复合函数的导数PPT优秀课件
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《复合函数的导数》课件
复合函数的导数
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
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复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
23复合函数求导法-PPT精选文档
i
n1 x
co
s1(1)
usinv,
xx
s
e
i
n1
x.c
o1sx(x12)
1 x2
sin1
ex
co
1 s x
目录
练习. 求导数 (1).ysin22x
(2)ycoe sx
解 (1).y[(s2in x)2]2sin 2x(si2nx) 2sin 2xco2sx(2x) 4sin 2xco2sx2sin 4x
2 （ [six n ） （ cox） s （ six n ） （ cox） s ] （求导
（ 2coxscoxssix n（ six n） ] （导数公
（ 2co2x ss i2nx） 2co2x s
目录
(s2 ix n )2co 2x s
思考 因为 ysin2x是由 ysinu u2x复合而成的复合函数，
x
1 ln
a
1 8.(lnx)
x
9.(sixn)coxs
1.0(cxo)ssinx
1.1(tax)ns
e
c2
x
1 cos2
x
1.2(cxo)tcs2cx s
1 in2 x
目录
导数的四则运算法则
(1) 函数和的导数等于函数 导数的和
(u v ) u v;
s
1 inx
cosx
coxt.
错误写法
错解 y(lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn ixn )(sx i)n
一般按 “由外向里层层求导” 法求导
目录
例 求函y数 e12x的导. 数 解 y euu (e 1 2 x)1 ( 2 x)
1.2.3复合函数求导ppt
我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过 " 复合" 得到的, 例如, 函数y 2 x 3 由y u 2和u 2 x 3
2
" 复合" 而成, 等等.
一般地, 对于两个函数 y f u 和u g x , 如果通过变量 u, y可以表示成 x的函数, 那么称这个函数为函数 y f u 和 u g x 的复合函数 (com posite fun ction), 记作y f g x .
' ' ' yx yu ux ln u 3x 2 ' '
即y对x的导数等于 y对u的导数与 u对x的导数的乘积 .
1 3 3 . u 3x 2
例4
求下列函数的导数
2
1 y 2 x 3 ; 2 y e 0.05 x 1 ; 3 y sin x 其中 , 均为常数.
复合函数y f g x 的导数和函数 y f u , u g x 的
' ' ' 导数间的关系为 yx yu ux .
' yx 表示y对x的导数
由此可得 , y ln3 x 2 对x的导数等于 y ln u对u的 导数与u 3x 2对x的导数的乘积 ,即
练习2、求下列函数的导数。
1、y=x5+sinx-7x 2、y=6x-cosx+log7x 3、y=ex+lnx+9x7 4、y=4ex-2cosx+7sinx
一、复习与引入：
求函数y=(3x-2)2的导数. 可以把平方式展开,利用导数的四则运算法则,再 求导. 思考: 能否用其它的办法求导呢? 又如函数 f x ln x 的导数是什么 ？ 函数 f x ln 3x 2 的导数又是什么呢?
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
简单复合函数的导数 课件
（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根
据复合函数的求导法则，有
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ −. + ′ = −. = −. −.+
（3）函数 = ln(2 − 1) 可以看作函数 = ln 和 = 2 − 1 的复合函数.根据
(2)令 u＝ex＋x2，则 y＝ln u，
ex＋2x
1 x 2
1
x
y′x＝y'u·u′x＝u·(e ＋x )′＝ x
·
(e
＋2x)＝ x
.
2
2
e ＋x
e ＋x
例3 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：
s）的函数满足关系式为 = (
− ) . 求函数y在t=3s 时的导数，并解
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 且 ˊ = ˊ · ˊ .
复
合
函
数
求
导
分层——选择中间变量，写出
构成它的内、外层函数
求导——分别求内、外层函数对
应变量的导数
代回——把中间变量回代
相乘——把上述求导的结果相乘
课后提升
3
1．下列求导运算正确的是（ B）A．( + )′ = +
5.2 导数的运算
思 考
=
(1
+
)
的导数呢？
如何求函数 = (1 + ) 的导数呢？
3
= (1 + )3 = 3 + 3 2 + 3 + 1
复合函数的求导法则ppt课件
1 － 2a = 2b －4
ab 5. 2
解(2): ab a b
ab (a b)2 25 .
