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《复合函数的导数》课件
复合函数的导数
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
5.2.1环节四+简单复合函数的导数课件(人教版)
答案：
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做 = 和 = ℎ 经过
“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
探究新知
定义
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中
间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 =
和 = ℎ 的复合函数，记作 = (ℎ()).
探究新知
问题2
如何求复合函数的导数？以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
3
×3
π
− )
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
知识应用
追问3
函数 =
2
18(
3
− )还可以看作哪两个函数的复合函数？
2
答案：
2
−18 ，看作
3
函数化为 =
有′
=
′
⋅
′
当 = 3时，
= (−18cos)′ ⋅
′
= 12πsin
′
= 32 × 3 = 92 = 9 3 + 5 2 ；
（2）′ = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ −0.05 + 1
= −0.05 = −0.05 −0.05+1 .
′
知识应用
追问1
你能总结求复合函数 = () 的导数的一般步骤吗？
答案：
（1）视察函数结构，辨认构成复合函数的基本初等函数；
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做 = 和 = ℎ 经过
“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
探究新知
定义
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中
间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 =
和 = ℎ 的复合函数，记作 = (ℎ()).
探究新知
问题2
如何求复合函数的导数？以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
3
×3
π
− )
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
知识应用
追问3
函数 =
2
18(
3
− )还可以看作哪两个函数的复合函数？
2
答案：
2
−18 ，看作
3
函数化为 =
有′
=
′
⋅
′
当 = 3时，
= (−18cos)′ ⋅
′
= 12πsin
′
= 32 × 3 = 92 = 9 3 + 5 2 ；
（2）′ = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ −0.05 + 1
= −0.05 = −0.05 −0.05+1 .
′
知识应用
追问1
你能总结求复合函数 = () 的导数的一般步骤吗？
答案：
（1）视察函数结构，辨认构成复合函数的基本初等函数；
复合函数的导数(PPT)4-4
一、复习与引入：
1. 函数的导Leabharlann 的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
一方。 【爱神】名西方神话中主宰爱情的神，罗马神话中名叫丘比特（），希腊神话中名叫厄洛斯（）。 【爱斯基摩人】īī名因纽特人的旧称。［爱斯基摩， 英］ 【爱窝窝】?同“艾窝窝”。 【爱屋及乌】《尚书大传?大战篇》：“爱人者，兼其屋上之乌。”比喻爱一个人而连带地关心到跟他有关系的人或物。 【爱惜】ī动因重视而不糟蹋；爱护； 四川高考补习班 四川高考复读学校 高考全日制补习学校； 珍惜：～时间｜～国家财物。 【爱惜羽毛】ī比喻珍重爱惜自己的名誉。 【爱小】〈方〉形好占小便宜。 【爱心】ī名指关怀、爱护他人的思想感情：老妈妈对儿童充满～。 【爱欲】名爱 的欲望，一般指男女间对情爱的欲望。 【爱重】动喜爱，尊重：他为人热情、正直，深受大家的～。 【僾】*（僾）〈书〉①仿佛：～然。②气不顺畅。 【僾尼】名部分哈尼族人的自称。 【隘】①狭窄：狭～｜林深路～。②险要的地方：关～｜要～。 【隘口】名狭隘的山口。 【隘路】名狭窄而险要的路。 【??】（薆）〈书〉①隐蔽。②草木茂盛的样子。 【碍】（礙）动妨碍；阻碍：～事｜有～观瞻｜把地下的东西收拾一下，别让它～脚。 【碍口】∥形怕难 为情或碍于情面而不便说出：求人的事，说出来真有点儿～。 【碍面子】?怕伤情面：有意见就提，别～不说。 【碍难】①动难于（旧时公文套语）：～照 办｜～从命。②〈方〉形为难。 【碍事】∥①动妨碍做事；造成不方便；有妨碍：您往边儿上站站，在这里有点儿～｜家具多了安置不好倒～。②形严重； 大有关系（多用于否定式）：他的病不～｜擦破点儿皮，不碍什么事。 【碍手碍脚】妨碍别人做事：咱们走吧，别在这儿～的。 【碍眼】∥形①不顺眼：东 西乱堆在那里怪～的。②嫌有人在跟前不便：人家有事，咱们在这里～，快走吧！ 【嗳】（噯）叹表示悔恨、懊恼：～，早知如此，我就不去了。 【嗌】
1. 函数的导Leabharlann 的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
