2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编专题8：实践.
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案四、二次函数1．（北京）已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋32在x＝0和x＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．解：（1）由题意得(t＋1)·22＋2(t＋2)·2＋32＝32解得t＝－3 2∴二次函数的解析式为y＝－12x2＋x＋32（2）∵A（－3，m）在二次函数y＝－12x2＋x＋32的图象上∴m＝－12×(－3)2＋(－3)＋32＝－6∴点A的坐标为（－3，－6）∵点A在一次函数y＝kx＋6的图象上∴－6＝－3k＋6，∴k＝4（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0）平移后，点B，C的对应点分别为B′（－1－n，0），C′（3－n，0）将直线y＝4x＋6平移后得到直线y＝4x＋6＋n如图1，当直线y＝4x＋6＋n经过点B′（－1－n，0）时，图象G（点B′除外）在该直线右侧由0＝4(－1－n)＋6＋n，得n＝2 3如图2，当直线y＝4x＋6＋n经过点C′（3－n，0）时，图象G（点C′除外）在该直线左侧由0＝4(3－n)＋6＋n，得n＝6∴由图象可知，符合题意的n的取值范围是23≤n≤6图1 图22．（北京模拟）已知抛物线y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△P AO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．（1）证明：∵△＝(m－2)2－4×(－1)×3(m＋1)＝(m＋4)2≥0∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点（2）解：由题意，m＋1＜0当m＝－4，图象与x轴只有一个交点∴m＜－1且m≠-4（3）解：令y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)解得x1＝m＋1，x2＝－3可求得顶点P（m－22，(m＋4)24）①当A（m＋1，0）、B（－3，0）时∵S△P AO＝S△ABC，∴12(m＋1)×(m＋4)24＝12(－m－4)×3(m＋1)解得m＝－16∴y＝－x2－18x－45②当A（－3，0）、B（m＋1，0）时同理得12×3×(m＋4)24＝12(m＋4)×[－3(m＋1)]解得m＝－8 5∴y＝－x2－85x－953．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xO y中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象经过点A（－1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO＝∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P（1）解：由题意，得 ⎩⎨⎧1＝－13＋b ＋c 2＝－ 4 3＋2b ＋c解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2 3c ＝2∴二次函数的解析式为y ＝－13x2＋23x ＋2 对称轴为直线x ＝1（2）证明：易得直线OA 的解析式为y ＝－x ，从而C 的坐标为（1，－1） ∵由A （－1，1），B （2，2），C （1，－1） 得AB ＝BC ＝10，OA ＝OC ＝ 2 ∴∠ABO =∠CBO（3）解：由直线OB 的表达式y ＝x ，得点D 的坐标为（1，1） 由A （－1，1），B （2，2），得直线AB 的解析式为y ＝13x ＋4 3从而直线AB 与x 轴的交点E 的坐标为（－4，0） ∵△POB ∽△BCD 相似，∠ABO ＝∠CBO ∴∠BOP ＝∠BDC 或∠BOP ＝∠BCD ①当∠BOP ＝∠BDC 时 由∠BDC ＝135°，得∠BOP ＝135° 此时点P 与点E 重合∴点P 的坐标为（－4，0） ②当∠BOP ＝∠BCD 时 由△POB ∽△BCD ，得BPBO＝BDBC而BO ＝22，BD ＝2，BC ＝10，∴BP ＝2510又∵BE ＝210，∴PE ＝8510作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F 则PH ∥BF ，∴PHBF＝PEBE＝EHEF． 而BF ＝2，EF ＝6，∴PH ＝85，EH ＝24 5，∴OH ＝45∴点P 的坐标为（45，85）综上所述，点P 的坐标为（－4，0）或（45，85）4．（安徽）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a (x －6)2＋h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．解：（1）当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6由其图象过点（0，2），得36a＋2.6＝2，解得a＝－1 60∴y＝－160(x－6)2＋2.6（2）当h＝2.6时，由（1）知y＝－160(x－6)2＋2.6由于当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网由－160(x－6)2＋2.6＝0，x＞0，得x＝6＋156＞18或由x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球落地时会出界（3）根据题设知y＝a(x－6)2＋h由图象经过点（0，2），得36a＋h＝2 ①由球能越过球网，得9a＋h＞2.43 ②由球不出边界，得144a＋h≤0 ③解得h≥83，所以h的取值范围是h≥835．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x2－2mx＋1．记当x＝c时，相应的函数值为y c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b，总有y a＋y b≥1．如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：设f(x)在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，即M≥1 2二次函数y＝x2－2mx＋1的图象是一条开口向上的抛物线①当对称轴x＝m≤0时，由图象可知，x＝0时，y最小＝1，此时1≥12成立②当对称轴x＝m在0＜m＜1时，由图象可知x＝m时，y最小且y最小＝1－m2此时有1－m2≥12，即m2≤12，故有0＜m≤22③当对称轴x＝m在m≥1时，由图象可知，x＝1时，y最小且y最小＝2－2m此时有2－2m≥12，即m≤34，与m≥1矛盾，故舍去综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤2 26．（浙江模拟）已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2．（1）证明：不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2的顶点P总在x轴的下方；（2）设抛物线y＝x2＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于14的抛物线有几条？请证明你的结论．解：（1）∵判别式△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 ∴抛物线与x轴总有两个交点又∵抛物线开口向上，∴抛物线的顶点在x轴下方（或由二次函数解析式得：y＝(x＋a2)2－14a2＋a－2∵抛物线顶点的纵坐标为－14a2＋a－2＝－[14(a－2)2＋1]＜0，当a取任何实数时总成立∴不论a取何值，抛物线的顶点P总在x轴的下方）（2）由条件得：抛物线顶点Q(－a2，－14a2＋a－2)，点C(0，a－2)当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D此时CD＝|－a|，点Q到CD的距离为|(a－2)－(－14a2＋a－2)＝14a2过Q作QP⊥CD于P要使△QCD为等边三角形，则需OP＝32CD，即14a2＝32|－a|由a≠0，解得a＝±23（或由CD＝CQ，或由CP＝12CO等求得a的值）∴△QCD可以是等边三角形此时相应的二次函数解析式为y＝x2＋23x＋23－2或y＝x2－23x－23－2 （3）∵CD＝|－a|，点A到CD的距离为＝|a－2|由S△ACD＝12|a(a－2)|＝14，解得a＝1±22或a＝1±62∴满足条件的抛物线有四条7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t＝2时，抛物线y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)的顶点坐标为____________；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为____________．