粘滞流体的伯努利方程及应用
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伯努利方程的应用-山东大学课程中心
医学物理学
如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作稳定流动
p1 gh1 p2 gh2 w
或
( p1 p2 ) g(h1 h2 ) w
可见，由于黏性力的存在, 要流体在管道中作稳 定流动，管道两端要有压强差或者高度差 (h1h2) 或者两者兼而有之。
医学物理学
h1 =h2 ; v1 = v2 P1 —P2 = W 能量损失表现为： 压强降低
第三章、流体的流动
山东大学精品课程
医学物理学
第一节 理想流体的稳定流动
一、理想流体
实际流体
可压缩 粘滞性
理想流体
不可压缩 无粘滞性
医学物理学
流动性 ★突出流体的流动性 ★忽略次要性质 ★理想模型
二、定常流动
1、稳定流动：流体空间各点的速度不随时间变化的 流动。V (x, y, z)
●空间各点的速度可以不同，同一点的速度不随时 间变化。
单位：m3.S-1
医学物理学
2.连续性方程 条件：不可压缩的流体作稳定 流入
流动。 导出：质量守恒定律。
v1 S1
流出
v2
S2
物理意义：不可压缩的流体作稳定流动时，同一流 管不同截 面处的流量相等。
医学物理学
应用: 1.流线密处流速大
12
2.血液在毛细血管中流动速度与动脉比较 S1V1=S2V2
2、非稳定流动：流体空间各点的速度随时间变化 的流动。
医学物理学
3、流线： 任一瞬间，可以在流体中划这样一些线，线上各点 的切线方向和流经该点的流体粒子的速度方向相 同，这些线就叫做这一时刻的流线。
特点： ①切线——速度方向; 疏密——流速快慢。 ②流线不能相交； ③稳定流动，流线分布不随时间而改变 ④稳定流动时形状与液粒运动轨迹相同。
如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作稳定流动
p1 gh1 p2 gh2 w
或
( p1 p2 ) g(h1 h2 ) w
可见，由于黏性力的存在, 要流体在管道中作稳 定流动，管道两端要有压强差或者高度差 (h1h2) 或者两者兼而有之。
医学物理学
h1 =h2 ; v1 = v2 P1 —P2 = W 能量损失表现为： 压强降低
第三章、流体的流动
山东大学精品课程
医学物理学
第一节 理想流体的稳定流动
一、理想流体
实际流体
可压缩 粘滞性
理想流体
不可压缩 无粘滞性
医学物理学
流动性 ★突出流体的流动性 ★忽略次要性质 ★理想模型
二、定常流动
1、稳定流动：流体空间各点的速度不随时间变化的 流动。V (x, y, z)
●空间各点的速度可以不同，同一点的速度不随时 间变化。
单位：m3.S-1
医学物理学
2.连续性方程 条件：不可压缩的流体作稳定 流入
流动。 导出：质量守恒定律。
v1 S1
流出
v2
S2
物理意义：不可压缩的流体作稳定流动时，同一流 管不同截 面处的流量相等。
医学物理学
应用: 1.流线密处流速大
12
2.血液在毛细血管中流动速度与动脉比较 S1V1=S2V2
2、非稳定流动：流体空间各点的速度随时间变化 的流动。
医学物理学
3、流线： 任一瞬间，可以在流体中划这样一些线，线上各点 的切线方向和流经该点的流体粒子的速度方向相 同，这些线就叫做这一时刻的流线。
特点： ①切线——速度方向; 疏密——流速快慢。 ②流线不能相交； ③稳定流动，流线分布不随时间而改变 ④稳定流动时形状与液粒运动轨迹相同。
第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
§1-2伯努利方程及其应用
§1-2伯努利方程及其应用
例1.3 如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ, 液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小 孔处的压强为大气压强p0。当p>>p0时,试证明小孔处的液流速度 为： v2 = 2( p − p0 ) / ρ
解:将整个流体当作一个流管,用 v1和v分别表示水面处和 2 孔口处的流速。由连续性方程知 v 2 且因为S1>>S2,故 v 2 >> v1 可以近似地取 v1 = 0
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