一方。 【爱神】名西方神话中主宰爱情的神，罗马神话中名叫丘比特（），希腊神话中名叫厄洛斯（）。 【爱斯基摩人】īī名因纽特人的旧称。［爱斯基摩， 英］ 【爱窝窝】?同“艾窝窝”。 【爱屋及乌】《尚书大传?大战篇》：“爱人者，兼其屋上之乌。”比喻爱一个人而连带地关心到跟他有关系的人或物。 【爱惜】ī动因重视而不糟蹋；爱护； 四川高考补习班 四川高考复读学校 高考全日制补习学校； 珍惜：～时间｜～国家财物。 【爱惜羽毛】ī比喻珍重爱惜自己的名誉。 【爱小】〈方〉形好占小便宜。 【爱心】ī名指关怀、爱护他人的思想感情：老妈妈对儿童充满～。 【爱欲】名爱 的欲望，一般指男女间对情爱的欲望。 【爱重】动喜爱，尊重：他为人热情、正直，深受大家的～。 【僾】*（僾）〈书〉①仿佛：～然。②气不顺畅。 【僾尼】名部分哈尼族人的自称。 【隘】①狭窄：狭～｜林深路～。②险要的地方：关～｜要～。 【隘口】名狭隘的山口。 【隘路】名狭窄而险要的路。 【??】（薆）〈书〉①隐蔽。②草木茂盛的样子。 【碍】（礙）动妨碍；阻碍：～事｜有～观瞻｜把地下的东西收拾一下，别让它～脚。 【碍口】∥形怕难 为情或碍于情面而不便说出：求人的事，说出来真有点儿～。 【碍面子】?怕伤情面：有意见就提，别～不说。 【碍难】①动难于（旧时公文套语）：～照 办｜～从命。②〈方〉形为难。 【碍事】∥①动妨碍做事；造成不方便；有妨碍：您往边儿上站站，在这里有点儿～｜家具多了安置不好倒～。②形严重； 大有关系（多用于否定式）：他的病不～｜擦破点儿皮，不碍什么事。 【碍手碍脚】妨碍别人做事：咱们走吧，别在这儿～的。 【碍眼】∥形①不顺眼：东 西乱堆在那里怪～的。②嫌有人在跟前不便：人家有事，咱们在这里～，快走吧！ 【嗳】（噯）叹表示悔恨、懊恼：～，早知如此，我就不去了。 【嗌】
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
高三数学 优秀教学《复合函数的导数》课件
2.复合函数的导数:
设函数 u ( x ) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 yu f (u) ,则复合函数 y f [ ( x )] f [ ( x )] f ( u) ( x ). 在点x处也有导数,且 yx y u u x ; 或记 x 在书写时不要把 f x[ ( x)]写成 f [ ( x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 ( x ) 的求导.
sin x ) 解: y 3(tan x) (tan x) 3 tan x ( cos x sin x 3 cos x cos x sin x( sin x) 3( ) cos x cos 2 x sin x 2 1 2 4 3( ) 3sin x sec x. 2 cos x cos x
ln x; ' x x 1 y e ln x e x
x
6 y x 2 2 cos x;
y 2 x 2 sin x
x 8 y ; 1 x
1 y 2 (1 x)
'
前课复习
3.例如求函数y=(3x-2)2的导数？
2
2
y 'x y ' [ 3x 2 ]' 9 x 12 x 4 ' 18 x 12
12 . 5 (1 3 x ) 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
4 2 3 yx y u v ( u ) ( 1 v ) (sin x ) 4 u 2v cos x u v x u v x
4(1 sin2 x )3 2 sinx cos x 4(1 sin2 x )3 sin2 x .
简单复合函数的导数 课件
（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根
据复合函数的求导法则，有
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ −. + ′ = −. = −. −.+
（3）函数 = ln(2 − 1) 可以看作函数 = ln 和 = 2 − 1 的复合函数.根据
(2)令 u＝ex＋x2，则 y＝ln u，
ex＋2x
1 x 2
1
x
y′x＝y'u·u′x＝u·(e ＋x )′＝ x
·
(e
＋2x)＝ x
.
2
2
e ＋x
e ＋x
例3 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：
s）的函数满足关系式为 = (
− ) . 求函数y在t=3s 时的导数，并解
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 且 ˊ = ˊ · ˊ .
复
合
函
数
求
导
分层——选择中间变量，写出
构成它的内、外层函数
求导——分别求内、外层函数对
应变量的导数
代回——把中间变量回代
相乘——把上述求导的结果相乘
课后提升
3
1．下列求导运算正确的是（ B）A．( + )′ = +
5.2 导数的运算
思 考
=
(1
+
)
的导数呢？
如何求函数 = (1 + ) 的导数呢？
3
= (1 + )3 = 3 + 3 2 + 3 + 1
复合函数的导数 PPT
分解——求导——相乘——回代 .
(10)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3
谢谢大家9;u u'x
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我
们求 y 'x 时，就可以转化为求 y 'u 和 u 'x
的成绩，关键是找中间变量，随着中间变量的 不同，难易程度不同 .
