高精度紧致差分格式综述
解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式
７ ２
大 学 数 学
第２ ６卷
其 中 Ｄ ， ｑ 依次 为关 于 的一 阶偏 微分算 子 ， 移算 子与一 阶 中心差分 算子 ， 面建 立 中心差 分 Ｔ － 位 下 算子 和微分 算子 Ｄ 的关 系式． Ｔ ｙｏ 展开 ， 得 由 ａ ｌｒ 可
一
＋ １＇？ ： ，）
了一个 三层 隐式 差分 格式 ， 是格 式 的精度 比较 低 ； ［ ］ 造 了一个 三层 显式 差分 格 式 ， 稳定 性条 件 但 文 ４构 其
和局 部截 断误 差 阶分别 为 ｆ ｆ １ ８和 ｏ（Ｚ ｆ。 Ｚ ）） 文 ［ ］ ＜ ／ ｒ （ ） ＋（Ｘ ； Ｘ ５ 构造 了一个 两层 恒稳 隐 式格 式 和 一
因此 ， 文针对 四阶抛物 型方程 （ ） 本 １ 的周期 初值 问题 ， 造 出了一 个两 层 高精度 紧致 差分 格 式和一 个 构 三层高精 度紧致 隐格 式 ， 其截 断误差 阶分别为 Ｏ（△￡ ＋ （ ｚ 和 ｏ（ａ￡ ＋（ ）ｚｚ △ ． （ ） ｚ ）） ５ （ ） Ｓ △￡（ ） ＋（ ）） Ｘ
一ｃ＜ｚ × ０ ≤Ｔ × ＜Ｃ，≤ｆ ， ３ 。
…
１ （２ “ ３＋Ｌ，） ｔ 一“（ ￡ ， 一 ∞ ＜ ＜ ∞ ， ≤ ￡ Ｔ， Ｔ，） Ｏ ≤ 一ｏ ％ｘ ｏ． ｏ ％ ｏ
一
对 于这 类 四阶抛 物 型方程 的数值解 求 解 ， ａ ｌ ｅ Ｓ ｕ ’ｖ在 文 ［ ］ 出 了一 类 含 权 因子 ａ的两 层 差 分 格 式 ， １提 当 ａ 一０时 为显 式格式 ， 其稳定 性 条件 为 ｆ ｆ １ ２一 文 ［ ］ 造 了一族 三层 （ 殊 情况 下 为两 层 ） 含双 参 ＜ ／ 。 ； ２构 ｒ 特 、 数、 绝对 稳定 、 精度 、 对角 线型 的 隐式差 分 格 式 ， 局 部 截 断误 差 为 Ｏ（ ｚ ＋（ ） ） Ａｔ△ｚ分 高 五 其 （ ） ５ ｚ ｚ ， ， ５ 别 为时 间及 空间 步长 ； 后 ， 随 曾文平 针对 四阶抛 物型 方程 提 出 了一系列 的差分 格式 ］其 中文 ［ ］ 造 ， ３构
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。
在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。
本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。
2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。
初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。
3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。
差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。
这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。
时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。
4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。
为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。
求解一维对流方程的高精度紧致差分格式___
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):635-642求解一维对流方程的高精度紧致差分格式侯波,葛永斌(宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021)摘要：本文提出数值求解一维对流方程的一种两层隐式紧致差分格式,采用泰勒级数展开法以及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散.格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.利用von Neumann方法分析得到该格式是无条件稳定的.通过数值实验验证了本文格式的精确性和稳定性.关键词：对流方程;高精度;紧致格式;无条件稳定;有限差分法中图分类号：O241.82AMS(2000)主题分类：65M06;65M12文献标识码：A文章编号：1001-9847(2019)03-0635-081.引言对流方程在生物数学、能源开发、空气动力学等许多领域都具有十分广泛的应用,因此求解该类方程具有非常重要的理论价值和实际意义.然而,由于实际问题通常十分复杂,往往难以求得精确解,因此研究其精确稳定的数值解法是十分必要的.针对对流方程国内外很多学者提出了很多的数值方法.如张天德和孙传灼[1]针对一维对流方程采用待定系数法,得到了两层四点格式和四阶六点格式,并且是无条件稳定的,该方法适用于在点数确定的前提下,得到精度高的差分格式;于志玲和朱少红[2]针对一维问题建立了中间层为两个节点的三层显格式,其截断误差为O(τ2+h2);曾文平[3]针对一维对流方程推导出了一种两层半显式格式，其截断误差为O(τ2+h2),该格式是无条件稳定的.姚朝辉等人[5]将二阶的迎风格式和中心差分格式进行加权得到了WSUC格式,该格式是无条件稳定的;但该格式时间方向和空间方向仅有二阶精度.