导数的运算法则及复合函数的导数
复合函数的导数及导数的运算法则
练习、已知函数f x 在R上满足f x=2 f 2 x x2 8x 8,
则曲线y=f x 在点1，f 1 处的切线方程为 A
A.y=2x-1
B . y=x
C .y=3x-2
D.y=-2x+3
课堂小结
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
6.若f(x) = e x，则f ' (x) = e x
7.若f(x) =
loga x，则f ' (x) =
1 xlna
8.若f(x) = lnx，则f ' (x) = 1 x
复 习:
二,导数的运算法则:
法则1: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2: f (x)• g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
复 习:
一,基本初等函数的导数公式
1.若f(x) = c，则f ' (x) = 0
2.若f(x) = xn，则f ' (x) = nxn-1 (n R)
3.若f(x) = sinx，则f ' (x) = cosx
4.若f(x) = cosx，则f ' (x) = -sinx
5.若f(x) = a x，则f ' (x) = a x lna
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（1）y (2x 3)2
（2）y e0.05 x1
（3）y sin( x ) (其中，均为常数)
注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函 数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后， 就不必再写中间步骤。
导数的四则运算及复合函数求导
经济应用数学数学
2. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
dy dx
dy du
du dx
f (u) (x)
说明: 最基本的公式 (C) 0
(sin x) cos x
y yuux
(ln x) 1
x
3. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
u x2 3复合而成, 所以 dy dy du
dx du dx
2sinu2x 0
4xsin x2 3
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例9 设y tan 1 2x2 , 求 dy dx
解 因y tan 1 2x2由y tan u, u= v,v=1-2x2复合而成，所以
2 1 sec x sec x tan x 2222
sec2 x tan x 22
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例11 求函数 y ln tan 2x 的导数.
解：y ln tan x 1 tan 2x .
tan 2x
1 sec2 2x 2x
tan 2x
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三、小结
1. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (uv) uv uv
注意：
(Cu) Cu ( C为常数 )
u
v
uv uv v2
(v 0)
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)
f (x) f
( x)
f
(x)
i1 i
1
2
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
导数的四则运算与复合函数求导
导数的四则运算与复合函数求导在微积分学中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的四则运算和复合函数求导是微积分中的基本技巧，本文将重点介绍这两个内容。
一、导数的四则运算导数的四则运算包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。
下面将逐一介绍这些法则的应用。
1. 常数倍法则设函数y=f(x)，其中f(x)可导，k为常数，则有：(d/dx)(k·f(x)) = k·(d/dx)f(x)即常数倍法则指出，常数与函数的导数之间可以交换次序。
2. 和差法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)即和差法则指出，函数的求和或求差的导数等于各函数的导数的和或差。
3. 乘积法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) · g(x)) = f(x)·(d/dx)g(x) + g(x)·(d/dx)f(x)即乘积法则指出，函数的乘积的导数等于其中一个函数乘上另一个函数的导数，再加上另一个函数乘上第一个函数的导数。
4. 商法则对于可导函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则有：(d/dx)(f(x) / g(x)) = (g(x)·(d/dx)f(x) - f(x)·(d/dx)g(x)) / (g(x))^2即商法则指出，函数的商的导数等于分子的导数与分母的导数的差再除以分母平方。
二、复合函数求导当函数是由一个函数与另一个函数组合而成时，就称之为复合函数。
求解复合函数的导数需要运用链式法则。
1. 链式法则设函数y=g(f(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则有：(d/dx)g(f(x)) = (dg/df)·(df/dx)即链式法则指出，复合函数的导数等于外层函数对内层函数求导的结果乘上内层函数对自变量求导的结果。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
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自学导引 1．导数运算法则 法则 [f(x)± g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) [f(x)· g(x)]′＝ f′(x)· g(x)＋ f(x)· g′(x) 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函 数乘上第二个函数的导数
第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数
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【课标要求】 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． 【核心扫描】
1．对导数四则运算法则的考查．(重点)
2．复合函数的考查常在解答题中出现．(重点)
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4x 4x
1 2x 1 1－cos x 3 1 ＝1－ sin ＝1－ · ＝ ＋ cos x， 2 2 2 2 4 4 1 ∴y′＝－4sin x.