3)能否用方法2)解决(2)教科书P16思考题: 如何求函数 y ln(x 1) 的导数? (6)自学教科书P17例4
(7)例4:求 y sin2(2x ) 的导数
3
(8) 课堂练习：
1)y=(5x－3)4 2)y=(2+3x)5
3)y=(2－x2)3
4)y=(2x3+x)2
(9)课堂小结
⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构， 引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的 函数，然后再用复合函数的求导法则求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是：
2.y sin x2
3.y cos( x) 4.y ln sin(3x 1)
4
例2写出由下列函数复合而成的函数
1.y cosu,u 1 x2
2.y ln u,u ln x
例3.求函数 y (3x 2)2 的导数
思考：1.能否用学过四则运算解决问题？ 2.新思路：将函数 y (3x 2)2看作是函数y u2 和函数 u 3x 2 复合后的函数，并分别求对应 的导数如下：yu (u2 ) 2u ，ux (3x 2) 3 两个导数相乘，得 yuux 2u 3 2(3x 2) 3 18x 12
(ax )' ax ln a,(ex )' ex,
(loga
x)'
1 x ln
(10)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3
谢谢大家9;u u'x
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我
们求 y 'x 时，就可以转化为求 y 'u 和 u 'x
的成绩，关键是找中间变量，随着中间变量的 不同，难易程度不同 .
3)能否用方法2)解决(2)教科书P16思考题: 如何求函数 y ln(x 1) 的导数? (6)自学教科书P17例4
(7)例4:求 y sin2(2x ) 的导数
3
(8) 课堂练习：
1)y=(5x－3)4 2)y=(2+3x)5
3)y=(2－x2)3
4)y=(2x3+x)2
(9)课堂小结
⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构， 引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的 函数，然后再用复合函数的求导法则求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是：
2.y sin x2
3.y cos( x) 4.y ln sin(3x 1)
4
例2写出由下列函数复合而成的函数
1.y cosu,u 1 x2
2.y ln u,u ln x
例3.求函数 y (3x 2)2 的导数
思考：1.能否用学过四则运算解决问题？ 2.新思路：将函数 y (3x 2)2看作是函数y u2 和函数 u 3x 2 复合后的函数，并分别求对应 的导数如下：yu (u2 ) 2u ，ux (3x 2) 3 两个导数相乘，得 yuux 2u 3 2(3x 2) 3 18x 12
(ax )' ax ln a,(ex )' ex,
(loga
x)'
1 x ln
5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)
y通过中间变量u表示成x的函数.
复合函数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
试一试
指出以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
特别地，[cf ( x)] ___cf__(_x_)__；
f (x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
(3)
g(
x)
[g( x)]2
.
学习新知
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
LOGO
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无 法用现有的方法求它的导数.
[解] 解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.
巩固练习 1.曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.
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解：(1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u 和u x 的复合函数。
根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux' (sin u) ' ( x ) '
cosu cos( x )
10
例 2 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
解
yx
1 2
(
x
e
x
)
1 2
(
x
e
பைடு நூலகம்
x
)
x
1
(
x
e
x
)
1 2
2
( x)x
(e x ) x
1 (x 2
e
x
)
1 2
1 ex
( x)x
1
(x
ex
1
) 2 (1
ex
).
2
15
练习4. 设 y x ,求 y . 1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
3
)
（3） y e2x2 3
（4） y log3(2x 1)
y' 25(5x 3)4
y' 2cos(2x )
复合函数的求导法则
1
复习:1.基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
6
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,
乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
1
3
(1 x2 )2
.
16
练习5. 设 y = sin(xln x)，求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
7
例1 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)2
解：(1)函数y (2x 3)2 可以看作 函数y u2和u 2x 3的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu '• ux ' (u 2 ) '• (2 x 3) '
2ug2 4u 8x 12.
8
(2) y e0.05x1
18
小结：
（1）运用复合函数求导法则的关键 在于把复合函数分解成基本初等函数或 基本初等函数的四则运算。
（2）求导后必须把引进的中间变量 代换成原来自变量的式子，熟练后可不 必写出中间变量，直接：“由外向内、 逐层求导”。
19
作业：求下列函数的导数
（1） y (5x 3)5
（2） y
sin(2x
yx yu ux (eu )u (tan x)x eu sec2 x etan x sec2 x
复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.
11
例3 设 y 2 cos x2 3 , 求 y＇
解 因 y 2 cos x2 3 是由 y=2cosu,
ｕ＝x2 3 复合而成的 所以
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
2
新课
1.复合函数现象
解 (2) 函数y e0.05x1可以看作 函数y eu和u 0.05x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux ' (eu ) ' (0.05x 1) ' eu 0.05 0.05e0.05x1
9
(3) y sin( x )(其 中 ， 均 为 常 数 )
练习1. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
练习2. 计算(x x2 1)'. 解 (x x2 1)' x2 1 x 1 2x 2 x2 1 2x2 1. x2 1
14
练习3. 设 y x ex , 求 y .
y=u2 , u=2x+1 ① y (2x 1)2
y ln u, u x 2 ② y ln(x 2) y sin u,u 3v 1, v ex
③ y=sin(3ex 1)
象①②③这样的函数就是复合函数.