汤寒松等人[6]通过立方插值拟质点方法(CIP方法),给出了一些保单调的CIP格式;Erdogan[9]针对一维的对流方程推导出了一种指数拟合的差分格式,其截断误差为O(τ2+h2);Bourchtein[10]构造了对流方程的三层五点中心型蛙跳格式,该格式的截断误差为O(τ4+h4);即该格式时间和空间均具有四阶精度,但是该格式是三层的,空间方向需要五个点,并且是条件稳定的;Kim[11]构造了多层无耗散的迎风蛙跳格式,即时间和空间分别具有二阶、四阶、六阶精度,但格式为三层甚至是四层的,并且六阶格式空间方向最多需要五个点,给靠近边界的内点的计算带来困难.综上所述,文献中已经有的数值计算方法大多为低阶精度的,而高精度方法涉及多个时间层,需要一个或多个时间启动步,或者空间方向的网格节点多于三个,这都给计算造成困难或不便.为此本文将构造一种紧致格式,这里紧致格式的定义为对时间导数项的离散采用不超过∗收稿日期：2018-08-10基金项目：国家自然科学基金(11772165,11361045),宁夏自然科学基金重点项目(2018AAC02003),宁夏自治区重点研发项目(2018BEE03007)作者简介：侯波,男,汉族,河南人,研究方向：偏微分方程数值解法.通讯作者：葛永斌.636应用数学2019三个时间层,而对空间导数项的离散采用不超过三个网格点,时间和空间即可以达到高阶精度（三阶及三阶以上）的格式.本文拟构造的格式时间方向仅用到两个时间层上的函数值,在每个时间层上仅涉及到三个空间网格点,格式时间和空间具有整体的四阶精度.该格式的优点是无须启动步的计算,并且在对靠近边界点的计算时,不会用到计算域以外的网格节点.此外该格式为无条件稳定的,可以采用比较大的时间步长进行计算.最后通过数值实验验证本文格式的精确性和稳定性.2.差分格式的建立考虑如下一维对流方程：∂u ∂t +a∂u∂x=f,b≤x≤c,t≥0,(2.1)给定初始条件为:u(x,0)=φ(x),b≤x≤c,(2.2)给定周期性边界条件为:u(b,t)=u(c,t),t≥0,(2.3)其中,u(x,t)为未知函数,f为非齐次项,a为对流项系数,φ(x)为已知函数.将求解区域[b,c]等距剖分为N个子区间：b=x0,x1,···,x N−1,x N=c,并且定义h=c−bN,时间也采用等距剖分,步长用τ表示.在本文中,我们利用u ni ,u n+1i,u n+12i分别表示u在(x i,t n),(x i,t n+1)和(x i,t n+12)点处的函数值.假设方程(2.1)在点(x i,t n+12)成立,简写表示为:(∂u ∂t )n+12i+a(∂u∂x)n+12i=f n+12i.(2.4)将u n+1i 和u ni在点(x i,t n+12)处做泰勒级数展开,可得:u n+1i=u n+12i+τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i+(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.5)u ni=u n+12i−τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i−(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4).(2.6)(2.5)-(2.6)可得:(∂u∂t)n+12i=δt u n+12i−τ224(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.7)其中,δt u n+12i =u n+1i−u n iτ.同理可得:(∂u∂x)n+12i=δx u n+12i−h26(∂3u∂x3)n+12i+O(h4),(2.8)其中,δx u n+12i =un+12i+1−u n+12i−12h.将(2.7)和(2.8)代入(2.4)整理可得:δt u n+12i −τ224(∂3u∂t3)n+12i+aδx u n+12i−ah26(∂3u∂x3)n+12i=f n+12i+O(τ4+h4).(2.9)为了使该格式在时间方向和空间方向上均达到四阶精度,须对(2.9)式中的∂3u∂t3和∂3u∂x3项进行二阶的离散,同时为了保证本文格式的紧致性,即空间方向不超过三个网格点,我们对(2.1)式进行如下变形:∂u ∂t =−a∂u∂x+f,∂2u∂t2=a2∂2u∂x2−a∂f∂x+∂f∂t,第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式637∂3u ∂t 3=a 2∂3u ∂x 2∂t −a ∂2f ∂x∂t +∂2f ∂t 2,∂3u ∂x 3=−1a ∂3u ∂x 2∂t +1a ∂2f ∂x 2.(2.10)将上述∂3u ∂t 3和∂3u∂x 3的表达式(2.10)代入(2.9)并整理可得：δt u n +12i+aδx u n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.11)如果对上式中的δx u n +12i 项采用时间方向算术平均,即δx u n +12i =δx u n +1i+u n i 2,则会导致格式时间退化为二阶精度,为此利用(2.5)+(2.6)可得：u n +12i =12(u n +1i +u n i )−τ28(∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.12)从而可得:δx u n +12i =12δx (u n +1i +u n i )−τ28δx (∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.13)将(2.13)代入(2.11)得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28δx (∂2u ∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.14)由于δx (∂2u ∂t 2)n +12i =(∂3u ∂x∂t 2)n +12i+O (h 2),所以可得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(∂3u ∂x∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).