2000~2001年上海高考数学试题

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2000年全国普通主等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)

2000年全国普通主等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分一、填空题(本大题满分为48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。

1.已知向量OA (－1,2)、OB ＝(3,m),若OA ┴OB ,则m ＝。

2.函数,xx y --=312log 2的定义域为。

3.圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是。

4.计算:nn n )2(lim +＝。

5.已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ,则b＝。

6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP 预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%,若GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍,至少需年。

(按:1999年本市常住人口总数约1300)7.命题A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥,命题A 的等价题B 可以是:底面为正三角形,且的三棱锥是正三棱锥。

8.设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ,则在区间[1,2]上)(x f ＝。

9.在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数为 ,(结果用数值表示) 10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3,现任取出3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是。

11.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点,则=AB 。

12.在等差数列{}n a 中,若0=z a ,则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立,类比上述性质,相就夺:在等此数列{}n b 中,若10=b ,则有等式成立。

2001年高考数学试题(全国文)及答案1

(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4； (B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4； (C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4； (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4。

(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是( )(A) 3π； (B) π33； (C) 6π； (D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是 ( )(A)(210，)； (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，； (C) (21，＋∞)； (D) (0，＋∞)。

2001年春季高考数学试题及答案(上海)

绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分． 1．函数)0(1)(2≤+=x xx f 的反函数=-)(1x f______．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z=________．3．函数xx y cos 1sin -=的最小正周期为________． 4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为________． 5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：nn n n )13(lim ++∞→=________． 8．若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________．9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即2baba +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a、b、c都能成立的一个等式可以是_______。

11．关于x的函数)sin()(φ+=xxf有以下命题：（1）对任意的φ，)(x f都是非奇非偶函数；（2）不存在φ，使)(x f既是奇函数，又是偶函数；（3）存在φ，使)(x f是奇函数；（4）对任意的φ，)(x f都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_______。

因为当φ=_______时，该命题的结论不成立。

12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为 2.88%。

乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。

2001年高考数学试题(全国文)

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为 ( )(A) 31+(B) 31-(C) 31--(D) 31+-(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是 ( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4(B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4(C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4 (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是 ( ) (A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )(A)(210，) (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 已知复数i z 62+=，则z1arg是 ( )(A)6π (B)611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是( )(A)11log 2-=x y ，x ∈(1，2) (B) 11log 2--=x y ，x ∈(1，2) (C) 11log 2-=x y ，(]21，∈x(D) 11log 2--=x y ，(]21，∈x(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题： ( )① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减．其中，正确的命题是 ( )(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则( )(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为． (14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为．(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q = ．(16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________ ．三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4 求四边形ABCD的面积． (20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？(22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫⎝⎛21f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛41f ； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；。