一 、 伯努利方程 伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利 （D.Bernoulli）提出来的，是理想流体 作稳定流动时的基本方程，对于确定流 体内部各处的压力和流速都有很大的实 际意义,在水利、造船、航空航天等部门 有着广泛的应用。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房 间，水管内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入 到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴 室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。 解：由连续性原理知
2
S1v1 = S 2 v2
A
B
将整个管子作流管，由连续性方 程 S1v1 = S 2 v2 以及伯努利方程 (1-5) 2
C
D E
p + 0.5 ρv = 恒量
图1—6 空吸作用 图1—6 空吸作用
第一章 流体的运动 由于 S1 >> S 2
伯努利方程的应用实际液体的流动 (1)
8.3 8.8 13
影响液体和气体流动性的因素是不同的。
在国际单位制中黏度的单位是Pas (帕秒)。黏度也 常用P (泊)作单位
1 P = 0.1 Pa s
17
二、 黏性流体的运动规律
p1
1 2
2 v1
gh1 p2
1 2
2 v2
gh2 w
黏性流体作稳定流动时所遵从的规律。 如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作定常流动
vr Re
21
由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数 Rec 。圆形管道的临界雷诺数Rec在1000 ~ 1500的 范围内。 当流速的值使雷诺数Re处于临界值Rec时，此时 的流速就是临界流速，大小为
Rec vc r
如果流速从低于vc增大到高于vc，那么流动将 会从层流转变为湍流。
黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时, 算得流量 为
p1 p2 4 QV ( )r 8 l
l 和 r 分别是管道的长度和半径。上式称为泊肃叶定律。
流阻 如果令 R f 8l ,那么上式可写成: 4
R
P P 1P 2 Q Rf Rf
20
*四、湍流和雷诺数 (Turbulent flow ) 湍流 流体中沿垂直于管轴方向的速度分量的 不规则流动。 实验表明，发生湍流的临界流速与雷诺数 Re 相对应。 雷诺数
若流体密度为，小球密度为，半径为r，速率为 v，则小球所受的三个力平衡，即 23
4 3 4 3 r g 6 r v r g 3 3
由此可得小球下落的速率
2r v ( ) g 9
假如测出速率v，可求出液体的黏度 ; 若流体的 黏度已知, v已测出，可求得小球(或液滴)的半径。
第八节伯努利方程
m gh1 )＝p1S11t
p2 S22t
1 2
V
2 2
Vgh2
(1 2
V12
Vgh1 )＝p1V
p2V
p1
1 2
12
gh1＝p2
1 2
22
ห้องสมุดไป่ตู้
gh2
二. 对于同一流管的任意截面，伯努利方程：
p 1 2 gh 恒量
2
•含义：对于理想流体作稳定流动，在同一流管中任一处，
每单位体积流体的动能、势能和该处压强之和是一个恒量。
1 2
v 2
静止不动，故称驻点；
E
v 2 pA pB 2gH
P42， 图1－41
§1.4 粘滞流体的流动
粘滞流体：如植物组织中的水分，人体 及动物体内的血液以及甘油、蓖麻油。
一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数
: 层流 实际流体在流动时，同一横截面上各点流速并不相同，管中轴
心处流速最大，越接近管壁，流速越小，在管壁处流速为零。这种各层 流体流速有规则逐渐变化的流动形式，称为层流； 每一层为与管同轴的薄圆筒，每一层流速相同，各层之间有相对运动 但不互相混杂，管道中的流体没有横向的流动。 （流速小时呈现的流动形式：河道、圆形管道）
注：S1>>S2
由于液槽中液面下降很慢， 可以看成是稳定流动，把液 体作为理想流体；
P0
1 2
V12
gh
P0
1 2
V22
V1 V2
2gh
托里拆利定律：忽略粘滞性，任何液体质点从小孔 中流出的速度与它从h高度处自由落下的速度相等；
