积分上限函数求导法则三
定积分的变上限求导法
定积分的变上限求导法定积分是微积分中的一个重要概念，在数学、物理、化学等学科中有广泛应用。
在实际中，我们经常会遇到定积分的变上限求导问题，本文将介绍定积分的变上限求导法。
一、定义首先，我们需要了解定积分的定义。
对于一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$x$的任意分割可以写成$a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b$区间$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$x_i$点处的函数值为$f(x_i)$，则$[x_{i-1},x_i]$的面积为$f(x_i)\times\Delta x_i$。
所以区间$[a,b]$的面积可以近似表示为$S_n=\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$当$x$的分割无限细时，即$\Delta x_i\to 0$，$n\to \infty$时，所求面积就是定积分，可以表示为：$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$其中，$a$和$b$分别是积分的下限和上限，$dx$是区间长度的微元，可以理解为$\Delta x$在$n\to \infty$时的极限。
二、变上限的求导法现在考虑定积分的变上限求导问题。
假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，$c$是$[a,b]$内的一个定值，定义函数$F(x)=\int_c^xf(t)dt$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。
证明：可知$\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=\dfrac{1}{h}\int_c^{x+h}f(t)dt-\dfrac{1}{h}\int_c^xf(t)dt=\dfrac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt$在$h\to 0$时，上式变为$F'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt=f(x)$因此$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt=⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量在积分区间上变动。
t ],[x a （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a ，b ）上可积，而可积，则)(x f ],[b a )(x f )(x f 在上连续。
⎰=xa dt t f x F )()(],[b a 定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a ，b ）上可积。
)(x f ],[b a )(x f 定理3如果在上连续，则在上可导，而且有)(x f ],[b a ⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：)(x f 可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。
)(x f )(x f ' （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 <变上限积分改变上下限，变号。
>)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 <上限是复合函数的情况求导。
>)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 <上下限都是变的时候，用上限的减去)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰下限的。
积分上限函数求导法则三
x0
x0
d x f tdt d x f tdt d x f tdt
dx x
dx x0
dx x0
f xx f xx
4.例题
例1
求
d dx
1
x
sin
t
cos
t
dt
解 由法则1得
d dx
1
x
证
x
x
a
f
t
dt
a xb
x Fx C ( c 为常数).
令
x
a, a
a
a
f
t dt
0
，
a Fa C
C Fa
令
x
b,
b
b
a
f
t
dt
b
a
f
xdx
，
b Fb C
则
b
a
f
xdx
dx
dx x0
f tdt
f x
d dx
x0 x
f
t dt
f
x
2.法则2 若函数 f x在闭区间 a,b上连续， x0是 a,b上的某一定点，函数 x 可微， 且 xa,b，则有
d x
dx x0
f tdt
f xx
dx
(2)定理2 若函数 f x在 a,b上连续，则积
分上限函数x
x
a
f
t dt
是
f
x 在区间
a, b 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，
2020-2021-2高等数学期末复习资料
注：（1）发散级数加括号后可能收敛也可能发散。
（2）收敛级数去括号后可能收敛可能发散。
（3）发散级数去括号后仍然发散。
2.
p
级数
n1
1 np
（
p
1时收敛；
p
1 时发散）
3.
比较判别准则的极限形式:设 un
n1
和 vn
n1
是正项级数，且 lim un v n
n
l ，则
①若 l 为正数（ 0 l ），则级数 un 和 vn 敛散性相同；
x3
1 et2 dt
（6）lim x0
cos x
x2
x ln(1 t)dt
（7） lim 0 x0
x2
（8） lim x0
tan x2
0
sin 2tdt
x
x (1 cos t)dt
（10） lim 0 x0
x3
考点 2.求定积分（第一类换元积分法）
2x
t sin tdt
（9） lim x0
0
ln(1 x3)
考点 2.求幂级数的收敛域及和函数
知识点回顾：
1.幂级数 un x 收敛域的求解方法： n1
第一步：令 lim un1 u n
n
1或 lim n n
un
1 ，可求出 x (a,b)
第二步：端点处敛散性另行判定后，就可以确定收敛域，其中收敛半径为 R b a 。 2
2.（1）求和函数前，必须先求收敛域，即和函数的定义域。
x
S(x)
，先积分再求导。
练习题：
1. 求下列幂级数的收敛域
xn
（1）
n1 n!
