广义对称正则长波方程的拟紧致守恒差分逼近

广义对称正则长波方程的拟紧致守恒差分逼近广义对称正则长波方程是一类重要的非线性偏微分方程，它在物理、工程、生物等领域中有广泛的应用。

然而，这类方程的数值求解一直是一个难题。

为了解决这个问题，本文提出了一种拟紧致守恒差分逼近方法，用于求解广义对称正则长波方程。

正文
1. 广义对称正则长波方程的介绍
广义对称正则长波方程是一类非线性偏微分方程，它的形式如下： $$u_t+uu_x+alpha u_{xxx}+beta u_{xxxxx}=0$$
其中，$u=u(x,t)$是未知函数，$t$是时间变量，$x$是空间变量，$alpha$和$beta$是常数。

这个方程描述了一类长波现象，包括水波、声波、电磁波等。

在物理、工程、生物等领域中有广泛的应用。

2. 拟紧致守恒差分逼近的原理
拟紧致守恒差分逼近是一种数值求解偏微分方程的方法，它的基本思想是将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解差分方程来逼近偏微分方程的解。

拟紧致守恒差分逼近方法的特点是：具有高阶精度、良好的稳定性和保持守恒量不变的特性。

3. 拟紧致守恒差分逼近方法在广义对称正则长波方程中的应用
将广义对称正则长波方程离散化为差分方程，可以得到如下形式： $$frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{Delta
t}+u_{i}^{n}frac{u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2Delta x}+alpha
D_{3x}u_{i}^{n}+beta D_{5x}u_{i}^{n}=0$$
其中，$u_{i}^{n}$表示在$x=iDelta x$处、$t=nDelta t$时的解，$Delta x$和$Delta t$分别是空间和时间的离散化步长，
$D_{3x}$和$D_{5x}$分别是三阶和五阶差分算子。

为了保证拟紧致守恒差分逼近方法的应用，我们需要构造一个守恒量。

根据广义对称正则长波方程的守恒律，可以构造出如下的守恒量：
$$Q=sum_{i}left(frac{1}{2}u_{i}^{2}+frac{alpha}{2}D_{2x}u_{ i}^{2}+frac{beta}{4}D_{4x}u_{i}^{2}right)Delta x$$ 我们可以证明，使用拟紧致守恒差分逼近方法求解广义对称正则长波方程时，守恒量$Q$是不变的。

4. 数值实验结果
我们在MATLAB上实现了拟紧致守恒差分逼近方法，并使用它求
解了广义对称正则长波方程。

我们将结果与其他已有的方法进行了比较，包括标准有限差分方法、Fourier谱方法和Runge-Kutta方法。

结果显示，拟紧致守恒差分逼近方法具有更高的精度和更好的稳定性，同时保持守恒量不变。

5. 结论
本文提出了一种拟紧致守恒差分逼近方法，用于求解广义对称正则长波方程。

该方法具有高阶精度、良好的稳定性和保持守恒量不变的特性。

数值实验结果表明，该方法比其他已有的方法更为优秀。

这种方法可以应用于其他非线性偏微分方程的求解中。