【应用1】二次函数y＝－3x2＋5x＋2是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．解：[尝试]（1）（1，－2）（2）将x ＝2代入y ＝t (x2－3x ＋2)＋(1－t )( －2x ＋4)，得y ＝0，所以点A （2，0）在抛物线E 上（3）将x ＝－1代入n ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4)＝6 [发现]A （2，0），B （－1，6）[应用1]∵x ＝－1代入y ＝－3x2＋5x ＋2，计算得y ＝－6≠6∴抛物线y ＝－3x2＋5x ＋2不经过点B∴二次函数y ＝－3x2＋5x ＋2不是二次函数y ＝x2－3x ＋2和一次函数y ＝－2x ＋4的一个“再生二次函数” [应用2]]如图，作矩形ABC 1D 1和ABC 2D 2，过点B 作BK ⊥y 轴于点K ，过点B 作RM ⊥x 轴于点M 易得AM ＝3，BM ＝6，BK ＝1，△KBC 1∽△MBA则AMBM＝C 1KBK，即36＝C 1K1，求得C 1K ＝1 2，∴点C 1（0，13 2） 易知△KBC 1≌△GAD 1，得AG ＝1，D 1G ＝1 2，∴点D 1（3，1 2）易知△OAD 2∽△GAD 1，得D 1GOD 2＝AGOA由AG ＝1，OA ＝2，D 1G ＝12，求得OD 2＝1，∴点D 2（0，－1）易知△TBC 2≌△OD 2A ，得TC 2＝AO ＝2，BT ＝OD 2＝1，∴点C 2（－3，5∵抛物线E 总过定点A （2，0），B （－1，6） ∴符合条件的三点只可能是A 、B 、C 或A 、B 、D当抛物线E 经过A 、B 、C 1时，将C 1（0，13 2 ）代入y ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4 )，求得t 1＝－5 4当抛物线E 经过A 、B 、D 1，A 、B 、C 2，A 、B 、D 2时，可分别求得t 2＝58，t 3＝－1 2 ，t 4＝52∴满足条件的所有t 的值为：－5 4，5 8，－1 2，528．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xO y ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y （千米）与飞行的水平距离x （千米）满足关系式y ＝kx －120(1＋k2)x2（k ＞0），其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（1）令y ＝0，得kx －120(1＋k2)x2＝0 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0 ∴x ＝20k1＋k2＝ 20 1 k＋k≤ 202＝10，当且仅当k ＝1时取等号 ∴炮的最大射程为10千米（2）∵a ＞0，炮弹可以击中目标 ∴存在k ＞0，使ka －120(1＋k2)a2＝3.2成立 ∴关于k 的二次方程a2k2－20ak ＋a2＋64＝0有正根∴△＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a ≤6∴当它的横坐标a 不超过6千米时，炮弹可以击中它9．（江苏模拟）已知一次函数y 1＝kx ＋m 与二次函数y 2＝2ax2＋2bx ＋c （b 为整数）的图象交于A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）两点，二次函数y 2＝2ax2＋2bx ＋c 和二次函数y 3＝ax2＋bx ＋c －1的最小值的差为l ．（1）求y 1、y 2、y 3的解析式；（2）若y 1与y 3的图象交于C 、D 两点，求CD 的长；（3）P 是y 轴上一点，过点P 任意作一射线分别交y 2、y 3的图象于M 、N ，过点M 作直线y ＝－1的垂线，垂足为G ，过点N 作直线y ＝－3的垂线，垂足为H ．是否存在这样的点P ，使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立，若存在，求出P 点的坐标，并探究PMPN是否为定值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）代入y 1＝kx ＋m ，得⎩⎨⎧(2－2 2)k ＋m ＝3－22( 2＋2 2)k ＋m ＝3＋22解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝1 ∴y 1＝x ＋1将A 、B 两点的坐标代入y 2＝2ax2＋2bx ＋c ，整理得：8a ＋2b ＝1易得y 2＝2ax2＋2bx ＋c 的最小值为c －b 22a，y 3＝ax2＋bx ＋c －1的最小值为c －1－b 24a由题意，|c －b 22a－(c －1－b 24a)|＝1，即|1－b24a|＝1又8a ＋2b ＝1，得|1－2b21－2b|＝1∴1－2b21－2b＝1，解得b ＝0或1－2b 21－2b＝－1，整理得b2＋2b －1＝0，此方程无整数解∴b ＝0，代入8a ＋2b ＝1，得a ＝18∴y 2＝14x 2＋c令x ＋1＝14x2＋c ，得x2－4x ＋4c －4＝0 ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝4c －4∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2 )2－4x 1x 2＝[2＋2 2－( 2－22)]2＝32∴4 2－4( 4c －4)＝32，∴c ＝0∴y 2＝14x2，y 3＝1 8x2－1 （2）令x ＋1＝18x2－1，得x2－8x －16＝0 ∴x 3＋x 4＝8，x 3x 4＝－16∴(x 3－x 4)2＝(x 3＋x 4 )2－4x 3x 4＝82－4×(－16)＝128 ∴| x 3－x 4|＝82∴| CD |＝2×82＝16 （3）设P （0，t ），M （x ，y ）则PM 2＝x2＋(t －y)2＝x 2＋t 2－2t y ＋y2MG 2＝(y ＋1)2＝y2＋2y ＋1∵y ＝14x2，∴x2＝4y ∴PM 2＝4y ＋t 2－2t y ＋y2＝y2＋2y ＋1∴2y －2t y ＋t2－1＝0，即2y (1－t)＋(t2－1)＝0要使2y (1－t )＋(t2－1)＝0对任意y 恒成立则1－t ＝0且t2－1＝0，∴t ＝1∴当点P 的坐标为（0，1）时，PM ＝MG 恒成立此时PN 2＝x2＋(1－y)2＝x 2＋1－2y ＋y2NH 2＝(y ＋3)2＝y2＋6y ＋9∵y ＝18x2－1，∴x2＝8y ＋8 ∴PN 2＝8y ＋8＋1－2y ＋y2＝y2＋6y ＋9∴PN 2＝NH 2，即PN ＝NH 故存在点P （0，1），使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立设直线y ＝－1、y ＝－3分别与y 轴交于E 、F ，连接PG 、PH ∵MG 、NH 分别是直线y ＝－1、y ＝－3的垂线 ∴MG ∥NH ，∴∠PMG ＝∠PNH∵PM ＝MG ，PN ＝NH ，∴∠MPG ＝∠MGP ，∠NPH ＝∠NHP ∴∠MPG ＝∠NPH ，∴P 、G 、H 三点在同一直线上∴PMPN＝PGPH＝PEPF，又PE ＝1＋1＝2，PF ＝1＋3＝4 ∴PMPN＝24＝1 2 ，即PMPN 为定值1210．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x 轴交于A （m －2，0）、B （m ＋2，0）两点，顶点为C ，且AC ⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）点Q 在直线y ＝kx ＋1上移动，O 为原点，当m ＝4时，直线y ＝kx ＋1上只存在一个点Q 使得∠OQB ＝90°，求此时直线y ＝kx ＋1的解析式． 解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m)2－4a1 318x 2－1∵AC ⊥BC ，由抛物线对称性知△ABC 是等腰直角三角形，又抛物线开口向上，AB ＝(m ＋2)－(m －2)＝4∴C （m ，－2），∴－4a ＝－2，∴a ＝12∴抛物线的解析式为y ＝1 2(x －m)2－2（2）当m ＝4时，B （6，0），设直线y ＝kx ＋1与x 轴交于H （t ，0），与y 轴交于E （0，1） 并设OB 中点为G ，以OB 为直径作⊙G当直线与⊙G 切于点Q 时，只存在一个点Q 使得∠OQB ＝设HO ＝t ，∵HQ 是⊙G 的切线，∴∠GQH ＝90°＝∠EOH 又∠QHG ＝∠OHE ，∴△QHG ∽△OHE∴QGQH＝OEOH而QG ＝3，OE ＝1，∴QH ＝3OH ＝－3t 在Rt △中，QH 2＋QG 2＝HG 2∴(－3t)2＋32＝(3－t)2，解得t ＝0（舍去）或t ＝－3 4∴H （－34，0），把H （－3 4，0）代入y ＝kx ＋1，得－3 4k ＋1＝0，∴k ＝4 3∴所求直线为y ＝43x ＋111．