求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式
Equal-Width波方程的高精度守恒差分格式
收稿日期：2021-05-22基金项目：福建省中青年教师教育科研项目资助(JAT190368);福建省自然科学基金(2020J01796)作者简介：钟瑞华(1998-),女,福建省龙岩市人,硕士生．*通信作者.E-mail ：*********************Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式钟瑞华,程宏*，何育宇（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）摘要：对Equal-Width 波方程提出一个三层线性高精度守恒差分格式.所建格式满足质量守恒和能量守恒,在时间和空间上分别为二阶和四阶精度.用离散能量法证明了所建差分格式的收敛性和稳定性.数值实验表明该格式是有效的和可靠的.关键词：Equal-Width 波方程;差分格式;守恒性;收敛性;稳定性中图分类号：O241.82文献标志码：A文章编号：2095-7122（2021）02-0029-07A conservative difference scheme with high-order accuracy for the Equal-Width wave equationZHONG Ruihua,CHENG Hong *,HE Yuyu（School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China ）Abstract:A three-level high-order accuracy conservative difference scheme for solving the nonlinear Equal-Width wave equation is proposed.The scheme is conservative for the discrete energy,and has second-order accuracy in time and fourth-order in space.The convergence and stability of the scheme are proved by the discrete energy method.The numerical experiment shows that the proposed scheme is efficient and reliable.Key words:Equal-Width wave equation;finite difference scheme;conservation;convergence;stability第34卷第2期2021年6月闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University （Natural Science ）Vol.34Ｎｏ．2Jun.20211984年，Morrison 等[1]提出了Equal-Width 波方程，该方程多应用于模拟一维波在具有色散过程的非线性介质中的传播.随后,许多人对该方程进行了大量的研究.Gardner 等[2]用三次B-样条有限元方法模拟了电子束发射过程中孤立波的迁移和相互作用.Zaki [3]用Petrov-Galerkin 方法求解修正的Equal-Width 方程,并使用五次B-样条有限元模型模拟孤子的产生、运动和孤立波的相互作用.Abdulkadir [4]采用线性Galarkin 有限元方法对Equal-Width 波方程进行了研究.Rui [5]利用平面动力系统分支理论方法研究了Equal-Width 波方程的孤波解和周期解.本文考虑如下Equal-Width 波方程的初边值问题u t +uu x -μu xxt =0, 0<t ≤T , α≤x ≤β,(1)u (x ,0)=u 0(x ), α≤x ≤β,(2)u (α,0)=0, u (β,0)=0, 0<t ≤T ,(3)其中μ是给定的正常数.可以验证,式(1)-式(3)具有如下守恒律闽南师范大学学报（自然科学版）2021年Q (t ) =∫αβu (x ,t )d x =∫αβu 0(x ,0)d x =Q (0),(4)E (t )= u 2L [α,β]+μu x2L [α,β]=E (0).(5)首先建立式(1)-式(3)的三层线性差分格式,在时间上和空间上分别达到二阶和四阶精度,并证明所建立的差分格式的守恒性、收敛性和稳定性,数值结果验证了理论分析的可靠性.1差分格式的构造对求解区域[α,β]×[0,T ]进行网格剖分,取空间步长h =(β-α)/J ,时间步长τ=T /N ,其中J 、N 为正整数,记网格点x j =α+jh (0≤j ≤J ),t n =nτ (0≤n ≤N ).记Z 0h ={}u =(u j )|u -1=u 0=u 1=u J -1=u J =u J +1=0, -1≤j ≤J +1.对任意u n 、v n ∈Z 0h ,定义如下记号[6]：(u nj)x =u n j +1-u n j h , (u n j )x =u n j +2-u n j -24h , (u nj )x =u n j +1-u nj -12h,(u n j )t =u n +1j -u n -1j 2τ, u ˉnj =u n +1j +u n -1j 2, (u n j )x ˉ=u n j -u n j -1h ,u n,v n=h ∑j =1J -1u n j v n j , ||u n ||2=u n ,u n , ||u n ||∞=max 1≤j ≤J -1|u nj |.对式(1)-式(3)考虑如下差分格式：(u n j )t +43φ1(u n j ,u ˉn j )-13φ2(u n j ,u ˉn j )-μéëêùûú43(u n j )xxˉt -13(u n j )x x t =0, 1≤j ≤J -1, 1≤n ≤N -1,(6)u 0j =g (x j ), 0≤j ≤J ,(7)u n 0=0, u nJ =0, 0≤n ≤N ,(8)其中φ1(u n j ,u ˉn j )=13[]u n j (u ˉn j )x +(u n j u ˉn j )x , φ2(u nj ,u ˉn j )=13[]u n j (u ˉnj )x +(u n j u ˉn j )x ,式(6)-式(8)可展开为一个五对角矩阵的线性方程组,可用“追赶法”求解.