(详细解析)2000年高考(全国旧课程)数学试题及答案(文科)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}{}|101,|||5A x x Z x B x x Z x =∈-≤≤-=∈≤且且，则A B 中的元素个数是A ．11B ．10C ．16D ．15 【答案】C【解析】由题设可得{}{}|101,|55A x x B x x =-≤≤-=-≤≤，所以A B 中有11个元素，即10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5----------．2．在复平面内，把复数3对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是A ．B ．-C 3iD ．3 【答案】B【解析】所求复数为1(3)sin()](3)()332i ππ-+-==-．3，这个长方体对角线的长是A ．B ．C ．6D ．6 【答案】D【解析】设长、宽和高分别为,,a b c ，则ab bc ac =abc =，∴1,a b c ===l ==．4．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 A ．若,αβ是第一象限角，则βαcos cos > B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则βαcos cos > D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ> 【答案】D【解析】用特殊值法：取60,30αβ=︒=︒，A 不正确；取120,150αβ=︒=︒，B 不正确；取210,240αβ=︒=︒，C 不正确；D 正确．5．函数cos y x x =-的部分图像是【答案】D【解析】函数cos y x x =-是奇函数，A 、C 错误；且当(0,)2x π∈时，0y <．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为252045+=元，所以选C ．7．若1a b >>，()1lg lg ,lg 22a b P Q a b R +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则 A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q << 【答案】B【解析】方法一：()11lg lg 22a b +>=lg 2a b +⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1lg lg 2a b +，所以B 正确．方法二：特殊值法：取100,10a b ==，即可得答案．8．已知两条直线12:,:0l y x l ax y =-=，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0,)12π内变动时，a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(3C ．((1,3)3D ．【答案】C【解析】直线1l 的倾斜角为4π，设2l 的倾斜角为θ，则412412ππππθ-<<+，且4πθ≠，即64ππθ<<或43ππθ<<，所以a 的取值范围是(1,3)．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高2h r π=，2222(2)12(2)2S r r S r πππππ++==全侧．10．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ．y =B ．y =C ．x y 33=D ．x y 33-= 【答案】C【解析】圆的标准方程为22(2)1x y ++=，设直线的方程为0kx y -=，由题设条件可得1=，解得k =，由于切点在第三象限，所以k =，所求切线x y 33=．11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则qp 11+等于 A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y ⊥轴，即将14y a =代入抛物线方程得12x a=±， ∴114a p q+=．12．如图，OA 是圆锥底面中心A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 A ．321B ．21 C ．21 D ．421【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂线AC ，垂足为C ，2cos ,cos cos OA r CA OA r θθθ===，∴2211(cos )3V r h πθ=，原圆锥的体积为2241122cos 33V r h V r h ππθ===，解得cos θ=．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．【答案】252【解析】不同的出场安排共有3237252A A =．14．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是．【答案】( 【解析】方法一：（向量法）设(,)P x y ，由题设120PF PF ⋅<，即(,)(,)0x c y x c y +⋅-<，2220x c y -+<，又由22194x y +=得22449x y =-，代入2220x c y -+<并化简得 225419x c <-=，解得x <<．方法二：（圆锥曲线性质）设(,)P x y ，∵3,2a b ==，∴c =133PF x =+，23PF x =-，当12F PF ∠为钝角时，2221212PF PF F F +<，解得x <<．15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,...)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式是n a = ．【答案】n1【解析】条件化为11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，∵0n a >∴1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a na n +=+，累成得1n a n =．16．如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都．填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数cos ,y x x x R +∈．（Ⅰ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（Ⅱ）该函数的图像可由sin ()y x x R =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．（Ⅰ）cos 2(sin coscos sin )66y x x x x ππ=+=+2sin()6x π=+，x R ∈． ——3分y 取得最大值必须且只需2,62x k k Z πππ+=+∈，即2,3x k k Z ππ=+∈．所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭|． ——6分（Ⅱ）变换的步骤是：（ⅰ）把函数sin y x =的图像向左平移6π，得到函数sin()6y x π=+的图像；—9分（ⅱ）令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin()6y x π=+的图像；经过这样的变换就得到函数cos y x x =+的图像． ——12分18．