又因为∂3u ∂x∂t 2=−a ∂3u∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t ,所以有:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(−a ∂3u ∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t )n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),即,δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )+(a 2τ212+h 26)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i −aτ212(∂2f ∂x∂t )n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).由于(∂3u ∂x 2∂t )n +12i=δ2x (∂u ∂t )n +12i +O (h 2),所以有:u n +1i −u n i τ+a 4h(u n +1i +1−u n +1i −1+u ni +1−u n i −1)+(h 26+a 2τ212)δ2x u n +1i −u n i τ−τ224(f n +1i −2f n +12i +f n −1i (τ2)2)−h 212[(∂2f ∂x 2)n +1i +(∂2f ∂x 2)n −1i ]−aτ12[(∂f ∂x )n +1i −(∂f ∂x)n −1i ]=f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),其中,δ2xu i =u i +1−2u i +u i −1h 2,舍去O (τ4+τ2h 2+h 4),等式两边同时乘以τ,并令λ=τ/h ,整理可得:u n +1i +aλ4(u n +1i +1−u n +1i −1)+(16+a 2λ212)(u n +1i +1−2u n +1i +u n +1i −1)638应用数学2019=u n i−aλ4(u n i +1−u n i −1)+(16+a 2λ212)(u n i +1−2u n i +u ni −1)+τ6(f n +1i −2f n +12i +f n i )+τ12(f n +1i +1−2f n +1i +f n +1i −1+f n i +1−2f n i +f n i −1)+aτλ24(f n +1i +1−f n +1i −1−f n i +1+f ni −1)+τf n +12i,即,(23−a 2λ26)u n +1i +(16+aλ4+a 2λ212)u n +1i +1+(16−aλ4+a 2λ212)u n +1i −1=(23−a 2λ26)u n i +(16−aλ4+a 2λ212)u n i +1+(16+aλ4+a 2λ212)u n i −1+(τ12+aλτ24)f n +1i +1(τ12−aλτ24)f n +1i −1+(τ12−aλτ24)f n i +1+(τ12+aλτ24)f n i −1+2τ3f n +12i .(2.15)由推导过程可知,该格式的截断误差为O (τ4+τ2h 2+h 4),即格式(2.15)在时间和空间上均可达到四阶精度.我们注意到,格式为两层格式,并且格式每层仅用到三个网格点,形成的代数方程组系数矩阵为循环三对角矩阵,可采用追赶法进行求解[8],同时由于要求未知时间层上(第n +1层)中间点的系数不能等于0,即23−a 2λ26=0,因此aλ=2.3.稳定性分析下面采用von Neumann 方法分析本文所推导的差分格式(2.15)的稳定性.对于(2.15)式,舍掉非齐次项f ,即假设f 项精确成立,令u n i =ηn e Iσx i,其中,η为振幅,σ为波数,I =√−1为虚数单位,有(23−a 2λ26)ηn +1e Iσx i +(16+aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i +1+(16−aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i −1=(23−a 2λ26)ηn e Iσx i +(16−aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i +1+(16+aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i −1.(3.1)两边同时约掉e Iσx i ,并整理可得：(23−a 2λ26)ηn +1+(16+a 2λ212)ηn +1(e Iσh +e −Iσh )+aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh )=(23−a 2λ26)ηn+(16+a 2λ212)ηn (e Iσh +e −Iσh )−aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh ).(3.2)利用Euler 公式,即e Iσh =cos σh +I sin σh,e −Iσh =cos σh −I sin σh ,可得:(23−a 2λ26)ηn +1+[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn +1+(aλI 2sin σh )ηn +1=(23−a 2λ26)ηn +[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn −(aλI 2sin σh )ηn .(3.3)对上式进行化简整理有[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh 2]ηn +1=[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh 2]ηn .(3.4)从而可得格式(2.15)的误差放大因子为:G =ηn +1ηn =(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh2(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh2.(3.5)由von Numann 稳定性定理可知当|G |≤1时,格式是稳定的,由(3.5)可得|G |=1,因此,格式(2.15)是无条件稳定的.4.数值实验第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式639为了验证本文格式(2.15)的精确性和稳定性,现考虑以下三个具有精确解的初边值问题.分别采用Crank-Nicolson(C-N)格式,文[7]中格式和本文格式(2.15)进行计算;其中,最大绝对误差及收敛阶的定义为:L∞=maxi |u n i−u(x i,t n)|,Rate=log[L∞(h1)/L∞(h2)]log(h1/h2)L∞(h1)和L∞(h2)为空间网格步长分别为h1和h2时的最大绝对误差.问题1[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=sin(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=sin[π(x−t)].表1问题1当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 2.217(-1) 4.865(-2) 1.993(-3)1/1020 5.752(-2) 1.95 1.263(-2) 1.95 1.208(-4) 4.041/2040 1.450(-2) 1.99 3.199(-3) 1.987.490(-6) 4.011/4080 3.631(-3) 2.008.038(-4) 1.99 4.672(-7) 4.001/801609.082(-4) 2.00 2.014(-4) 2.00 2.919(-8) 4.001/160320 2.271(-4) 2.00 5.041(-5) 2.00 1.824(-9) 4.00表2问题1当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文献[7]本文格式1/160.050000000.8 5.290(-2) 1.292(-2) 1.574(-5) 0.10000000 1.69.013(-2) 5.095(-2) 3.198(-3) 0.20000000 3.2 2.307(-1) 1.941(-1) 6.055(-2) 0.40000000 6.4 6.874(-1) 6.597(-1) 1.746(-2)1/320.025000000.8 1.330(-2) 3.230(-3)9.814(-7) 0.20000000 6.4 2.041(-1) 1.950(-1) 1.575(-3) 0.4000000012.8 6.668(-1) 6.601(-1) 1.916(-2)图1问题1当N=32,τ=0.03125,t=0.2时刻的数值解与精确解640应用数学2019表1给出了针对问题1三种格式在不同空间步长h下,当λ=τ/h=0.5,t=1时的最大绝对误差和收敛阶.我们发现C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,由于文[7]格式时间具有二阶精度,空间具有四阶精度,因此当取τ=O(h)时,格式空间仅有二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.图1给出N=32,τ=0.03125,t=0.2数值解与精确解对比图,可以看出数值解与精确解吻合的很好.表2给出了当h=1/16和h=1/32时,τ=λh,t=2时刻对问题1采用三种格式计算的最大绝对误差.可以看出网格比λ最大取到12.8,计算仍然是稳定的,因此本文格式是无条件稳定的.并且本文格式在所有参数下,其计算结果比C-N格式和文[7]格式计算结果更加精确.问题2[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=e cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=e cos[π(x−t)].