复合函数的导数
复合导数的求导
复合导数的求导
复合函数指的是由两个或多个函数构成的函数，例如f（x）= g（h（x））就是一个复合函数。
对于复合函数的求导，我们需要运用链式法则。
链式法则：如果y = f（g（x）），那么y的导数可以表示为dy/dx = dg/dx * df/dg。
换句话说，链式法则告诉我们，如果y是由两个或多个函数g和f组合而成的，那么y 的导数可以通过对每个函数执行单独的导数计算，然后将它们相乘得到。
二、复合函数的高阶导数
复合函数的高阶导数可以通过重复应用链式法则来计算。
首先，我们需要计算的是一阶导数，然后再利用这一阶导数计算二阶导数，以此类推。
然后，二阶导数可以计算如下：
y'' = f''（g（x））* g'（x）^2 + f'（g（x））* g''（x）
依此类推，我们可以计算出更高阶的导数。
三、复合函数的实例
下面通过一个实例来演示如何求解复合函数的导数。
例： y = e^(x^2-1)
首先，我们需要将y表示为复合函数，其中一个函数为g（x）= x^2 – 1，另一个函数为f（x）= e^x。
然后，我们需要分别计算出g（x）和f（x）的导数，并带入链式法则公式中来计算y 对x的导数：
g’（x）=2x
f’（x）=e^x
因此，y对x的导数为2xe^(x^2-1)。
接下来，我们可以通过重复应用链式法则来计算复合函数的高阶导数。
例如，我们想求解y对x的二阶导数，可以进行如下计算：
y'' = 2e^(x^2-1) + 4xe^(x^2-1)
四、总结。
复合函数的导数解析与归纳
复合函数的导数解析与归纳复合函数是高等数学中的重要概念，它描述了多个函数相互嵌套的关系。
在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则，结合对各个函数的导数进行求解。
本文将从导数的定义出发，通过数学推导和实例分析，深入探讨复合函数的导数求解方法，并对其进行归纳总结。
1. 导数的定义回顾导数是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或df(x)/dx。
对于函数y = f(x)，当自变量x在某一点x0处有可微的增量Δx时，函数值的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)与自变量增量Δx之比的极限，即f'(x0) = lim(Δy/Δx)，就是函数f(x)在x0处的导数。
2. 复合函数与链式法则复合函数是由多个函数嵌套得到的函数，形如f(g(x))。
在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则，它是求解复合函数导数的基本工具。
假设函数f(x)和g(x)都是可导函数，则复合函数h(x) = f(g(x))也是可导的。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：h'(x) = f'(g(x)) *g'(x)。
3. 复合函数的导数解析与归纳通过具体的例子，我们来解析复合函数的导数求解过程。
例1：设y = (3x^2 + 2x - 1)^4，求y'。
解：将y看做外层函数，内部函数为3x^2 + 2x - 1，根据链式法则，我们有：y' = dy/du * du/dx= 4(3x^2 + 2x - 1)^3 * (6x + 2)= 24x(3x^2 + 2x - 1)^3 + 8(3x^2 + 2x - 1)^3例2：设y = sin(2x^3 + 5)，求y'。
解：将y看做外层函数，内部函数为2x^3 + 5，根据链式法则，我们有：y' = dy/du * du/dx= cos(2x^3 + 5) * 6x^2= 6x^2cos(2x^3 + 5)通过以上的例子，我们可以总结出复合函数导数的求解步骤：1) 将函数表示为复合函数形式；2) 将复合函数看做外层函数和内部函数的组合；3) 根据链式法则，求解内部函数和外层函数的导数；4) 将求得的导数相乘，得到最终的复合函数导数。
复合函数求导举例
复合函数求导举例复合函数的求导是微积分中的一个重要概念，它描述了两个或多个函数相互作用的过程。
在此，我们将举例说明如何求解复合函数的导数，并提供相关的参考内容。
首先，我们来看一个简单的例子：求解复合函数 f(g(x)) 的导数，其中 f(x) 和 g(x) 分别是两个可导函数。
假设 f(x) = 2x，g(x) = x^2，我们需要求解的导数为 f(g(x)) = 2(g(x))。
根据链式法则，导数可以通过求解 g(x) 的导数再将结果乘以f(g(x)) 的导数，即d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
首先求解 g(x) 的导数：g'(x) = d(x^2)/dx = 2x。
然后求解 f(g(x)) 的导数：f'(g(x)) = d(2(g(x)))/d(g(x)) = 2。
最后，将 f'(g(x)) 与 g'(x) 相乘得到 f(g(x)) 的导数：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * 2x = 4x。
所以，复合函数 f(g(x)) 的导数为 4x。
接下来，我们提供一些相关的参考内容，以加深对复合函数求导的理解。
1. 链式法则的证明：- 《微积分导论》（Thomas）第9.2节- 《微积分学导引》（Simmons）第3.6节2. 复合函数求导公式的应用：- 《解析几何与线性代数》（Hoffman/Kunze）第6章- 《数学分析基础》（Abbot）第8.3节3. 更复杂的复合函数求导：- 多元复合函数的求导公式- 高阶导数的计算方法4. 复合函数求导的应用：- 函数的极值及拐点分析- 函数图像的绘制和变换通过深入研究复合函数求导，我们可以进一步理解微积分的基本概念和应用，并应用于更复杂的数学问题中。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
复合函数求导方法
复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。
对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下基本的导数求法。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。
而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。
链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。
简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。
假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。
首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。
按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。
然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。
最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。
通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。
除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。
在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。
复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。
一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。
链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。
2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。
3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。
4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。
链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。
利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。
例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。
二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。
指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。
对于指数函数e^x，其导数等于其本身。
即d(e^x)/dx = e^x。
当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。
指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。
则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。
2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。
则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。
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设函数 u (x) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数yu f (u) ,则复合函数 y f [(x)] 在点x处也有导数,且 yx yu ux;或记 fx[(x)] f (u)(x).
