高考专题复习 解析几何中与圆相关的综合问题(含解析)
高考数学专题《圆的切线系、圆系的综合应用》填选压轴题及答案
专题46 圆的切线系、圆系的综合应用【方法点拨】1.直线方程()cos ()sin x a y b r θθ-+-=(其中,,a b r 均为实常数，且0r >，R θ∈)的几何意义是，以(),a b 为圆心r 为半径圆的切线系.事实上，为“动中寻静”使所求值与θ无关，只需求点(),a b 到直线的距离d，有d r ==，即直线是圆222()()x a y b r -+-=全体切线组成的集合，它可以看作过圆222()()x a y b r -+-=上任意一点()cos ,sin a r b r θθ++的切线.2.当圆心坐标含参时，应考虑消参，探求圆心的轨迹.【典型题示例】例 1 已知圆22:(1cos )(2sin )1M x y θθ--+--=，直线:20l kx y k --+=，下面五个命题，其中正确的是A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点 ；B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 都相离；C ．存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切；E ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切. 【答案】AD【分析】对于圆M 动圆心，定半径1r =，圆心为(1cos ,2sin )M θθ++，故其轨迹是以（1,2）为圆心，半径1r =的圆. 直线:20l kx y k --+=过定点（1,2）.【解析】AB 选项，由题意知圆M 的圆心为(1cos ,2sin )M θθ++，半径为1r =，直线l 的方程可以写作(1)2y k x =-+，过定点(1,2)A ，因为点A 在圆上，所以直线l 与圆相切或相交，任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点，A 正确，B 错误； C 选项，由以上分析知不存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离，C 错误；D 选项，当直线l 与圆M 相切时，点A 恰好为直线l 与圆M 的切点，故直线AM 与直线l垂直，①当0k =时，直线AM 与x 轴垂直，则1cos 1θ+=，即cos 0θ=，解得()2k k Z πθπ=+∈，存在θ，使得直线l 与圆M 相切；②当0k ≠时，若直线AM 与直线l 垂直，则cos 0θ≠，直线AM 的斜率为2sin 2sin tan 1cos 1cos AM K θθθθθ+-===+-，所以1AM k k ⋅=-，即1tan kθ=-，此时对任意的0k ≠，均存在实数，使得1tan kθ=-，则直线AM 与直线l 垂直， 综上所述，对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切，D 正确．E 选项，点(1cos ,2sin )M θθ++到直线l 的距离为2|cos sin |1k d k θθ-=+，令0θ=，当0k =时，0d =； 当0k ≠时，2||11k d k =<+，即此时1d <恒成立，直线l 与圆M 必相交，故此时不存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切，E 错误． 故选AD ．例2 设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤<．下列四个命题中正确的是（ ） A ．存在一个圆与所有直线相交； B ．存在一个圆与所有直线不相交； C ．存在一个圆与所有直线相切；D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 【答案】ABC【解析】因为cos (2)sin 1x y θθ+-= 所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离1d ==即M 为圆22:(2)1C x y +-=的全体切线组成的集合，所以存在圆心在(0,2)， 半径大于1的圆与M 中所有直线相交, A 正确也存在圆心在(0,2)，半径小于1的圆与M 中所有直线均不相交，B 正确 也存在圆心在(0,2)半径等于1的圆与M 中所有直线相切，C 正确 故ABC 正确因为M 中的直线与以(0,2)为圆心，半径为1的圆相切,所以M 中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 ABC △与 ADE 均为等边三角形而面积不等,故D 错误，答案选ABC.例3 （多选题）设有一组圆k C ：()()()224*,132x k y k k k N-++-=∈．下命题中真命题是（ ）.A.存在一条定直线与所有的圆均相切；B.存在一条定直线与所有的圆均相交；C.存在一条定直线与所有的圆均不相交；D.所有的圆均不经过原点． 【答案】BD【解析】根据题意得：圆心坐标为1,3k k -（），圆心在直线()31y x =+上，故存在直线()31y x =+与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系：圆k ：圆心()1,3k k -2，圆1k +：圆心()()11,31k k -++，即(),33k k +)21k +，两圆的圆心距d ==两圆的半径之差)221R r k -=+=任取1k =或2时，（R r d ->），k C 含于1k C +之中，选项①错误； 若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，将()0,0带入圆的方程,则有()224192k k k -++=，即2410212k k k -+=（k *∈N ），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确。
与圆有关综合问题-高考数学一题多解
与圆有关综合问题-高考数学一题多解一、攻关方略1.求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．2.点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．3.判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．4.应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：5.求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点(,)P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【典例】【2022·高考数学甲卷文科第14题】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．【针对训练】2．已知圆的圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)，则圆的一般方程为________________.3．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=C 的方程为__________.【2022年全国乙卷（文数）第15题】4．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．（2022年新高考全国I 卷）5．写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．6．由圆229x y +=外一点(5,12)P 引圆的割线交圆于A B ，两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.7．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．8．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为________9．在平面内，定点,,,A B C D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是（）A ．434B ．494C D 10．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于________.11．设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是．A ．[1+B ．(),11⎡-∞+∞⎣C ．[22-+D ．(),22⎡-∞-++∞⎣参考答案：1．22(1)(1)5x y -++=【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=[方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=2．x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；方法二：求出线段AB 的垂直平分线方程，联立x －2y －3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得:()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩,解得：21,2,10,a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.方法二：线段AB 的中点坐标为2235,22---⎛⎫⎪⎝⎭，即()0,4-，直线AB 的斜率为531222-+=--，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB 的垂直平分线方程为42y x +=-，即2x ＋y ＋4＝0，由几何性质可知：线段AB 的垂直平分线与230x y --=的交点为圆心，联立240,230,x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得交点坐标()1,2O --，又点O 到点A 的距离d =，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.故答案为：x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.3．22(2)9.x y -+=【详解】试题分析：设(,0)(0)C a a >2,3a r ===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．4．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒=22(2)(3)13x y -+-=；（2）若圆过A B D 、、三点，设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒=，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =，线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=．故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．