应用实例4. 文特里管：可串接到管道中测定气体
流速的装置；
曲管压强计中盛 水银，当粗管和
粘性流体的伯努利方程
• 泊肃叶定律
粘性流体在水平细管内作稳定层流时的流量
Q R4P 8L
I V R
R 细管半径 流体粘度 L 细管长度
２、流阻:
R f 8L R4
Q P Rf
三、斯托克司定律（ Stokes’s law ）
在粘性流体中运动时，物体表面附着有一层流体，因而与 周围流体存在粘性力。
流体运动
物理教研组
流体的运动
1、掌握理想流体、稳定流动的概念及其物理意义； 2、掌握连续性方程及其应用； 3、掌握伯努利方程及其应用； 4、了解粘性流体的流动 5、了解粘性流体的运动规律
§3-1 理想流体 稳定流动
一、理想流体 1、实际流体 水、油……可压缩，具有粘滞性。
2、理想流体 绝对不可压缩、完全没有粘滞性（内摩擦）。
ghghgh121012201010002010001210001024二伯努利方程的应用1汾丘里venturimeter流量计gh2流速计皮托管pitottubeghghgh工作液体密度待测流体密度3体位对血压的影响若流体在等截面的流管中流动且流速不变则由若流体在等截面的流管中流动且流速不变则由伯努利方程可得
12(m
s)
vB
Q SB
0.12 6 103
20(m
s)
PA
1 2
v
2 A
PB
1 2
vB2
ghB
PB
PA
1 2
vA2
1 2
vB2
ghB
2 105 1 1000122 1 1000 202 1000 9.8 2
2
2
大学物理：流体力学、液体表面现象小结
P2 )
, vm
P1 P2
4l
R2
适用条件：不可压缩，稳定层流。
⑸斯托克斯公式：
f
6vr
适用条件：小球，稳定层流。
收应尾用速：度 沉降分离与vT离心2分(离9)r 2g
第一章第二章总结
大学
一、基本内容
物理
3表面张力
1） 表面张力: f =αl 2）表面能: E S
4弯曲液面的附加压强
1）平液面:P P0
3 弯曲液面两侧存在压强差的原因是什么？
第一章第二章总结
7
大学
三、历年考题
物理
1. 当接触角 2 13.01033kPgams-3 时，表明液体不润湿固体。(
)
2 沉降法可以用于测定土壤颗粒的大小。若已
知20℃时某种土壤颗粒密度为3.0 103kg m-，3 水的
密度为 1.0 103 kg m-3，水的黏滞系数为1.0103Pa s ，
大学
一、基本内容
物理
2.粘滞流体的流动规律
⑴层流,牛顿粘滞定律 ⑵湍流
f dv S；粘度
dy
雷诺数 R vd
⑶粘滞流体的伯努利方程：
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v2 2
gh2
A21
适用条件：不可压缩，稳定层流。
第一章第二章总结
大学
一、基本内容
物理
⑷泊肃叶公式：
Q
R 4 8l
(P1
测定这种土壤颗粒在水中的收尾速度
为 2.0103ms-1 ，则该土壤颗粒的半径为
m。
2.14 105 m
vT
2 9
g
r2
水力学4.3伯努利方程的意义和应用
4.3 伯努利方程的意义和应用
由4.2伯努利方程的推导可知伯努利方程实 质上是一能量方程
4.3.1 伯努利方程的物理意义
4.3.2 伯努利方程的几何意义
4.3.3 毕托管原理
4.3.1 伯努利方程的物理意义
z: 单位位能, 元流过流断面上单位重力流体相对 于某一基准面算起所具有的位置能
p/r: 单位压能, 元流过流断面上单位重力流体所 具有的压能
4.3.2 伯努利方程的几何意义
4.3.3 毕托管原理
毕托管: 利用液体能量转化的原理测定点流速的仪器
毕托管原理: 应用伯努利方程,通过测量点压强的方法来间 接地测出点速度的大小. 最简单的毕托管就是一根弯成90度的开口细管. 如图4.5
4.3.3 毕托管原理
设为恒定流,观察水流经过
此弯管的流动,在通过M点
4.3.2 伯努利方程的几何意义
z: 位置高度(位置水头) 元流过流断面上单位重力流体相对于某
一基准面算起所具有的高度 p/r: 压强高度(压强水头)
元流过流断面上单位重力流体所具有的压强高度 z+p/r: 测管高度(测压管水头)
元流过流断面上单位重力流体所具有的测管高度 u 2 : 流速高度(流速水头) 2g 元流过流断面上单位重力流体所具有的动能
u c 2gh
(4.10)
c:毕托管校正系数,其值通过率定确定,一般在 1.0~1.04之间,
通常在精度要求不高时, 取c=1.0
4.3.3 毕托管原理
常用的毕托管的构造如下图.
