求导法则PPT课件
合集下载
人教版高中数学选择性必修2《导数的四则运算法则》PPT课件
特别地 , 若f ( x ) = e x , 则f' ( x ) = e x ;
1
6. 若f ( x ) = loga x, 则f' ( x ) =
(a > 0 , 且a 1);
xlna
1
特别地 , 若f ( x ) = lnx, 则f' ( x ) = .
x
探究一：两个函数的和（差）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
两个函数积的导数
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[f(x)g(x)]′＝_______________________________
两个函数商的导数
fx
gx ′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
____________________ (g(x)≠0)
探究二：两个函数的积（商）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
’()和’()有什么关系？
[() + ()]’ ≠ ’()’()
() ’ ’()
() ≠ ’()
探究新知
导数的运算法则2:
即：
15x y 24 0．
小结反思
小结
导数的四则运算法则
设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则：
两个函数和的导数
f′(x)＋g′(x)
[f(x)＋g(x)]′＝_________________
两个函数差的导数
f′(x)－g′(x)
[f(x)－g(x)]′＝_________________
b 1
1
6. 若f ( x ) = loga x, 则f' ( x ) =
(a > 0 , 且a 1);
xlna
1
特别地 , 若f ( x ) = lnx, 则f' ( x ) = .
x
探究一：两个函数的和（差）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
两个函数积的导数
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[f(x)g(x)]′＝_______________________________
两个函数商的导数
fx
gx ′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
____________________ (g(x)≠0)
探究二：两个函数的积（商）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
’()和’()有什么关系？
[() + ()]’ ≠ ’()’()
() ’ ’()
() ≠ ’()
探究新知
导数的运算法则2:
即：
15x y 24 0．
小结反思
小结
导数的四则运算法则
设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则：
两个函数和的导数
f′(x)＋g′(x)
[f(x)＋g(x)]′＝_________________
两个函数差的导数
f′(x)－g′(x)
[f(x)－g(x)]′＝_________________
b 1
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学PPT课件：函数的求导法则
1 x x I x dy
因
y
f 1( x) 连续,
故 lim y
x0
0,
[
f
1
(
x)]
lim y
x0x
lyim01x
1. f ( y)
y
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
9
函数的求导法则
例
求函数
y
反函数
arcsin
x 的导数.
[ f 1( x)] 1 f ( y)
( x)
1
3 x 2
3
sin
x
3
x cos x,
当x 0时,
0,
当x 0时, 8
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x f ( y)在 I y内单调、可导 且f ( y) 0 , 反函数 y f 1( x)在对应I x内可导 ,
[ f 1( x)]
f
1 (
y)
或
dy dx
因变量对自变量求导,等于因变量对中间
变量求导,乘以中间变量对自变量求导.
12
函数的求导法则
定理3 如果 u g( x)在x可导 , y f (u)在u可导 , 则 y f [g( x)]在 x可导，dy f (u) g( x) dx
证 y f (u)在点u可导 , lim y f (u), u0 u
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv dx du dv dx
例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x
522导数的四则运算法则课件共36张PPT
课堂篇·互动学习
类型一
导数的运算法则
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝x22＋x 1； (3)y＝xsin x－co2s x； (4)y＝3x－lg x. [思路分析] 本题考查导数的运算法则，观察函数的结构特征，可先对函数式 进行合理变形，然后利用导数公式及相应的运算法则求解．
3．已知 f(x)＝xln x＋2 018x，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝__e___.
解析：∵f′(x)＝ln x＋1＋2 018，∴f′(x0)＝ln x0＋2 019＝2 020，∴ln x0＝1，解 得 x0＝e.
4．若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标 是___(_e，__e_)___．
5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
[课标解读]1.掌握导数的基本运算法则.2.能利用导数的四则运算法则求简单函 数的导数．
[素养目标] 水平一：能应用导数的四则运算法则求简单函数的导数(数学运 算)．
水平二：能利用导数的运算法则求复杂函数的导数(数学运算).
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
[解] (1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (2)y′＝x22＋x 1′＝2x′x2＋x12＋－122xx2＋1′ ＝2x2x＋2＋11－24x2＝2x－2＋21x22.
[变式训练 1] 求下列函数的导数： (1)y＝( x－2)2；(2)y＝( x＋1) 1x－1.