（2） nxn1 n1
定积分的直接积分法
2
x
|dx
解
3 |
1
2
x
|dx
2 (2
1
x)dx
3
2
(
x
2)dx
(2x
x2 2
)
|2
1
x2 (
2
2x) |32
2 5 ( 3) 2 5 22
同学练习2
1．
已知
f
(x)
2x , 3x2
1,
x0
，
x0
2
求 f (x)dx ． 1
例8(*)
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
同学练习2
1.
lim
x
0
1
1 t
t
dt
x
x
2.
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
定积分的直接积分法
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
知识回顾 Knowledge Review
y
p( x)
oa x
bx
定理6.1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数
px
x
a
f
t dt
在 a, b 可导，
且 p'x f x a x b
高数导数和积分大全
-1
1 6
区域
y y y2(x)
D {( x, y) | y1( x) y y2( x), a x b }
D
称为 X – 型区域
y y1( x)
oa
bx
定理
设 f ( x, y)在 X- 区域 D 上连续，y1( x ) ,
y2( x ) 在 [ a, b ] 连续，则
f ( x, y)d x d y
一、基本初等函数导数公式
(C) 0 (sin x) cos x (tan x) sec2 x (sec x) sec xtanx
(x ) x1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc xcotx
( a x ) a x ln a
(loga
1
xdx
2 (x2 1)dx
0
0
1
1 2
x2
|10
(1 3
x3
x)
|12
23 6
四、 定积分的换元法和 分部积分法
定理 （定积分的换元公式）
设函数 f (x)在区间 [ a , b ]上连续；函数 x (t)
在 [ , ] 上单值且有连续导数；当 t
时，有 (t) [a,b]，且 ( ) a, ( ) b
dy 1 du u
du sin v dv
dv ex dx
dy 1 ( sin v )ex 1 (sinex )ex
dx u
cos ex
练习：求下列函数的导数
1、y ex3 2、y 2x sin x 3、y ln tan x
2 4、y xex
5、y 2x 1 sin x
6、y 3x e x 7、y x2 x 3 8、y 5x4 3x2 1
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
对积分上限函数求导换元法
对积分上限函数求导换元法1 换元法求导在微积分学中，换元法是一种用于求解积分和求导的技巧。
其中，求导换元法是指通过应用连锁法则来求解一些很难直接求导的函数。
1.1 基本思想求导换元法的基本思想是，将复杂的函数表示成一个较简单的函数的复合形式，然后应用链式法则来求解导数。
具体来说，我们假设函数$f(u)$在某个区间内可导，而另一个函数$y=g(x)$又在该区间内可导。
则，如果$f$是一个复合函数，满足$f(u)=f(g(x))$，那么，$f$的导数可以表示为：$$ \frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx} $$此处，链式法则用于求解$f$的导数，其中$\frac{df}{du}$和$\frac{du}{dx}$分别表示$f$对$u$求导和$u$对$x$求导。
1.2 求解方法在实际的计算中，我们通常需要先找到一组合适的变量替换，使得原函数能够表示成一个容易求导的形式，然后再应用链式法则来求解导数。
比如，对于一个积分上限为$x$的积分，$$ F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt $$我们可以通过引入一个新的变量$u=g(x)$来简化它，即$$ F(x)=\int_{0}^{g(x)}f(t)dt $$接着，我们可以利用链式法则来求解$F$的导数：$$ \frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{g(x)}f(t)dt=\fr ac{d}{dx}[F(g(x))] $$因此，我们只需要求出$F$关于$u$的导数$\frac{d}{du}F(u)$和$u$关于$x$的导数$\frac{du}{dx}$，就可以得到$F$关于$x$的导数。
1.3 例子接下来，我们将通过一个具体的例子来演示求导换元法的使用。
假设我们要求解函数$$ F(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{dt}{1+t^4} $$的导数。
这里，积分上限是函数$x$的平方根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)定理2 若函数 f x在 a,b上连续，则积
分上限函数x
x
a
f
t dt
是
f
x 在区间
a, b 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，
另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，
从而可能用原函数来计算定积分.
