第二节 函数的求导法则

x
arcsin x
x x ( a ) arcsin x
x x a (arcsin x )
1 x 1 x 2 a arcsin x 2
x a
x
ln a arcsin x
x a
x
1 1 x 2
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3、函数商的求导法则 法则4 两个可导的函数的商当除数函数（或分母） 不为０时可导，它们商的导数等于被除函数（分 子）的导数乘于除数（分母）减去被除函数（分 子）乘于除数（分母）的导数后，再除于除数函 数（分母）的平方，即
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三、基本求导法则和求导公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x
2 (tan x ) sec x
1 ( x ) x
(cos x ) sin x
2 (cot x ) csc x
(sec x ) sec x tan x
2 10
Q dy dx dy du
dy dx
dy du
10u ,
9
du dx
2x
9 2 9
du dx
1 0 x 1 2 x 2 0 x x 1
2
2 9 2
解2
10( x 1) ( x 1)
10( x 1) 2 x 20 x ( x 1) .
x x ( a ) a ln a
(csc x ) csc x cot x
'
10
7 2
5
7
1
x
2
1 2e x 2
3 2

1 2
1
3 5 x 2 ex
y ' x 1 3 5 e
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例4
求函数 y xa x arcsin x 的导数．
y ( x a arcsin x )
x
解
( x )a
dy du dy dx 1 u dy du ; du dx du dx 2x u 2x 1 x
2
2x
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推广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy du dv . dx du dv dx dy
(u )v u (v ) u 2 v v
'
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例5 求 y tan x 的导数 . 解
y (tan x ) (

sin x cos x
)
(sin x ) cos x sin x (cos x ) cos x
2

cos x sin x
u

2x 1
2x 1
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y e
sin
2 x 1
解：y' e e e e
sin 2 x 1
sin
2 x 1
sin
2x 1 ' 2x 1 '

co s co s co s
2x 1 2x 1 2x 1

sin
2 x 1
2 x 1 '
2 2x 1

2
2
9





2
2
9


x 2x 0 x 2x
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2、函数乘积的求导法则 两个可导的函数的积可导，乘积的导数等于这两个函数 中每一个函数的导数分别乘于另一函数后的和，即
(uv) uv uv
推广 uvw ' u ' vw uwv ' uvw '
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例8 求函数 y ln sin x 的导数.
解
y ln u, u sin x .
dy du dx du dx 1 u cos x sin x
dy

cos x
cot x
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例9 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解1 y x 1 是 由 y u 1 0 , u x 2 1复 合 而 成 的
• 函数的四则运算法则和复合运算法则
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一、导数的四则运算法则
1、函数的和、差的求导法则 两个可导的函数和（差）可导，它们的和（差）导 数等于这两个函数的导数的和（差），即
u v ' u ' v '
可以推广到有限个可导函数的代数和的情形，如
u v w

3y x 2 0
0

y
1 3
x
2
2 3
kl
1 3
依 题 意 得 y ' x x 3
即 3 x0 6 x0 6 3
x0 2 x0 3 0
2
x 0 3或 x 0 1
这 个 点 的 坐 标 为 3 , - 2 0 , 1, 0
通过以上例子，我们可以发现运用复合函数的求导 法则的关键在于把复合函数分解成为若干个基本初 等函数和常数的复合或者是它们的四则运算，然后 运用法则和适当的导数公式进行计算． • 在计算函数的导数时，有时必须注意化简后求 导，以及需要综合地运用导数的四则运算求导法则 和复合函数的求导法则．
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)


sin x cos x
2
sec x tan x .
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
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例7
求下列函数的导数．
2 x x3 x 1
5 2 7
（1） y
（2） s
2t sin t 3t 2 4t 4 2t
解（1）y
si n
2 x 1

2x 1
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例 11 求下列函数 y ln (3 tan x 7) 的导数．
2
解法１（用链式法则）
y 是 由 y u , u ln v , v 3 tan x 7 复 合 而 成 的
2
Q
dy du
2u ,
du dv

1 v
,
dv dx
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例如 y sin 2 x 是由 y sin u 与u 2 x 复合而成的。且
dy du dy dx dy du du dx co s u du dx
co s u 2 2 co s u 2 co s 2 x
2
再如 y ln x 2 1 是由 y ln u ，u x 2 1 复合而成的。且
u v w
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例１
求函数 y sin x tan x x 9 的导数．
2 2
解： y sin x tan x x
sin x tan x x
co s x sec co s x sec 2 2
3 sec x
2

dy dx


dy du

2
du dv

dv dx
2 ln 3 tan x 7
1 3 tan x 7
3 ec x
2
6 sec x ln 3 tan x 7 3 tan x 7
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解法２（逐层求导）
y ' ln (3 tan x 7 ) 2 ln 3 tan x 7 ln 3 tan x 7
(x
2
x 3) ( x 1) ( x ( x 1)
2
2
x 3)( x 1)
2

( 2 x 1)( x 1) ( x x 3) 1 ( x 1) x 2x 4
2 2
( x 1)
2
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（2）通常为了便于计算，把商的形式转化成和差 或积的形式，再进行求导．
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推论 常数与可导函数的积的导数等于常数乘于 该可导函数的导数，即
(cu ) cu
也就是说常数因子可以直接提到求导记号外面去.
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例2 求 y sin 2 x ln x 的导数 . 解 y 2 sin x cos x ln x
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
2 9 2 9
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例 10 求下列函数 y a
3 x 1
的导数．
解
y a
3 x 1
是 由 y a , u 3 x 1复 合 而 成 的 ，
u
Q
dy du
a ln a ,
u
du dx
3

dy dx

dy du

du dx
3a
3 x 1
ln a
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y e 解：y e
sin
2 x 1
sin
2 x 1
是 由 y e ; u sin v ; v
u
w ; w 2 x 1复 合 而 成