表3问题2当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 6.754(-1) 1.428(-1) 5.567(-2)1/1020 2.310(-1) 1.55 3.099(-2) 2.20 3.041(-3) 4.191/2040 6.027(-2) 1.94 6.825(-3) 2.18 1.904(-4) 4.001/4080 1.492(-2) 2.01 1.658(-3) 2.04 1.165(-5) 4.031/80160 3.705(-3) 2.01 4.115(-4) 2.017.252(-7) 4.011/1603209.250(-4) 2.00 1.028(-4) 2.00 4.527(-8) 4.00表4问题2当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文[7]本文格式1/160.050000000.8 2.171(-1) 5.372(-2) 3.897(-4) 0.10000000 1.6 3.450(-1) 2.056(-1)7.795(-3) 0.20000000 3.2 6.810(-1) 6.111(-1) 3.416(-1) 0.40000000 6.4 1.220 1.198 2.017(-1)1/320.025000000.8 5.575(-2) 1.325(-2) 2.449(-5) 0.20000000 6.4 6.302(-1) 6.109(-1) 2.350(-2) 0.4000000012.8 1.204 1.199 2.201(-1)表3和表4给出了针对问题2利用本文格式和C-N格式以及文[7]格式的计算结果.表3考察了格式的精度,表4验证了格式的稳定性.可以看出本文格式在时间和空间上均可达到四阶精度,并且是无条件稳定的.问题3∂u ∂t +a∂u∂x=f,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,f=π(1−a)sin[π(x−t)],该问题的精确解为:u(x,t)=cos[π(x−t)].第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式641表5问题3当λ=τ/h=0.5,a=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate1/510 1.124(-1) 4.244(-4)1/1020 3.520(-2) 1.67 2.744(-5) 3.951/20409.957(-3) 1.82 1.739(-6) 3.981/4080 2.551(-3) 1.96 1.134(-7) 3.941/80160 6.413(-4) 1.99 1.351(-8) 3.07问题3为非齐次问题,由于文[7]的方程模型为齐次方程,不能计算非齐次问题,因此该问题我们采用本文格式和C-N进行计算和比较,表5给出了两种格式在不同空间步长h下,当t=1时的最大绝对误差和收敛阶.可以看出当λ=τ/h=0.5,a=0.5时,C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.5.结论本文针对一维对流方程提出了一种两层隐式高精度紧致差分格式,时间和空间均采用泰勒级数展开法以及截断误差余项修正法进行处理,格式截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.并通过von Neumann方法分析得到该格式为无条件稳定的.最后通过三个数值算例验证了格式的精确性和稳定性.通过上述研究,我们可以得出如下结论:1.文献(如[10-11])中的高精度格式往往是时间多层格式,需要另外构造启动步的计算格式,如果采用低精度格式启动,必然会影响以后时间层的计算精度.而本文格式仅为两层格式,无须启动步的计算,时间即可达到四阶精度.2.文献(如[1,10-11])中的高精度格式空间方向上往往超过三个网格节点,导致靠近边界的内点计算困难,需要采用特殊处理,而本文格式仅用到三个网格节点,可以有效避免这一问题.3.尽管本文格式要求aλ=2,这是本文格式的一个缺陷,但是由于本文格式是无条件稳定的,从理论上讲可以采用任意网格比,因此可以很容易避开aλ=2的条件限制,使得这一缺陷并不太影响格式的使用.4.由于本文方法推导过程中涉及到∂2u∂t2,∂3u∂t3,∂3u∂x3的计算,需要用原方程进行多次求导并进行反复代入计算,在考虑对流项为变系数问题时,将涉及到a(x,t)关于x和t的二阶导数,由于我们考虑在时间半点处,即(x i,t n+12)处的函数值,即要用到(∂2a∂t2)n+12i,如果采用中心差分,则时间仅具有二阶精度,因此本文方法不适用于变系数问题.5.本文方法可直接推广到二维和三维问题中去,我们将另文报道.参考文献：[1]张天德,孙传灼.对流方程的差分格式[J].计算物理,1995,12(2):191-195.[2]于志玲,朱少红.关于对流方程一类三层显格式[J].南开大学学报(自然科学版),1998,31(3):27-30.[3]曾文平.解对流方程的加耗散项的差分格式[J].应用数学,2001,14(S1):154-158.[4]陆金甫,关治.偏微分方程数值解法[M].北京:北京大学出版社,1987.[5]姚朝晖,张锡文,任玉新等.一种低耗散、无伪振荡的实用差分格式[J].水动力学研究与进展(A辑),2001,16(02):195-199.[6]汤寒松,张德良,李椿萱.对流方程保单调CIP格式[J].水动力学研究与进展(A辑),1997(02):181-187.[7]赵飞,蔡志权,葛永斌.一维非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分公式[J].江西师范大学学报(自然科学版),2014,38(4):413-418.642应用数学2019[8]李青,王能超.解循环三对角线性方程组的追赶法[J].小型微型计算机系统,2002(23):1393-1395.[9]ERDOGAN U.Improved upwind discretization of the advection equation[J].Numer.Meth.PartDiffer.Equ.,2014,30:773-787.