紧致差分格式
解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式
７ ２
大 学 数 学
第２ ６卷
其 中 Ｄ ， ｑ 依次 为关 于 的一 阶偏 微分算 子 ， 移算 子与一 阶 中心差分 算子 ， 面建 立 中心差 分 Ｔ － 位 下 算子 和微分 算子 Ｄ 的关 系式． Ｔ ｙｏ 展开 ， 得 由 ａ ｌｒ 可
一
＋ １＇？ ： ，）
了一个 三层 隐式 差分 格式 ， 是格 式 的精度 比较 低 ； ［ ］ 造 了一个 三层 显式 差分 格 式 ， 稳定 性条 件 但 文 ４构 其
和局 部截 断误 差 阶分别 为 ｆ ｆ １ ８和 ｏ（Ｚ ｆ。 Ｚ ）） 文 ［ ］ ＜ ／ ｒ （ ） ＋（Ｘ ； Ｘ ５ 构造 了一个 两层 恒稳 隐 式格 式 和 一
因此 ， 文针对 四阶抛物 型方程 （ ） 本 １ 的周期 初值 问题 ， 造 出了一 个两 层 高精度 紧致 差分 格 式和一 个 构 三层高精 度紧致 隐格 式 ， 其截 断误差 阶分别为 Ｏ（△￡ ＋ （ ｚ 和 ｏ（ａ￡ ＋（ ）ｚｚ △ ． （ ） ｚ ）） ５ （ ） Ｓ △￡（ ） ＋（ ）） Ｘ
一ｃ＜ｚ × ０ ≤Ｔ × ＜Ｃ，≤ｆ ， ３ 。
…
１ （２ “ ３＋Ｌ，） ｔ 一“（ ￡ ， 一 ∞ ＜ ＜ ∞ ， ≤ ￡ Ｔ， Ｔ，） Ｏ ≤ 一ｏ ％ｘ ｏ． ｏ ％ ｏ
一
对 于这 类 四阶抛 物 型方程 的数值解 求 解 ， ａ ｌ ｅ Ｓ ｕ ’ｖ在 文 ［ ］ 出 了一 类 含 权 因子 ａ的两 层 差 分 格 式 ， １提 当 ａ 一０时 为显 式格式 ， 其稳定 性 条件 为 ｆ ｆ １ ２一 文 ［ ］ 造 了一族 三层 （ 殊 情况 下 为两 层 ） 含双 参 ＜ ／ 。 ； ２构 ｒ 特 、 数、 绝对 稳定 、 精度 、 对角 线型 的 隐式差 分 格 式 ， 局 部 截 断误 差 为 Ｏ（ ｚ ＋（ ） ） Ａｔ△ｚ分 高 五 其 （ ） ５ ｚ ｚ ， ， ５ 别 为时 间及 空间 步长 ； 后 ， 随 曾文平 针对 四阶抛 物型 方程 提 出 了一系列 的差分 格式 ］其 中文 ［ ］ 造 ， ３构
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。
在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。
本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。
2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。
初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。
3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。
差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。
这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。
时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。
4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。
为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。
浅水方程组合型超紧致差分格式
浅水方程组合型超紧致差分格式
浅水方程组合型超紧致差分格式是一种用于模拟浅水流动的数值模型。
它是一种基于浅水
方程组的超紧致差分格式，可以用来模拟浅水流动的过程。
它的优点是可以模拟浅水流动
的复杂性，并且可以更准确地模拟浅水流动的过程。
浅水方程组合型超紧致差分格式的基本原理是，它将浅水方程组分解为一系列的超紧致差
分方程，这些方程可以用来模拟浅水流动的过程。
它的优点是可以更准确地模拟浅水流动
的过程，并且可以更好地模拟浅水流动的复杂性。
浅水方程组合型超紧致差分格式的应用非常广泛，它可以用来模拟水力学、水文学、水资
源管理等领域的浅水流动过程。
它可以用来模拟河流、湖泊、河口、河道等浅水流动的过程，以及模拟水文学、水资源管理等领域的浅水流动过程。
总之，浅水方程组合型超紧致差分格式是一种用于模拟浅水流动的数值模型，它可以用来模拟水力学、水文学、水资源管理等领域的浅水流动过程，并且可以更准确地模拟浅水流动的过程。
它的应用非常广泛，可以为水文学、水资源管理等领域的研究提供有效的支持。
紧致差分格式报告
的求解方法。
记zz
n
2