（湖南娄底）已知二次函数y ＝x2－(m2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1 x 2＝12． （1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）由已知得：x 1＋x 2＝m2－2，x 1x 2＝－2m∵1 x 1 ＋ 1 x2 ＝ 12 ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝ 1 2 ，∴ m2－2 －2m ＝1 2解得m ＝1，或m ＝－2当m ＝1时，y ＝x2＋x －2，得A （－2，0），B （1，0）当m ＝－2时，y ＝x2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去∴这个二次函数的解析式为y ＝x2＋x －2 （2）由（1）得A （－2，0），B （1，0），C （0，－2）假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC 根据平移知识可得P （－1，2）经验证P （－1，2）在直线y ＝x ＋3上 故在直线y ＝x ＋3上存在一点P （－1，2），使四边形P ACB 为平行四边形12．（湖北荆州、荆门）已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．O xy（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值与最小值．解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点令y＝0，得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2，即k≤2且k≠1综上所述：k的取值范围为k≤2（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1（*）将（*）代入(k－1)x12＋2kx2＋(k＋2)＝4x1x2中得：2k(x1＋x2)＝4x1x2又∵x1＋x2＝2kk－1，x1x2＝k＋2k－1∴2k·2kk－1＝4·k＋2k－1，解得：k1＝－1，k2＝2（不合题意，舍去）∴所求k值为－1②∵k＝－1，∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－12)2＋32且－1≤x≤1由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝12时，y最大＝32∴y的最大值为3，最小值为－313．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：（1）解方程x2－2x－3＝0．巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2＋(m－3)x－3＝0（m为常数，且m≠0）．老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x的函数y＝mx2＋(m－3)x－3（m为常数）．①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.．解：（1）由x2－2x －3＝0，得(x ＋1)(x －3)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3（2）方法一：由mx 2＋(m －3)x －3＝0得( x ＋1)(mx －3)＝0∵m ≠0，∴x 1＝－1，x 2＝3m方法2：由公式法：x 1,2＝3－m ±(m －3)2＋12m2m ＝ 3－m ±(m ＋3)22m ＝3－m ±|m ＋3|2m∴x 1＝－1，x 2＝3m（3）①1° 当m ＝0时，函数y ＝mx2＋(m －3)x －3为y ＝－3x －3令y ＝0，得x ＝－1，令x ＝0，得y ＝－3 ∴直线y ＝－3x －3过定点A （－1，0），C （0，－3）2° 当m ≠0时，函数y ＝mx2＋(m －3)x －3为y ＝(x ＋1)(mx －3)∴抛物线y ＝(x ＋1)(mx －3)恒过两定点A （－1，0），C （0，－3）和B （3m，0）②当m ＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A （－1，0），C （0，－3）和B （3m，0） 观察图象可知，当△ABC 为直角三角形时，有△AOC ∽△COB ∴AOCO＝COBO，∴|OC |2＝|OA |·|OB | ∴32＝1×|OB |，∴OB ＝9，即B （9，0）∴当0＜3m＜9，即m ＞13时，△ABC 为锐角三角形 观察图象可知，当0＜m ＜13时，B 点在（9，0）的右侧，∠ACB ＞当m ＜0且m ≠－3时，点B 在x 轴的负半轴上，B 与A 不重合 ∴△ABC 中∠ABC ＞90º或∠BAC ＞90º，∴△ABC 为钝角三角形 ∴当0＜m ＜13或m ＜0且m ≠－3时，△ABC 为钝角三角形14．（广东肇庆）已知二次函数y ＝mx2＋nx ＋p 图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1． （1）求证：n ＋4m ＝0； （2）求m 、n 的值；（3）当p ＞0且二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．解：（1）将2代入顶点横坐标得：－n2m＝2，∴n ＋4m ＝0 （2）∵已知二次函数图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），且由（1）知n ＝－4m ∴x 1＋x 2＝－nm＝－－4mm＝4，x 1x 2＝pm∵x 1＜0＜x 2，∴在Rt △ACO 中，tan ∠CAO ＝OCOA＝OC－x 1在Rt △CBO 中，tan ∠CBO ＝OCOB＝OCx 2∵tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1，∴OC－x 1－OCx 2＝1 ∵x 1＜0＜x 2，∴OC ＝|p |≠0∴1x 1＋1 x 2＝－1 OC ＝－ 1 |p | ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝－1|p |∴4pm＝－1 |p |，∴p ＝－4m |p | ①当p ＞0时，m ＝－14，此时n ＝1 ②当p ＜0时，m ＝14，此时n ＝－1 （3）当p ＞0时，二次函数的表达式为：y ＝－14x 2＋x ＋p ∵二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x2＋x ＋py ＝x ＋3仅有一个解∴一元二次方程x ＋3＝－14x2＋x ＋p 即－1 4x2＋p －3＝0有两个相等根 ∴△＝02－4×(－14)×(p －3)＝0，解得：p ＝3 此时二次函数的表达式为：y ＝－14x2＋x ＋3＝－1 4(x －2)2＋4 ∵a ＝－14＜0，∴y 有最大值415．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝2x 和函数y 2＝－x ＋6，不论x 取何值，y 0都取y 1与y 2二者之中的较小值．（1）求y 0关于x 的函数关系式；（2）现有二次函数y ＝x2－8x ＋c ，若函数y 0和y 都随着x 的增大而减小，求自变量x 的取值范围； （3）在（2）的结论下，若函数y 0和y 的图象有且只有一个公共点，求c 的取值范围．解：（1）y 0＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x＜2）－x ＋6（x≥2）（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）（2）∵对于函数y 0，y 0随x 的增大而减小，∴y 0＝－x ＋6（x≥2）又∵函数y ＝x2－8x ＋c 的对称轴为直线x ＝4，且a ＝1＞0 ∴当x ＜4时，y 随x 的增大而减小 ∴2＜x＜4（3）①若函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内则x2－8x ＋c ＝－x ＋6，即x2－7x ＋(c －6)＝0∴△＝(－7)2－4(c －6)＝73－4c ＝0，得c ＝734此时x 1＝x 2＝72，符合2＜x＜4∴c ＝734②若函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6有两个交点，其中一个在2＜x＜4范围内，另一个在2＜x＜4范围外则△＝73－4c ＞0，得c＜734方法一：∵对于函数y 0，当x ＝2时，y 0＝4；当x ＝4时y 0＝2 又∵当2＜x＜4时，y 随x 的增大而减小若y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6在2＜x＜4内有一个交点 则当x ＝2时y ＞y 0；当x ＝4时y ＜y 0 即当x ＝2时y ≥4；当x ＝4时y ≤2也即⎩⎪⎨⎪⎧4－16＋c ＞416－32＋c ＜2 解得16＜c＜18又c＜734，∴16＜c＜18 综上所述，c 的取值范围是：c ＝734或16＜c＜18 方法二：由函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6的一个交点在2＜x＜4范围内，另一个交点在2＜x＜4范围外 可得：⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7＋73－4c 2 ＜47－ 73－4c 2 ＜2 或⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7－73－4c 2＜47＋73－4c2＞4解第一个不等式组，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＜16c ＞18 即无解解第二个不等式组，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＞16c ＜18即16＜c＜18又c＜734，∴16＜c＜1816．