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1＋ x 1－ x 1＋ x2 1－ x2 (3)∵y＝ ＋ ＝ ＋ 1－x 1－x 1－ x 1＋ x 2＋2x 4 ＝ ＝ －2， 1－x 1－x
f′x 这样想当然的错误； 其次还要特别注意两个函数积与商的求 g′x 导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则 中分子上是“－”．
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2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如(sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′＝2cos 2x，而(sin
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题型二
求复合函数的导数
【例 2】 求下列函数的导数． 1 (1)y＝ 2； 1－2x (2)y＝e2x＋1； (3)y＝( x－2)2； (4)y＝5log2(2x＋1)． [思路探索] 可分析复合函数的复合层次，再利用复合函数的 求导法则求解．
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(2)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u· x＝(eu)′· u′ (2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
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(3)法一
∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4，
∴y′＝x′－(4 x)′＋4′ ＝1－4× 法二 ＝2( 2 ＝1－ . x
令 u＝ x－2，则 y′x＝y′u· x＝2( x－2)· x－2)′ u′ (
3 ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x0－2x0)
(3 分) (4 分)
②
＝(3x2－2)(1－x0)． 0 1 解得 x0＝1 或 x0＝－2.
(6 分) (8 分)
5 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－ (x－1)． (10 分) 4 即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
4 －41－x′ 4 ∴y′＝1－x－2′＝ ＝ 2 2. 1－x 1－x
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题型三 求导法则的应用 【例3】 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
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[规范解答] 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝3x2－2(2 分) 0 故切线方程为 y－y0＝(3x2－2)(x－x0) ① 0 ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x3－2x0 0 又∵(1，－1)在切线上，
复合函数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)
的求导法 的导数间的关系为yx′＝ yu′·ux′ ，即y对x的导 则 数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
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想一想：若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成， 则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？ 提示 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y
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1 1 x－2)2· －0＝1－ x
2 . x
(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1， 10 10 则 y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝uln 2＝ . 2x＋1ln 2
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应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：
(1)中间变量的选取应是基本函数结构．
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(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x ＋11. x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ －x2－6x＋3 (3)y′＝ ＝ . x2＋32 x2＋32 (4)y′＝(xsin
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再 除以分母的平方
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2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个 变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中
间步骤．
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【变式 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝sin 4＋cos 4； 1＋ x 1－ x (3)y＝ ＋ . 1－ x 1＋ x
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(12 分)
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【题后反思】 点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不 一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交
点，解题时注意不要失解．
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【变式3】 若将本例改为求曲线y＝x3－2x在点A(1，－1)处的切线 方程，结果会怎样？ 解 ∵点A(1，－1)在曲线上，点A是切点，∴在A处的切线方
＝f(u)的定义域的子集．
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名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则， 不要求根据导数定义进 行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则， 可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)± 2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)± 2′(x)± f′(x)． f f „± n ②[ af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)； ③当 f(x)＝1
4x 4x
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解 (1)y＝ln u，u＝x＋2 1 1 ∴y′x＝y′u· x＝(ln u)′· u′ (x＋2)′＝u· 1＝ . x＋2 (2)∵y＝sin 4＋cos 4
2x 2x 2 2x 2x ＝sin 4＋cos 4 －2sin cos 4 4
1 g′x 时，有 ′＝－ 2 . gx g x
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(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的
fx 导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 gx ′＝
导，以减少运算量．
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【变式 1】 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3； 1 (2)y＝3x ＋xcos x；(3)y＝e · x；(4)y＝lg x－ 2. ln x
2 x
解
(1)y′＝－12x2；
(2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； ex x (3)y′＝ ＋e · x； ln x 1 2 (4)y′＝xln 10＋x3.
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[思路探索] 可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式 和四则运算法则求解． 解 (1)y′＝(x· tan
xsin x x)′＝ cos x ′
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x ＝ cos2x sin xcos x＋x ＝ . cos2x
辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分
析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之 后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为 简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．
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【示例】 讨论关于 x 的方程 ln x＝kx 解的个数． [思路分析] 通过求导的方法求出曲线 y＝ln x 与直线 y＝kx 相 切时 k 的值，借助图形回答问题． 解 如图，方程 ln x＝kx 的解的个数就是直线 y＝kx 与曲线 y
2 x)′－cos x′＝sin
2sin x x＋xcos x－ cos2x .