4.3.3 毕托管原理
例4.1 物体绕流如图示,上游无穷远处流速为
u 1.2m / s ,压强为 p 0 的水流受到
的同一条流线上,有一与M
由4.2伯努利方程的推导可知伯努利方程实 质上是一能量方程
4.3.1 伯努利方程的物理意义
4.3.2 伯努利方程的几何意义
4.3.3 毕托管原理
4.3.1 伯努利方程的物理意义
z: 单位位能, 元流过流断面上单位重力流体相对 于某一基准面算起所具有的位置能
p/r: 单位压能, 元流过流断面上单位重力流体所 具有的压能
4.3.2 伯努利方程的几何意义
4.3.3 毕托管原理
毕托管: 利用液体能量转化的原理测定点流速的仪器
毕托管原理: 应用伯努利方程,通过测量点压强的方法来间 接地测出点速度的大小. 最简单的毕托管就是一根弯成90度的开口细管. 如图4.5
4.3.3 毕托管原理
设为恒定流,观察水流经过
此弯管的流动,在通过M点
4.3.2 伯努利方程的几何意义
z: 位置高度(位置水头) 元流过流断面上单位重力流体相对于某
一基准面算起所具有的高度 p/r: 压强高度(压强水头)
元流过流断面上单位重力流体所具有的压强高度 z+p/r: 测管高度(测压管水头)
元流过流断面上单位重力流体所具有的测管高度 u 2 : 流速高度(流速水头) 2g 元流过流断面上单位重力流体所具有的动能
u c 2gh
(4.10)
c:毕托管校正系数,其值通过率定确定,一般在 1.0~1.04之间,
通常在精度要求不高时, 取c=1.0
4.3.3 毕托管原理
常用的毕托管的构造如下图.
4.3.3 毕托管原理
例4.1 物体绕流如图示,上游无穷远处流速为
u 1.2m / s ,压强为 p 0 的水流受到
的同一条流线上,有一与M
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第一章 流体力学
气体和液体
第一节 理想流体的定常流动
一、理想流体模型 流体主要力学性质： 流动性；质量力（F=ma）； 体积可压缩性和膨胀性；粘滞性
二、理想流体的定常流动
1.定义：流体流经空间各点的速度不随时间而变化。 注意:流体流经空间各点的速度随空间的不同而变化，但空 间各点的速度分布不变,并非等同于匀速运动。
P1
R
P2
L
2.流层流速的分布
(P1
P2 )r 2
2rL
dv dr
由于从轴线向管壁各流层的流速
是逐渐减小的，所以
dv 0 dr
dv P1 P2 r
dr 2L
dv P1 P2 rdr
2L
因在管壁处流体的流速 为零，即 r = R时，υ=0， 对上式积分得
Q S2v2 S2 2gh
思考： 为什么设立安全线？
第三节 粘滞流体的运动规律
一、粘滞流体模型
流体主要力学性质： 流动性；质量力（F=ma）；
体积可压缩性和膨胀性；粘滞性
二、牛顿粘滞定律
演示实验：
在透明的玻璃管中 先倒入一些无色甘 油，再倒入一些着 色的甘油。而后迅 速抽掉底板，会看 到着色甘油实际流 动的情况。
如图所示，一较大的奶桶，桶的側壁开一小孔，牛奶从小孔中流出。 设小孔的截面S2，奶桶的截面S1，小孔中心到液面的高度为h。 h较小孔直 径大很多，可认为小孔中牛奶的流速是均匀分布的.若牛奶液面高度维持 不变，求小孔中牛奶的流速和秒流量？(牛奶的密度ρ）
解 : 设小孔中牛奶的流速为υ2 ，大桶中牛奶的流速为υ1 。所以两处的静压强均
1 2
v 2
PA
PB
gh
v 2gh
h
A υB
3.文丘里流量计
PA
1 2
v A 2
PB
1 2
vB 2
vB
SAvA SB
h
v2 A
2(PB PA )SB 2
(S B 2
S2 A
)
SA
SB
Q S SA B
2(PB PA )
(SB2 SA2 )
S SA B
2gh
S2 B
S2 A
例题: 小孔流速问题
3.雷诺数
层流与湍流的分水岭——雷诺数 R vd
1883年雷诺耳首先提出
R〈 2000 时流体的运动为层流；
R 〉3000 时流体的运动为湍流。
雷诺实验:
下一幻灯片 24页
第四节 泊肃叶定律 斯托克斯定律
一、泊肃叶定律
1.泊肃叶定律成立的条件： 在粗细均匀的圆形水平管道中作稳定流动
设有一半径为R，长为L水平放置的管道，一粘滞系数为 η的流的流体在管道中作稳定流动。取一半径为本 r ,与管 共轴长的小流体柱为流体元。设距管轴线为 r 处流层的 相对流速为υ.