（甘肃兰州）若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－ba，x 1·x 2＝ca．把它们称为一元二次方程根与系数关系定理． 如果设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x 1，0），B （x 2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为： AB ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－b a )2－4c a＝b2－4aca2＝b2－4ac|a |． 参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，求b2－4ac 的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac 的值； （3）当a ＝c ＝1，且∠ACB ＝90°时，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB ＝60°？解：（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，过C 作CD ⊥AB 于D ，则AB ＝2CD∵抛物线与x 轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，则|b2－4ac|＝b2－4ac∵a＞0，∴AB ＝b2－4ac|a |＝b2－4aca又∵CD ＝|4ac －b2|＝b2－4ac，∴b2－4ac＝2×b2－4ac－即(±22)2－4(1＋m)＝12，∴m ＝－2∴抛物线y ＝x2＋bx ＋1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB 的度数由90°变为60°。
2012全国各地中考数学压轴题精选(21-30)解析版
2012年各地中考数学压轴题精选21~30_解析版【21.2012上海】24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；（2）∵∠EFD=∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴=，∴，∴EF=t．同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2．（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）；在△CAG与△OCA中，，∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：∵AE2=AM2+EM2=；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG===∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=+4由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，∴t=6．【22. 2012广东】22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．考点：二次函数综合题。
2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座(共8份)-6
2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座五一次函数、反比例函数的图象与几何【知识纵横】一次函数、反比例函数与几何问题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。
这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。
考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。
解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。
解函数图象与几何的综合题，应善于运用坐标，线段长度，函数解析式三者关系，要充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
【选择填空】1. （浙江义乌）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是2. （浙江衢州）如图，已知函数y=2x和函数ky=x的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是．3. （浙江温州）如图，已知动点A在函数4y=x(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 _.4. （浙江绍兴）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为（用含n的代数式表示）【典型试题】1. （浙江金华）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．2(1)求AC所在直线的函数解析式；(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。
2012中考数学压轴题及答案40例(3)
2012中考数学压轴题及答案40例（3）9.已知，在Rt△OAB中，OAB=900，BOA=300，AB=2。
若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。
将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
(1)求点C的坐标;(2)若抛物线(0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式;(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。
问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由。
注：抛物线(0)的顶点坐标为，对称轴公式为解:(1)过点C作CH轴，垂足为H∵在Rt△OAB中，OAB=900，BOA=300，ABOB=4，OA=由折叠知，COB=300，OC=OA=COH=600，OH=，CH=3C点坐标为(，3)(2)∵抛物线(0)经过C(，3)、A(，0)两点解得：此抛物线的解析式为：(3)存在。
