第二节·有理函数求导规则
函数的求导法则公式
函数的求导法则公式一、导数及其意义函数的导数是微积分中的一个基础概念，对于函数的研究及应用有着重要的意义。
导数的定义如下：对于函数$y=f(x)$，如果$x_0$处的导数存在，那么函数在$x_0$处的导数就是：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中$\Delta x$表示$x$的微小变化量。
导数的物理意义可以用两种方式表示：1. 函数在某一点的导数表示了这个点切线的斜率；2. 导数表示了函数在某一点的瞬时变化率。
因此，导数是函数在某一点的局部性质，反映了函数在这一点附近的变化情况。
二、导数的求法求导是微积分中的一个重要问题，求导需要了解函数的求导法则。
在微积分中，有些函数的求导可以通过公式、定理来进行计算，我们把这类函数的求导称为“基本求导”。
而对于更复杂的函数，我们可以通过基本求导进行组合求导，通过逐步分解复杂函数，进而求得其导数。
下面我们来介绍一下函数的求导法则公式。
三、函数的求导法则公式函数的求导法则公式是在具体函数的变化与求导过程中总结出来的一组规律性质。
下面我们分别介绍基本求导法则、组合求导和常用的高阶求导公式。
3.1 基本求导法则常用的基本求导法则如下：1. $y=kx^n$，则$y'=knx^{n-1}$（$k$为任意常数）2. $y=e^x$，则$y'=e^x$3. $y=\ln x$，则$y'=\frac{1}{x}$4. $y=\sin x$，则$y'=\cos x$5. $y=\cos x$，则$y'=-\sin x$6. $y=\tan x$，则$y'=\sec^2 x$3.2 组合求导当出现多个函数的求导时，我们可以把这些函数表示成二元函数的形式，然后运用组合求导来求导。
常用的组合求导公式如下：1. $(u+v)'=u'+v'$2. $(uv)'=u'v+uv'$3. $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$3.3 高阶求导对于某些复杂的函数，我们需要求出多阶导数才能更好地了解其性质，为此，我们还需要了解高阶求导公式。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数的概念：数理化中的导数的定义是：数轴上导数是从一个点开始的一条直线（即“导数”),且直线（不经过一根直线）在此导数上连续时，其导数以指数形式递减。
函数的导数基本法则：一个函数的导数等于它的导数和它的不等式倒数之和的整数倍的导数之和之和。
如果某一点的导数等于（零点）或大于（或等于）一个点的导数，则这个点在该点的导数与零点或零点成正比；一个点为零点时的导数在零点的导数为零点；一个方向的导数等于一个方向导数的小数乘以该方向上每一个点导数）的值除以它所处方向（点坐标）的度数乘以所求数得出此数之积。
导数之比表示为导数与零点相差多少个单位而变化）程度就是零点（或区间）或百分比）。
如果用(2)表示导数可以利用任意一个导数除以整条线所形成的数位（数据点）即可得出被求数集或一个导数（或导数）。
下面将为大家介绍求导数所用到的基本法则和公式：由导数可以得导数）为(1-0)^4/2 (k>2. m)=1个点导数等于零点是求函数导数所用之地（或时间单位）在一个方向上与任意时刻导数相同，则求值之比等于零点导数与零点之间总有一个基点是零。
因此导数即为零点或区间（任意位置）时被求得的导数之积。
根据求导公式可以得出: a= f (a+ b)/2* x+ k. x= b→ r是一个区间上导数x与 u的差之和与它在其中一个零点所对应的位阻值之间的关系式为——导数x= t/1、求导数的方法有很多，求解时只要用到一些常见的代数方法即可。
求解的方法有很多，首先要知道哪几种方法是最有效，哪几种方法是最容易出错的方法。
这就要求我们平时要多思考，总结规律，及时纠正。
2、对我们学习比较重要的知识点要会看和会用！3、最常用就是把求解定理或函数与常数相关的基本定理或者公式记下来，并总结出来供大家参考。
从而能够把这些知识融会贯通于我们日常生活中，对于高中数学很重要。
而求解函数导数最基本的法则和公式就是这些。
最后再强调一下关于函数导数法，我认为是最简单的一种求解导数求导方法。
导数运算法则
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x=0
.