2. 流线与流管
流线:人为的在流体流动的空间作一系列曲线，并使曲 线上每一点的切线方向都与流体质点经过该点的速度方 向相同，这些曲线叫流线. 流管:由流线所围成的管状结构。
**理想流体做稳定流动时:
vA vB
(1)流线永不相交;
vC
(2)流管内的流体只能在流管内运动，
流管外的流体也决不会流入管内。
为P0 ，那么根据伯努利方程方程，有
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v2 2
gh2
P0
P1 P2 P0
h1 h h2 0
v1
S2v2 S1
2gh
v2 S1
S2 1
S2 2
若S2 << S1则有：v 2gh
S1
h
P0
S2
v 2gh
此式称为托里却利公式，与自由落体公式相同。由此式可求得单位时来自经小孔流出流体的体积，即秒流量为
A BC
二、流体的连续性原理
s1v1t s2v2t
s1v1 s2v2
υ1 υ2
s1 s2
连续性原理：在同一流管中理想流体作定常流 动时，流体的平均流速与流管的横截面积的乘 积是一个恒量。
流量:单位时间内流过某一横截面积处流体的体积。 (Q, 单位：m3/s）
连续性原理的实质是：理想流体在同一流管里相 同的时间内任意截面积流体的体积相等，即流量 守恒。 对于分支的流管：
f S dv
dr
4.影响η的因素：
1）液体的种类有关； 2）与液体含杂质的多少相关； 3）和温度相关。
对液体流体来说η随温度的升 高而降低，对气体流体来说η随温 度的升高而增大。
三、粘滞流体的伯努利方程及应用
12
12
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v2 2
gh2
A21
1.维持水在粗细均匀水平管道稳定流动的条件
适用条件：理想流体在同一流管中做定常流动。
A？
B
？
C？
请判断A、B、C三处液面高低
A
B
C
二、伯努利方程的应用
A
1.空吸作用：
喷雾器原理
水流抽气机
2.皮托管测流体的流速
PA
1 2
v A 2
ghA
PB
1 2
vB 2
ghB
PA
1 2
v 2
PB
1 2
v 2
PA
PB
gh
v 2gh
测液体的流速
二、牛顿粘滞定律
r
r+dr r
1.速度梯度
r→r+dr两流层的速度分别为v、 v+dv两流层的速度差dv
v+dv v υ
速度差dv与流层间距之比称为速度梯度 dv dr
速度梯度：各流层流速沿半径方向上的变化率。
2.内摩擦力 阻碍流层之间发生相对运动的力称为内摩擦力。
3.牛顿粘滞定律
相邻流层内摩擦力 f 的大小与两流层之间的接触面 积S成正比，与流层速度梯度成正比，即有
S1v1 S2v2 S3 v3
第二节 伯努利方程及其应用
功能原理：
A外
A非，内
(Ek2
Ep 2
) (Ep1
Ek1 )
E2
E1
s1 , υ1
0 理想流体
b
S2 ,υ2 d P2
Ⅱ
Ⅰ
h2
P1
h1
伯努利方程推证：
A p1s1v1t p2s2v2t
s1v1t
s2v2t
V
m
注意：公式中的m并不表 示运动的流体质量，是 流入(出)的流体质量。
渠道必须有压强差: P1－ P2 =ΔA21
2.维持水在粗细均匀露天水渠中稳定流动的条件:
