函数的求导法则
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
常用的基本求导法则与导数公式
常用的基本求导法则与导数公式在微积分中，求导是一项重要的基本操作。
通过求导，我们可以计算一个函数在给定点的斜率，求得函数的极值和拐点，以及解决各种实际问题。
本文将介绍一些常用的基本求导法则与导数公式，帮助大家更好地理解求导的过程与应用。
一、导数的定义导数描述的是一个函数在某点附近的变化率。
对于函数y = f(x)，其在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义为：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗二、常用的基本求导法则1. 常数法则若C为常数，则d(C)/dx = 0。
2. 幂函数法则对于函数y = x^n，其中n为任意实数，使用幂函数法则可以得到其导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)3. 四则运算法则对于两个可导函数f(x)和g(x)，使用四则运算法则可以得到它们的和、差、积和商的导数：若h(x) = f(x) ± g(x)，则h'(x) = f'(x) ± g'(x)若h(x) = f(x) * g(x)，则h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)若h(x) = f(x) / g(x)，则h'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)，其中g(x)≠04. 反函数法则若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且g(y)在y点可导，则有：d(g(y))/dy = 1 / f'(x)5. 复合函数法则若y = f(u)和u = g(x)是可导函数，则复合函数y = f(g(x))的导数为：(d(f(u))/du) * (d(g(x))/dx)6. 指数函数法则对于函数y = a^x，其中a为常数且a>0，使用指数函数法则可以得到其导数：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x三、导数公式1. 常见函数的导数公式- 常数函数导数为0- 幂函数导数为nx^(n-1)- 指数函数导数为a^x * ln(a)- 对数函数ln(x)的导数为1/x- 正弦函数sin(x)的导数为cos(x)- 余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)- 正切函数tan(x)的导数为sec^2(x)2. 反函数的导数公式若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且f'(x)和g'(y)均存在且不为0，则有以下关系：f'(x) = 1 / g'(y)3. 链式法则对于复合函数y = f(u)和u = g(x)，使用链式法则可以得到复合函数的导数：dy/dx = (df/du) * (du/dx)四、应用示例1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
导数求导法则
y
2e
2
x
log2
x
1 ln 2
(2)
y
arccos x
x
ln
1
1 x2 x
(3) y x a2 x2 a2 arcsin x
2
2
a
y
arccos x2
x
y a2 x2 .
作业：P98.8（6）（10）、9、10（7）（9）、 11（8）（9）
例1求导数
(1) y tan x , y cot x 解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos
x
cos
x sin cos2 x
x(
sin
x
)
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
(sinx) cos x. (cos x) sin x. (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
2
1 1 1
1
( ) 2 1 x 1 x
1 x2
例4 设函数f ( x)可导，求下列函数的导 数.
(1) y f ( x 1) (2) y f (cos2 x) f (sin2 x) 2
解 (1) y f ( x 1) ( x 1) 1 f ( x 1)
2
2
22
(2) y [ f (cos2 x)] [ f (sin2 x)]
(secx) secx tan x (cscx) csc x cot x
定理2（反函数求导法则）
如果函数x
f
导数的基本运算法则
导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中非常重要的一部分。
它是求函数变化率的工具，可以帮助我们研究函数的性质和解决实际应用问题。
本文将介绍导数的四个基本运算法则，并通过生动的例子和解释，帮助读者理解和掌握这些运算法则的应用。
第一个基本运算法则是常数倍法则。
它表明，对于任意函数f(x)和任意常数c，f(x)的导数等于c乘以f(x)的导数。
换句话说，导数的运算可以从在各个点的直观观点中推广。
例如，如果有一个车辆在以恒定的速度行驶，那么它的位移随时间的变化率始终保持不变。
这个例子可以用函数f(t)表示，其中t表示时间，f(t)表示位移。
假设车辆的速度是v，那么f(t)的导数就是v，即f'(t) = v。
如果车辆的速度变为2v，那么位移随时间的变化率也会变为原来的2倍，即(2f(t))' = 2v。
这就是常数倍法则的应用，我们可以通过将导数中的常数提取出来，简化求导的过程。
第二个基本运算法则是加法法则。
它表明，对于任意函数f(x)和g(x)，它们的和函数f(x) + g(x)的导数等于f(x)的导数加上g(x)的导数。
这意味着导数是可加性的。
以两个车辆行驶的例子来说明加法法则。
假设有一辆车在直线上匀速行驶，速度为v1，另一辆车以速度v2行驶。
我们可以将两辆车的位置分别表示为f1(t)和f2(t)，其中t表示时间。
那么两辆车的位置相加的函数f(t) = f1(t) + f2(t)的导数就是f1(t)的导数加上f2(t)的导数，即(f1(t) + f2(t))' = f1'(t)+ f2'(t)。
这就是加法法则的应用，它告诉我们求导的结果是可求和的。
第三个基本运算法则是乘法法则。
它表明，对于任意函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数f(x) * g(x)的导数等于f(x)的导数乘以g(x)再加上f(x)乘以g(x)的导数。
这个法则可以帮助我们求解复杂函数的导数。
常见求导法则
常见求导法则
求导法则是微积分中必须要了解的知识点。
通过求导可以求出一个函数在某一点上的斜率，从而用于求解函数图像的性质和解决最值问题。
下面将介绍常见的求导法则。
1. 取常数：
若y=k(k为常数)，则y’=0。
说明：常数的导数为零，因为常数不随自变量x而变化。
2. 幂函数：
说明：幂函数的导数等于幂次减1，再乘以x的n-1次幂。
例如：y=x^2，则y’=2x；y=x^3，则y’=3x^2。
若y=a^x(a>0且a不等于1)，则y’=lna*a^x。
说明：指数函数的导数等于a的自然对数lna与a的x次幂的积。
例如：y=log2^x，则y’=1/(xln2)。
5. 求和与差的导数：
若y=u(x)+v(x)，则y’=u’(x)+v’(x)。
说明：求导后，和的导数等于各个函数导数之和，差的导数等于各个函数导数之差。
6. 乘积法则：
说明：求导后，乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的值相乘再加上第一个因子的值与第二个因子的导数相乘。
8. 复合函数的导数：
说明：复合函数的导数等于外函数f的导数与内函数g的导数的积。
以上就是一些常见的求导法则。
在实际的数学计算中，往往需要对不同的函数应用上述求导方法的组合，通过自己的不断练习，我们才能够熟练掌握这些常见的求导法则。
函数的求导法则
【例13】
谢谢聆听
定理3
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导， 那么它们的商（除分母为零的点外）在点x 处也可导，且
一、和、差、积、商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
【例1】
一、和、差、积、商的求导法则
【例2】
已知函数y=x2sin x，求y′|x=π 解 因为 y′=（x2）′sin x+x2sin x′=2xsin x+x2cos x， 所以y′|x=π=－π2.