（本小题满分12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T ．【解】本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)2n S na n n d =+-． ∵7157,75S S ==，∴ ⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ——6分即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a ——8分解得12,1a d =-=． ∴()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列{nS n }是等差数列，其首项为2-，公差为21，∴ n n T n 49412-=． ——12分19．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且1C CB ∠=1C CD BCD ∠=∠．（Ⅰ）证明：1C C BD ⊥；（Ⅱ）当1CC CD的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结11,AC AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴,AC BD BD CD ⊥=．又∵1111,BCC DCC C C C C ∠=∠=， ∴11C BC C DC ∆≅∆，∴11C B C D =， ∵ DO OB =，∴ 1C O BD ⊥， ——3分但1,AC BD ACC O O ⊥=，∴BD ⊥平面1AC ，又1CC ⊂平面1AC ，∴1CC BD ⊥． ——6分（Ⅱ）当11CDCC =时，能使1AC ⊥平面1C BD ．证明一：∵11CDCC =，∴1BC CD C C ==，又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==．∴ 三棱锥1C C BD -是正三棱锥． ——9分设1AC 与1C O 相交于G ．∵11//AC AC ，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =．又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线，∴ 点G 是正三角形1C BD 的中心，∴ CG ⊥平面1C BD ．即1AC ⊥平面1C BD ． ——12分证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵1AC ⊂平面1AC ，∴1BD AC ⊥． ——9分当11CDCC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同1BD AC ⊥的证法可得11BC AC ⊥，又1BD BC B =，∴1AC ⊥平面1C BD ． ——12分20．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0>a ．（Ⅰ）解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）证明：当1a ≥时，函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．【解】小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．（Ⅰ）不等式()1f x ≤1ax ≤+，由此得11ax ≤+，即0ax ≥，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2201a x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬-⎩⎭|；当1a ≥时，所给不等式的解集为{}0x x ≥|． ——6分（Ⅱ）证明：在区间),0[+∞上任取12,x x ，使得12x x <．22121212()()()()f x f x a x x a x x -=-=-12()x x a =-． ——9分1<，且1a≥，a-<，又12x x<，∴12()()0f x f x->，即12()()f x f x>．所以，当1a≥时，函数()f x在区间),0[+∞上是单调递减函数．——12分21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t=；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t=；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为3000200,()2300,200300;t tf tt t-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤． ——4分（Ⅱ）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =- 即2211175020020022()17102520030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，， ——6分当0200t ≤≤时，配方整理得21()(50)100200h t t =--+，所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值100；当200300t <≤时，配方整理得21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间[200,300]上的最大值87.5． ——10分综上，由10087.5>可知，()h t 在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时50t =，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分22．（本小题满分14分）已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点．求双曲线离心率e 的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点,C D ，且以,A B 为焦点，由双曲线的对称性知,C D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记(,0),(,),(,0)2cA c C hB c -，其中12c AB =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=， h h y E 198********=+⨯+=． ——5分设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =．由点,C E 在双曲线上，将点,C E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 2222222211,44964 1.361361c h a b c h a b ⎧⋅-=⎪⎪⎨⎪⋅-⋅=⎪⎩ ——10分由①式得1412222-⋅=a c bh ，代入②式得922=a c ．所以，离心率322==a c e ． ——14分。