5．3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=4.=故221c b =+①，|34||4|.b c c ++=于是344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.x y +-=(填一条即可)[方法二]：设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =，则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意；又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250.(x y --=填一条即可)[方法三]：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为=1x -，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -.6．225120x y x y +--=，其中33x -<<．【分析】方法一：根据题设条件列出几何等式OM AB ⊥，再根据勾股定理或者数量积转化成代数等式，化简即可求出曲线方程.【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法设弦AB 的中点M 的坐标为(,)M x y ,连接OP 、OM ,则OM AB ⊥．在OMP 中,由勾股定理有2222(5)(12)169x y x y ++-+-=，而(,)M x y 在圆内，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程为225120(33)x y x y x +--=-<<.［方法2］：定义法因为M 是AB 的中点,所以OM AB ⊥,所以点M 的轨迹是以OP 为直径的圆,圆心为5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为||1322OP =，所以该圆的方程为:222513(6)22x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得225120(33)x y x y x +--=-<<［方法3］：交轨法易知过P 点的割线的斜率必然存在，设过P 点的割线的斜率为k ,则过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-.∵OM AB ⊥且过原点,∴OM 的方程为1=-y x k这两条直线的交点就是M 点的轨迹.两方程相乘消去k ,化简,得:225120x y x y +--=，其中33x -<<.［方法4］：参数法设过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-,它与圆229x y +=的两个交点为A 、,B AB 的中点为M ，设()()1122(,),,,,M x y A x y B x y .由22(5)129y k x x y =-+⎧⎨+=⎩可得，()()()2221212512590k x k k x k ++-+--=，所以，()12221251k k x x k -+=-+，即有()21251k k x k -=-+，21251ky k -=+，消去k ，可求得M 点的轨迹方程为：225120x y x y +--=，33x -<<．［方法5］：点差法设()()1122(,),,,,M x y A x y B x y ,则12122,2x x x y y y +=+=.∵222211229,9x y x y +=+=.两式相减,整理,得()()()()212121120x x x x y y y y -+--+=.所以21122112y y x x xx x y y y-+=-=--+,即为AB 的斜率，而AB 的斜率又可表示为1212,55y y xx x y--∴=---,化简并整理,得225120x y x y +--=.其中33x -<<.【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常规方法，也是最优解；方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．7．4【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案.【详解】因为AB =且圆的半径为r =所以圆心()0,0到直线30mx y m ++=33=，解得m =l的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30ABCD ==︒．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．8．4π【详解】因为圆心坐标与半径分别为(0,),=C a rd =则2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．9．B【分析】根据题意得到ABC 为正三角形，且D 为ABC 的中心，结合题设条件求得2=DA，得到ABC 为边长为A 为原点建立直角坐标系，设(cos ,sin )P θθ，根据PM MC = ，得到3cos (2M θ+，进而求得23712sin()64BM πθ+-= ，即可求解.【详解】由题意知||||||DA DB DC == ，即点D 到,,A B C 三点的距离相等，可得D 为ABC 的外心，又由2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，可得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以DB AC ⊥，同理可得,DA BC DC AB ⊥⊥，所以D 为ABC 的垂心，所以ABC 的外心与垂心重合，所以ABC 为正三角形，且D 为ABC 的中心，因为21cos ()22DA DB DA DB ADB DA ⋅=∠=⨯-=- ，解得2=DA ，所以ABC 为边长为如图所示，以A 为原点建立直角坐标系，则(3,(2,0)B C D ，因为1AP =，可得设(cos ,sin )P θθ，其中[0,2]θπ∈，又因为PM MC = ，即M 为PC 的中点，可得3cos sin ()22M θθ+，所以2223712sin()3cos sin 3712496(3)(22444BM πθθθ+-++=-++=≤= .即2BM 的最大值为494.故选：B.10．43．【详解】试题分析：显然两切线1l ，2l 斜率都存在．设圆222x y +=过()1,3的切线方程为()31y k x -=-，则圆心()0,0到直线30kx y k -+-=的距离等于半径，=得127, 1.k k =-=由夹角公式得1l 与2l 的夹角的正切值：12124tan 13k k k k θ-==+．考点：1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．11．D【详解】试题分析：因为直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,所以，即=++1mn m n ，所以()2+=++14m n mn m n ≤，所以+m n 的取值范围是(,2)-∞-⋃∞．考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式．点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等．。
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析
与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。
高考文科数学命题热点名师解密专题：圆的解题方法(含答案)
专题26 圆的解题方法一．【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二．方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|＝[（x A＋x B）2－4x A·x B]（1＋k2）.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题.三．【典例分析及训练】例1．圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，设的坐标为,则,,,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，取点，连接，，，，，，，因为,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．再由三角形相似可得：，解得b=．∴△AOB的面积为．故选A．（二）圆的一般方程例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是()A．b≥2或b≤－2B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2D．－2≤b≤2【答案】B练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为A．a=1或a=–2B．a=2或a=–1 C．a=–1D．a=2【答案】C【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=–1．故答案为：C（三）点与圆的位置关系例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是A．B．C．D．【答案】B练习1.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.练习2．设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，要使圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN＝，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN＝，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM＝5，ON＝，又点M（3，4）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．（四）圆的几何性质例4．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．求过点A的圆C的切线方程．求的最大值及此时对应的点P的坐标．【答案】（1）或；（2）最大值为，.【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，圆心坐标为，半径，，解得，所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；综上所述，所求的直线方程为：或；设点，则由两点之间的距离公式知，要取得最大值只要使最大即可，又P为圆上的点，，，此时直线OC：，由，解得舍去或，点P的坐标为练习1．