彩虹连通图

引言1.1 基本概念在本节中，我们要收集的大部分术语和符号用于此专题。

这里还没有给出，在需要时他们将被定义出来。

所有的图形在这本书中被认为是有限、简单和无向的。

我们也遵循那些不在这里定义的[ 9 ]符号术语。

在这我们分别用V（G）和E（G）表示顶点集，G的边集。

用任何子集（G），用G [X]表示诱导的子图，并且设E[×]的边集为G [X]；同样，对E(G)的任意子集为F，让G [F]表示包含在F中的子图。

然后我们表示成，和，这是所有对于y的图的总和。

A 是图G定义的一个集合，作为G的一个完全子图，并且最大集合中不包含任何G的较大的集合。

F对于集合S，|S|为S的势。

一个连通图的边称为桥，它去除将会断开该连通图。

没有桥的图叫做无桥图。

一条有n个顶点的路径表示为n P，其长度为N—1并且用表示。

一个顶点的度是1 那么就叫做悬垂。

我们称G路径长度为悬垂k路径，如果一个末顶点度为1，而所有内顶点度为2。

悬垂1长度的路径就是一个悬垂的势。

我们用表示一个周期的顶点。

对于n≥3，周期为是通过加入一个新的顶点对于每个顶点。

让是一个完全偶图（它的大小可以分别表示成s、t两部分）。

线图G是图(或）其顶点集V(L(G))=E(G)和两个对于相邻顶点当且仅当他它们在G中是相邻。

图G的迭代线图对于图形的线图L(G)，被表示成。

一般而言，k-迭代线图是线图。

对于一个相交图集，其顶点可以映射到集，所以有图中的两个顶点之间的边当且仅当对应的两个集合有一个非空交。

区间图是一个实线区间图的相交图。

圆弧图是圆弧形的一个相交图。

一个独立的三个顶点的x、y、z图G一个星状的三重(AT)，如果每一对中的顶点，有一个路径不包含任何相邻的第三路径。

有自动测试系统的图形称为无图[25]。

图G如果存在权函数，一个阈值图：V(G)→R和真正的常数，那么要两个顶点 u，v∈V(G)相邻只有满足w(u)+w(v)≥t。

二部图G(A，B)称为链图，如果一个顶点可以令为那么。

让为一个组，并让a为的元素。

我们使用（a）表示a生成的循环子群。

元素的数目(a)称为a的顺序，用a表示。

一对元素a和b如果，那么它就是一个交换群。

果每一对元素是交换的那么它就是一个阿贝尔群。

凯利图对于S来说就是顶点集相邻的两个顶点的x和y的如果，其中是逆封闭。

一个 k-正规图G ，v是严格的正规图，并表示为如果有λ和μ，每两个相邻顶点的整数λ共同的相邻点，每两个不相邻顶点有μ共用的相邻点。

设G是一个连通图。

G中两个顶点u和v 之间的距离由d(u、v)表示，是他们之间的最短路径的长度。

偏心距对于一个顶点v是G的半径为。

一个顶点v和一个集合之间的距离为。

k步打开临近的一个集合为。

一组称为k步支配集G如果所有G的顶点距离最多k步。

此外，如果D诱导一个连接子图G，则称为连接k 步支配集G。

G集合的最小连通k步主导的基数称为它的连接k步控制数，由表示出来。

我们称这个集合为一个二步强支配集k[55]，如果每个顶点，至少有k个邻点不占主导地位，占据优势。

一个支配集D在G中被称为双向控制集，如果它的每个垂饰顶点的都包含在D中。

此外，如果G[D]连接，我们称D连接为双向控制集。

一个（连接)两步支配集D中的顶点图G称为(连接)双向两步支配集，如果(1)每个顶点包括D和(2)中的每个顶点在至少有两个临点在里。

注意，如果δ(G)≥2，然后在G中每(连接)支配集是一个(连接)双向控制集。

设F图的是G的一个子图。

在G中耳型是一个非平凡路径， F，其目的是在F里，但其内部没有顶点。

一个嵌套序列图的序列为，我们可以得到。