方程两边对x 方程两边对 求导, dy dy y + x − ex + ey =0 dx dx
dy e x − y 解得 , = y dx x + e
dy ∴ dx
x=0
由原方程知 x = 0, y = 0,
y= x
sin x
.
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形 .
( x + 1)3 x − 1 例1 设 y = , 求y′ . 2 x ( x + 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
∴ (a )′ =
x
1 (log a y ) ′
= ylna = a x ln a
即：
特别地：
(a )′ = a x ln a
x
(e )′ = e
x
x
三、复合函数的求导法则
定理
如 函 u = ϕ(x)在 x0可 , 而 = f (u) 果 数 点 导 y 在 u0 = ϕ(x0 )可 , 则 点 导 复合 数 y = f [ϕ(x)]在 函 点 x0可 , 且 导 其导 为 数 dy dx
函数求导公式大全法则
函数求导公式大全法则
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算口诀
常为零，幂降次
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）
指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）
正变余，余变正
切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）
割乘切，反分式
三角函数求导公式
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x=1+tan²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx.
(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec ²x。
求导数的方法法则与公式
例5
函数，
ln x , y ln x 号，为分段
x 0, x 0.
1 当 x 0时， y (ln x ) (ln x ) , x 1 ( x ) 当 x 0时， y (ln x ) [ln( x )] , x x 1 综上， (ln x ) . x
第二节 求导数的方法
一、求导法则
法则与公式
主要内容：
二、基本初等函数的求导公式
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [ u ( x ) v ( x )] u ( x ) v ( x ).
于是方程两边对x求导数有 y 2 x y 0, y 2 xy 从而 y . y 1
二、基本初等函数的求导公式
1. 幂函数 x ( R )的导数
取对数求导法
对等式 y x 的两边取自然对数，有
y 两端对 x求导得 , y x y x 1 ( x ) x . 于是 y , x x
当u( x ) 1时,
0
1 (1)v ( x ) 1 v ( x ) v ( x ) 2 . [ ] 2 v ( x) v( x ) v ( x)
u( x ) u ( x ) 不可以为 [ ] . v( x ) v ( x )
1 v ( x ) ] 2 特别的， [ v( x ) v ( x)
设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合 函数求导法则，求出y关于x的导数.
下面我们用例题来说明这种解法：
高等数学(第2版)课件：函数的求导法则
2
4
即 3x 4 y 8 3 0.
问题 : y xsin x的导数?
对数求基导本法信则息
1. 幂指函数： 形如 y f (x)g(x)的函数, 如 y xsin x , y x2x.
2. 方法： 先对函数两边求对数，再用隐函数求导求出导数.
y f (x)g(x) 取对数 ln y g(x) ln f (x) 隐函数求导 y'
3sec2 (3x 4)
2 tan(3x 4)
(7) y ln(x 1 x2 )
解： y'
1
(1 1 2x)
1
x 1 x2
1
x 1 x2
2 1 x2
x 1 x2 1 x2
1 x2
(8) y lnln(ln x)
解：y' {lnln(ln x)}' 1 1 1
1
.
ln(ln x) ln x x x ln x ln(ln x)
则y'
e xe y
y
1
.
由x 0, 代入方程得 y 1.
1 e y x e y y' y' 0,
则y'|x0 e.
则曲线在 x 0处的切线方程为：y 1 e(x 0), 即：y ex 1.
则曲线在
x
0处的法线方程为：
y
1
1 e
(x
0),
即：y
1 x 1. e
隐函数的基求本导信法则息
例 7 : 求椭圆 x2 y 2 1在 点(2, 3 3 )处的切线.
16 9
2
解：对 x2 y2 1两边关于x求导，得 2x 2 y y' 0.