由于式(6)-式(8)是三层线性隐式格式,所以需要下面的两层格式来计算u 1(u 0j)t +43φ1(u 0j ,u 12j )-13φ2(u 0j ,u 12j )-μéëêùûú43(u 0j )xx ˉt -13(u 0j )x x t =0, 1≤j ≤J -1,其中u 12j=12(u 1j +u 0j ).2差分格式的守恒性引理1[7]对任意的u n 、v n ∈Z 0h ,则u n x ˉ,v n =-u n ,v n x , u n x ,v n =-u n ,v n x , u n xx ˉ,v n =u n x ,v n x , u n x ,v n=-u n ,v n x .当u n =v n 时,有u n x ,u n =0, u n x ,u n =0, u n xx ˉ,u n =-||u n x ||2, u n x x ,u n =-||u n x ||2.引理2[7]对任意的u n ∈Z 0h ,则φ1(u ,u ˉ),u ˉ=0, φ2(u ,u ˉ),u ˉ=0.引理3[7]对任意的u n ∈Z 0h ,则有||u x ||2≤ ||u x ||2≤ ||u x ||2.30钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期引理4[7](离散Sobolev 不等式)对任意的u n ∈Z 0h ,存在两个正常数a 和b ,使得||u n ||∞≤a||u n ||+b||u n x ||.定理1设u 0∈H 20[α,β], u (x ,t )∈C 6,3x ,t [α,β],则式(6)-式(8)满足质量守恒和能量守恒,即Q n=h 2∑j =1J -1(u n +1j +u n j )+29hτ∑j =1J -1u n j (u n +1j )x -118hτ∑j =1J -1u n j (u n +1j)x =Q n -1=⋯=Q 0,E n =12()||u n +1||2+||u n ||2+2μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ6()||u n +1x ||2+||u n x ||2=En -1=⋯=E 0.证明将式(6)两端同时乘以h 后对j 从1到J -1求和,根据边界条件,得h 2τ∑j =1J -1()u n +1j -u n -1j +2h 9∑j =1J -1éëêùûúu n j ()u n +1j x -u n -1j ()u n j x -h 18∑j =1J -1éëêùûúu n j ()u n +1j x -u n -1j ()u n j x =0,(9)即 h 2∑j =1J -1()u n +1j +u n j +29hτ∑j =1J -1u n j ()u n +1j x -118hτ∑j =1J -1u n j ()u n +1jx =h 2∑j =1J -1()u n j +u n -1j +29hτ∑j =1J -1u n -1j ()u n j x -118hτ∑j =1J -1u n -1j ()u n j x .由Q n 的定义,对上式的n 递推即可得Q n =Q n -1=⋯=Q 0.将式(9)与2uˉn 作内积,由引理1可得u n2t +4μ3()||u n x ||2t -μ3()||u n x ||2t +43φ1()u n ,u ˉn ,2u ˉn -13φ2()u n ,u ˉn ,2u ˉn =0.由引理2,有||u n ||2t +4μ3()||u n x ||2t -μ3()||u n x ||2t =0,即 12()||u n +1||2+||u n ||2+2μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ6()||u n +1x ||2+||u n x ||2 =12()||u n ||2+||u n -1||2+2μ3()||u n x ||2+||u n -1x ||2-μ6()||u n x ||2+||u n -1x ||2.(10)由E n 的定义,对式(10)的n 递推即可得E n =E n -1=⋯=E 0.3差分格式解的存在唯一性和有界性定理2式(6)-式(8)的解u n 是唯一存在的.证明u 0由式(7)确定,用C -N 格式计算u 1,则u 0和u 1是唯一确定的.设u 0,u 1,⋯,u n (n ≤N -1)是唯一可解的,考虑式(4)中的u n +1,我们有12τu n +1j +29éëêùûúu n j ()u n +1j x +()u n j u n +1j x -118éëêùûúu n j ()u n +1j x +()u n j u n +1jx -2μ3τ()u n +1j xx ˉ+μ6τ()u n +1j x x =0.(11)将式(11)与u n +1作内积,又由引理2和引理3得0=12τ||u n +1||2+2μ3τ||u n +1x ||2-μ6τ||u n +1x ||2≥12τ||u n +1||2+μ2τ||u n +1x ||2≥0,即||u n +1||=0,从而差分格式是唯一可解的.定理3设u 0∈H 20[]α,β,则式(6)-式(8)的解满足||u n ||≤C , ||u n x ||≤C , ||u n||∞≤C .证明由引理3和定理1,可得()||u n +1||2+||u n ||2+μ()||u n +1x ||2+||u n x ||2n ,31其中2E n =()||u n +1||2+||u n ||2+4μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ3()||u n +1x ||2x ||2=⋯=2E 0,由于μ是正常数,即||u n ||≤C , ||u n x ||≤C , 根据引理4,有 ||u n||∞≤C .4差分格式解的收敛性与稳定性引理5[7](离散Gronwall 不等式)假设{}G n /n ≥0是非负数列,且满足G 0≤A , G n≤A +Bk ∑i =0n -1G i , n =1,2,…,其中A 和B 均为非负数,则G n =A e Bnk , n =0,1,2,….