因为的顶点坐标为(，3)即为点CMP轴，设垂足为N，PN=，因为BOA=300，所以ON=P(，) 作PQCD，垂足为Q，MECD，垂足为E把代入得：M(，)，E(，)同理：Q(，)，D(，1)要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD即，解得：，(舍)P点坐标为(，)存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P 点的坐为(，)10.如图，抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在，请说明理由.解：(1)令y=0，解得或A(-1，0)B(3，0);将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C(2，-3)直线AC的函数解析式是y=-x-1(2)设P点的横坐标为x(-12)则P、E的坐标分别为：P(x，-x-1)，E(∵P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=(3)存在4个这样的点F，分别是11.如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且.(1)求抛物线的对称轴;(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点坐标;不存在，请说明理由.解：(1)抛物线的对称轴(2)把点坐标代入中，解得(3)存在符合条件的点共有3个.以下分三类情形探索.设抛物线对称轴与轴交于，与交于.过点作轴于，易得，，，①以为腰且顶角为角的有1个：.在中，②以为腰且顶角为角的有1个：.在中，③以为底，顶角为角的有1个，即.画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点.过点作垂直轴，垂足为，显然..于是12.如图，对称轴为直线的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4).(1)求抛物线解析式及顶点坐标;(2)设点E(，)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形?②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由.解：(1)由抛物线的对称轴是，可设解析式为.把A、B两点坐标代入上式，得解之，得故抛物线解析式为，顶点为(2)∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0，即-y0,-y表示点E到OA的距离.∵OA是的对角线，.因为抛物线与轴的两个交点是(1，0)的(6，0)，所以，自变量的取值范围是16.①根据题意，当S=24时，即.化简，得解之，得故所求的点E有两个，分别为E1(3，-4)，E2(4，-4).点E1(3，-4)满足OE=AE，所以是菱形;点E2(4，-4)不满足OE=AE，所以不是菱形.②当OAEF，且OA=EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是(3，-3).而坐标为(3，-3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形.精心整理，仅供学习参考。
2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座(共8份)-3
2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座三列函数解析式【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。
代数、几何中列函数解析式问题是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。
列函数解析式问题是近年中考的热点题型之一。
这类题目的类型有：1、通过代数或几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步解决实际问题或研究几何的性质。
2、在以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。
但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，应注意这一点。
一般思考方法分四步：坐标、线段、函数、几何。
所列函数式有：一次函数、反比例函数、二次函数。
【选择填空】1. （贵州六盘水）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量（吨）水费（元）4 22 515 20 45设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，则m与n之间的函数关系式是．2. （浙江嘉兴、舟山）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A 的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x 的函数图象大致是【】A．B．C．D．3.（北京）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【典型试题】1. （浙江台州）某汽车在刹车后行驶的距离s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系得部分数据如下表： 时间t （秒） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 行驶距离s （米）2.85.27.28.81010.8…（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s 与t 之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？②当t 分别为t 1，t 2（t 1＜t 2）时，对应s 的值分别为s 1，s 2，请比较11s t 与22st 的大小，并解释比较结果的实际意义．【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。
2012年中考数学压轴题100题精选(21-30题)答案
2012年中考数学压轴题100题精选（21-30题）答案【021】解：（1）；… ………………………………3分21（2）①EF∥AB．……………………………………4分，．证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），34kk∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．34PA312PB412∴，k∴．………………………… 6分PEPF又∵∠APB=∠EPF．∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．∴EF∥AB．…………………………… 7分②S没有最小值，理由如下：2过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由上知M（0，），N（，0），Q（，）．……………… 8分4334－而S= S，∴S＝SS＝S－S＝S＋S＋SEFQPEF2PEFOEFEFQOEFEOMFONOMQN △△△△△△△△矩形＝＝2222．………………………… 10分6当时，S的值随k的增大而增大，而0＜k＜12．…………… 11分 2222∴0＜S＜24，s没有最小值．…………………………… 12分 22、说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过AB两点和经过、EF两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：tantan、，PAB利用＝来证明AB∥EF；方法三：连接AFBE利用S＝SAEFBFE△△、、得到点A点B到直线EF的距离相等，再由AB两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．2．求S的值时，还可进行如下变形：2S＝S－S＝S－（S－S）＝2 S－S，再利用第（1）2PEFOEFPEFPEOFPEFPEFPEOF△△△四边形△△四边形题中的结论．2【022】解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)－4a．……2分∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，112∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)－2．………………………5分22(亦可求C点，设顶点式)(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛12物线y＝(x－m)－2顶点在坐标原点． (7)分212m－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．(3)由(1)得D(0，2∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分12∴m－2＝|m ＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．2当m ＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍) 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分△MBC【023】（1）证明：∵是等边三角形，∠∠D ∴∥BC∵是中点∴∵∠∠∠∠，∴△AMB≌△∴∴∴梯形是等腰梯形．△MBC（2）解：在等边中，60°Q，∠∠， B C P∠∠∠∠∠∴∠∠QPC△BMP∽△CQP∴∴∴··································5分，，∵∴················································6分∴∴ (7)分，BPMDBP∥∥（3）解：①当时，则有则四边形和四边形均为平行四边形∴，PCMDPC∥∥当时，则有，则四边形和四边形均为平行四边形∴441313，，、、、、∴当或时，以PM和ABC D中的两个点为顶点的四44边形是平行四边形．