渠道必须有坡度 :
h1
h2
A21
g
三、层流、湍流、雷诺耳数
1.层流
在流体流动过程中，各流层不相混合，彼此之间仅作相 对的滑动，这样的流动叫层流。
2.湍流
由于流速过大或遇到障碍物使流体产生与原来运动 方向相垂直的分速度，这样的流动叫湍流。
m
A ( p1 p2 )V ( p1 p2 )
s1 , υ1
b
Ⅰ
P1
h1
S2 ,υ2 d P2
Ⅱ h2
由功能原理，外力做功等于系统机械能的增量。
A
( p1
p2 )V
1 2
mv 2 2
1 2
mv12
mgh2
mgh1
1 2
v22
gh2
p2
1 2
v12
gh1
p1
说明：理想流体在流管中定常流动时，任一截面处单位 体积流体的动能、势能和压强能的和为一恒量。
气体和液体
第一节 理想流体的定常流动
一、理想流体模型 流体主要力学性质： 流动性；质量力（F=ma）； 体积可压缩性和膨胀性；粘滞性
二、理想流体的定常流动
1.定义：流体流经空间各点的速度不随时间而变化。 注意:流体流经空间各点的速度随空间的不同而变化，但空 间各点的速度分布不变,并非等同于匀速运动。
P1
R
P2
L
2.流层流速的分布
(P1
P2 )r 2
2rL
dv dr
由于从轴线向管壁各流层的流速
是逐渐减小的，所以
dv 0 dr
dv P1 P2 r
dr 2L
dv P1 P2 rdr
2L
因在管壁处流体的流速 为零，即 r = R时，υ=0， 对上式积分得
Q S2v2 S2 2gh
思考： 为什么设立安全线？
第三节 粘滞流体的运动规律
一、粘滞流体模型
流体主要力学性质： 流动性；质量力（F=ma）；
体积可压缩性和膨胀性；粘滞性
二、牛顿粘滞定律
演示实验：
在透明的玻璃管中 先倒入一些无色甘 油，再倒入一些着 色的甘油。而后迅 速抽掉底板，会看 到着色甘油实际流 动的情况。
如图所示，一较大的奶桶，桶的側壁开一小孔，牛奶从小孔中流出。 设小孔的截面S2，奶桶的截面S1，小孔中心到液面的高度为h。 h较小孔直 径大很多，可认为小孔中牛奶的流速是均匀分布的.若牛奶液面高度维持 不变，求小孔中牛奶的流速和秒流量？(牛奶的密度ρ）
解 : 设小孔中牛奶的流速为υ2 ，大桶中牛奶的流速为υ1 。所以两处的静压强均
1 2
v 2
PA
PB
gh
v 2gh
h
A υB
3.文丘里流量计
PA
1 2
v A 2
PB
1 2
vB 2
vB
SAvA SB
h
v2 A
2(PB PA )SB 2
(S B 2
S2 A
)
SA
SB
Q S SA B
2(PB PA )
(SB2 SA2 )
S SA B
2gh
S2 B
S2 A
例题: 小孔流速问题
3.雷诺数
层流与湍流的分水岭——雷诺数 R vd
1883年雷诺耳首先提出
R〈 2000 时流体的运动为层流；
R 〉3000 时流体的运动为湍流。
雷诺实验:
下一幻灯片 24页
第四节 泊肃叶定律 斯托克斯定律
一、泊肃叶定律
1.泊肃叶定律成立的条件： 在粗细均匀的圆形水平管道中作稳定流动
设有一半径为R，长为L水平放置的管道，一粘滞系数为 η的流的流体在管道中作稳定流动。取一半径为本 r ,与管 共轴长的小流体柱为流体元。设距管轴线为 r 处流层的 相对流速为υ.