定理4设u 0∈H 20[]α,β, u ()x ,t ∈C 6,3[α,β],式(6)-(8)的解u n 依L ∞范数收敛到式(1)-式(3)的精确解,并且收敛阶为O ()τ2+h 4.证明令e n =U n -u n ,则式(6)-式(8)的截断误差为r n j =()e n j t+43[]φ1()U n j ,U ˉn j -φ1()u n j ,u ˉn j -13[]φ2()U n j ,U ˉn j -φ2()u n j ,u ˉn j -43μ()e n j xx ˉt +13μ()e n j x x t ,1≤j ≤J -1, 1≤n ≤N -1,(12)e 0j =0, 0≤j ≤J ,e n 0=0, e nJ =0, 0≤n ≤N .由Taylor 展开可得max j ,n|r n j | ≤C ()τ2+h 4,其中正常数C 不依赖于τ和h .将式(12)与2eˉn 作内积,由引理1得r n ,2e ˉn =||e n ||2t +43μ||e n x ||2t -13μ||e n x ||2t +43φ1()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn -13φ2()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn .(13)根据引理3及定理3,可得r n j ,2eˉn ≤ ||r n ||2+12()||e n +1||2+||e n -1||2.(14)同时,有43φ1()U n ,Uˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn =83h ∑j =1J -1{}13éëêùûúU n j ()U ˉn j x +()U n j U ˉn j x -13éëêùûúu n j ()u ˉn j x +()u n j u ˉnj x e ˉn =89h ∑j =1J -1U n j ()e ˉn j x e ˉn j +89h ∑j =1J -1e n j ()u ˉn j x e ˉn j -89h ∑j =1J -1U n j ()e ˉn j x e ˉn j -89h ∑j =1J -1e n j ()e ˉn j x u ˉn j ≤C ()||e ˉn ||2+||e n ||2+||e ˉn x ||2.(15)同理,有-13φ2()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn ≤C ()||e ˉn ||2+||e n ||2+||e ˉn x ||2.(16)将式(14)-式(16)代入式(13),可得闽南师范大学学报（自然科学版）2021年32||e n ||2t +43μ||e n x ||2t -13μ||e n x ||2t ≤C ()||e n +1||2+||e n -1||2+||e n ||2+||e n +1x ||2+||e n -1x ||2+||r n ||2.(17)令A n = ||e n +1||2+||e n ||2+43μ()||e n +1x ||2+||e n x ||2-13μ()||e n +1x ||2+||e n x ||2,将式(17)从1到n 累加,有A n≤A 0+Cτ∑i =0n +1()||e i ||2+||e i x||2+2τ∑i =1n||r i ||2.(18)其中τ,C 是正常数,根据A n 的定义和引理3,有c 0()||e n ||2+||e n +1||2+||e n x ||2+||e n +1x ||2≤ ||e n ||2+||e n +1||2+μ()||e n x ||2+||e n +1x||2≤A n ,(19)其中c 0=min(1,μ).由式(18)-式(19)得||e n ||2+||en +1||2+||e n x||2+||en +1x||2≤Cτ∑i =0n +1()||e i ||2+||e i x||2+Cτ∑i =1n ||r i ||2.(20)令G n=||e n ||2+||en +1||2+||e n x||2+||en +1x ||2,则式(20)可以写成G n≤Cτ∑i =0nG i+Cτ∑i =1n||r i ||2,其中Cτ∑i =1n||r i ||2≤Cnτmax 1≤i ≤n||r i ||2≤CT ()τ2+h 42.从而G n≤Cτ∑i =0nG i +C ()τ2+h 42.(21)式(21)可以写成()1-CτG n≤Cτ∑i =0n -1G i +C ()τ2+h 42.对于τ足够小,即1-Cτ>0,有G n≤Cτ∑i =0n -1G i +C ()τ2+h 42.根据引理5,得G n ≤C ()τ2+h 42e CT ≤C ()τ2+h 42,即有||e n ||≤C ()τ2+h 4, ||e n x ||≤C ()τ2+h 4.由引理4,可得||e n ||∞≤C ()τ2+h 4.定理得证.5数值实验为验证式(6)-式(8)的守恒性和稳定性,选取以下模型问题[8]：u t +uu x -μu xxt =0,(22)初始条件为u 0()x =3γsech 2()1/4μ()x -x 0,(23)已知式(22)-式(23)的精确解为u ()x ,t =3γsech 2[]1/4μ()x -x 0-γt .(24)设||e n ||∞=||U n -u n ||∞=max 1≤j ≤J -1|U n j -u nj |,其中U n j =u ()x j ,t n 为精确解,u n j 为式(6)-式(8)的数值解,定义时间和空间的收敛阶为Order 1=log 2()||e n ()τ,h ||∞/||e n ()τ/2,h ||∞, O rder 2=log 2()||e n ()τ,h ||∞/||e n ()τ/4,h /2||∞. 钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期33数值解U数值解U图1h =0.1, τ=1(左)和h =0.05, τ=1(右)时不同时刻的数值解Fig.1Numerical solution at different times with h =0.1, τ=1(left)and h =0.05, τ=1(right)取γ = 0.1, μ = 1, α = -20, β = 30, T = 1, x 0 =10，分别取h =0.1, τ=1和h =0.05, τ=1对式(6)-式(8)进行计算,不同时刻的数值解分别见图1(左)和图1(右).