[10]BOURCHTEIN A,BOURCHTEIN L.Explicitfinite schemes with extended stability for advectionequations[J]put.Appl.Math.,2012,236:3591-3604.[11]KIM C.Accurate multi-level schemes for advection[J].Int.J.Numer.Methods Fluids.,2003,41:471-494.A High-Order Compact Difference Scheme for Solving the1DConvection EquationHOU Bo,GE Yongbin(School of Mathematics and Statistics,Ningxia University,Yinchuan750021,China)Abstract:In this paper,a two-level implicit compact difference scheme for solving the one-dimensional convection equation is proposed.Taylor series expansion and correction for the third derivative in the truncation error remainder of the central difference scheme are used for the discretization of time and space.The local truncation error of the scheme is O(τ4+τ2h2+h4),i.e.,it has the fourth-order accuracy in both time and space.The unconditional stability is obtained by the von Neumann method. The accuracy and the stability of the present scheme are validated by some numerical experiments.Key words:Convection equation;High accuracy;Compact difference scheme;Unconditional sta-bility;Finite difference method。
10-高阶紧致格式
§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分先考虑导数的差分近似。
若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 ()p h O 。
要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。
但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。
构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。
通常情形，这需要更多的点。
例如：两点差分近似()()()f x h f x f x h+-¢»只有一阶精度。
而使用三个点，就可以构造出二阶近似()()()()2432f x h f x h f x f x h-+++-¢»精度越高，需要的点就更多。
对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。
但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。
例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。
设 0a > 。
0duau dx+= （01x < ） ， ()0u =α取 M 个网格，空间步长 1h M=，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 ()j j u u x » 。
因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有10j j j u u au h--+= （1,2,3,,j M =L ）实际的计算方案为0u =α ， 111j j u u ha-=+ （1,2,3,,j M =L ）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。
如果采用二阶差分近似，则成为12340j j j j u u u au h---++= （2,3,,j M =L ）这个格式具有二阶精度。
可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。
而初始条件只提供了 0u =α 。
因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。
高阶抛物型偏微分方程的一个高精度差分格式
高阶抛物型偏微分方程的一个高精度差分格式
高精度差分格式用于解决高阶抛物型偏微分方程（HOMPDE），它比基本差分方法具有更高的精度。
它包括两个主要的部分：一是前向差分格式；二是后向差分格式，这些部分协同工作以提高HOMPDE的解决精度。
一、前向差分格式：
1. 用于处理纯时间序列的差分运算；
2. 具有稳定低误差的高精度；
3. 通过连续时间变化把高阶抛物型方程简化为多个简单的一阶抛物型方程；
4. 在进行差分运算时，可以使用差分系数表和多项式去估计函数的梯度，以极大提高计算精度；
