浙江省杭州十三中教育集团2015-2016学年九年级数学12月月考试题(含解析) 新人教版

浙江省杭州十三中教育集团2015-2016学年九年级数学12月月考试题一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知圆心角∠BOC=76°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．36°2．江堤的横断面如图，堤高BC=10米，迎水坡AB的坡比是1：，则堤脚AC的长是（）A．20米B．20米C．米D．10米3．将抛物线y=2x2先向上平移两个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+2 B．y=2（x+3）2﹣2 C．y=2（x﹣3）2+2 D．y=2（x﹣3）2﹣2 4．如图，△ABC中，BC=3，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A．2 B．C．D．5．从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情是（）A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．很可能事件6．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=10，BC=6，则圆心O到弦BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．2.57．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，∠A=60°，以BC为直径画圆，则点A（）A．一定在圆外B．一定在圆上C．一定在圆内D．可能在圆外，也可能在圆内，但一定不在圆上9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，D E∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC 的值为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．22 B．24 C．10D．12二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项线段等于．12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，CD=5，sinA=，则BC= ．13．如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，∠O=60°，则图中阴影弓形的面积为．14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．15．如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点（A，B除外），∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC，BC的中点M，N，则EF的长是．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t= 秒时，三角形△PCQ的面积最大．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17．（1）已知：a：b：c=1：3：5，求；（2）计算：2cos30°﹣tan45°﹣．18．某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；②y=a（x﹣h）2+k（a≠0）；③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？19．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251摸到黑球的频率0.23 0.21 0.30 0.26 0.253（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是；（2）估算袋中白球的个数；（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．20．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE=2OE．21．如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是；（填写所有符合条件的序号）①AC=13；②tan∠ACB=；③连接AC，△ABC的面积为126．（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．23．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠BAC的值；（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E 的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？2015-2016学年浙江省杭州十三中教育集团九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知圆心角∠BOC=76°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．36°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=76°，∴∠BAC=∠BOC=×76°=38°．故选C．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2．江堤的横断面如图，堤高BC=10米，迎水坡AB 的坡比是1：，则堤脚AC 的长是（ ）A ．20米B ．20米C ．米D ．10米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】在Rt△ABC 中，已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值，据此即可求解．【解答】解：根据题意得： =1：，解得：AC=BC=10（米）．故选D ．【点评】本题考查了坡比的定义，理解定义是关键．3．将抛物线y=2x 2先向上平移两个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）A ．y=2（x+3）2+2B ．y=2（x+3）2﹣2C ．y=2（x ﹣3）2+2 D ．y=2（x ﹣3）2﹣2 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y=5x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为（3，2）， 所以平移后抛物线的解析式为y=2（x ﹣3）2+2．故选：C ．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．如图，△ABC中，BC=3，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A．2 B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【分析】由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由BC=3，AC=4，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴，∵BC=3，AC=4，∴CD==．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意数形结合思想的应用．5．从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情是（）A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．很可能事件【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断．【解答】解：从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，是必然事件，故选A．【点评】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=10，BC=6，则圆心O到弦BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．2.5【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【专题】几何图形问题；数形结合．【分析】首先由AB为直径，AB=10，BC=6，可求得AC的长，然后过点O作OD⊥BC于点D，易得OD是△ABC的中位线，则可求得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠C=90°，∵AB=10，BC=6，∴AC==8，过点O作OD⊥BC于点D，∴BD=CD，∵OA=OB，∴OD=AC=4．即圆心O到弦BC的距离是4．故选B．【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】网格型．【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．