一个2-连通图G的耳朵分解是一个嵌套序列在2-连接的子图里：(1)是一个周期；(2)，其中是里的一个耳朵，1≤i≤k；(3)。

如果在H中每一对顶点之间的距离是一样的，那么G中的H图称为等距。

在G里最大等长周期可被表示。

如果它不包含周期长度大于3的图，就叫做弦图。

在G里的chordality图是一个包含最大周期的长度。

请注意，每等长周期性都是封闭的，因此在G是最大的 chordality。

对于k≤α(G)，我们使用来表示最小度数的总和，接管所有的在G中的独立集合的顶点，其中在G中α(G)是的最大独立集元素的数量。

1.2动机和事例连接是最基本的图论的话题之一，无论在组合和算法的理念。

许多优雅和强大的结论是图论连接的结果。

还有很多方面要加强连接的概念，例如要求的哈密尔顿性，k连接，实行直径范围，要求边缘不相交的生成树的存在，等等。

一种有趣的方法来定量加强连接要求，彩虹连接，首次引入查特兰等。

[15]在2006年，重申如下：这个新概念来自资源联合部之间的信息政府机构。

美国国土安全署的创建在2003年回应中发现的弱点机密的安全传输在2001年9月11日之后，恐怖袭击的信息，Ericksen [38] 下列意见：这些致命攻击的一个意外后果实现执法和情报机构无法沟通彼此通过正常渠道从无线电系统数据库。

利用技术是独立的en ti tie和禁止共享访问，意义那不可能人员和爱格ts之间交叉检查信息不同的组织。

而信息需要保护，因为它涉及国家安全，还必须允许访问相应的缔约方之间的过程。

这通过分配之间的信息传输路径可以解决两个问题可能有其他机构中介的机构，同时要求大高昂的数字密码和防火墙入侵者，然而小足以管理(即，足以让每对一个或多个路径机构没有密码重复)。

一个直接的问题是：是什么密码或防火墙需要的最低数量，允许一个或多个安全沿每个路径的每两个机构之间的路径的密码是不同的？这种情况的图论模型。

我们是一个非平凡连接图上进行边缘的coloring c：E(G)→{1，2，···，n}，n∈n，定义在哪里相邻边可能是彩色的相同路径如果没有两个边是彩虹这是颜色相同的。

如果每一个边缘色图G彩虹连接由彩虹路径连接两个不同的顶点。

下边缘色彩 G彩虹连接的称为彩虹色。

显然，如果一个图是彩虹连接，它必须连接。

相反，每个连接图一个微不足道的边缘色彩，使其连接的彩虹，即通过色彩边缘用不同的颜色。

因此，我们定义彩虹连接的连接graph G，具体由钢筋混凝土(G)所需的最小颜色数的顺序使七彩虹连接[15]。

彩虹的色彩使用(G)颜色称为最小的彩虹色。

所以上面提到的问题可以建模利用计算彩虹连接数的值。

显然，彩虹连接数可以视为一种新的色指数。

对基本主题的介绍，我们的读者参考。

11[19]。

读者一项调查也可以看到[81]除了关于彩虹色彩的自然组合措施cl的安全传输的应用愚弄机构之间的信息，彩虹连接数也可以是出于其有趣的解释在网络领域[12]。

假设G代表的网络(例如一个细胞网络)。

我们希望在管道的任何两个顶点之间路由消息要求每个链接上的顶点之间的路由(即每个边缘路径)分配一个不同的渠道(如，不同的频率)。

显然，我们希望不同渠道的数量降至最低，我们利用我们的网络。

这个数字正是钢筋混凝土(G)。

让c彩虹连通图的着色G。

任何两个顶点 v G彩虹u−v测地在G是一个彩虹u−v路径长度d(u、v)。

一图G强烈如果存在一个彩虹，彩虹连接u−v测地线每对不同的顶点的u和v G。

在这种情况下，着色c调用 G强的彩虹色。

同样，我们定义强彩虹连接。

实例：fig1.1彩虹3着色和强大彩虹4色彼得森图fig1.2 A graph G (G)=(G)=4人数连接图G，具体由型钢(G)，作为最小的数所需的颜色，以便使连接克强彩虹[15]。