5. 从决定非线性HOMPDE解的复杂性角度出发，可以采用Chebyshev范数来评估精度，从而消除除数分母的误差。
二、后向差分格式：
1. 适用于空间拓扑变化的元素；
2. 对处理多个变量的显式方程时，可用来准确识别和估计隐式变量；
3. 可使用各种数值技术，如快速傅里叶变换、反射矩阵等，根据拓扑变化进行多重变量运算；
4. 同时尝试多种方法，基于非线性反应的代数展开及全局正定性来
改进后向差分精度；
5. 对变化的边界条件使用可靠的边界条件模型来建立精确且实用的解。
以上就是高精度差分格式用于解决高阶抛物型偏微分方程（HOMPDE）的基本原理以及方法。
高精度差分格式可以有效地改进微分方程的解
精度，并为实现计算机模拟研究提供了良好参考框架。
Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法
Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》范文
《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一一、引言非线性分数阶偏微分方程在物理、工程、生物和金融等多个领域具有广泛的应用。
这些方程常常用于描述复杂系统中的复杂现象，如流体力学、量子力学和随机过程等。
因此，发展高效、高精度的数值方法来解决这些方程的求解问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将重点介绍一种高阶紧致差分格式，用于求解非线性分数阶偏微分方程。
二、非线性分数阶偏微分方程概述非线性分数阶偏微分方程是一种包含未知函数的高阶偏导数的非线性偏微分方程。
由于分数阶导数的引入，这类方程的解通常具有复杂的性质和较高的计算难度。
传统的数值方法往往难以满足高精度和高效性的要求。
因此，发展针对这类方程的数值方法具有重要的研究价值。
三、高阶紧致差分格式的构建为了解决非线性分数阶偏微分方程的求解问题，本文提出了一种高阶紧致差分格式。
该格式基于离散化思想和插值技术，将连续的分数阶导数离散化为差分形式，从而将原问题转化为求解一系列离散化后的差分方程。
在构建高阶紧致差分格式时，我们采用了以下关键步骤：1. 离散化：将求解区域划分为一系列离散的网格点，并确定每个网格点的空间位置和相邻网格点的关系。
2. 插值技术：在每个网格点上，利用插值技术将连续的分数阶导数近似为差分形式。
我们采用了高阶多项式插值技术，以获得较高的精度和较好的稳定性。
3. 紧致性：为了减小数值误差和计算量，我们采用了紧致差分格式。
该格式在保持足够精度的同时，减少了所需的计算量和存储空间。
4. 迭代求解：将离散化后的差分方程转化为迭代求解格式，并采用适当的迭代算法进行求解。
四、高阶紧致差分格式的优点相比传统的数值方法，高阶紧致差分格式具有以下优点：1. 高精度：由于采用了高阶多项式插值技术和紧致差分格式，该格式具有较高的精度和较小的数值误差。
2. 高效性：该格式将连续的分数阶导数离散化为差分形式，从而大大降低了计算量和存储空间需求。
此外，采用迭代求解方法可以进一步提高计算效率。
高精度有限差分格式的构造与分析
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎｏ ． ６
Ｄｅ ｅ ． ２ ０１ ５
第六 期
高 精 度 有 限差 分 格 式 的构 造 与分 析
徐 会 林 ， 刘 明
（ １ ． 赣南 师范学院 数学与计算机科学学 院 ， 江西 赣州 ３ ４ １ ０ ０ ０ ； ２ ． 河南理工大学 数学与信息科学 学院 ， 河南 焦作 ４ ５ ４ ０ ０ ０ ） 摘 要： 基于有限差分格式 的代数精度 的概念 ， 利 用待 定 系数 法构 造 了任 意 ｎ＋１点的有 限差分公 式 ， 证 明公 式 的代 数 精 度 最 高 为 ｎ ， 并 给 出该 公 式 的 余 项 表 达 式 ． 分析余项发 现 中点差分公 式的误差 最小 ， 而 向前 或 向后 差 分 公式的误差 最大． 因此 ， 在计 算时应尽 量使 用 中心差分公 式 ， 而 当求导节 点靠近 端点 时， 应尽 可能 同时利用该 点两 侧 的函数值近似 求导． 最后 ， 通过数值 算例验证 了上述结论 的有效性． 关键词 ： 有限差分 ； 数值微 分 ； 代数精度 ； 差分余项 中 图分 类号 ： Ｏ ２ ４ １ ． ４ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ４—８ ３ ３ ２ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６— ０ ０ ０ ９— ０ ５
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高精度紧致差分格式综述
High-accuracy compact difference schemes are essential in computational fluid dynamics for accurately simulating complex fluid flow phenomena. These schemes provide a powerful tool for solving partial differential equations that govern fluid flow, heat transfer, and other physical processes. They are particularly useful in scientific research, engineering design, and industrial applications where precision and efficiency are paramount.