2
2
16
16
再见!
17
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
10
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ; 3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
13
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1
kPA
a
b
2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x yu' u'x (sin u)' x ' cos u cos x .
11
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3x 1)2
解出a即可。
15
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),
高等数学第九章第四节多元复合函数的求导法则课件.ppt
tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
又如, z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
xfy12z
f2f2, u
fy12f
2
2 f u v
,
例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
说明: 若定理中
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2
3
3
练习1:求下列函数的导数:
(1)y3a2xb xc (2)y 1 (3)yx2 x x 12x2
(4)y(3x4)3 (5)ysi2n acxobsx 6x7
答案: (1 )y(2 a3 (a x b )2 3x a b2x x b c) x c(2 )y(12x2 2 )x12x2
24
4
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.
解:由已知知:圆半径R=R(t),且 R t = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以 S t |R 1 0 2R R t |R 1 0 212 0
复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1)y(2x1)5
解:设y=u5,u=2x+1,则:
y x y u u x ( u 5 ) u ( 2 x 1 ) x 5 u 4 2 5 ( 2 x 1 ) 4 2 1 ( 2 x 1 ) 0 4 .
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念:
对u的于函函数数, yu==f[((xx))是],令自u变=量x(x的),函若数y=,f则(u称)是y中=f[间变(x量)]
是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
1 (2) y (13x)4
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
y x y u u x (u 4 ) u ( 1 3 x ) x 4 u 5 ( 3 ) 1 u 5 2 ( 1 1 3 x ) 5 2 .
(3)y(1si2nx)4 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
设函数 u(x)在点x处有导数 ux (x),函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数yuf(u),则复合函数 yf[(x)]
在点x处也有导数,且 yxyuux;或记 fx [(x) ]f(u)(x).
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu2u,ux3,从而 yxyuux1x81.2结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
在书写时不要把 fx [(x)写]成 f[(x),两] 者是不完全
一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变
量 ( x)的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
解: y3(tx a )2(n tx a ) n 3ta 2xn (c sio x x)n s3(c sio x x)n 3sco xcso x css 2 oxix(sn six)n
3(c sio x x)n 2sc1 2 ox s3s2 ix n se 4x.c
解: y (2x2 3) 1 x2
解: y 4 ( 2 x 3 x 1 x ) 3 ( 2 x 3 x 1 x ) 4 ( 2 x 3 x 1 x ) 3 ( 6 x 2 x 1 2
(3)y=tan3x; (4) y(2x23) 1x2
解: y 1 5 ( 1 x x ) 5 4 ( 1 x x ) 1 5 ( 1 x x ) 5 4 ( 1 1 x )2 1 5 x 5 4 ( 1 x ) 5 6 .
y
1
4x(1x2)2
(2x2
3)1(1x2)12
2x
2
1
(2x2 3)(1 x2)2 ;
4x
1x2
x(2x23) 6x3x
.
1x2
1x2
(5):y=sin2(2x+π/3)
法法二一:: y y y 2 1 1 2 s [0 [1 s 2 icx n i 4 ox 4 n 3 sx) 2 ( ( c ( 2 )3 4 )] 2 o ]x ,2 s3 s i4 ) x n 2 ( 2 2 ()s . 4 ix n 2 3 ) ( .
复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
yxyuu v vx(u 4)u(1 v2)v(sx )ix n 4 u 32 vco xs 4 (1 s2 ix n )32 sixn co x4 s(1 s2 ix n )3si2 x n .
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
(3 )y 1 1 2 (x 5 1 x 9 2 ) 1 2 (5 x 4 9 2 x 7 2 )1 (4 ) 1( ( 3 6 3 x x 5 7 4 ) )4 2
( 5 ) b sb i n x ( 2 a b ) s2 ia n b ) x (( 2 a b ) s2 ia n b ) x .(