16 9
同济大学高等数学第六版上第二章第二节 函数的求导法则
(sin x ) cos x sin x (cos x ) cos
2
x
cos
2
x sin cos
2
2
x
x
1 cos
2
sec x
2
x
即
2 (tan x ) sec x .
同理可得
2 (cot x ) csc x .
一、和、差、积、商的求导法则
定理
如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且
(1) [ u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [ u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); ( 3) [ u( x ) v( x ) ] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) v ( x)
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
④
作为（2）的特殊情况
若 v c ，则 ( cu ) c u
或
[Cf ( x )] Cf ( x );
即常数因子可以提到导数符号的外面
[ k i f i ( x ) ]
i 1 n
k i f i( x )
u( x h) u( x ) v( x h) v( x ) h v ( x h )v ( x )
h 0
v ( x ) u( x )
lim
h
h 0
导数的运算法则 课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
sinx cosx2
,所以
y｜
x
4
1 (sin cos )2
1 2
.
44
(3)选D.设g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a10), 则f(x)=xg(x), 所以f′(x)=g(x)+xg′(x),所以 f′(0)=g(0)+0g′(0)=a1a2…a10=(a1a10)5=85=215.
22
2
所以y′=2x- 1cos x.
2
【方法总结】利用导数的公式及运算法则求导的思路
类型二 求复合函数的导数 【典例2】(1)已知函数f(x)= eax2bx ,求其导数. (2)设函数f(x)=cos( 3 x+φ)(0<φ<π),且f(x)+ f′(x)为奇函数. ①求φ的值; ②求f(x)+f′(x)的最值.
x2 1
④y=x2- sin x cos x .
22
【解题指南】(1)先求导,再结合条件求P点横坐标,又 点P在函数f(x)上,可求P点纵坐标. (2)分析各个函数解析式的特点,应用和、差、积、商 的导数法则求导.
【解析】(1)选D.设点P(x0，y0),因为f(x) = x +2lnx,所
以f′(x)=
【解题指南】(1)f(x)= eax2bx 是y=eu与u=-ax2+bx的复 合. (2)先求出函数f(x)=cos( 3 x+φ)(0<φ<π)的导数, 再利用f(x)+f′(x)为奇函数求φ的值,进而求出f(x) +f′(x)的最值.
【解析】(1)令u=-ax2+bx,则y=eu. y′x=y′u·u′x=eu·(-ax2+bx)′ =eu·(-2ax+b)=(-2ax+b)·eax2bx .
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( uv )′( x ) = lim Δy Δu ⎞ Δv ⎞ . ⎛ ⎛ lim ( ) = lim ⎜ v ( x + Δx ) + u x ⎜ Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx ⎟ Δx ⎟ ⎝ ⎠ Δx → 0 ⎝ ⎠
(
)
y=
( x − 1) ( x 2 − 2 x )
x4
x 3 − 3 x 2 + 2 x . −1 −2 −3 = = x − 3 x + 2 x . 4 x
Then use the Sum and Power Rules:
dy 1 6 6 . 2+ 3− 4. = − x − 2 − 3 ( − 2 ) x − 3 + 2 ( − 3 ) x −4 = − dx x x x
Derivation rules for sum, difference, product and quotient of functions
1 2 1 ( x + ). . x x 1 x2 + 1 . Solution: By rules (2) with u = and v =. : x x
Since v ( x ) is derivable at x , it must be continuous at x and hence Therefore Finish.
3
Δx → 0
lim v ( x + Δx ) = v ( x ) .
( uv )′( x ) = u′( x )v ( x ) + u( x )v ′( x ) .
4
Derivation rules for sum, difference, product and quotient of functions
Example: Find the derivative of y = x 2 − 2 x + 3cos x + x ln x . Solution: By rules (1) and (2), we have
dy d d 1⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ = = + − = − 1 2 1 . ( x) + 2 ⎛ . ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 dx dx dx ⎝ x ⎠ x ⎝ x ⎠
The slope at x = 1 is
dy dx 2⎤ ⎡ 1 = − x =1 ⎢ x2 ⎥ ⎣ ⎦
x =1
= 1 − 2.= −1.