k1 由（10）式可得 z u u 利用（ 2 zi 1 (2ui 1 11ui 2ui 1 ) [2(u xx )i 1 11(u xx )i 2(u xx )i 1 ] （13） (2ui 1 11ui 2ui 1 ) 3ui 2 48ui 1 102ui 48ui 1 3ui 2 , i 1,, n 2 4h
x1 80 2h, x0 80 h, xn2 120 h, xn3 120 2h
为了方便比较引入误差范数与守恒量，定义为：
n exact n 2 L2 h u j uj j 1
12
L max u j
j
exact
uj
n
I udx
u n 1 u n
n n 1 n 1 n u n 1u x u nu x u xxx u xxx 0 2 2
上式可改写为：
n n1 n1 n 2u n1 (u n1ux u nu x ) uxxx 2u n uxxx
（15）
对（15）式要做类似（13）式的处理，但是对于n+1时间层的 一阶导数项与三阶导数项应配备不同的系数，因此引入新变量
n 1 u 即可得到 ，到此完成求解。
3.算例数值结果的对比
考虑如下初始条件的RLW方程
u( x,0) 3d sec h 2 k ( x xc ), x [80,120]
其对应的方程的精确解为
u( x, t ) 3d sec h 2 k ( x xc vt)
其中 v 1 d , k
[(u x )in11 uin1 3(u x ) in 1 uin (u x ) in11 uin1 ]} 7 n 1 n 1 1 [ (vi 1 vi 1 ) (vin21 vin21 )] 3h 12h 2(uin1 3uin uin1 ) 2(vin1 3vin vin1 )
伯格方程的紧致差分格式
Ｖｏ １ ． ３ ２ Ｎｏ ．１ Ｆｅ ｂ． ２ ０１ ７
２ ０ １ ７ 年 ２月
文 章 编 号： １ ６ ７ ４— ６ ８ ６ ４ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １— ０ ０ ７ ２—０ ６
ＤＯ Ｉ ： １ ０ ． １ ６ ５ ０ ８ ／ ｊ ． ｅ ｎ ｋ ｉ ． １ １— ５ ８ ６ ６ ／ ｎ ． ２ ０ １ ７ ． ０ １ ． ０ １ ５
的使 用提 高 了计 算效 率 。与 Ｃ ｒ ａ ｎ ｋ — Ｎ ｉ ｅ ｏ ｌ ｓ ｏ ｎ格 式相 比 ， 紧致格 式不仅 提 高 了 空间精度 ， 而且 可 以 长
时 间保持 解的 波形状 不 变。
关
键
词 ：伯 格方 程 ； 紧致差 分格 式 ； 迭代 算 法 ； 块 追赶 法
文献标 志 码 ：Ａ
业
ｄ 一
－
（ ） １
格 方程式 （ １ ） 的数值 解法 。例 如 ： 文献［ ４ ］ 提 出有 限 差 分 和三次 样条有 限元 法 ； 文献 ［ ５ ］ 提 出了基 于 Ｂ一 样 条最 小二 乘 法 的有 限 元 方法 ； 文献 ［ ６ ］ 提 出 了 显 式 和精 确显 式 有 限 差 分 方法 ； 文献 ［ ７］ 提 出 了 广 义
ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｂ ｌ ｏ ｃ ｋ Ｔ ｈ ｏ ｍａ ｓ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ａ ｒ ｅ ａ ｄ ｏ ｐ ｔ ｅ ｄ ｔ ｏ ｅ ｎ ｈ ａ ｎ ｃ ｅ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｃ ｙ ．
伯 格 方 程 的 紧 致 差 分 格
张静 静 ， 李 书存 ， 曹俊 杰
10-高阶紧致格式
§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分先考虑导数的差分近似。
若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 ()p h O 。
要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。
但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。
构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。
通常情形，这需要更多的点。
例如：两点差分近似()()()f x h f x f x h+-¢»只有一阶精度。
而使用三个点，就可以构造出二阶近似()()()()2432f x h f x h f x f x h-+++-¢»精度越高，需要的点就更多。
对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。
但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。
例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。