【解答】解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO==；AC==；则sinA===．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．8．在△ABC中，∠A=60°，以BC为直径画圆，则点A（）A．一定在圆外B．一定在圆上C．一定在圆内D．可能在圆外，也可能在圆内，但一定不在圆上【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理可知当点A位于以BC为直径的圆上时，圆周角等于90°，根据BC 所对的角小于90°可以判断点A在圆外．【解答】解：如图：以BC为直径的圆中，低昂点A′在圆上时，∠BA′C=90°，因为∠A=60°，所以点A在圆外，故选A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系及圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解决此题的关键．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC 的值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴=，∴S△DOE：S△AOC==，故选D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．22 B．24 C．10D．12【考点】圆的综合题．【分析】易知直线y=kx﹣3k+4过定点D（3，4），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【解答】解：对于直线y=kx﹣3k+4，当x=3时，y=4，故直线y=kx﹣3k+4恒经过点（3，4），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH=3，DH=4，OD==5．∵点A（13，0），∴OA=13，∴OB=OA=13．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC 的最小值为2BD=2=2×=2×12=24．故选：B ．【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（3，4）以及运用“过圆内定点D 的所有弦中，与OD 垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．已知线段a=4，b=8，则a 、b 的比例中项线段等于 4 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决． 【解答】解：设a 、b 的比例中项为λ，∵a=4，b=8， ∴λ2=ab=32， ∴λ=±，即a 、b 的比例中等于．【点评】该题主要考查了比例中项等基本概念问题；解题的关键是灵活变形、准确计算．12．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为AB 中点，CD=5，sinA=，则BC= 6 ．【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【专题】推理填空题．【分析】根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，CD=5，sinA=，可得AB的长，从而可得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，CD=5，sinA=，sinA=，∴AB=2CD=10，∴BC=ABsinA=10×=6，故答案为：6．【点评】本题考查解直角三角形和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是明确题意，找出各边之间的关系和边与角之间的关系．13．如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，∠O=60°，则图中阴影弓形的面积为π﹣．【考点】扇形面积的计算．【分析】过点O作OD⊥AB于点D，根据∠O=60°，OA=OB可知△OAB是等边三角形，故∠OAB=60°，由锐角三角函数的定义求出OD的长，再根据S弓形=S扇形AOB﹣S△OAB即可得出结论．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，∵∠O=60°，OA=OB=2，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OD=OAsin60°=2×=，∴S 弓形=S 扇形AOB ﹣S △OAB =﹣×2×=π﹣．故答案为：π﹣．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 3+．【考点】二次函数综合题．【分析】连接AC ，BC ，有抛物线的解析式可求出A ，B ，C 的坐标，进而求出AO ，BO ，DO 的长，在直角三角形ACB 中，利用射影定理可求出CO 的长，进而可求出CD 的长．【解答】解：连接AC ，BC ， ∵抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3， ∴点D 的坐标为（0，﹣3），∴OD 的长为3，设y=0，则0=x 2﹣2x ﹣3，解得：x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B （3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AOBO=3，∴CO=，∴CD=CO+OD=3+，故答案为：3+．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．15．如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点（A，B除外），∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC，BC的中点M，N，则EF的长是4．【考点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．【分析】由于PC平分∠APB，易得，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC 必垂直平分EF．由于M、N是AC、BC的中点，因此MN是△ABC的中位线，根据平行线分线段成比例定理可得：OD=CD=OC=2．连接OE，可在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF 的值．【解答】解：∵PC是∠APB的角平分线，∴∠APC=∠CPB，∴弧AC=弧BC；∴AC=BC；∵AB是直径，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵M、N是AC、BC的中点，∴MN∥AB；∴OC⊥EF，OD=OC=2．连接OE，根据勾股定理，得：DE=2，EF=2ED=4．故答案为：4．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t= 5 秒时，三角形△PCQ的面积最大．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为5．【考点】二次函数的应用；直角三角形斜边上的中线．【专题】几何动点问题．【分析】（1）根据题意得到CP=BC﹣BP=30﹣3t，CQ=t，根据三角形的面积公式得到S△PCQ=PCCQ=t=﹣t2+15t，根据二次函数的顶点坐标公式即可得到结论；（2）线段PQ的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长．【解答】解：（1）∵CP=BC﹣BP=30﹣3t，CQ=t，∵∠C=90°，∴S△PCQ=PCCQ=t=﹣t2+15t，当t=﹣=5时，三角形△PCQ的面积最大；（2）线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长，如图所示：当P在B处，Q在C处时，PQ的中点为BC的中点，当点Q运动10秒时，P、Q停止运动，PQ的中点为N，P到达D，Q到达A，过点A作AE∥MN交BC于点E，此时CD=30﹣3×10=0，∴MD=15﹣0=15，∵N是AD的中点，∴M是DE的中点，∴EM=DM=15，MN=AE，∴CE=0+15+15=30，∴AE==10，∴MN=5；即线段PQ的中点所经过的路程长为．故答案为：5，5．【点评】本题考查二次函数的应用，勾股定理，三角形面积的计算，三角形中位线的性质，正确的作出图形是解题的关键．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17．（1）已知：a：b：c=1：3：5，求；（2）计算：2cos30°﹣tan45°﹣．【考点】比例的性质；特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据比例的性质，可用x表示a，b，c，根据分式的性质，可得答案；（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：（1）a：b：c=1：3：5，得a=x，b=3x，c=5x，==；（2）2cos30°﹣tan45°﹣=2×﹣1﹣（﹣1）=0．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质，可用x表示a，b，c是解题关键．18．