注意，这个数字也被称为彩虹直径数[12]。

强大的彩虹着色G usin gsrc(G)称为最小强彩虹的颜色着色克。

显然，我们直径(G)≤(G)≤(G)≤美元，where diam(G)表示G和m直径的大小of G。

为了说明这些新的概念，作者[15]考虑彼得森图P图。

1.1、凡彩虹还显示3色。

(P)≤3。

另一方面，if和v P 两个不相邻顶点，end (u、v)=2，所以u−v路径的长度至少是2。

因此，在使用的任何彩虹色彩至少有两种颜色，所以(P)≥2。

如果P有彩虹2-coloring c，然后存在颜色相同的两个相邻边G c，说e=紫外线和f=下能够安装颜色相同。

因为恰好有一个u−路径长度的2，没有彩虹−在P的路径，这是一个矛盾。

因此，(P)=3。

从钢筋混凝土后(P)=3，因此，(P)≥3。

此外，由于色彼得森图索引是已知的4，有3色c P的边缘结果在两个相邻边紫外和 being分配相同的颜色。

由于u、v、w 是唯一−w测地在P色素c不是一个强大的彩虹色。

由于4色的边缘，P图所示。

1.1是一个强大的彩虹着色，然后钢混凝土(P)=4 作为另一个例子，他们认为graph G图。

1.2a，其中彩虹 4着色of G还显示。

事实上，G和c是最小的彩虹色(G)=4，我们现在验证。

由于直径(G)≥3，因此，(G)≥3。

假设相反，(G)=3。

然后存在G彩虹3色，因为每个u−v路径在G length3，至少有一个three u−v路径是彩虹u−v 路径，说你，u1，v1，v是彩虹u−v路径。

我们可假设（uu1)=1，(u1v1)=2，和(v1v)=3。

(见图。

1.2b。

)G如果x和y是两个顶点，使d(x，y)=2，那么到底包含一个x−y路径长度的2，而其他所有x−y路径长度的4或更多。

这意味着任何两个相邻边可以是彩色的相同。

因此，我们可以假设，不失一般性that(uu2)=2 and (uu3)=3。

(见图。

1.2b。

){(vv2)、(vv3)}={1，2}。

如果(vv2)=1 and (vv3)=2，那么(u2v2)=3 and (u3v3)=1。

在这种情况下，没有彩虹u1−G v3路径。

在另一方面，如果(vv2)=2和(vv3)=1，那么(u2v2)∈{1，3}和(u3v3)=2。

如果Cu2v2)=1，则没有彩虹u2 G −v3path ；而如果(u2v2)=3，有no rain bow u2−v1 G 路径，矛盾。

因此，作为声称，(G)=4。

Since4=(G)≤(G)图的图G 。

1.2、彩虹色of G 图4。

1.2a 还是强彩虹4色，然后钢骨混凝土(G)=4。

1.4 彩虹点连通,彩虹连通度,彩虹索引如我们所见,上述彩虹连通数包括点着色.是Krivelevich 和Yuster[55]首先介绍一种新的参数与定义在点着色图上的彩虹连通数一致.若点着色图G 任一不相邻的两点通过一个路径连通,该路径的中间点着色不同,那么该图是彩虹点连通的.在G 是点连通下的点着色称为彩虹点着色.连通图G 的彩虹点连通数,记为)(G rvc ,是为了让G 满足彩虹点连通所必需的色数中最小的数.类似的,定义最小彩虹点着色.显而易见,我们总是有2)(-≤n G rvc （除了一个图）和0)(=G rvc 当且仅当G 是完全图.注意一个未着色图也被视为0色点找着色图.