设 0a > 。
0duau dx+= （01x < ） ， ()0u =α取 M 个网格，空间步长 1h M=，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 ()j j u u x » 。
因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有10j j j u u au h--+= （1,2,3,,j M =L ）实际的计算方案为0u =α ， 111j j u u ha-=+ （1,2,3,,j M =L ）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。
如果采用二阶差分近似，则成为12340j j j j u u u au h---++= （2,3,,j M =L ）这个格式具有二阶精度。
可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。
而初始条件只提供了 0u =α 。
因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。
紧致差分格式的构造和验证
摘要目前，紧致差分格式已逐渐成为差分方程的数值方法的主要方向。
具有良好特性的高精度的紧差分格式相继构造出来并能够应用到一些特殊的问题的数值求解，显现出了良好的效果。
本课题针对紧致差分格式这一研究方向，希望能够通过MATLAB等软件的辅助以及前人对紧致差分格式的研究帮助对紧致差分格式进行构造一种差分格式，并且通过解微分方程的数值解实验对紧致差分格式进行验证其稳定性、收敛性以及误差等特性，最终能够比较直观了解这类紧致格式差分方法的精度等。
关键词:有限差分；差分格式；构造ABSTRACTAt present,compact difference schemes have gradually become a main rese arch direction of the numerical method of differential equations,and the compac t difference schemes with high precision and good characteristics have been con structed one after another and applied to the numerical solution of some specific problems,and good results have been achieved.This topic for compact differenc e scheme,the research direction of hope can through MATLAB software such as aided and previous study of compact difference scheme to help to construct a co mpact difference scheme difference scheme,and by solving the differential equa tion numerical solution of experiments to verify its compact difference scheme f eatures such as stability,convergence and error,finally can more intuitive unders tanding of the compact format the precision of the finite difference method,etc.Key words：Finite difference; Difference scheme; Structure目录摘要 (1)ABSTRACT (2)1 引言 (4)1.1 有限差分方法简介 (4)1.2 紧致差分法研究概况 (4)1.2.1 抛物线方程 (4)1.2.2椭圆型方程 (5)1.2.3双曲线方程 (5)1.3 本文研究内容 (5)2 常见差分格式 (6)2.1 显式差分格式 (6)2.1.1 古典显式格式的推导 (6)2.2 隐式差分格式 (7)2.2.1 古典隐式格式的推导 (7)2.3 Crank-Nicolson隐式格式 (9)2.4 交替方向隐式格式 (10)2.4.1 Peaceman-Rachford格式 (11)2.4.2 Douglas-Rachford格式 (11)2.4.3 Mitchell-Fairweather格式 (11)2.4.4 交替方向隐式格式算法步骤 (11)3 紧致差分格式分析 (12)3.1 抛物线方程 (12)3.1.1 