3
2.复合函数的定义
对于两(多)个函数y=f (u) 和u g(x)如果
y＇ｙｕ＇ｕｘ＇ 2sin(x２ ３) 2x 4x sin(x2 3)
12
例4 设 y ln tan 2 x 求 y
解 y ln tan 2x 1 tan 2 x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
4 sin 4x
13
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初 等函数求导时，就可以“一步到位”.
17
练习6. 计算(sinn x sin nx)'. 解 (sinn x sin nx)' nsin n1 x cos x sin nx sin n x cos nx n
nsin n1 x(cos x sin nx sin x cos nx)
n sin n1 x sin(n 1)x.
通过变量u,y 可以表示成x的函数,那么称这个
函数为函数y= f (u) 和u g(x) 的复合函数，
记作 : y f [g(x)].
4
练习：将复合函数分解成最简单函数
(1) y 2x1 (2) y sin(ln x 1)
解 (1) y 2u , u x 1. (2) y sin u,u v 1,v ln x.
根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux' (sin u) ' ( x ) '
cosu cos( x )
10
例 2 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
解
yx
1 2
(
x
e
x
)
1 2
(
x
e
பைடு நூலகம்
x
)
x
1
(
x
e
x
)
1 2
2
( x)x
(e x ) x
1 (x 2
e
x
)
1 2
1 ex
( x)x
1
(x
ex
1
) 2 (1
ex
).
2
15
练习4. 设 y x ,求 y . 1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
3
)
（3） y e2x2 3
（4） y log3(2x 1)
y' 25(5x 3)4
y' 2cos(2x )
复合函数的求导法则
1
复习:1.基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
6
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,
乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
1
3
(1 x2 )2
.
16
练习5. 设 y = sin(xln x)，求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
7
例1 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)2
解：(1)函数y (2x 3)2 可以看作 函数y u2和u 2x 3的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu '• ux ' (u 2 ) '• (2 x 3) '
2ug2 4u 8x 12.
8
(2) y e0.05x1
18
小结：
（1）运用复合函数求导法则的关键 在于把复合函数分解成基本初等函数或 基本初等函数的四则运算。
（2）求导后必须把引进的中间变量 代换成原来自变量的式子，熟练后可不 必写出中间变量，直接：“由外向内、 逐层求导”。
19
作业：求下列函数的导数
（1） y (5x 3)5
（2） y
sin(2x
yx yu ux (eu )u (tan x)x eu sec2 x etan x sec2 x
复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.
11
例3 设 y 2 cos x2 3 , 求 y＇
解 因 y 2 cos x2 3 是由 y=2cosu,
ｕ＝x2 3 复合而成的 所以
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
2
新课
1.复合函数现象
解 (2) 函数y e0.05x1可以看作 函数y eu和u 0.05x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux ' (eu ) ' (0.05x 1) ' eu 0.05 0.05e0.05x1
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(3) y sin( x )(其 中 ， 均 为 常 数 )
练习1. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
练习2. 计算(x x2 1)'. 解 (x x2 1)' x2 1 x 1 2x 2 x2 1 2x2 1. x2 1
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练习3. 设 y x ex , 求 y .
y=u2 , u=2x+1 ① y (2x 1)2
y ln u, u x 2 ② y ln(x 2) y sin u,u 3v 1, v ex
③ y=sin(3ex 1)
象①②③这样的函数就是复合函数.
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2.复合函数的定义
对于两(多)个函数y=f (u) 和u g(x)如果
y＇ｙｕ＇ｕｘ＇ 2sin(x２ ３) 2x 4x sin(x2 3)
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例4 设 y ln tan 2 x 求 y
解 y ln tan 2x 1 tan 2 x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
4 sin 4x
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若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初 等函数求导时，就可以“一步到位”.
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练习6. 计算(sinn x sin nx)'. 解 (sinn x sin nx)' nsin n1 x cos x sin nx sin n x cos nx n
nsin n1 x(cos x sin nx sin x cos nx)
n sin n1 x sin(n 1)x.
通过变量u,y 可以表示成x的函数,那么称这个
函数为函数y= f (u) 和u g(x) 的复合函数，
记作 : y f [g(x)].
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练习：将复合函数分解成最简单函数
(1) y 2x1 (2) y sin(ln x 1)
解 (1) y 2u , u x 1. (2) y sin u,u v 1,v ln x.