2. 流线与流管
流线:人为的在流体流动的空间作一系列曲线，并使曲 线上每一点的切线方向都与流体质点经过该点的速度方 向相同，这些曲线叫流线. 流管:由流线所围成的管状结构。
**理想流体做稳定流动时:
vA vB
(1)流线永不相交;
vC
(2)流管内的流体只能在流管内运动，
流管外的流体也决不会流入管内。
为P0 ，那么根据伯努利方程方程，有
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v2 2
gh2
P0
P1 P2 P0
h1 h h2 0
v1
S2v2 S1
2gh
v2 S1
S2 1
S2 2
若S2 << S1则有：v 2gh
S1
h
P0
S2
v 2gh
此式称为托里却利公式，与自由落体公式相同。由此式可求得单位时来自经小孔流出流体的体积，即秒流量为
A BC
二、流体的连续性原理
s1v1t s2v2t
s1v1 s2v2
υ1 υ2
s1 s2
连续性原理：在同一流管中理想流体作定常流 动时，流体的平均流速与流管的横截面积的乘 积是一个恒量。
流量:单位时间内流过某一横截面积处流体的体积。 (Q, 单位：m3/s）
连续性原理的实质是：理想流体在同一流管里相 同的时间内任意截面积流体的体积相等，即流量 守恒。 对于分支的流管：
f S dv
dr
4.影响η的因素：
1）液体的种类有关； 2）与液体含杂质的多少相关； 3）和温度相关。
对液体流体来说η随温度的升 高而降低，对气体流体来说η随温 度的升高而增大。
三、粘滞流体的伯努利方程及应用
12
12
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v2 2
gh2
A21
1.维持水在粗细均匀水平管道稳定流动的条件
适用条件：理想流体在同一流管中做定常流动。
A？
B
？
C？
请判断A、B、C三处液面高低
A
B
C
二、伯努利方程的应用
A
1.空吸作用：
喷雾器原理
水流抽气机
2.皮托管测流体的流速
PA
1 2
v A 2
ghA
PB
1 2
vB 2
ghB
PA
1 2
v 2
PB
1 2
v 2
PA
PB
gh
v 2gh
测液体的流速
二、牛顿粘滞定律
r
r+dr r
1.速度梯度
r→r+dr两流层的速度分别为v、 v+dv两流层的速度差dv
v+dv v υ
速度差dv与流层间距之比称为速度梯度 dv dr
速度梯度：各流层流速沿半径方向上的变化率。
2.内摩擦力 阻碍流层之间发生相对运动的力称为内摩擦力。
3.牛顿粘滞定律
相邻流层内摩擦力 f 的大小与两流层之间的接触面 积S成正比，与流层速度梯度成正比，即有
S1v1 S2v2 S3 v3
第二节 伯努利方程及其应用
功能原理：
A外
A非，内
(Ek2
Ep 2
) (Ep1
Ek1 )
E2
E1
s1 , υ1
0 理想流体
b
S2 ,υ2 d P2
Ⅱ
Ⅰ
h2
P1
h1
伯努利方程推证：
A p1s1v1t p2s2v2t
s1v1t
s2v2t
V
m
注意：公式中的m并不表 示运动的流体质量，是 流入(出)的流体质量。
渠道必须有压强差: P1－ P2 =ΔA21
2.维持水在粗细均匀露天水渠中稳定流动的条件:
渠道必须有坡度 :
h1
h2
A21
g
三、层流、湍流、雷诺耳数
1.层流
在流体流动过程中，各流层不相混合，彼此之间仅作相 对的滑动，这样的流动叫层流。
2.湍流
由于流速过大或遇到障碍物使流体产生与原来运动 方向相垂直的分速度，这样的流动叫湍流。
m
A ( p1 p2 )V ( p1 p2 )
s1 , υ1
b
Ⅰ
P1
h1
S2 ,υ2 d P2
Ⅱ h2
由功能原理，外力做功等于系统机械能的增量。
A
( p1
p2 )V
1 2
mv 2 2
1 2
mv12
mgh2
mgh1
1 2
v22
gh2
p2
1 2
v12
gh1
p1
说明：理想流体在流管中定常流动时，任一截面处单位 体积流体的动能、势能和压强能的和为一恒量。