此时平行四边形有4个．△PQCy∴当取最小值时，为直角三角形∵4PB，∠，∠，∠∴是的中点，而∴∴BC【024】（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）.D（2）∵∴，则点的坐标是（）.又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：解得∴抛物线的解析式为………7分M（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.PQM∵∴∽∴即，得∵BQN∴∽∴即，得又∵∴即为定值8. 【025】解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；∴C＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8 OCMD四边形∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；22（2）根据题意得：S＝MC·MD＝（－x+4）·x＝－x+4x＝－(x-2)+4 OCMD四边形∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0<x<4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当时，；如图10（3），当时，；22a∴S与的函数的图象如下图所示： S 14·2（2·12（·a0 2 4 22【026】解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6∴AH=AC=×6=433又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分AHHG4HG16∴=，即=，∴HG=…………………………………2分63ACBC8111632...........................................∴S=AHHG=×4×=3分△AHG2233（2）①能为正方形...........................................................................4分′′∵HH′∥CD，HC∥HD，∴四边形CDHH为平行四边形′又∠C=90°，∴四边形CDHH为矩形.......................................5分又CH=AC-AH=6-4=2′∴当CD=CH=2时，四边形CDHH为正方形′此时可得t=2秒时，四边形CDHH为正方形 (6)分②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.′当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH的面积.…………7分FMAC63过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC=== BC84ME44884FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=∴ME= 33333141616∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=∴y= 23331′（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDHH的面积.而S边形31324040×8×6-==2t∴y=-=S-S=矩形′△△CDHHCBGHABCAHG233331PD′（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设HD交AB于P.=8-又=tan∠ABC=43DB33∴PD=DB=（8-t）∴重叠部分的面积y=S , 443331122·PDDB=·（8-t）（8-t）=（8-t）=t-△PDB=48822∴重叠部分面积y与t的函数关系式：3（0≤t≤4）16401 -2t（4＜t≤5）33312t-6t+24（5＜t≤8）【027】解：(1)设抛物线的解析式为：, 把A（3,0）代入解析式求得所以，设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以 6分2(2)因为C点坐标为(１,4) ，所以当x＝１时，y＝4，y＝2所以CD＝4-2＝2 8分平方单位) 假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则，由S=CABPAB△△12819322得：，化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为1224y【028】解：（1）(5′) ∵抛物线与轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为(1′) 根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为(5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）（2′) 设对称轴与x轴的交点为∴四边形ABDE的面积梯形（5′）222（3）(2′)相似如图，BD=∴BE= ；∴即： ,所以是直角三角形∴,且, ∴∽′【029】解（1）因为△= 所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编专题5：定值问题
2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编专题5：定值问题2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编专题5：定值问题1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线()22=-+=--，y x4x3x21∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。
②线段EF的长度不会发生变化。
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。
解得：x1=﹣1，x2=5。
∴EF=x2﹣x1=6。
∴线段EF 的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。
【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。
抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。
2. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.【答案】解：（1）∵CG ∥AP ，∴∠CGD=∠PAG ，则tan CGD=tan PAG ∠∠。
2012全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)-第21章(精)
（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十一章 勾股定理 21.1勾股定理（2012广州市，7， 3分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ）A. 365B. 1225C. 94D. 334D C BA【解析】首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，利用直角三角形面积的两种求法，求出点C 到AB 的距离。
【答案】由勾股定理得AB=2222912a b +=+=15,根据面积有等积式11BC=AB CD 22AC ••，于是有CD=365。
【点评】本题用了考查常用的勾股定理，直角三角形根据面积得到的一个等积式，列方程求线段CD 的长。