解：(1)∵y＝( x－2)Байду номын сангаас＝x－4 x＋4，
高中数学-函数的导数及运算法则精品ppt课件
2 2
1 1 a ( 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 , 2 ).
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
练习1、若直线y =3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
3 2 练习2、设三次曲线 y x x 3 x 在原点处的切 2
3
a=4
线为l1,平行于l1的另一条切线为l2. 求l1、l2的方程;
基本初等函数的导数
导数运算法则
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) [ ] g( x ) [ g( x )]2
(a x ) a x ln a (a 0)
2
1 x y 0 4
1 1 ( , ) 2 4
例.如图，设直线l1与曲线y x 相切于点P，直线 l2过点P且垂直于l1。若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于 x轴于点K，求KQ的长。
设：P ( x0 , x0 )
1 则：k1 , k 2 2 x 0 2 x0
y
l1
P
O
K
Q
x
l2
x (e ) e x
1 (log a x ) (a 0, a 1) x ln a
1 (ln x ) x
练习一
1.在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线方程。
y 13 x 14
2.求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
x y 1 0
3.求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
y 2 x 1, y 10 x 25
1 1 a ( 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 , 2 ).
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
练习1、若直线y =3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
3 2 练习2、设三次曲线 y x x 3 x 在原点处的切 2
3
a=4
线为l1,平行于l1的另一条切线为l2. 求l1、l2的方程;
基本初等函数的导数
导数运算法则
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) [ ] g( x ) [ g( x )]2
(a x ) a x ln a (a 0)
2
1 x y 0 4
1 1 ( , ) 2 4
例.如图，设直线l1与曲线y x 相切于点P，直线 l2过点P且垂直于l1。若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于 x轴于点K，求KQ的长。
设：P ( x0 , x0 )
1 则：k1 , k 2 2 x 0 2 x0
y
l1
P
O
K
Q
x
l2
x (e ) e x
1 (log a x ) (a 0, a 1) x ln a
1 (ln x ) x
练习一
1.在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线方程。
y 13 x 14
2.求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
x y 1 0
3.求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
y 2 x 1, y 10 x 25
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
高等数学(第2版)课件：函数的求导法则
2
4
即 3x 4 y 8 3 0.
问题 : y xsin x的导数?
对数求基导本法信则息
1. 幂指函数： 形如 y f (x)g(x)的函数, 如 y xsin x , y x2x.
2. 方法： 先对函数两边求对数，再用隐函数求导求出导数.
y f (x)g(x) 取对数 ln y g(x) ln f (x) 隐函数求导 y'
3sec2 (3x 4)
2 tan(3x 4)
(7) y ln(x 1 x2 )
解： y'
1
(1 1 2x)
1
x 1 x2
1
x 1 x2
2 1 x2
x 1 x2 1 x2
1 x2
(8) y lnln(ln x)
解：y' {lnln(ln x)}' 1 1 1
1
.
ln(ln x) ln x x x ln x ln(ln x)
则y'
e xe y
y
1
.
由x 0, 代入方程得 y 1.
1 e y x e y y' y' 0,
则y'|x0 e.
则曲线在 x 0处的切线方程为：y 1 e(x 0), 即：y ex 1.
则曲线在
x
0处的法线方程为：
y
1
1 e
(x
0),
即：y
1 x 1. e
隐函数的基求本导信法则息
例 7 : 求椭圆 x2 y 2 1在 点(2, 3 3 )处的切线.
16 9
2
解：对 x2 y2 1两边关于x求导，得 2x 2 y y' 0.
16 9
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?
隐函数求导法则: 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程
F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.
2/18
例1 求由方程 xy ey - e 0 所确定的隐函数 y y(x)
2 x4
1)
.
9/18
三、由参数方程所确定的函数的导数
若
x (t)
y
(t
)
可确定
y 与 x 间的函数关系 ,
称此函数为由此参数方程所确定的函数 .
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
得 , 此参数方程确定的函数 y t 2 ( x )2 ,
即 y y(x) x2 .
(2) 含有较多的乘、除、乘 方、开方运算的函数。
6/18
例4 设 y xsin x ( x 0) , 求 y .
解 等式两边取对数, 得 ln y sin x ln x ,
上式两边对 x 求导 , 得
1 y cos x ln x sin x 1 ,
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
22
的切线方程及法线方程 .