很明显,1)()(-≥G diam G rvc 等式满足的条件是G 的直径为1或2.注意某些图G 中)(G rvc 可能比)(G rv 小很多.例如,当1)(1,1-=-n K rv n 时1)(1,1=-n K rvc .某些图G 中)(G rvc 可能比)(G rv 大很多.例如去n 点不相邻的三角,并且通过标记每个三角上的一点,将这些标记点补成完全图.该图有n 个割点,而且n G rvc ≥)(.实际上,通过对割点分别着不同的颜色有n G rvc =)(.另一方面,不难理解,4)(≤G rv ,对n K 的边进行着色,不如说着色1,并且每个三角的边着色2,3,4.在彩虹着色,我们只需要找到一个彩虹连接连点的路.所以另一个自然概括如下：在某些边着色图中,任一连点间的彩虹路的数至少是一个大于 1 的整数.一个众所周知的理论Merger[83]证明了在每个κ连通图G 满足1≥κ,对任一两个不相连的点u 和v,有k 个中间不相连的v u -路连接着,整数k 满足κ≤≤k 1.彩虹着色类似的,若至少有k 条中间不相连的彩虹路v u -连接着不相连的点u 和v,我们称边着色为k 彩虹着色.Chartrand et al.[16]定义G 的彩虹k 连通)(G rv 为最小整数j,以至于有j 边彩虹k 色着色.彩虹k 色用)(G rc k 色.通过定义,)(G rc k 是)(G rv 的一般式,而且)()(1G rv G rc =是G 的彩虹连通数.给图G 的边着不同色,我们知道G 的任一两点通过k 条内部不相交的彩虹路相连,并且)(G rc k 中κ≤≤k 1,所以良定义的.此外,)()(G rc G rc j k ≤,κ≤≤≤j k 1.注意这种新的定义彩虹k 连通计算色数,这与计算内部(边)不相交的连通(边连通)数不同.因此,我们称之为彩虹k 连通数.Chartrand et al.[18]介绍了一种更一般的彩虹连通数.令G 是序列n 的边着色非平凡连通图.若G 中树T 中没有着相同的颜色,那么T 为彩虹树.令k 为固定整数n k ≤≤2,若对于Ｇ中k 点的子集Ｓ,图G 中存在一个彩虹树连接着Ｓ中的点,我们称Ｇ的边着色为k 彩虹着色.G 的k 彩虹索引)(G rx k 是Ｇ中k 彩虹着色必需的最小着色数．k 彩虹着色用)(G rx k 色称为最小的k 彩虹着色.因此,)(2G rx 是彩虹连通数)(G rc .紧接着,对于每个序列为n 的非平凡连通图G,有)()()(32G rx G rx G rx n ≤≤≤ .下面是一个简单但是有用的研究.假设G 连接着两条边uv e =和xy f =.那么f e G --蕴含三个分支)31(≤≤i G i .其中有两个分支包含u,v,x 和y 中的一个.第三分支包含两点,比如说)(),(21G V x G V u ∈∈和)(,3G V y v ∈,若S 是包含u 和x 的k 点的子集,那么每条包含S 的树一定也包含e 和f.这给了我们边着色图到k 彩虹图的必要条件.观察1.4.1([18])令G 是顺序n 的连通图,包含两个桥e 和f.对任一整数k n k ≤≤2,G 的每一个e 到f 的k 彩虹着色一定着不同的颜色.从观察1.4.1,我们知道若G 在某些边着色下是彩虹连通的,那么两个桥包含不同的颜色,这个观察在后面的证明中多次运用.下面是一个直接推论：观察 1.4.2([90])令G 为一个3≥n 点连通图,有)(1G n 吊边.那么,)(G rc )}(),(max{1G n G diam .。