(详细解析)2001年上海高考数学(理科)

2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知812,(,1]()log ,(1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则满足1()4f x =的x 值为 ___ ．【答案】3【解析】1x ≤时，1()24xf x -==，2x =，不合题意，舍去；1x >时，81()log f x x = 14=，14813x ==，综上可得3x =．【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．2．设数列{}n a 的通项为27,n a n n N =-∈，则1215a a a ++⋅⋅⋅+= ____ ．【答案】153【解析】由270n a n =-≥，解得72n ≥，所以数列的前3项为负数，则1215123(531)(13523)9121532a a a +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+=+⨯=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 _____ ．【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求．【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素个数为 _____ 个．【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ．【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ．【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示）【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在2521(425)(1)x x x --+的展开式中，常数项为 _____ ．【解析】由于25200122455521(425)(1)(425)(x x x x C x C x C x x----+=--⋅+⋅+⋅+ 3648485105555)C x C x C x C x ----⋅+⋅+⋅+⋅，故展开式中，常数项为10554(5)15C C +-=．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 _____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．直线122y x =-与曲线sin cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的交点坐标是 _____ ．【答案】11(,)22【解析】∵2cos 212sin ϕϕ=-，∴曲线方程化为212y x =-，与直线122y x =-联立，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由1sin 1ϕ-≤≤，故3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22．【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域．．，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里），平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图．【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，111,A D b A A c ==．则下列向量中与1B M 相等的向量是A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是 A ．若//a b ，则//αβ B ．若αβ⊥，则a b ⊥ C ．若,a b 相交，则,αβ相交 D ．若,αβ相交，则,a b 相交【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg3(0,]3 C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值 D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈ 【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe xx y x x ⋅--'==，∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<．可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===c 的长度．【解】∵1sin 2S ab C =，∴sin 2C =， ......（4分）于是60C ∠=︒，或120C ∠=︒， ......（6分）又2222cos c a b ab C =+- ......（8分）当60C ∠=︒时，222c a b ab =+-，c = ...... （10分）当120C ∠=︒时，222c a b ab =++，c = ...... （12分）故c【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题．18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值．【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+，得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分）若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(5,0),(5,0)F F -． ......（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4(5,)3P ，于是12144,33PF PF ==，故1272PF PF =；...（9分）若12F PF ∠为直角，则22194155x y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+-⎩，解得3545,x y ==，即3545(,)P ，于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示）【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--．......（4分）∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=，∴A F C E ''⊥． ......（6分）（II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=，三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=，当且仅当2ax y ==时，等号成立．因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分）过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角．在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高，∴,tan 4B B BD a B DB BD''=∠==，故二面角B EF B '--的大小为tan arc ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w z n N -==∈|．（Ⅰ）设α是方程1x x+=的一个根．试用列举法表示集合M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【解】（Ⅰ）∵α是方程210x +=的根，∴1)i α=+或2)i α=-． ......（2分）当1)i α=+时，∵222111111(),n n n i i ααααα-===，∴1111111,,,(1),(1),(1),)2222i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪==+---+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．当2)2i α=-时，∵22i α=-，∴21222211,,,ii M M αααααα⎧⎫--==⎨⎬⎩⎭．因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即),(1),),(1)2222M i i i i α⎫⎪=+---+-⎬⎪⎪⎩⎭． ......（8分）于是，24213P C ==． ......（10分）（Ⅱ）证明：∵z M ω∈，∴存在m N ∈，使得2(1)m z ω-=．......（12分）于是对任意2(1)(21)(21),n m n n N z ω---∈=，由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，所以z M M ω⊆．......（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设21()1f x x=+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分）（Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==，在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+，清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分）则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++．于是，当22a >时，12f f >；当22a =时，12f f =；当022a <<时，12f f <．因此，当22a >时，清洗两次后残留在农药量较少；当22a =时，两种清洗方法具有相同的效果；当022a <<时，一次清洗残留的农药量较少． ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力． 22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+．（Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；数据0x 的（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞，∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分）（Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =．即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+．故当01x =时，1n x =；word 格式-可编辑-感谢下载支持当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分）（Ⅲ）解不等式421x x x -<+，得1x <-或12x <<．要使12x x <，则11x <-或112x <<． ......（12分）对于函数426()411x f x x x -==-++，若11x <-，则21322()4,()x f x x f x x =>=<． ......（15分）当112x <<时，21()x f x x =>，且212x <<，依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()n n x x n N +>∈．综上所述，1(1,2)x ∈．由10()x f x =，得0(1,2)x ∈．. .....（18分）【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷上海卷理

2000年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

（1）已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。

（2）函数，x x y --=312log 2的定义域为。

（3）圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是。

（4）计算：nn n )2(lim += 。

（5）已知b x f x+=2)(的反函数为)(),(11x fy x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 。

（6）根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300）（7）命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥（8）设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。

（9）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）（10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。

（11）在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

(12)在等差数列{}n a 中，若=n a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若1=b ，则有等式成立。

