试用不同于课本例1的推理表达来书写例题1的解答．不设∠A=x ，然后相互讨论、比较．
【教学形式】在教师引导下合作交流．
【猜想】
猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图3，你可以将等腰三角形ABC 沿对称轴AD，观察DE与DF的关系．
如果DE、DF分别是AB、AC上的中线或∠ADB、∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些线段相等？
【教师活动】操作投影仪，提出讨论的问题，引导学生思考．
【学生活动】分四人小组合作交流，通过动手操作，感悟规律．
（1）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等，也可以应用“AAS”证明△BDE≌△CDF．（2）如果DE，DF分别是AB，AC上的中线或∠ADB，∠ADC的平分线，它们仍然相等，这是运用轴对称图形的概念和性质得到结论，还可以通过三角形全等予以证明．（3）•由等腰三角形是对称轴图形，利用类似的方法，还可以得到：等腰三角形对称轴上任意一点到两腰的距离相等；等腰三角形顶点到两腰上的中点（高线），底角的平分线的距离相等；等腰三角形两腰上的中线（高线）的交点到两腰的距离相等；等腰三角形两底角的平分线交点到两腰的距离相等．
三、随堂练习，巩固深化
课本P51练习第1、2、3题．
【探研时空】
已知：如图4所示，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是角的平分线，DE•⊥BC 于E，若BC=10cm，求△DEC的周长．
【思路点拨】如图4，在等腰直角三角形中，可以找到许多重要的等量关系，这些关系通过证明应逐步认识，∠A=90°，∴∠ABC=∠C=45°，AB=AC，又由BD平分∠ABC，•DE⊥BC 可知∠ABD=∠CBD=22.5°，AD=DE，△ABD≌△EBD，则BE=AB=AC，再由∠DEC=•90°，∠C=45°，可知△ECD是等腰直角三角形，则DE=EC，在这个图形中，应注意BD•是角的平分线，而不是中线，所以AD≠DC，由上述关系就可求得△DEC的周长为10cm．
【评析】有些常见图形中的数量关系应该逐步记住，如本题思路点拨中分析图中的各种关系都应记清，这样就有利于今后证明及计算有关问题．
四、课堂总结，发展潜能
提问：1．什么叫做等腰三角形？
2．等腰三角形有哪些性质？
3．你对本节课中等腰三角形与轴对称概念的联系有何体会．
五、布置作业，专题突破
1．课本P56习题12．3第1、2、3、4、12题．
2．选用课时作业设计．
板书设计
把黑板分成三等份，左边板书概念，中间板书例1，右边板书练习．
疑难解析
已知：如图5，AB<AC，BD是∠ABC的平分线，AD=DC，求证：∠A+∠C=180°．
思路点拨：在三角形全等的判定中，要注意两边及两边所夹的角相等，•两个三角形全等，而两边及其中一边的对角相等，两个三角形不一定全等．•本题中△ABD•与△CBD正
是这种情况：BD=BD，AD=DC，∠ABD=∠CBD，但△ABD与△CBD并不全等，•这样两个不全等的三角形有什么联系呢？在BC上截取BE=BA，则△BDC被分成两个三角形，•容易看到，△BDE与△BDA全等，△DEC是等腰三角形，这样问题就解决了．
从这个例子可以归纳出，记住一些基本图形对于证明几何题是必要的，本题如果能深刻认识两边与其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等的关系，那么图中添加DE这条辅助线就十分自然了．
第一课时作业设计
一、选择题．
1．如果等腰三角形的底边长大于腰长，那么这个等腰三角形的顶角是（）．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角、直角或钝角
2．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）．
A．顶角 B．顶角的一半 C．顶角的2倍 D．底角的一半
3．在等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，P是△ABC内一点，且∠PBC=∠ACP，则∠BPC为（）．
A．100° B．140° C．130° D．115°
4．如图，AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系满足（）．
A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°
C．∠1+3∠2=180° D．3∠1-∠2=180°
二、证明题．
5．如图，AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E，求证：AE⊥BC．
6．你能证明：等腰三角形两腰上的中线相等吗？试一试! （要求：依题意先画图，写出已知、求证，然后再证明） 三、探索题．
7．已知：如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE ．
请将此题改编为两道题，要求原题中的“BD=CE ”成为已知条件之一，•而原已知条件中的某一部分成为求证，并简要说明改编所得到的每一道题的证明方法．
四、聚焦中考．
8．如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点． （1）求证：AF ⊥CD ；
（2）在你连接BE 后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求证明）
E
D
B
A
F。