The line through (1,3) with slope m = -1 is
y − 3 = ( −1)( x − 1) y = −x +1+ 3 y = − x + 4.
9
.
(cot x )′ = − csc x
2
(tan x )′ = sec 2 x
(cot x )′ = − csc 2 x
6
Derivation rules for sum, difference, product and quotient of functions
t2 − 1 . Example(P103): Find the derivative of y = 2 . t +1 Solution: We apply the Quotient Rule with u = t 2 − 1 and v. = t 2 + 1,
Finish.
ln x 2 x
+
1 . x
5
Derivation rules for sum, difference, product and quotient of functions
Example: Find the derivative of y = tan x and y = cot x . Solution: By the quotient rule, we have
⎛ sin x ⎞′ (sin x )′ cos x − (cos x )′ sin x (tan x )′ = ⎜ ⎟ = ⎝ cos x ⎠ cos 2 x
That is
cos 2 x + sin 2 x 2 = = sec 2 cos x
(tan x )′ = sec 2 x
By the same way, we have Finish.
dy ( t = dt = =
2
.
+ 1 i 2t − t 2 − 1 i 2t
2 2
) ( ( t + 1) )
2
)
2t 3 + 2t − 2t 3 + 2t
(t
2
+1
2
.
(t
4t
2
+1
)
.
7
Derivation rules for sum, difference, product and quotient of functions
Find the derivative of y =
d ⎡ 1 ⎛ 2 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ x + x ⎟ ⎥ = x ⎜ 2 x − x 2 ⎟ + ⎜ x + x ⎟⎜ − x 2 ⎟ dx ⎢ x ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎝ . ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎝ 1 1 2 = 2 − 3 −1− 3 = 1− 3 . Finish. x x x
8
Derivation rules for sum, difference, product and quotient of functions
Example(P103): Find an equation for the tangent to the curve 2 . at the point (1,3). y= x+ x Solution: The slope of the curve is
dy = ( x 2 )′ − (2 x )′ + (3cos x )′ + ( x ln x )′ dx = 2 x − 2 x ln 2 − 3sin x + ( x )′ ln x + x (ln x )′
= 2 x − 2 x ln 2 − 3sin x + ln x 2 x + x x
= 2 x − 2 x ln 2 − 3sin x +
Section 2.2
Fundamental Derivation Rules
1
Derivation rules for sum, difference, product and quotient of functions
Theorem: (Derivation rules of rational operations) Suppose that the function u , v : I → R are derivable at x ∈ I ; then their sum, difference, product and quotient are all derivable at x , and (1) ( u ± v )′( x ) = u′( x ) ± v ′( x ) (2) ( uv )′( x ) = u′( x )v ( x ) + u( x )v ′( x ) u′( x )v ( x ) − u( x )v ′( x ) ⎛ u ⎞′ (3) ⎜ ⎟ ( x ) = (v ≠ 0) 2 v ( x) ⎝v⎠ In particular u′( x ) ⎛ 1 ⎞′ ( u( x ) ≠ 0) . (cu)′( x ) = cu′( x ) ( c ∈ R is a constant), ⎜ ⎟ ( x ) = − 2 u ( x) ⎝ u⎠
Example(P103): Choosing which Rule to use ,rather than using Quotient Rule ( x − 1) x 2 − 2 x . . to find the derivative of y = 4 x . Solution: Expand the numerator and divide by x 4 :
2
Derivation rules for sum, difference, product and quotient of functions
Proof: Let’s prove only the rule (2). Let y = u( x )v ( x ) , then
Δy = u( x + Δx )v ( x + Δx ) − u( x )v ( x ) = u( x + Δx )v ( x + Δx ) − u( x )v ( x + Δx ) + u( x )v ( x + Δx ) − u( x )v ( x ) = v ( x + Δx )Δu + u( x )Δv .