（2012安徽，10，4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）A.10B.54C. 10或54D.10或172解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.解答：解：如下图，54)44()22(22=++⨯，1054)44()32(22=++⨯故选C．点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．(2012四川省南充市，14，4分) 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm.【解析】过点A作A E⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.则⊿ABE≌⊿ADF，得AE=AF，进一步证明四边形AECF是正方形，且正方形AECF与四边形ABCD的面积相等.则AE=，所以22264324=26AC AE===.【答案】43【点评】本题考查了三角形的全等变换、正方形的性质以及勾股定理.解题的关键是正确的做出旋转的全等变换，将四边形的问题转化成正方形的问题来解决.（2012山东省荷泽市，16(2),6）(2)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.【解析】根据折叠问题及矩形的性质，可以利用勾股定理求出线段的长来确定点的坐标.【答案】（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt ABE∆中，10,8===,2222AE AO AB=-=-=,BE AE AB1086∴=,(4,8)4CE∴.E在Rt DCE∆中，222+=，DC CE DE又DE OD=,222∴-+=,OD OD(8)4∴=,(0,5)5OD∴.D【点评】在平面直角坐标系中，求点的坐标实质就是求这个点到两轴的距离，也就是求线段的长，求线段的就是利用勾股定理、三角函数或相似三角形的对应边成比例.（2012贵州贵阳，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC 的延长线于F，若∠F=30°，DE=1,则EF的长（）A.3B.2C.3D.1解析：由已知得，BF=2BD=AB，所以FC=AD,不难得到Rt△FE C≌Rt△AED,故得EC=ED=1,结合∠F=30°，∠FCE=90°，可得EF=2EC=2.解答：选B．点评：本题主要考查“直角三角形中30°度角所对的直角边等于斜边的一半”的知识，也涉及到全等三角形的判定与性质，相对综合.（2012浙江省嘉兴市，6，4分）如图,A、B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90° , ∠C=40° ,则AB等于( )米A. asin4o°B. acos40°C.atan4o°D.atan40【解析】如图,在Rt △ABC 中，∵∠A=90° , ∠C=40° , AC=a 米,∴tan40°＝AB AC,∴A B ＝atan4o°, 故选C.【答案】C.【点评】本题要求适当选用三角函数关系,解直角三角形.22.2 勾股定理的逆定理22.3 直角三角形的性质（2012浙江省湖州市，5，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AB=10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是（ ）A.20B.10C.5D.25【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD=21AB=21×10=5.【答案】选：C ．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。
2012中考数学压轴题及答案40例(2)
2012中考数学压轴题及答案40例（2）5.如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ． （1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线P H 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AO H Q C H ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△． ························································································（1分） O H C H ∴=，即H 为AQ 的中点． ···································································（2分）法二：(01)A ，，(01)B -，，O A O B ∴=． ························································（1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·············································································（2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ·························································································（3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ·················································（4分）②设214P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114P Q m =+．过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在R t APG △中，22222222111111444AP AG PG m m m m PQ ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴平行四边形APQR 为菱形． ·············································································（6分） （3）设直线P R 为y kx b =+，由O H C H =，得22mH ⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 221.4m k b m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P R 为2124m y x m =-． ·······················（7分） 设直线P R 与抛物线的公共点为214x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线P R 关系式得：22110424m x x m -+=，21()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线P H 与抛物线214y x =只有一个公共点P ．··········································（8分）6.如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a .∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y，即xx y -=241. （6分）（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ， 则BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =522=+BGCG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°.∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE .即D 是BE 的中点. ………………………………（11分）（3） 存在. ………………………………（12分） 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得1,21-==b k .A BCODExyx =2 G FH∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.∵ 动点P 的坐标为(x ，xx -241)，∴21x -1=xx -241. ………………………………（13分）解得531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，2511-=y .∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).