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B 两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】Ⅰ由题意知圆心，且，由知中，，，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即则，令，解得或，因此存在，，或，满足题意，方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意．练习2．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，则有3+2＝5，变形可得：（m+n）2＝25，则mn，故选：C．练习3．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值．故选：C．练习4．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是() A．B．C．D．【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则，即，∴当时，，故的最大值为.故选C.（五）轨迹问题例5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）令，则当，即时面积最大为2又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为：（3）设点，由于点则，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以练习1．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.学-科网（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O为坐标原点）【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即当时，弦长最短，此时圆的面积最小，圆的半径，面积又，所以直线斜率，又过点故直线的方程为：（3）设点，由于点法一：所以，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以法二：∴从而练习2．四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．球的一部分D．抛物线的一部分【答案】A练习3．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02＝1，∴1，故A错误，B正确；3x02+2y02＞2x02+2y02＝2（x02+y02）＝2＞1，故C正确；由圆x2+y2＝1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y＝1，如图，∵坐标原点O（0，0）与点（）在直线x0x+y0y＝1的同侧，且x0×0+y0×0＝0＜1，∴，故D正确．∴不正确的选项是A．故选：A．练习4．已知圆C：(为锐角) ,直线l：y=kx,则A．对任意实数k与,直线l和圆C相切B．对任意实数k与,直线l和圆C有公共点C．对任意实数k与,直线l和圆C相交D．对任意实数k与,直线l和圆C相离【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为：，所以圆心的轨迹方程为：，所以圆心与原点的距离为1，所以圆必过原点.由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.故选B.（六）直线与圆的位置关系例6.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.已知在直线上，故可设因为，关于对称，所以，解得所以的标准方程为.因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为.（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为则到直线的距离为，所以，由消去并整理得：.设，，则，，.所以因为，，，所以所以，即.练习1．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或练习2．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】【解析】直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．练习3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M 为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.故答案为：．练习4．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．【答案】0或2．（七）圆与圆的位置关系例1．在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线.（1）求圆的方程；（2）求切线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）(1)或（2）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）(1)由得圆心为，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：.（2）由圆方程可知过的切线斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，∴，解之得：或，∴所求圆的切线方程为：或.即或.（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，设圆心为，则圆的方程为：，又∵，∴设为，则整理得：，设为圆,∴点应该既在圆上又在圆上∴圆和圆有公共点，∴,即：，解之得：即的取值范围为：.练习1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.(1)求圆的方程；(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，且个数为2【解析】(1)设外接圆的方程为,将代入上述方程得：解得则圆的方程为(2)设点的坐标为，因为，所以化简得：.即考查直线与圆的位置关系点到直线的距离为所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。
高考专题复习 解析几何中与圆相关的综合问题(含解析)
专题解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22++=，点(2,0):(2)32C x yD，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点(0,2)A，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my =+与圆22(1)(1)4x y -+-=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当1m =时，求||AB ；（2）是否存在实数m ，使得OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题15 解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22:(2)32C x y ++=，点(2,0)D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP 于点Q ． （1）求点Q 的轨迹方程．（2）设点(0,2)A ，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A ．求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a ，b 即可．（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t 的值，则直线过直线MN 恒过点2(0,)3-．【解答】解：（1）点Q 在线段PD 的垂直平分线上，||||PQ PD ∴=．又||||||CP CQ QP =+=，||||||4CQ QD CD ∴+=>=．Q ∴的轨迹是以坐标原点为中心，(2,0)C -和(2,0)D 为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为222211x y a b+==，(0)a b >>．2c =，a =，2844b ∴=-=．∴点Q 的轨迹的方程为22184x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则2228y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(12)4280k x ktx t +++-=， 122412ktx x k +=-+，21222812t x x k -=+， 由AM AN ⊥，则0AM AN =，即221212(1)(2)()(2)0k x x k t x x t ++-++-=，则22222284(1)(2)()(2)01212t ktk k t t k k-+⨯+--+-=++， 整理得：23440t t --=，解得：2t =（舍去）或23t =-，则直线MN 的方程23y kx =-，则直线MN 恒过点2(0,)3-， 当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，综上可知：直线MN 过点2(0,)3-．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆1F 与圆2F 有公共点，再利用定义法得到P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，从而求出公共点P 的轨迹E 的方程；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入2121212212122(1)()2()()x x m x x m k k k k x x m x x m-++++=-++，整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，所以当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ，所以|4|2r r --，即12|4||||4|r r F F r r ---+，所以圆1F 与圆2F 有公共点，设两圆公共点为点P ，所以12||||44PF PF r r +=+-=， 所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，1c =，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设1(M x ，2)y ，2(N x ，2)y ， 联立方程22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，111y k x m =-，222y k x m=-， 22212121212211212122121212121212(1)(1)11(1)()(1)()2(1)()2()()()()()()()y y k x k x x x x x m x x m x x m x x m k k k k k k k k x m x m x m x m x m x m x m x m x x m x x m ------+---+++∴+=+=+=+==---------++， 将①式代入整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-0m <，∴当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值，故存在实数2m =-，使得12()k k k +为定值1-．