表1验证了格式在时间上具有二阶收敛精度,表2验证了格式在空间上具有四阶收敛精度,表3验证了格式的质量和能量守恒性.以上结果表明所建立的差分格式(6)-式(8)是可靠和有效的.表1h =0.05和T =1时的误差和时间收敛阶Tab.1Errors and temporal convergence orders with h =0.05and T =1步长τ=0.25τ=0.125τ=0.0625τ=0.03125误差||e n ||∞1.2093E-063.0153E-077.5284E-081.8811E-08收敛阶Order 1—2.0037602.0018782.000734步长h =0.5h =0.25h =0.125h =0.0625误差||e n ||∞1.3651E-039.1912E-055.8429E-063.6669E-07收敛阶Order 1—3.8926143.9755013.994058表2τ=h 2和T =40时的误差和空间收敛阶Tab.2Errors and spatial convergence orders with τ=h 2and T =40表3h =0.25和h =0.5时,不同T 下的守恒量Tab.3The conserved quantities at different T with h =0.25and h =0.5时间/T 1102030h =0.25 τ=h 2能量/E n0.3195272430562650.3195262990414230.3195239246269690.319521275624080质量/Q n1.2000031173455941.2000031104029521.2000030816906351.200003000086333h =0.5 τ=h 2能量/E n0.3181488639547210.3181396393760100.3181132029445680.318079521237931质量/Q n1.2000498884225871.2000498794754341.2000498421672201.200049736095559闽南师范大学学报（自然科学版）2021年34参考文献：[1]MORRISON P J,MEISS J D,GAREY J R.Scattering of RLW solitary waves[J].Physica D Nonlinear Phenomena,1984,11(3):324-336.[2]GARDNER L R T,GARDNER G A.Solitary waves of the equal width wave equation[J].1992,101(1):218-223.[3]ZAKI S I.Solitary wave interactions for the modified equal width equation[J].Computer Physics Communications,2000,126(3):219-231.[4]ABDULKADIRD.ApplicationofGalerkin'smethodtotheEqual-Widthwaveequation[J].AppliedMathematicsandComputation,2003,160(1):65-76.[5]RUI W G.Exact traveling wave solutions and dynamic simulations of wave for the Equal-Width wave equation[J].Journal ofSouthwest University for Nationalities,2006,32(5):851-857.[6]何育宇,王晓峰,陆东.Korteweg-de Vries 方程的守恒紧致有限差分格式[J].闽南师范大学学报(自然科学版),2020,33(2):17-21.[7]AHLEM G,KHALED O.New conservative difference schemes with fourth-order accuracy for some model equation for nonlineardispersive waves[J].Numer Methods Part Differ Equ,2018,34(2):451-500.[8]ABDUL G,SIRAJUL H.An efficient numerical scheme for the study of Equal-Width equation[J].Results in Physics,2018,9(9):1411-1416.[责任编辑：钟国翔]钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期35。
波动方程差分方法初步(PPT文档)
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初始速度的离散
一、简单处理
初始位移
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初始速度 u(xj ,tk ) u(x j ,tk ) u(x j ,tk ) O( )
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改进型Boussinesq方程高精度紧致差分显格式
改进型Boussinesq方程高精度紧致差分显格式
周俊陶;林建国;谢志华
【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》
【年(卷),期】2009(041)004
【摘要】采用一种高精度的紧致差分显格式对改进型Boussinesq方程进行数值求解;采用具有TVD性质的三阶Runge-Kutta方法进行预报,用三次样条函数进行校正,时间精度可达到四阶;在空间离散上采用六阶精度的三点紧致显格式进行计算;运用以上数值格式对Beji和Nadaoka改进型Boussinesq方程进行了求解,求解证明:高精度的数值结果和已知的试验结果吻合良好.作为验证算例,同时对波浪在台阶上的传播进行了模拟,从效果对比上可以看出,所得结果明显比Kittitanasuan的计算结果更靠近试验值.