二、积分上限函数求导法则
1.法则1 若 f x在 a,b上连续， x0 是 a,b上的某一定点，则 x a,b， 有
sin
t
ห้องสมุดไป่ตู้
cos
t
dt
sin
x
cos
x
例2
求
d dx
x2
0
tan
tdt
解 由法则2得
d dx
x2
0
tan
tdt
tan
x2
x2
2x
tan
x2
例3 求 x3 1 dt
x2 1 t4
解 由法则3得
d x3
dx x2
1 dt 1 t4
1 x3 1 x3 4
证
令
u
u
x0
f
t dt
，u
x ，
d x
dx x0
f
t dt
du
dx x0
f
t dt
du
du x0
f
tdt du
dt
f
u u
f xx
3.法则3 若函数 f x在区间 a,b上连续， xa,，b xa,b， 且x 与 x
数值.
(3)为方便起见，记 Fb Fa Fxba ，
b
a
f
xdx
F x ba
F b
F a
3.例题
例5
求
1 x2
0
1dx
解
1 x2
0
1dx
1 3
x3
1
x0
1 3
1
0
4 3
例6 求 －11dx
都可微，则有
d x
dx x
f tdt
f x x
f xx
证 x0 a,b
x f t dt x0 f t dt x f t dt
x
x
x0
x f t dt x f t dt
1 x2 1 x2 4
3x2 2x 1 x12 1 x8
1et2 dt
例4 求 lim cosx
x x0
2
解 这是一个“0”型未定式，可利用洛必达法
0
则计算，分子为
1et2 dt＝－ e dt cosx t2
cos x
1
由法则2得
d e dt cosx t2 ecosx2 cos x ecos2 x sin x
第二节 微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式
一、积分上限函数及其导数
1.积分上限函数 设 f t 在区间 a,b上连续，
且x
a,
b
，则
x
a
f
t dt 存在，如积分上限
x
在 a,b上任意变动，那么对于每一取定的 x值，
x
均有唯一的数a
F b
F a
.
2.说明 (1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数
f x在积分区间 a,b上必须连续，若不满足
条件，不能使用公式.
(2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之
b
间的关系，a
f
x
dx
是它的任一原函数在a,
b
上的增量，也是函数
x
a
f
t
dt
在
x b 处的函
dx
dx x0
f tdt
f x
d dx
x0 x
f
t dt
f
x
2.法则2 若函数 f x在闭区间 a,b上连续， x0是 a,b上的某一定点，函数 x 可微， 且 xa,b，则有
d x
dx x0
f tdt
f xx
－2 x
解
f
t
dt
x
与之对应，所以a
f
t dt
是一个定义在a,b上的关于 x 的函数，记为
x
x
a
f
t dt
a x b
称 x为积分上限函数.
2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数
x在几何上表示为右端线可以变动的曲边
梯形的面积 图5－6 .
y
( x)
o a x x x b x
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
b
a
f
x
dx
F
b
F
a
该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿－莱布
尼茨公式.
x0
x0
d x f tdt d x f tdt d x f tdt
dx x
dx x0
dx x0
f xx f xx
4.例题
例1
求
d dx
1
x
sin
t
cos
t
dt
解 由法则1得
d dx
1
x
3.性质
(1)定理1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数x
x
a
f
t dt
在 a, b 上具有导
数，且它的导数 x f x a x b.
证
x
x
xx
a
f
t dt
＝x x x 图5－6
xx
a
f
t dt
x
a
f
t dt
x
a
f
t dt
xx
x
f
t dt
x
a
f
t dt
xx
x
f
t dt
f
x
x, x x
lim lim f lim f f x
x x0
x0
x
即： dx x f x
证
x
x
a
f
t
dt
a xb
x Fx C ( c 为常数).
令
x
a, a
a
a
f
t dt
0
，
a Fa C
C Fa
令
x
b,
b
b
a
f
t
dt
b
a
f
xdx
，
b Fb C
则
b
a
f
xdx