解 视 y y( x) , 方程两边对 x 求导, 得
3x2 3 y2 y 3 y 3xy,
y ( 3, 3) 22
y x2 y2 x
33 (,)
22
1.
于是，所求切线方程为 y 3 ( x 3) , 即 x y 3 0 .
2
2
法线方程为 y 3 x 3 , 即 y x .
y( x) dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
y(t) , x(t )
dt dy
y { x
y(t ) x(t)
确定
y
y( x)的求导法 :
dy dx
dt dx
y(t ) x(t )
dt
11/18
例7
求摆线
x a(t sin t)
y
a(1
cos
t
)
在 t
2
时的切线方程。
上式两边对 x 求导 , 得
y y
1 2
1 x
x
2x 2
1
2 (x 1)
2 x2
,
y' 1 2
x(x2 1) (x 2)(x 1)2
1 x
x
2
2
x
1
2 (x 1)
1 x2
.
8/18
例6 设
y
( x 1) 3 ( x 4)2
x ex
1
,
解
(D (, 4) (4, ) ,
求 y .
函数不恒正.)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
10/18
对
x
y
x(t) y(t )
t It,
若
x x(t)
在上
I
单调、可导且
t
x(t ) 恒不为零
x x(t ) 在对应的 I x上有可导的反函数 t t 1( x); 又若 y y(t) 在 It 上可导 ,
y y(t ) y(t 1( x)) y( x) 在 I x 上可导 , 且
解 dy y(t) a sin t sin t , dx x(t) a a cos t 1 cos t
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
1.
2
例8
求
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的 y y(x) 的导数 .
解
dy y(t) dx x(t)
3a sin2 t cos t 3a cos2 t( sin t)
2
2
注 本例中的方程形为 F(x, y)=G(x, y), 其确定的y=y(x)
的求导方法仍然是...。
4/18
例3 设 x4 xy y4 1, 求 y'(x) 在点 (0,1) 处的值 .
解 方程两边对 x 求导, 得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
法一：得y' y 4x3 4 y3-x
tan t ,
12/18
例9
求椭圆线
x a cos t
y
b
sin
t
(0 t 2 )在 t 时的切线方程。
4
解 dy y(t) b cos t b cot dx x(t) a sib cos
a
sin
4
b a
4
又当 t 时, x a cos a , y b sin b ,
高等数学
第二节_2 隐函数的导数及由参数方程所 确定的函数的导数
一、 隐函数的导数 二、 对数求导法 三、 由参数方程所确定的函数的导数 四、 小结、作业
1/18
一、隐函数的导数
由方程 F( x, y) 0 所确定的函数 y y( x) 称为隐函数 .
y f ( x) 形式的函数称为显函数.
y x0
y 1
1 4
;
法二：直接将 x 0、y 1代入（1），得
y x0
y 1
1 4
;
5/18
二、对数求导法 ——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。
对数求导法： 先对 y=f(x)（>0）两边取对数(或加绝对值后
两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
适用范围:
(1) 幂指型函数 u( x)v( x) ,
4
42
42
得 所求切线方程为
y b b (x a ), 即 bx ay 2ab 0 .
2a
2
13/18
等式两边取绝对值再取对数，得
ln | y | ln | x 1 | 1 ln | x 1 | 2ln | x 4 | x , 3
上式两边对 x 求导 , 得
y 1 1 2 1 , y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1) 3 ( x 4)2
x1 1
ex
( x1
1 3( x 1)
的导数 dy , dx
dy dx
x0.
解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导, 得
y x dy dx
e y dy 0
dx
解得
dy dx
y x ey
,
由原方程知 x 0 时, y 1,
dy dx
x0
y x ey
x0 y 1
1.
3/18
例2 设曲线 C 的方程为 x3 y3 3xy, 求过 C 上点 ( 3 , 3 )
xsin x (cos x ln x sin x ) . x
问： 能否用显式求导法求出（xsin x） ?
7/18
例5
设
x(x2 1) y (x 2)(x 1)2 ,
解
求 y.
等式两边取绝对值再取对数，得
ln | y | 1 [ln | x | ln(x2 1) 2 ln | x 1| ln | x 2 |] , 2