【总页数】4页(P215-218)
【作者】周俊陶;林建国;谢志华
【作者单位】大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026;大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026;大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026【正文语种】中文
【中图分类】O353.2
【相关文献】
1.三维Navier-Stokes/Boussinesq方程组的高精度紧致有限差分格式 [J], 徐丽
2.一类高精度非线性延迟抛物偏微分方程的紧差分格式 [J], 池永日
3.一种求解一维对流扩散方程的高精度紧致隐式差分格式 [J], 魏剑英;葛永斌;田振夫
4.扩散方程的高精度稳定性紧致加权差分格式 [J], 侯广林
5.一类Boussinesq方程的高精度紧致差分法 [J], 张经纬;谢树森
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41-波动方程的差分逼近知识讲解
41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。
其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。
在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。
由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。
（5）可显示算出各网点的值。
（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。
求解波动方程初值问题的四阶差分格式
求解波动方程初值问题的四阶差分格式波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学、地球科学等领域都有广泛的应用。
求解波动方程初值问题是一类常见的数值计算问题，其解法有多种，其中四阶差分格式是一种常用的数值解法。
四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其基本思想是将波动方程离散化为差分方程，然后利用差分方程的递推关系求解。
具体来说，四阶差分格式将波动方程在空间和时间上进行四阶差分，从而得到一个高精度的数值解。
四阶差分格式的主要内容包括以下几个方面：1.差分方程的推导差分方程是四阶差分格式的核心，其推导需要根据波动方程的特点进行。
一般来说，差分方程的推导可以采用有限差分法的思想，即将波动方程在空间和时间上进行离散化，然后利用差分近似代替微分，得到一个递推关系式。
2.差分格式的求解差分格式的求解是指利用差分方程递推求解波动方程的数值解。
一般来说，差分格式的求解可以采用迭代法或者直接求解法。
迭代法是指利用差分方程的递推关系式，从初始条件开始逐步迭代求解，直到达到所需的精度为止。
直接求解法是指将差分方程转化为矩阵方程，然后利用矩阵求解方法求解。
3.数值稳定性和精度分析数值稳定性和精度分析是四阶差分格式的重要内容之一，其主要目的是评估差分格式的数值稳定性和精度。
数值稳定性是指差分格式的解是否会因为数值误差而发散或者震荡，而精度分析则是指差分格式的解与真实解之间的误差大小。
4.程序实现和应用程序实现和应用是四阶差分格式的最终目的，其主要内容包括将差分方程转化为程序代码，然后利用计算机进行求解。
应用方面，四阶差分格式可以用于求解各种波动方程初值问题，如声波方程、电磁波方程、弹性波方程等。
总之，四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其主要内容包括差分方程的推导、差分格式的求解、数值稳定性和精度分析以及程序实现和应用。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的差分格式，并进行数值稳定性和精度分析，以保证数值解的精度和可靠性。
紧致差分格式
紧致差分格式摘要：1.紧致差分格式的定义2.紧致差分格式的特点3.紧致差分格式的应用领域4.紧致差分格式的优缺点正文：紧致差分格式是一种数学工具，用于描述两个函数之间的差异。
它在微积分、概率论、数值分析等领域有广泛的应用。
本文将从紧致差分格式的定义、特点、应用领域以及优缺点四个方面进行介绍。
首先，紧致差分格式的定义是指，设f(x) 和g(x) 是两个在区间[a, b] 上有定义的函数，如果对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε，则称f(x) 与g(x) 在[a, b] 上满足紧致差分格式。
其次，紧致差分格式具有以下特点：1) 对任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε；2) 紧致差分格式满足三角不等式，即对于任意的x、y、z，有|f(x)-g(y)|≤|f(x)-f(z)|+|g(z)-g(y)|；3) 紧致差分格式满足单调性，即如果f(x) 在区间[a, b] 上单调递增（或递减），那么对于任意的g(x) 在区间[a, b] 上满足紧致差分格式。
再次，紧致差分格式的应用领域非常广泛，包括微积分、概率论、数值分析等。
例如，在微积分中，它可以用于研究函数的连续性、可微性等性质；在概率论中，它可以用于研究随机过程的性质，如马尔可夫性质等；在数值分析中，它可以用于设计各种数值算法，如数值积分、数值微分等。
最后，紧致差分格式具有以下优缺点：优点是它提供了一种研究函数性质的工具，可以描述函数在某个区间上的差异，有助于理解函数的局部性质；缺点是它的定义较为抽象，对于一些具体的函数，可能难以判断是否满足紧致差分格式。
波动方程有限差分