高精度紧致差分格式在计算流体力学中是至关重要的，可以准确模拟复杂的流体流动现象。
这些格式为解决控制流体流动、热传递和其他物理过程的偏微分方程提供了强大的工具。
它们在科学研究、工程设计和工业应用中尤为有用，尤其是在精度和效率至关重要的领域。
One of the key advantages of high-accuracy compact difference schemes is their ability to achieve high spatial accuracy with fewer computational nodes compared to traditional finite difference methods. This makes them computationally efficient and allows for the simulation of complex flow phenomena with relatively low computational cost. Additionally, compact schemes are known for
their ability to preserve important physical properties of the flow field, such as mass conservation, energy conservation, and the satisfaction of boundary conditions.
高精度紧致差分格式的一个关键优势是相对于传统的有限差分方法，它们能够以较少的计算节点实现高空间精度。
这使得它们在计算效率方面更为高效，并且能够以相对较低的计算成本模拟复杂的流动现象。
此外，紧致格式以保持流场的重要物理特性而闻名，例如质量守恒、能量守恒和满足边界条件。
Another important aspect of high-accuracy compact difference schemes is their stability and robustness in solving stiff fluid dynamics problems. These schemes are designed to handle a wide range of flow conditions, including flows with sharp gradients, shocks, and discontinuities. Their ability to accurately capture the behavior of fluid flow near these features makes them particularly well-suited for simulating challenging fluid flow scenarios with high fidelity.
高精度紧致差分格式的另一个重要方面是在解决刚性流体动力学问题方面的稳定性和鲁棒性。
这些格式旨在处理各种流动条件，包括具有陡峭梯度、激
波和不连续性的流动。
它们准确捕捉这些特征附近的流体流动行为的能力使它们特别适用于以高保真度模拟具有挑战性的流体流动情景。
In addition to their numerical advantages, high-accuracy compact difference schemes offer a unique opportunity for researchers and engineers to gain deeper insights into the underlying physics of fluid flow. By accurately resolving flow features and capturing intricate flow phenomena, these schemes enable a more detailed analysis of fluid dynamics processes and help researchers uncover new and valuable information that may not be apparent with coarser numerical methods.
除了它们的数值优势外，高精度紧致差分格式为研究人员和工程师提供了一个独特的机会，让他们更深入地了解流体流动的基本物理过程。
通过准确地解决流动特征并捕捉复杂的流动现象，这些格式使得流体动力学过程的更详细分析成为可能，并且帮助研究人员揭示使用更粗糙的数值方法可能难以察觉的新的和有价值的信息。
Overall, high-accuracy compact difference schemes play a crucial role in advancing the field of computational fluid dynamics by providing accurate, efficient, and reliable tools for simulating a wide range of
fluid flow phenomena. Their ability to achieve high spatial accuracy, maintain important physical properties, handle stiff flow problems, and offer deeper insights into fluid dynamics processes makes them indispensable for researchers, engineers, and practitioners seeking to understand and predict the behavior of complex fluid systems.
总的来说，高精度紧致差分格式通过提供准确、高效和可靠的工具，为模拟各种流体流动现象而发挥着重要作用，推动了计算流体动力学领域的发展。
它们具有实现高空间精度、保持重要物理性质、处理刚性流动问题并深入了解流体动力学过程的能力，使其成为研究人员、工程师和从业者在寻求理解和预测复杂流体系统行为时不可或缺的工具。