2000年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A ={x |x ∈Z 且－10≤x ≤－1}，B ={x |x ∈Z 且|x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( )(A) 11(B) 10(C) 16(D) 15(2) 在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) －23i(C)3－3i (D) 3+3i(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则cos α>cos β (B) 若α、β是第二象限角，则tg α>tg β (C) 若α、β是第三象限角，则cos α>cos β (D) 若α、β是第四象限角，则tg α>tg β (5) 函数y =－x cos x 的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800～900元(B) 900～1200元(C) 1200～1500元(D) 1500～2800元(7) 若a >b >1，P =b a lg lg ⋅，Q =21(lg a +lg b )，R =lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ，则( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围是( )(A) (0，1)(B) (33，3) (C) (33，1) ∪(1，3) (D) (1，3)(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) y =3x(B) y =－3x(C) y =33x (D) y =－33x (11) 过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) 2a(B)a21 (C) 4a (D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 ( )(A)321(B)21 (C)21 (D)421第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有___________种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点．当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________________(15) 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1)21+n a —2n na + a n +1a n =0(n =1，2，3…)，则它的通项公式是a n =_______________(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是________________(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知函数y =3sin x +cos x ，x ∈R ．(Ⅰ)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(Ⅱ)该函数的图像可由y = sin x (x ∈R )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n ．(19) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD －A1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD ．(Ⅰ)证明：C 1C ⊥BD ； (Ⅱ)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．(20) (本小题满分12分)设函数f (x )=12+x －ax ，其中a >0． (Ⅰ)解不等式f (x )≤1；(Ⅱ)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调函数． (21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)5353<<-x (15)n1(16)②③ 三、解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =3sin x +cos x =2(sin x cos 6π+cos x sin 6π) =2sin(x +6π)，x ∈R ——3分 y 取得最大值必须且只需x +6π=ππk 22+，k ∈Z ，即x =ππk 23+，k ∈Z ．所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =3π+2k π，k ∈Z }． ——6分 (Ⅱ)变换的步骤是：(1)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x +6π)的图像； ——9分 (2)令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y =2sin(x +6π)的图像；经过这样的变换就得到函数y =3sin x +cos x 的图像． ——12分 (18)本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+21n (n －1)d ． ∵ S 7=7，S 15=75，∴ ⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ——6分即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a ——8分解得a 1=－2，d =1． ∴()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列{n S n }是等差数列，其首项为－2，公差为21， ∴ n n T n 49412-=． ——12分 (19)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，BC =CD ．又∵ ∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C =C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ， ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB ，∴ C 1O ⊥BD ， ——3分但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O = O ， ∴ BD ⊥平面AC 1．又 C 1C ⊂平面AC 1，∴ C 1C ⊥BD ． ——6分 (Ⅱ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ．证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD =C 1C ，又∠BCD =∠C 1CB =∠C 1CD ，由此可推得BD =C 1B =C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——9分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1C 1∥AC ，且A 1C 1：OC =2：1， ∴ C 1G ︰GO =2︰1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1， ∵ A 1C ⊂平面AC 1，∴ BD ⊥A 1C ． ——9分当11=CC CD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1C 的证法可得BC 1⊥A 1C ． BD BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (20)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．(Ⅰ) 解：不等式f (x )≤1即12+x ≤1+ax ，由此得1≤1+ax ，即ax ≥0，其中常数a >0．所以，原不等式等价于()⎩⎨⎧≥+≤+.0,1122x ax x 即()⎩⎨⎧≥+-≥.021,02a x a x ——3分所以，当0<a <1时，所给不等式的解集为{x |0≤x ≤212a a-}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)证明：在区间[)∞+，0上任取x 1、x 2，使得x 1<x 2．f (x 1)－f (x 2)=112221+-+x x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——9分∵11222121++++x x x x <1，且a ≥1，∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)> f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间[)∞+，0上是单调递减函数． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2+100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2+100，所以，当t =50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2+100，所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5． ——10分综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (2c ，h )，B (c ，0)，其中c 为双曲线的半焦距，c =21|AB |，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c cc x E 19711812118-=+⨯+-=， h hy E 19811811180=+⨯+=．——5分设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =．由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h ac bh a c——10分 ① ②由①式得1412222-⋅=a c bh 代入②式得922=a c 所以，离心率322==a c e ——14分。