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，由0AB >且0BC >求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A B C --总长的最短长度．【解答】解：（1）过Q 分别向AO 和1l 作垂线，垂足为H ，M ， 由题意可得，QOH θ∠=，20sin QH θ∴=，20cos OH θ=， 则3020cos AH MQ θ==-． 在直角三角形BMQ 中，3020cos tan tan QM BM θθθ-==． 3020cos 2030cos 20sin tan sin AB AM BM QH BM θθθθθ--∴=-=-=-=． 又70sin BC θ=，702030cos 9030cos (0)sin sin sin 2L BC AB θθπθθθθ--∴=+=+=<<． 0AB >且0BC >，∴2cos 3sin 0θθ⎧<⎪⎨⎪>⎩，令02cos 3θ=，则0(,)2πθθ∈．∴定义域为0(,)2πθ；（2）由9030cos ()sin L θθθ-=，得213cos ()30L sin θθθ-'=，0(,)2πθθ∈． 令()0L θ'=，得1cos 3θ=，1233<，∴当1cos 3θ=时，[()]min L θ= 故木栈道A B C --总长的最短长度为【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【分析】（1）利用P 点轨迹以及3PQ MQ =，表示出M 的轨迹方程即可；（2）设出过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求得||AB ，再由点到直线的距离公式求得O 到AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB ∆的面积最大时的m 值，则直线l 的方程可求 【解答】解：（1）设(,)P x y ，则(,0)Q x ，0(M x ，0)y 且0x x =又根据3PQ MQ =．可得(0，00)))y y y -=-=-，则0y =，所以2200)6x +=，整理可得M 的轨迹方程为2236x y +=； （2）设过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+， 联立整理得22(3)420m y my ++-=， 所以12243m y y m +=-+，1212223233y y y y m m ==-++，则2226||3m ABm ⨯==+，点O 到直线的距离d =，所以111||26222AOBS AB d ∆===⨯，212m+=时取“=”，此时1m=±，故直线方程为2x y=+或2x y=-+．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my=+与圆22(1)(1)4x y-+-=相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当1m=时，求||AB；（2）是否存在实数m，使得OA OB⊥，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用垂径定理直接求解即可；（2）假设存在满足条件的实数m，根据已知条件建立关于m的方程，由方程解的情况即可得出结论．【解答】解：圆22(1)(1)4x y-+-=的圆心为(1,1)，半径为2，（1）当1m=时，直线1x y=+即为10x y--=，圆心(1,1)到直线10x y--=的距离为d==∴||AB=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221(1)(1)4x myx y=+⎧⎨-+-=⎩可得22(1)230m y y+--=，且△0>恒成立，12122223,11y y y ym m-+==++，∴212122221(1)(1)1m mx x my mym-++=++=+，若存在实数m，使得OA OB⊥，则1212OA OB x x y y=+=，即222221m mm-+-=+，亦即210m m-+=，无解，故不存在实数m，使得OA OB⊥．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设(,)P x y ，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ==，PG =PA ==24(0)y x x =≠；（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y ay x =+⎧⎨=⎩，利用根与系数关系表示出2QS ，2QT ， 进而表示出2211||||QS QT +即可． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， 122GB GH ∴==，PG ∴=，又(PA =24(0)y x x =≠；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =，（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ， 根据题意可知直线l '的斜率必不为0，设其方程为11(0)x t y a t =+≠， 联立124x t y a y x =+⎧⎨=⎩，整理可得21440y t y a --=，1214y y t ∴+=-，124y y a =-，222212112112121()24216x x t y y a t ax x y y a ∴+=++=+==， 222222111111()()4(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222222222()()4(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222221122121212(42)(42)()(42)()22QS QT x a x a x a x a x x a x x x x a ∴+=+-+++-+=++-+-+22212121211()(42)22(42)(44)x x x x a x x a t a t =+++--+=+++， 22222116(1)QS QT a t =+，则22212222221211||||2(1)t a QS QT QS QT QS QT a t +++==+， 当2a =时，上式14=与1t 无关为定值， 所以存在(2,0)Q 使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值14． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆22:()(1)13()C x a y a R -+-=∈，点(3,3)P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 （1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程． 【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出a 的值． （2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的方程． 【解答】解：（1）由圆22:()(1)13()C x ay a R -+-=∈， 得到圆心坐标为(,0)a ， 点(3,3)P 在圆内，解得06a <<，由圆的弦的性质可知，点P与圆心的连线与弦垂直， 即点P为弦的中点时，过点P 的弦长最短．在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 ， 解得2a =或4，（符合06)a <<．（2）由（1）可知，2a =或4a =时，因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直，所以，点M 的轨迹为(,1)a所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=．3．（2019•全国）已知点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点P 满足1PA 与2PA 的斜率之积等于14-，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设过坐标原点的直线l 与C 交于M ，N 两点，且四边形12MA NA 的面积为l 的方程． 【分析】（1）设(,)P x y ，运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线l 方程为y kx =，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得121224PA PA y y k k x x ==-+-，化为221(2)4x y x +=≠±，可得C 的方程为221(2)4x y x +=≠±；（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为0x =，可得四边形12MA NA 的面积为14242⨯⨯=，不符题意，舍去；设直线l 方程为y kx =，代入方程2214x y +=，可得22414x k=+，222414k y k =+， 由M ，N 关于原点对称，可得四边形12MA NA 的面积为2122114||||24222214M N k y y A A k -==+， 解得12k =±，即有直线l 的方程为12y x =±．4．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设圆的方程为M 的方程为222()()(0)x a y a R R -+-=>，然后根据圆与直线20x +=相切和圆心到直线0x y +=的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为(,)x y ，然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为24y x =，然后根据抛物线的定义即可得到定点． 【解答】解：M 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中， 2221(||)2d AB R +=，即224R +=①又M 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴的半径为2或6；（2）线段AB 为M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+， 22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．