抛物线方程的一种高精度紧致差分方法 (12)3.2 椭圆型方程 (12)3.2.1一维椭圆型方程的解法 (12)3.2.2 二维椭圆型方程的解法 (13)3.3双曲型方程 (14)3.3.1双曲线方程一种解法 (14)3.3.2双曲线方程的常见数值解法 (15)4实例分析与结果分析 (16)4.1 数值算例 (16)4.1.1 已知有精确解的热传导问题 (16)4.1.2 未知精确解的热传导问题 (17)4.2 结果分析 (17)4.3 r变化对稳定性的探究 (18)4.3.1 P-R格式格式的稳定性 (18)4.4本文研究的热传导方程 (19)5 总结 (24)参考文献 (25)1 引言1.1有限差分方法简介重要的数值离散方法其中有有限差分方法（FDM），在研究、计算中有着广泛运用。
《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》范文
《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一一、引言非线性分数阶偏微分方程在物理、工程、生物和金融等多个领域具有广泛的应用。
这些方程常常用于描述复杂系统中的复杂现象，如流体力学、量子力学和随机过程等。
因此，发展高效、高精度的数值方法来解决这些方程的求解问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将重点介绍一种高阶紧致差分格式，用于求解非线性分数阶偏微分方程。
二、非线性分数阶偏微分方程概述非线性分数阶偏微分方程是一种包含未知函数的高阶偏导数的非线性偏微分方程。
由于分数阶导数的引入，这类方程的解通常具有复杂的性质和较高的计算难度。
传统的数值方法往往难以满足高精度和高效性的要求。
因此，发展针对这类方程的数值方法具有重要的研究价值。
三、高阶紧致差分格式的构建为了解决非线性分数阶偏微分方程的求解问题，本文提出了一种高阶紧致差分格式。
该格式基于离散化思想和插值技术，将连续的分数阶导数离散化为差分形式，从而将原问题转化为求解一系列离散化后的差分方程。
在构建高阶紧致差分格式时，我们采用了以下关键步骤：1. 离散化：将求解区域划分为一系列离散的网格点，并确定每个网格点的空间位置和相邻网格点的关系。
2. 插值技术：在每个网格点上，利用插值技术将连续的分数阶导数近似为差分形式。
我们采用了高阶多项式插值技术，以获得较高的精度和较好的稳定性。
3. 紧致性：为了减小数值误差和计算量，我们采用了紧致差分格式。
该格式在保持足够精度的同时，减少了所需的计算量和存储空间。
4. 迭代求解：将离散化后的差分方程转化为迭代求解格式，并采用适当的迭代算法进行求解。
四、高阶紧致差分格式的优点相比传统的数值方法，高阶紧致差分格式具有以下优点：1. 高精度：由于采用了高阶多项式插值技术和紧致差分格式，该格式具有较高的精度和较小的数值误差。
2. 高效性：该格式将连续的分数阶导数离散化为差分形式，从而大大降低了计算量和存储空间需求。
此外，采用迭代求解方法可以进一步提高计算效率。
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紧致差分格式
摘要：
1.紧致差分格式的定义
2.紧致差分格式的特点
3.紧致差分格式的应用领域
4.紧致差分格式的优缺点
正文：
紧致差分格式是一种数学工具，用于描述两个函数之间的差异。
它在微积分、概率论、数值分析等领域有广泛的应用。
本文将从紧致差分格式的定义、特点、应用领域以及优缺点四个方面进行介绍。
首先，紧致差分格式的定义是指，设f(x) 和g(x) 是两个在区间[a, b] 上有定义的函数，如果对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε，则称f(x) 与g(x) 在[a, b] 上满足紧致差分格式。
其次，紧致差分格式具有以下特点：1) 对任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε；2) 紧致差分格式满足三角不等式，即对于任意的x、y、z，有|f(x)-g(y)|≤|f(x)-f(z)|+|g(z)-g(y)|；3) 紧致差分格式满足单调性，即如果f(x) 在区间[a, b] 上单调递增（或递减），那么对于任意的
g(x) 在区间[a, b] 上满足紧致差分格式。
再次，紧致差分格式的应用领域非常广泛，包括微积分、概率论、数值分析等。
例如，在微积分中，它可以用于研究函数的连续性、可微性等性质；在概率论中，它可以用于研究随机过程的性质，如马尔可夫性质等；在数值分析
中，它可以用于设计各种数值算法，如数值积分、数值微分等。
最后，紧致差分格式具有以下优缺点：优点是它提供了一种研究函数性质的工具，可以描述函数在某个区间上的差异，有助于理解函数的局部性质；缺点是它的定义较为抽象，对于一些具体的函数，可能难以判断是否满足紧致差分格式。