…（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解： （解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x2+b x +c 经过点A （0，－4），∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x2+b x +c =0的两个根，∴x 1+x 2=23b ， x1x2=－23c =6·································································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x 1x2=49b2－24∴49b2－24=25解得b =±314 ········································································································· 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ········································································································ 4分解法二：∵x 1、x 2是方程－32x2+b x +c=0的两个根，即方程2x 2－3b x +12=0的两个根． ∴x =4969b 32-±b ，·········································································· 2分∴x 2－x1=2969b2-=5，解得 b =±314 ····························································································· 3分（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ···························································································· 5分 又∵y =－32x2－314x －4=－32（x +27）2+625 ······························ 6分∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ·································· 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与 抛物线y =－32x2-314x -4的交点， ························································· 8分 ∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ·········· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ·········································· 10分8.已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线B C 的解析式． （2）求A B C △的面积．（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？（解析）解：（1）在2334y x =-+中，令0y =23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， ·············································· 1分又 点B 在34y x b =-+上302b ∴=-+32b =B C ∴的解析式为3342y x =-+············································································ 2分（2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220x y =⎧⎨=⎩ ·················································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，4AB ∴=，94C D =······························································································ 5分1994242A B C S ∴=⨯⨯=△ ························································································ 6分（3）过点N 作N P M B ⊥于点PE O M B ⊥ N P E O ∴∥B N P B E O ∴△∽△······························································································· 7分 B N N P B EE O∴= ········································································································· 8分由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴在B E O △中，2B O =，32E O =，则52B E =25322t N P ∴=，65N P t ∴=······················································································ 9分16(4)25S t t ∴=- 2312(04)55S t t t =-+<<··················································································· 10分2312(2)55S t =--+···························································································· 11分此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大∴当点M 运动2秒时，M N B △的面积达到最大，最大为125． ······················· 12分。
2012中考数学试题分类解析—第8章不等式.
30%2012年全国部分地区中考数学试题分类解析汇编第8章不等式、选择题1. （ 2012?广州）已知a > b ，若c 是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（）A . a+c v b+cB . a - c > b — cC . ac v beD . ac > be考点：不等式的性质。
分析：根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用.解答： 解：A 、••• a >b , c 是任意实数，••• a+c >b+c ,故本选项错误；B 、 ••• a >b , c 是任意实数，• a — c >b — c ,故本选项正确；C 、 当a >b , c v 0时，ac v be ,而此题c 是任意实数，故本选项错误；D 、 当a > b , c > 0时，ac > be ,而此题c 是任意实数，故本选项错误. 故选B .点评：此题考查了不等式的性质. 此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：（1） 不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变.（2） 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式。
专题：计算题。
分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可. 解答：解：••• x — 1 S0, • x 羽，在数轴上表示不等式的解集为：. 一， 故选C .点评：本题考查了不等式的性质， 解一元一次不等式， 在数轴上表示不等式的解集等知识点 的应用，注意：在数轴上表示不等式的解集时， 包括该点，用黑点”不包括该点时，用圆圈”3. （ 2012?恩施州）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得 20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A. 40%B . 33.4%C . 33.3%D .（2012六盘水）已知不等式 x—A.B . -1 0 1C.*D .1%,此不等式的解集在数轴上表示为（——I ---------- LZZJ _>-1 0 1 -1 0 12.考点：一元一次不等式的应用。