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2001年上海高考数学试题一、填空题1.(理)设函数f(x)=，则满足41)(=x f 的x 值为 . (文) 设函数x x f 9log )(=, 则满足21)(=x f 的x 值为 .2.(理)设数列的通项为a n =2n －7(n ∈N*)，则|a 1|＋|a 2|……＋|a 15|= . (文) 设数列的首项,且满足,则a 1＋a 2……＋a 17= . 3.设P 为双曲线－y 2=1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为 . 4.设集合A={x|2lgx=lg(8x —15)，x ∈R}B={x|cos＞0，x ∈R}，则A∩B 的元素个数为个. 5.抛物线x 2－4y －3=0的焦点坐标为 .6.设数列是公比q ＞0的等比数列，S n 是它的前n 项和.S n ＝7，则此数列的首项a 1的取值范围是 .7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种种.（结果用数值表示）8.(理)在代数式(4x 2－2x －5)(1+)5的展开式中，常数项为 .(文) 在代数式62)1(x x -的展开式中，常数项为 .9.设x=sinα，α∈［－，］，则arccosx 的取值范围为 .10.(理)直线y=2x －与曲线（φ为参数）的交点坐标为 .11.已知两个圆：x 2+y 2=1①与x 2+(y －3)2=1②，则又①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.12. 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况.由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为.二、选择题13.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝、＝、＝，则下列向量中与相等的向量是（）A.－＋＋B.＋＋C.－＋D.－－＋15.已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（）A. 若a∥b，则α∥βB.若α⊥β，则a⊥bC.若a、b相交，则α、β相交D.若α、β相交，则a、b相交16. 用计算器验算函数y=（x＞1）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（）A. y=在（1，+∞）上是单调减函数B. y=，x∈（1，+∞）的至于为（0，C. y=，x∈（1，+∞）有最小值D.=0 ，n∈N三、解答题17.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度.18.设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|,求的值.19.在棱长为a的正方体OABC－O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF. （1）求证：A'F⊥C'E；（2）当三棱锥B'－BEF的体积取得最大值时，求二面角B'－EF－B的大小.（结果用反三角函数表示）20.(理)对任意一个非零复数z，定义集合M z={ω|ω=z2n-1，n∈N*}.（1）设a是方程x+＝的一个根，试用列举法表示集合M a.若在M a中任取两个数，求其和为零的概率P；（2）设复数ω∈M z，求证MωM z .(文) 对任意一个非零复数z，定义集合M z={ω|ω=z n，n∈N*}.（1）设a是方程1=+xx的一个根，试用列举法表示集合M a.若在M a中任取两个数，求其和为零的概率P；（2）设集合M z中只有3个元素,试写出满足条件的一个z的值,并说明理由 .21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数f（x）.（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f（x）=，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由22. 对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去.现定义f（x）=.（1）若输出x0=，则由数列发生器产生数列{x n}.请写出数列{x n}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x0的值；（3）(理)若输出x0时，产生的无穷数列{x n}满足：对任意正整数n均有x n＜x n+1，求x0的取值范围.(文)是否存在x0,,在输入数据x0时, 该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量{}12-=OA 、{}m OB ,3=，若AB OA ⊥，则=m 。

2．函数xx y --=312log 2的定义域为。

3文．圆锥曲线1916)1(22=--y x 的焦点坐标是。

3理．圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x 的焦点坐标是。

4．若常数t 满足|t|>1,计算：=++++-∞→)...1(lim 12n n n tt t t 。

5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(1x f -，若)(1x f y -=的图象经过点)2,5(Q ，则=b 。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300万）7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数)(x f v =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，)(x f =。

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为。

（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是。

11文．所有满足不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x 的点中，使目标函数y x k 86+=取得最大值的点的坐标是。

11理．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

12．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式*),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式成立。

二、选择题。

13．函数]2,2[),2sin(πππ-∈+=x x y 是（A ）增函数（B ）减函数（C ）偶函数（D ）奇函数[答]（） 14．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a a //，a b //，则b a //。

（2）若a a //，β//a ，则β//a 。

（3）若γ⊥a ，γβ⊥，则β//a 。

其中正确的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3[答]（）15．若集合{}{}T S R x x y y T R x y y S x 则,,1|..3|2∈-==∈==是（A ）S （B ）T （C ）φ（D ）有限集[答]（）16．下列命题中正确的命题是（A ）若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点，则552sin =a 。

（B ）同时满足23cos ,21sin ==a a 的角a 有且只有一个。

（C ）当1|| a 时，)(arcsin a tg 的值恒正。

（D ）三角方程3)3(=+πx tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（本题满分12分）已知椭圆C 的焦点分别为)0,22(1-F 和)0,22(2F ，长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

[解]18．（本题满分12分）如图所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos，求四面体ABCD 的体积。

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2小题满分8分。

已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f 。

（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值。

（2）若对任意],1[+∞∈x ，0)( x f 恒成立，试求实数a 的取值范围20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

根据指令),(θr )180180,0(≤-≥θr ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。

（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。