某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；②y=a（x﹣h）2+k（a≠0）；③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是②．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可．【解答】解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时，则，解得．∴y=﹣6.5x+116，∵﹣6.5×36+116=﹣118≠90，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=﹣6.5x+116；②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x﹣h）2+k（a≠0）时，则解得∴y=（x﹣20）2+26，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=（x﹣20）2+26．③4×90=360，10×51=510，36×90=3240，∵360≠510≠3240，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=（a≠0）．∴选择的函数的序号是②．（2）∵y=（x﹣20）2+26，∴当x=20时，y有最小值26，∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．【点评】此题注意考查了二次函数的应用，要熟练掌握，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．19．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251摸到黑球的频率0.23 0.21 0.30 0.26 0.253（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 ；（2）估算袋中白球的个数；（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法．【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；（2）列用概率公式列出方程求解即可；（3）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）251÷1000=0.251；∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；（2）设袋中白球为x个，=0.25，x=3．答：估计袋中有3个白球．（3）用B代表一个黑球，W1、W2、W3 代表白球，将摸球情况列表如下：总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，所以摸到两个球都是白球的概率为．【点评】此题考查列表法和树状图法求概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．20．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE=2OE．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接PB．根据直径所对的圆周角是直角判定PB⊥OM；由已知条件OA=OB推知OM是三角形APB的中位线；最后根据三角形的中位线定理求得点P的坐标、由⊙M的半径长求得点C的坐标；（2）连接AC，证△AMC为等边三角形，根据等边三角形的三个内角都是60°、直径所对的圆周角∠ACP=90°求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所对的直角边是斜边的一半来证明BE=2OE．【解答】（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA=90°∴AO=OB=3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB=2OM=∴P点坐标为（3，）（2分）在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2，根据勾股定理得：AP=4，所以圆的半径MC=2，又OM=，所以OC=MC﹣OM=，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM=MC=2，AO=3，OC=，∴AM=MC=AC=2，∴△AMC为等边三角形（2分）又∵AP为圆M的直径得∠ACP=90°得∠OCE=30°（1分）∴OE=1，BE=2∴BE=2OE．（2分）【点评】本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．解答该题时通过作辅助线AC、BP构建直径所对的圆周角∠ACP、∠ABP，然后利用圆周角定理来解决问题．21．如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是②③；（填写所有符合条件的序号）①AC=13；②tan∠ACB=；③连接AC，△ABC的面积为126．（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形．【分析】根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出BC的长，得到（1）（2）的答案．【解答】解：（1）②③；（2）方案一：选②作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∴AD=ABsinB=12，BD=ABcosB=16，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴CD==5，∴BC=BD+CD=21．方案二：选③作CE⊥AB于E，则∠BEC=90°，由S△ABC=ABCE得CE=12.6，在Rt△BEC中，∵∠BEC=90°，∴BC==21．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值的应用，能求出各个角的度数和求出各个边的长是解此题的关键，难度适中．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．【解答】解：根据勾股定理得：BA=；（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，∴，解得，t=1，②当△BPQ∽△BCA时，，∴，解得，t=；∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴，解得t=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．23．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠BAC的值；（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E 的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据解方程组，可得B点坐标，根据直角三角形的性质，可得BC，AC，根据角的和差，可得∠ACB的度数，根据正切函数的定义，可得答案；（3）根据锐角三角函数，可得AE与NE的关系，根据路程与速度，可得DE+EN，根据两点之间线段最短，可得DE+EN=D′E+EN，根据矩形的判定与性质，可得ND′=OC=3，ON=D′C=DC，根据线段的和差，可得ON，根据直角三角形的性质，可得NE的长，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得．解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．（2）联立，解得：（不符合题意，舍），，∴点B的坐标为（4，1）．过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；（3）过点E 作EN⊥y 轴于N ，如图2．在Rt△ANE 中，EN=AEsin45°=AE ，即AE=EN ，∴点M 在整个运动中所用的时间为+=DE+EN ．作点D 关于AC 的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN． 根据两点之间线段最短可得：当D′、E 、N 三点共线时，DE+EN=D′E+EN 最小．此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°， ∴四边形OCD′N 是矩形， ∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．对于y=x 2﹣x+3，当y=0时，有x 2﹣x+3=0，解得：x 1=2，x 2=3．∴D（2，0），OD=2， ∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1， ∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2， ∴点E 的坐标为（2，1）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用直角三角的性质得出BC ，AC 的长是解题关键，又利用了正切函数的定义；利用两点之间线段最短得出EN+DE=ND′是解题关键，又利用了矩形的判定与性质．。