5．（2020•4月份模拟）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【分析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得0x x =，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)， 则由432PQ MQ =，得4(0，00)y x x -=-，)y -， 0x x ∴=，0y y ， 代入圆22:9O x y +=，可得22198x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=．则1221689m y y m -+=+，1226489y y m -=+． 12124()my y y y ∴=+，则121212112121223(2)23(4)4AG BH k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++ 12112122124()22414()4482y y y y y y y y y y +-+===+++．6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1N x y -+=，圆心(1,0)N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN =，点P 的轨迹为曲线M ． （1）求曲线M 的方程．（2）过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．【分析】（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，求出向量的坐标代入NP NE EP EN =，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，对直线l 的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，||46AB =≠，不符合题意，当斜率存在时，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k 的值，从而得到直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -， 则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN =，得(1x -，)(2y -，)(1y x =+，0)(2，)y -，即22222x y x -++=+， 化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得||||2||4AC DB CD +==， 所以弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点(1,2)A ，(1,2)B -，此时||46AB =≠，不符合题意， ②当斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，∴12242x x k +=+，121x x =，显然△216(1)0k =+>恒成立， 由抛物线的定义可知，12||26AB x x =++=，∴2446k +=，解得：k = ∴直线l的方程为1)y x =-．7．（2020•福建二模）已知(1,0)F ，点P 在第一象限，以PF 为直径的圆与y 轴相切，动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ，直线PF 的斜率为2k ，求满足123k k +=的点P 的个数． 【分析】（1）设(,)P x y ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y ，由以PF 为直径的圆与y 轴相切得11||22x PF +=，化简即可得到曲线C 的方程； （2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，利用导数的几何意义得到102k y =，022044y k y =-，由123k k +=，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，利用导数得到函数()f x 在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足123k k +=的点P 的个数为2个． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，0x >，0y >， 又(1,0)F ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y， 因为以PF 为直径的圆与y 轴相切，所以11||22x PF +=，即12x +， 整理得C 的方程为：24(0)y x y =>，（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，设20(4y P ，00)(0)y y >，则102k y ==，002220004414y y k y y -==--，由123k k +=，即02004234y y y +=-，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，由2()912120f x x x '=--=得，23x =-，或2x =，因为当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又(0)80f=>，f（2）160=-<，f（4）560=>，()f x的图象连续不断，所以()f x在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足123k k+=的点P的个数为2个．。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等晚练专题练习(二)带答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.3． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 . 评卷人得分三、解答题4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)16x y -+=，圆2C ：22(1)1x y ++=，点S 为圆1C 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心2(10)C -, 恰与点S 重合，折痕与直线1SC 交于点P ．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过动点S 作圆2C 的两条切线，切点分别为M N 、，求MN 的最小值； （3）设过圆心2(10)C -, 的直线交圆1C 于点A B 、，以点A B 、分别为切点的两条切线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上．5．如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点. ⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；[来源:Z|xx|] ⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. (江苏省苏州市汇编年1月高三调研) （本小题满分16分）O A 1A 2B 1 B 2xy (第176．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．7．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． (Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； (Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．DD【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
专题02 (圆与圆的位置关系及判定)(原卷版)-高考数学中平面解析几何知识点提优(江苏专用)
一、单项选择题1. 两圆x 2+y 2−1=0和x 2+y 2−4x +2y −4=0的位置关系是( )A. 内切B. 外离C. 外切D. 相交2. 已知圆C ：(x +1)2+(y −4)2=m 和两点A(−2,0)，B(1,0)，若圆上存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则m 的取值范围是A. [8,64]B. [9,64]C. [8,49]D. [9,49]3. 若圆C 1：x 2+y 2=4与圆C 2：x 2+y 2−6x −8y +m =0外切，则实数m =( )A. −24B. −16C. 24D. 164. 两圆x 2+y 2=1与x 2+y 2−2√ax −2√by +a +b =4有且只有一条公切线，那么1a +2b 的最小值为A. 1B. 3+2√2C. 5D. 4√25. 圆x 2+y 2−4=0与圆x 2+y 2−4x +4y −12=0的公共弦长为( )A. √2B. √3C. 2√2D. 3√26. 已知动圆M 与圆C 1：(x +1)2+y 2=1外切，与圆C 2：(x −1)2+y 2=25内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A. x29+y 28=1 B. x 28+y29=1 C. x29+y 2=1 D. x 2+y29=1 二、填空题（本大题共11小题，共55.0分）7.已知两圆的方程分别为x2+y2−4x=0和x2+y2−4y=0，则这两圆公共弦的长等于______．8.在平面直角坐标xOy中，设圆M的半径为1，圆心在直线上，若圆M上不存在点N，使NO=12NA，其中A(0,3)，则圆心M横坐标的取值范围___________9.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2+(y−1)2=r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x−y=0的对称点Q在圆C2：(x−2)2+(y−1)2=1上，则r的取值范围是________．10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,−2)，点B(1,−1)，P为圆x2+y2=2上一动点，则PBPA的最大值是______．11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x+1)2+y2=2，点A(2,0)，若圆C上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是____．12.圆C1：x2+y2+2ax+a2−9=0和圆C2：x2+y2−4by−1+4b2=0只有一条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则4a2+1b2的最小值为．13.