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu 2u, ux 3, 从而 yx yu ux 18x 12 .结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
f (sin2 x) 2sin x cos x f (cos2 x) 2cos x( sin x)
sin2x[ f (sin2 x) f (cos2 x)].
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法 则.
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以 证明:
在书写时不要把 fx[(x)]写成 f [(x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变
量 ( x) 的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
法法二一::yyy2112s[0i[n1(s2icxno(4s(x43x)2c2o)3s4()]2]x, 2sin3(4)x 2
2sin(4 2 ) .
x
2
3
)
.
2
3
3
练习1:求下列函数的导数:
(1) y 3 ax2 bx c (2) y 1
(3) y x2 x x
1 2x2
(4) y ( 3x 4)3 (5) y sin2 ax cosbx 6x 7
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
y2 b2
1上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
x0 x a2
y0 y b2
1.
(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y =p(x+x0).
证:设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu, Δy.
因为u (x) 在点x处可导,所以u (x) 在点x处连续.
因此当Δx →0时, Δu →0.
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
9
9 8 4 x2
k2
y
|x3
2 3
.
9
因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.
例6:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 x2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: f (x)(x) f (x) f (x) f (x),故 f ( x)为 奇函数. 同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数
的导函数也是周期函数. 证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义
1
例4:在曲线 y 1 x2上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
k
f
(
x
0
)
(
1
1 x
2
)
|
x
x0
2x0 (1 x02 )2
0, x0
0.
把x0=0代入曲线方程得:y0=1.
所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
答案:
(1) y
(2ax b)3 ax2 bx 3(ax2 bx c)
c
(2) y
(1
2x 2x2) 1
2x2
(3) y
(5) 1 b
1
(x5
2
x9
1
)2
2
sinbx
1
(2a
(5x4
2
7
x2
9
b)sin(2a b)
)
x
(3x 4)2 1(4()2a13b)5s(in6(x2a7b))4x.
当Δu≠0时,由 y y u
x u x
,且
lim
x0
y u
lim
u0
y u
得:
lim
x0
y x
lim
x0
y u
lim
x0
u x
lim
u0
y u
lim x0
u x
,即
yx
yu
ux .
当Δu=0时,公式也成立.
上面的证明其实不是一个很严格的证明,而且中间 还会有不少的疑问,譬如, Δu=0时公式也成立, 怎样去理 解;Δx →0时与Δu →0时的极限相等问题等等.因此同学 们只要了解公式证明中的基本思想和方法即可,不必过 多的去深究证明的过程.因为事实上,还有更严格的证明.
域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
两边同时对x求导得: f (x T )(x T ) f (x),即 f (x T) f (x). f (x) 也是以T为周期的周期函数.
例7:求函数
f
(
x
)
x
2
1
x 1 的导数.
3x 1 x 1
说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达
x x
)2
1 cos2xΒιβλιοθήκη 3sin2x
sec4
x.
解: y (2x2 3) 1 x2
y
4 x(1
x2
1
)2
(2x2
3)
1
(1
x2
1
)2
2x
2
1
(2x2 3)(1 x2 )2 ;
4x 1 x2 x(2x2 3) 6x3 x .
1 x2
1 x2
(5):y=sin2(2x+π/3)
1 (2) y (1 3x)4
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
(3)
12u5
12 (1 3x)5
.
(3) y (1 sin2 x)4 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
yx yu uv vx (u4 )u (1 v2 )v (sin x)x 4u3 2v cos x 4(1 sin2 x)3 2sin x cos x 4(1 sin2 x)3 sin2x .
x1 x 1
x1 x 1
x1
f ( x) f (1)
3( x 1) 2
lim
lim
lim 3 3;
x 1
x 1
x1 x 1
x 1
f ( x) f (1)
f (x)1
lim
lim
,
x1 x 1
x1 x 1
从而f(x)在x=1处不可导.
f
(
x)
2x
3
x1 .
x1
四、小结：
例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直.
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
2
4
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)过椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
x0 x a2
y0 y b2
(3)过双曲线
1.
x2 a2
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变 量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由 哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的 复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体, 这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变 量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量 的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.
解:
y 1 (
x
4
) 5 (
x
) 1 (
x
4