波动方程有限差分一、引言波动方程是自然界中许多现象的数学模型，如声波、地震波等。
为了解决波动方程的数值解，有限差分方法是一种常用的数值计算方法。
本文将详细介绍波动方程有限差分的原理、方法和应用。
二、波动方程波动方程描述了介质中物理量随时间和空间变化的规律。
具体来说，假设介质中某个物理量为u(x, t)，其中x表示空间坐标，t表示时间，则波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中c表示介质中的传播速度，∇²表示拉普拉斯算子。
该方程描述了一个在介质中传播的二阶偏微分方程。
三、有限差分方法有限差分方法是一种常用的数值计算方法，其基本思想是将连续函数离散化为离散点上的函数值，并通过差商逼近导数或偏导数，从而得到原问题的近似解。
对于波动方程，在空间上进行网格剖分，并在每个网格点处离散化u(x, t)和其导数，可以得到如下形式的差分格式：(u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δt² = c²((u(i+1, j) - 2u(i, j) + u(i-1, j)) / Δx² + (u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δy²)其中i表示空间网格点的横坐标，j表示纵坐标，Δt、Δx和Δy分别为时间和空间上的步长。
这个差分方程可以通过迭代求解得到波动方程的数值解。
具体来说，可以使用显式差分法或隐式差分法进行求解。
四、应用波动方程有限差分方法在地震勘探、声学建模等领域得到广泛应用。
例如，在地震勘探中，可以通过模拟地震波传播过程得到地下岩层的结构信息；在声学建模中，可以计算音场传播过程，并预测噪声污染等问题。
五、总结本文介绍了波动方程有限差分方法的原理、方法和应用。
有限差分方法是一种常用的数值计算方法，在许多领域都有广泛应用。
对于波动方程这类偏微分方程，有限差分方法是一种有效的求解方法。
5第五讲典型模型方程-波动方程的差分格式
波动方程的几种差分格式该方程是一个线性方程，描述了以波速c 沿x 轴传播，可以做为了解非线性无粘性流动的初步性质的模型方程。
x p x u u t u ∂∂-=∂∂+∂∂ρ1)(1)(1022222222y v x v y p y v v x v u t v yu x u x p y u v x u u t u y v x u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ρμρρμρ不可压缩Navier–Stokes 方程一维无粘性仅含对流项，故该方程也可以称为一维对流方程对流项扩散项线性化，压强梯度略去模型方程：波动方程（wave equation ）波动方程（wave equation ）x t cu u -=1-D 波动方程是一个二阶双曲型PDE:表示声波以波速c 在单一物质中转播的控制方程。
同样性质的方程还有一阶PDE ：（1）（2）式（1）可由（2）推导出xt tt cu u -=xxtx cu u -=式（2）可得：，分别对此式求t 和x 的导数得：xx xx xt tt u c cu c cu u 2)(=--=-=即式（1）=+-cF cF 初值问题的精确解由数学物理方程得：由（4）分别求t 、x 导数，代入（2）式可以验证解的正确性，即：（3）（4）：：时间、空间前差时间前差、空间中心差1、2、都为一步显格式每个方程中未知量只有，都为一步显格式1+n j u 两种差分方程的时间项都为一阶精度。
V on Neumann 稳定性分析方法，此两种显格式都是无条件不稳定的，因此，这两种差分方程没有实际意义。
显格式: 递推;而不同求解方程组如下:c t x ν∆=∆后面令:k xβ=∆01=∆-+∆-∆+x A e A c t A A nx ik n n n 差分方程1、V on Neumann 稳定性分析011=∆-+∆-∆xe c t G x ik ()011=-+-∆x ik e G ν()()()βνβνββνsin cos 11sin cos 1-++-=-+-=i i G x k xt c ∆=∆∆=βν,其中()()βννβνβνβννβννcos 1121sin cos 2cos 22cos 12222222-++=+--+++=G 12≥G 无条件不稳定0cos 1,0≥->∆∆=βνx t c 其中一阶迎风格式，(upstream, windward)时间前差、空间后差FTBS：V on Neumann 稳定性分析，条件稳定：波右传,迎风若C<0,迎风? FTFS!修正方程（modified equation）：为了分析色散性和耗散性差分方程（4.10）式，右端项为T.E.，包含时间导数项，将（4.10）式的右端项变换为不含时间导数项的方程（自循环消元法），即为修正方程，如下注意：自循环消元法针对差分方程（4.10）式，不要利用原来的PDE，即（4.2）式，PDE方程的精确解不一定满足差分方程，而修正方程本质上表示的是差分方程不含时间导数项的另外一种形式，即修正的差分方程。