已知圆C的圆心是直线x−y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆(x−2)2+(y−3)2=8相外切，则圆C的方程为________．14.在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P(异于原点O)为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2+(y−2)2=1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.已知圆心在直线x+y−1=0上且过点A(2,2)的圆C1与直线3x−4y+5=0相切，其半径小于5.若圆C2与圆C1关于直线x−y=0对称．(1)求圆C2的方程；(2)过直线y=2x−6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．16.已知动圆C与圆x2+y2+2x=0相外切，与圆x2+y2−2x−8=0相内切．(1)求动圆的圆心C的轨迹方程；(2)若直线ι：y=kx+m与圆心C的轨迹交于A，B两点(A,B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆经过圆心C的轨迹的右顶点，判断直线ι是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．17.已知圆C:(x+3)2+(y−1)2=7．①由点O(0,0)向圆C引切线OA，OB，A，B为切点，求直线AB方程；②直线l:x−y−2=0上的点P向圆引切线PA，PB，A，B为切点，判断直线AB是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，否则说明理由．。
高考数学命题热点名师解密：专题(25)圆的解题方法(文)(含答案)
专题26 圆的解题方法一．【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二．方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|＝[（x A＋x B）2－4x A·x B]（1＋k2）.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题. 三．【典例分析及训练】例1．圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，，设的坐标为,则, ,,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，取点，连接，，，，，，，因为,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．再由三角形相似可得：，解得b=．∴△AOB的面积为．故选A．（二）圆的一般方程例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是( )A．b≥2或b≤－2 B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2 D．－2≤b≤2【答案】B练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=2【答案】C【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=–1．故答案为：C（三）点与圆的位置关系例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是A． B． C． D．【答案】B练习 1.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.练习2．设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，要使圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN＝，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN＝，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM＝5，ON＝，又点M（3，4）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．（四）圆的几何性质例4．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．求过点A的圆C的切线方程．求的最大值及此时对应的点P的坐标．【答案】（1）或；（2）最大值为，.【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，圆心坐标为，半径，，解得，所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；综上所述，所求的直线方程为：或；设点，则由两点之间的距离公式知，要取得最大值只要使最大即可，又P为圆上的点，，，此时直线OC：，由，解得舍去或，点P的坐标为练习1．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且．Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】Ⅰ由题意知圆心，且，由知中，，，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即，则，令，解得或，因此存在，，或，满足题意，方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意．练习2．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，则有3+2＝5，变形可得：（m+n）2＝25，则mn，故选：C．练习3．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值．故选：C．练习4．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则，即，∴当时，，故的最大值为.故选C.（五）轨迹问题例 5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O 为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）令，则当，即时面积最大为2又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为：（3）设点，由于点则，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以练习1．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH 为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.学-科网（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O 为坐标原点）【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即当时，弦长最短，此时圆的面积最小，圆的半径，面积又，所以直线斜率，又过点故直线的方程为：（3）设点，由于点法一：所以，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程. 当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以法二：∴从而练习2．四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．球的一部分 D．抛物线的一部分【答案】A练习3．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02＝1，∴1，故A错误，B正确；3x02+2y02＞2x02+2y02＝2（x02+y02）＝2＞1，故C正确；由圆x2+y2＝1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y＝1，如图，∵坐标原点O（0，0）与点（）在直线x0x+y0y＝1的同侧，且x0×0+y0×0＝0＜1，∴，故D正确．∴不正确的选项是A．故选：A．练习4．已知圆C： (为锐角) ,直线l：y=kx,则A．对任意实数k与,直线l和圆C相切 B．对任意实数k与,直线l和圆C有公共点C．对任意实数k与,直线l和圆C相交 D．对任意实数k与,直线l和圆C相离【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为：，所以圆心的轨迹方程为：，所以圆心与原点的距离为1，所以圆必过原点.由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.故选B.（六）直线与圆的位置关系例6.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.已知在直线上，故可设因为，关于对称，所以，解得所以的标准方程为.因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为.（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为则到直线的距离为，所以，由消去并整理得：.设，，则，，.所以因为，，，所以所以，即.练习1．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或练习2．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】【解析】直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．练习3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.故答案为：．练习4．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．【答案】0或2 ．（七）圆与圆的位置关系例1．在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线.（1）求圆的方程；（2）求切线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）(1)或（2）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）(1)由得圆心为，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：.（2）由圆方程可知过的切线斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，∴，解之得：或，∴所求圆的切线方程为：或.即或.（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，设圆心为，则圆的方程为：，又∵，∴设为，则整理得：，设为圆,∴点应该既在圆上又在圆上∴圆和圆有公共点，∴,即：，解之得：即的取值范围为：.练习1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.(1)求圆的方程；(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，且个数为2【解析】(1)设外接圆的方程为,将代入上述方程得：解得则圆的方程为(2)设点的坐标为，因为，所以化简得：.即考查直线与圆的位置关系点到直线的距离为所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。