P′(t)=10 000(0.86+2t).
五、应用举例
(2)t=5时该细菌种群的总数是 P(5)=10 000×(1+0.86×5+52)=303 000, t=5时该细菌种群的增长率为
P′(5)=10 000×(0.86+2×5)=108 600. 因此,在t=5时该细菌种群的总数是303 000， t=5时该细菌种群的增长率为108 600个/小时 .
四、复合函数的求导法则
定理5
（复合函数求导法则）若函数u=φ（x） 在点x处可导,函数y=f（u）在点u=φ（x）处 可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且
四、复合函数的求导法则
证明设自变量x在点x处取得增量Δx时，中间变量u取得 相应的增量Δu，从而函数y也取得相应的增量Δy，当Δu≠0 时，有
二、反函数的求导法则
证明由于函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导,由第一章内容可 知，x=φ(y)的反函数y=f(x)存在，且在Ix内单调、连续. 任取x∈Ix，给x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)的单调性知
Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0, 于是有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一 和、差、积、商的求导法则 二 反函数的导数
三 复合函数的导数 四 双曲函数与反双曲函数的导数
五 初等函数求导的小结
六 思考判断题
2020/4/25
1
一 和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和在点x处也可导, 并且
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
x
x
定理4 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
们的商(分母不为零)在点 x处也可导, 并且
[ u( x)] v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v2(x)
(v( x) 0).
2020/4/25
6
证 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
x0
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.
2020/4/25
10
解 当x 0时, f ( x) cos x
当x 0时, f ( x) 1,
当x 0时,
f(0)
lim
h0
sin(0
h) h
0
1
f(0)
lim
h0Байду номын сангаас
h h
0
1
f (0) 1.
f
(
x)
cos x,
1,
x0 .
x0
2020/4/25
2020/4/25
8
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
y (tan x) sec2 x
同理可得 y (cot x) csc2 x
2020/4/25
12
于是有
y x
1 x
,
因为 f ( x)连续,
y
所以当x 0时, 必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
2020/4/25
13
例1 设函数x sin y为直接函数，求 y arcsin x 的导数.
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
lim v( x h) v( x)
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0
v( x h)v( x)h
2020/4/25
7
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
h0
h
lim [u( x h) u( x)] [v( x h) v( x)]
h0
h
u( x) v( x)
(2)略.
2020/4/25
3
推论
(1) [ f1( x) f2( x) fm ( x)] f1( x) f2( x) fm ( x)
例1 求 y x3 x2 ln x 的导数 .
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
2
)内
单
调
、
可
导,
且 (sin y) cos y 0, 所以 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin2 y
1 1 x2
同理可得
(arccos x) 1 1 x2
2020/4/25
14
例2 设函数x tan y为直接函数，求 y arctan x 的导数.
解
y 3x2 2x 1 x
2020/4/25
4
定理3 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
们的积在点x处也可导, 并且
[u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
注意: [u( x) v( x)] u( x) v( x); 推论
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
y
log
x a
的导数.
定理2 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的差在点x处也可导, 并且
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
2020/4/25
2
证(1) 设 f ( x) u( x) v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim [u( x h) v( x h)] [u( x) v( x)]
2020/4/25
9
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 y (cscx) csc x cot x
例5
设
f (x)
sin x,
x,
x0 ,
求f ( x).
(3) [uvw] uvw uvw uvw
2020/4/25
5
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x
2 sin x cos x 1 2 cos 2x ln x 1 sin 2x.
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
注意:
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)
11
二 反函数的导数
法则
如果函数x
(
y)在某区间I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内也
x
可导
,
且有
f ( x) 1 . ( x)
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
解
x
tan
y在
I
y
(
2
,
2
)内
单
调
、
可
导,
且 (tan y) sec2 y 0,所以 在 I x (,)内有
(arctan x) 1 (tan y)
1 sec2 y
1 1 tan 2 y
1 1 x2
同理可得
(arc
cot
x)
1
1 x
2
2020/4/25
15
例3
设函数x
a
y为直接函数，求