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求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式姜蕴芝;葛永斌【摘要】针对一维波动方程,空间采用四阶Padé逼近,时间采用中心差分离散得到了一种时间二阶、空间四阶精度的显式紧致差分格式,其截断误差为O(τ2+h4).之后采用截断误差余项修正的方法对时间离散进行改进,改进后的格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即格式具有整体四阶精度.然后,通过Fourier方法分析了2种格式的稳定性.最后,通过数值实验验证了本格式的精确性和可靠性.%In this paper,an explicit compact difference scheme is obtained for solving the one dimensional wave equation.The truncation error of the scheme is O(τ2 + h4).It's constructed by applying the fourth-order accurate Padé approximation in space and the second-order accurate central difference in time.Then,the remainder of the truncation error correction method is employed to improve the accuracy of the discretization of time,the truncation error of the improved scheme is O(τ4 + τ2 h2 + h4),which means the scheme has an overall fourth-order accuracy.And then,the stability conditions of the two schemes are obtained by the Fourier method.Finally,the accuracy and the reliability of the present two schemes are verified by numerical experiments.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)002【总页数】7页(P177-183)【关键词】波动方程;Padé逼近;紧致格式;显式差分;稳定性【作者】姜蕴芝;葛永斌【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O242.1波动方程是一类重要的双曲型偏微分方程，在数学、物理、化学等领域内有着广泛的应用[1].对这类方程进行数值求解的方法主要有有限差分法、有限元法和有限体积法等.就有限差分法而言，对该类问题研究的理论成果有：文献[2]采用二阶中心差分格式和非均匀网格离散，提出了一种求解一维波动方程在非均匀时间网格上的三层显式差分格式，该格式具有一阶精度；文献[3]利用泰勒级数展开及待定系数法建立了一种求解一维波动方程的三层隐格式，该格式是条件稳定的，并且具有四阶精度；文献[4]将Runge-Kutta方法应用到哈密顿系统中并与辛格式相结合，提出了求解一维波动方程的一类显式辛方法，该方法具有二阶精度，并且是条件稳定的；文献[5]采用三次样条公式推导出精度分别为O(τ2+h2)、O(τ2+h4)、O(τ4+h2)和O(τ4+h4)的4种差分格式，并采用Fourier方法分析了格式的稳定性；文献[6]对一维二阶波动方程提出了具有二阶精度的精细时程积分法，该方法能够在时间方向上精确计算，空间方向的局部截断误差为O(h2)，并且该方法是无条件稳定的；文献[7]通过加权平均和紧致差分离散的思想提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的隐式紧致差分格式；文献[8]在Crank-Nicolson格式的基础上设计了重叠型区域分解的并行算法，该算法的最优逼近阶为O(τ2+h2)；文献[9]利用三次样条插值，提出了求解一维波动方程的一种三层隐式差分格式，该格式最优能够达到时间二阶，空间四阶精度，并且是无条件稳定的；文献[10]通过四次样条函数与广义梯形算法相结合的方法提出了一维波动方程的一类两层差分格式，其精度为O(τ2+h4)，当选择适当的参数时，其精度可提高到O(τ3+h4)；文献[11]采用四阶紧致差商逼近公式及加权平均思想，提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的交替方向隐式格式，前者是无条件稳定的，后者是条件稳定的；文献[12]提出了一种求解一维波动方程的高精度隐式差分格式，该格式是无条件稳定的，并且具有时间二阶、空间四阶精度.本文将建立2种显式紧致差分格式，为此，考虑如下一维波动方程的初边值问题:其中,u(x,t)是待求未知函数，a为波动系数，f(x,t)为非齐次项，φ(x)、ψ(x)、g0(t)、g1(t)为已知函数，且具有充分的光滑性.设时间步长为τ，空间步长为h，网格节点为(xj,tn)，其中xj=jh，tn=nτ，j=0,1,2,…,N，n>0，用表示u(xj,tn)的近似值.1.1 CTFS格式对初始时间层的离散.利用泰勒展开公式有将(2)式代入(4)式中，进行整理并舍去其截断误差项有计算的值.对空间内部节点采用文献[13]中的四阶紧致差分格式进行逼近，则有对于空间边界节点的处理，由(1)式与(3)式可得时间的推进.对时间方向上的推进，采用中心差分格式有对上式进行整理，并舍去其截断误差项有(10)式即为所构造的显式紧致差分格式，记为CTFS格式.等号右端的项采用(6)～(8)式通过追赶法进行计算，初始时间步由(5)式进行计算.通过差分格式的构造过程不难发现，该格式是显格式，其截断误差为O(τ2+h4).1.2 FTFS格式为了使时间精度与空间精度能够相匹配，使格式整体精度达到四阶，下面对上述差分格式进行改进，进一步提高时间精度，为此，对初始时间层的离散采用文献[7]中的方法，有其中λ=τ/h.对于时间二阶导数项的离散，采用中心差分格式离散后保留其截断误差主项，可得又由(1)式可得将上式代入(12)式中有对(14)式进行整理，并舍去其截断误差项有又由(1)式，对上式进行变形有(15)式即为整体四阶精度的显式紧致差分格式，记为FTFS格式.由格式的构造过程可知，该差分格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4).