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专题解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22++=，点(2,0):(2)32C x yD，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点(0,2)A，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my =+与圆22(1)(1)4x y -+-=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当1m =时，求||AB ；（2）是否存在实数m ，使得OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题15 解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22:(2)32C x y ++=，点(2,0)D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP 于点Q ． （1）求点Q 的轨迹方程．（2）设点(0,2)A ，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A ．求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a ，b 即可．（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t 的值，则直线过直线MN 恒过点2(0,)3-．【解答】解：（1）点Q 在线段PD 的垂直平分线上，||||PQ PD ∴=．又||||||CP CQ QP =+=，||||||4CQ QD CD ∴+=>=．Q ∴的轨迹是以坐标原点为中心，(2,0)C -和(2,0)D 为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为222211x y a b+==，(0)a b >>．2c =，a =，2844b ∴=-=．∴点Q 的轨迹的方程为22184x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则2228y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(12)4280k x ktx t +++-=， 122412ktx x k +=-+，21222812t x x k -=+， 由AM AN ⊥，则0AM AN =，即221212(1)(2)()(2)0k x x k t x x t ++-++-=，则22222284(1)(2)()(2)01212t ktk k t t k k-+⨯+--+-=++， 整理得：23440t t --=，解得：2t =（舍去）或23t =-，则直线MN 的方程23y kx =-，则直线MN 恒过点2(0,)3-， 当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，综上可知：直线MN 过点2(0,)3-．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆1F 与圆2F 有公共点，再利用定义法得到P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，从而求出公共点P 的轨迹E 的方程；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入2121212212122(1)()2()()x x m x x m k k k k x x m x x m-++++=-++，整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，所以当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ，所以|4|2r r --，即12|4||||4|r r F F r r ---+，所以圆1F 与圆2F 有公共点，设两圆公共点为点P ，所以12||||44PF PF r r +=+-=， 所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，1c =，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设1(M x ，2)y ，2(N x ，2)y ， 联立方程22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，111y k x m =-，222y k x m=-， 22212121212211212122121212121212(1)(1)11(1)()(1)()2(1)()2()()()()()()()y y k x k x x x x x m x x m x x m x x m k k k k k k k k x m x m x m x m x m x m x m x m x x m x x m ------+---+++∴+=+=+=+==---------++， 将①式代入整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-0m <，∴当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值，故存在实数2m =-，使得12()k k k +为定值1-．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，由0AB >且0BC >求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A B C --总长的最短长度．【解答】解：（1）过Q 分别向AO 和1l 作垂线，垂足为H ，M ， 由题意可得，QOH θ∠=，20sin QH θ∴=，20cos OH θ=， 则3020cos AH MQ θ==-． 在直角三角形BMQ 中，3020cos tan tan QM BM θθθ-==． 3020cos 2030cos 20sin tan sin AB AM BM QH BM θθθθθ--∴=-=-=-=． 又70sin BC θ=，702030cos 9030cos (0)sin sin sin 2L BC AB θθπθθθθ--∴=+=+=<<． 0AB >且0BC >，∴2cos 3sin 0θθ⎧<⎪⎨⎪>⎩，令02cos 3θ=，则0(,)2πθθ∈．∴定义域为0(,)2πθ；（2）由9030cos ()sin L θθθ-=，得213cos ()30L sin θθθ-'=，0(,)2πθθ∈． 令()0L θ'=，得1cos 3θ=，1233<，∴当1cos 3θ=时，[()]min L θ= 故木栈道A B C --总长的最短长度为【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【分析】（1）利用P 点轨迹以及3PQ MQ =，表示出M 的轨迹方程即可；（2）设出过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求得||AB ，再由点到直线的距离公式求得O 到AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB ∆的面积最大时的m 值，则直线l 的方程可求 【解答】解：（1）设(,)P x y ，则(,0)Q x ，0(M x ，0)y 且0x x =又根据3PQ MQ =．可得(0，00)))y y y -=-=-，则0y =，所以2200)6x +=，整理可得M 的轨迹方程为2236x y +=； （2）设过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+， 联立整理得22(3)420m y my ++-=， 所以12243m y y m +=-+，1212223233y y y y m m ==-++，则2226||3m ABm ⨯==+，点O 到直线的距离d =，所以111||26222AOBS AB d ∆===⨯，212m+=时取“=”，此时1m=±，故直线方程为2x y=+或2x y=-+．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my=+与圆22(1)(1)4x y-+-=相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当1m=时，求||AB；（2）是否存在实数m，使得OA OB⊥，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用垂径定理直接求解即可；（2）假设存在满足条件的实数m，根据已知条件建立关于m的方程，由方程解的情况即可得出结论．【解答】解：圆22(1)(1)4x y-+-=的圆心为(1,1)，半径为2，（1）当1m=时，直线1x y=+即为10x y--=，圆心(1,1)到直线10x y--=的距离为d==∴||AB=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221(1)(1)4x myx y=+⎧⎨-+-=⎩可得22(1)230m y y+--=，且△0>恒成立，12122223,11y y y ym m-+==++，∴212122221(1)(1)1m mx x my mym-++=++=+，若存在实数m，使得OA OB⊥，则1212OA OB x x y y=+=，即222221m mm-+-=+，亦即210m m-+=，无解，故不存在实数m，使得OA OB⊥．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设(,)P x y ，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ==，PG =PA ==24(0)y x x =≠；（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y ay x =+⎧⎨=⎩，利用根与系数关系表示出2QS ，2QT ， 进而表示出2211||||QS QT +即可． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， 122GB GH ∴==，PG ∴=，又(PA =24(0)y x x =≠；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =，（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ， 根据题意可知直线l '的斜率必不为0，设其方程为11(0)x t y a t =+≠， 联立124x t y a y x =+⎧⎨=⎩，整理可得21440y t y a --=，1214y y t ∴+=-，124y y a =-，222212112112121()24216x x t y y a t ax x y y a ∴+=++=+==， 222222111111()()4(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222222222()()4(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222221122121212(42)(42)()(42)()22QS QT x a x a x a x a x x a x x x x a ∴+=+-+++-+=++-+-+22212121211()(42)22(42)(44)x x x x a x x a t a t =+++--+=+++， 22222116(1)QS QT a t =+，则22212222221211||||2(1)t a QS QT QS QT QS QT a t +++==+， 当2a =时，上式14=与1t 无关为定值， 所以存在(2,0)Q 使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值14． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆22:()(1)13()C x a y a R -+-=∈，点(3,3)P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 （1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程． 【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出a 的值． （2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的方程． 【解答】解：（1）由圆22:()(1)13()C x ay a R -+-=∈， 得到圆心坐标为(,0)a ， 点(3,3)P 在圆内，解得06a <<，由圆的弦的性质可知，点P与圆心的连线与弦垂直， 即点P为弦的中点时，过点P 的弦长最短．在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 ， 解得2a =或4，（符合06)a <<．（2）由（1）可知，2a =或4a =时，因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直，所以，点M 的轨迹为(,1)a所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=．3．（2019•全国）已知点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点P 满足1PA 与2PA 的斜率之积等于14-，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设过坐标原点的直线l 与C 交于M ，N 两点，且四边形12MA NA 的面积为l 的方程． 【分析】（1）设(,)P x y ，运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线l 方程为y kx =，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得121224PA PA y y k k x x ==-+-，化为221(2)4x y x +=≠±，可得C 的方程为221(2)4x y x +=≠±；（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为0x =，可得四边形12MA NA 的面积为14242⨯⨯=，不符题意，舍去；设直线l 方程为y kx =，代入方程2214x y +=，可得22414x k=+，222414k y k =+， 由M ，N 关于原点对称，可得四边形12MA NA 的面积为2122114||||24222214M N k y y A A k -==+， 解得12k =±，即有直线l 的方程为12y x =±．4．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设圆的方程为M 的方程为222()()(0)x a y a R R -+-=>，然后根据圆与直线20x +=相切和圆心到直线0x y +=的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为(,)x y ，然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为24y x =，然后根据抛物线的定义即可得到定点． 【解答】解：M 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中， 2221(||)2d AB R +=，即224R +=①又M 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴的半径为2或6；（2）线段AB 为M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+， 22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．5．（2020•4月份模拟）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【分析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得0x x =，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)， 则由432PQ MQ =，得4(0，00)y x x -=-，)y -， 0x x ∴=，0y y ， 代入圆22:9O x y +=，可得22198x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=．则1221689m y y m -+=+，1226489y y m -=+． 12124()my y y y ∴=+，则121212112121223(2)23(4)4AG BH k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++ 12112122124()22414()4482y y y y y y y y y y +-+===+++．6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1N x y -+=，圆心(1,0)N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN =，点P 的轨迹为曲线M ． （1）求曲线M 的方程．（2）过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．【分析】（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，求出向量的坐标代入NP NE EP EN =，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，对直线l 的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，||46AB =≠，不符合题意，当斜率存在时，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k 的值，从而得到直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -， 则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN =，得(1x -，)(2y -，)(1y x =+，0)(2，)y -，即22222x y x -++=+， 化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得||||2||4AC DB CD +==， 所以弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点(1,2)A ，(1,2)B -，此时||46AB =≠，不符合题意， ②当斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，∴12242x x k +=+，121x x =，显然△216(1)0k =+>恒成立， 由抛物线的定义可知，12||26AB x x =++=，∴2446k +=，解得：k = ∴直线l的方程为1)y x =-．7．（2020•福建二模）已知(1,0)F ，点P 在第一象限，以PF 为直径的圆与y 轴相切，动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ，直线PF 的斜率为2k ，求满足123k k +=的点P 的个数． 【分析】（1）设(,)P x y ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y ，由以PF 为直径的圆与y 轴相切得11||22x PF +=，化简即可得到曲线C 的方程； （2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，利用导数的几何意义得到102k y =，022044y k y =-，由123k k +=，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，利用导数得到函数()f x 在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足123k k +=的点P 的个数为2个． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，0x >，0y >， 又(1,0)F ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y， 因为以PF 为直径的圆与y 轴相切，所以11||22x PF +=，即12x +， 整理得C 的方程为：24(0)y x y =>，（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，设20(4y P ，00)(0)y y >，则102k y ==，002220004414y y k y y -==--，由123k k +=，即02004234y y y +=-，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，由2()912120f x x x '=--=得，23x =-，或2x =，因为当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又(0)80f=>，f（2）160=-<，f（4）560=>，()f x的图象连续不断，所以()f x在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足123k k+=的点P的个数为2个．。