下面采用Fourier方法分析本文所提2种格式的稳定性.假设源项f精确无误差，令=ηneiωj，其中ξ、η为振幅，ω为相位角，为虚数单位.引理 1[1] 实系数二次方程μ2-bμ-c=0的根按模不大于1的充分必要条件为|b|≤1-c≤2.对于(6)式有对上式进行化简整理有对于CTFS格式(10)，令，将其写为矩阵的形式有令Uj=(uj,vj)T，并将(17)式代入进行整理有从而可得CTFS格式(10)的误差增长矩阵为令λ=τ/h，r=aλ,则得上述误差增长矩阵的特征方程为其中,，c=-1.因此，可得格式(10)稳定的充要条件为即.进而可得稳定性条件为|r|，即|a|.对于FTFS格式(15)，令，将其写为矩阵的形式有令代入上式，并进行整理有将(17)式代入(24)式进行整理，可得FTFS格式的误差增长矩阵为则误差增长矩阵的特征方程为其中，因此，可得该格式稳定的充要条件为上式等价于如下2个不等式:对于不等式(28)易得由于不等式对任意ω的取值都要成立，所以有即|a|.对于不等式(29)，由求根公式易得其等式解为令，则有在y∈[0,2]时，恒有<0，故有Smin=S(y)|y=2=2，此时cos ω=-1.又由于关于对称，故有另一解为1.进而可得第二个不等式的解为，与第一个不等式取交集即得差分格式(15)的稳定性条件为，即|a|].为了验证本文所提2种格式的精确性和可靠性，现考虑如下2个具有精确解的初边值问题.问题 1[7]:其精确解为u(x,t)=sin(πt)sin(πx).问题 2 :其精确解为u(x,t)=te-πtsin(πx).表1～3给出了问题1的计算结果.表1采用本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.由于这2种格式的精度均为时间二阶、空间四阶，因此取τ=2h2，计算了t=0.5时刻取不同h时(τ也相应不同)的L∞和L2范数误差和收敛阶.eL∞和eL2范数及收敛阶的定义如下：由表1的数据可以看出，2种格式空间均达到了四阶精度，而本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表2给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，由于2种格式均具有整体四阶精度，因此取τ=h，计算了t=0.5时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式几乎具有相同的精度.表3验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32,给出了不同时间步steps(不同时间t)、不同网格比λ的计算结果.可以看出，当λ=0.8时CTFS格式是稳定的，而当λ≥1时，CTFS格式是发散的，这与本文的理论分析结果|a|是吻合的.当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这也验证了本文的理论分析结果.而文献[7]中的四阶格式的稳定性条件为因此，当|a|λ大过1之后，计算结果是发散的.表4～6给出了问题2的计算结果.表4采用了本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.取τ=h2，计算了t=1时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.同样可以看出，本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表5给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，取τ=h，计算了t=1时刻取不同时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式均达到了四阶精度，但本文FTFS格式比文献[7]中的四阶格式的计算结果更加精确.与问题1齐次问题的结果相比较，说明了本文FTFS格式更加适用于求解非齐次问题.表6验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32，给出了不同时间步、不同网格比λ的计算结果.同样可以看出，当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这与我们对该格式稳定性的理论分析结果|a|]是吻合的.本文针对一维波动方程提出了2种显式高精度紧致差分格式，2种格式的截断误差分别为O(τ2+h4)和O(τ4+τ2h2+h4)，并通过Fourier分析法分析了2种格式的稳定性，其中前一种CTFS格式的稳定性条件为|a|，后一种FTFS格式的稳定性条件为|a|].然后通过数值实验将本文格式与文献[7]中的格式的计算结果进行对比，可以看出本文格式计算结果更加精确.并且本文格式的精度、稳定性与理论分析相一致，验证了本文格式的精确性与可靠性.此外，文献[14]提出了数值求解二维波动方程的三层全隐式紧致差分格式，其精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)，为了加快迭代收敛速度，采用了多重网格方法进行加速.而本文的显式差分方法可以推广到二维，并且在二维情况下只需进行2次追赶法求解和一次显式递推计算，无需迭代，因此可望本文方法推广到二维后，在保有高精度的情况下会较文献[14]的方法具有更高的求解效率.目前，我们正在进行此方面的研究.另外，文献[15]提出了分数阶波动方程的一种差分方法，发展分数阶波动方程的显式高精度差分方法也是一个有意义的研究方向.致谢宁夏大学自然科学基金项目(ZR1407)和宁夏大学研究生创新项目(GIP2016032)对本文给予了资助,谨致谢意.【相关文献】[1] 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